夫琅禾费单缝衍射光强分布的研究

姓名：程佳丽 学号：200807034129 专业：物理学（师范）

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夫琅禾费单缝衍射光强分布的研究

夫琅禾费单缝衍射光强分布的研究（Research Of Fraunhofer Single Slot Diffraction Of Light

Intensity Distribution）

姓名：程佳丽专业：物理学（师范）班级：08级物教班

摘要：我们在光学中学习了有关夫琅禾费单缝衍射和圆孔衍射的内容，本文主要是对夫琅禾费单缝衍射光强的计算公式进行数学推导以及拓展，并且根据推导的数学公式对夫琅禾费单缝衍射光强分布情况进行讨论，对夫琅禾费单缝衍射的特点进行分析介绍。

关键词：夫琅禾费单缝衍射（Fraunhofer single slot diffraction）、光强（Light intensity）、光强分布（Light intensity distribution）、最大值（Maximum）

引言：光的衍射是光的波动性的重要现象之一。衍射现象即波在传播过程中不沿直线传播，而是向各方向绕射的现象。而光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象，称为光的衍射。在衍射现象中，把平行光束的衍射现象，称为夫琅禾费衍射。夫琅禾费衍射在光学研究中有着重要意义，它主要包括单缝衍射、圆孔衍射。这里我重点介绍夫琅禾费单缝衍射的光强分布特点。

一、夫琅禾费单缝衍射实验装置与衍射图样的特点。

所谓夫琅禾费衍射是指光源、衍射屏和观察屏三者之间都是相距无限远的衍射情况。即相当于入射光和衍射光都是平行的情况。在这种情况下计算衍射花样中光强的分布时，数学运算就比较简单。所谓光源在无限远，实际上就是把光源置于第一个透镜的焦平面上，使之成为平行光束；所谓观察角在无限远，实际上是在第二个透镜的焦平面上观察衍射花样。由于透镜的会聚，衍射花样的光强将比菲涅耳衍射花样的光强大大增加。夫琅禾费单缝衍射包含着衍射现象的许多主要特征。夫琅禾费单缝衍射光路图如下图所示：

夫琅禾费单缝衍射图样的主要特点如下：

（1）中央有一条特别明亮的亮条纹，其宽度是其他亮条纹的两倍；其他亮条纹

的宽度相等，亮度逐渐下降。

（2）单缝越小，条纹越宽（即衍射越厉害）。 （3）波长λ越大，条纹越宽。

二、夫琅禾费单缝衍射强度的数学推导。

现在用惠更斯—菲涅尔原理来解释上述现象。图二为上图装置的右半部。平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝平面重合（垂直于图面）。将缝分为一组平行于缝长的窄带，从每一条这样的窄带发出次波的振幅正比于窄带的宽度dx 。

设光波的初相位为0，单缝的宽度AB=b ，0A 为整个狭缝所发出的次波在θ=0的方向上的合振幅。则狭缝各处窄带所发次波的振动可表示为：

d 0E =0dx

b

A cos ωt ……………… ⑴

在图二中，MN 为衍射角等于θ的任一条光线。令AM=x ，则MN=x sin θ，这就分别从M 和A 两点发出的次波沿与MN 平行的方向到达平面AC 时的光程差。于是由惠更斯—菲涅尔衍射积分式： d cos r

s

K E E C θω==⎰⎰

（）A （Q ）

（kr-t ）dS …… ⑵ 得沿着MN 方向传播的次波，在到达N 点时，光振动应表示为：

0cos sin A dx dE t b θω=-（kx ） （其中k=2π

λ

是波数） …… ⑶ 或 2sin 0i t A dx dE e b π

θωλ-=（x ） ………… ⑷

其复振幅为 2sin 0i x A dx dE e b

πθλ= ………… ⑸ 如果从N 到P 的光程为∆，那么P 点的振动可表示为：

0sin A

dE b

θω=+∆（dx ）cos[k （x ）-t] …… ⑹

用复数表达则为： sin 0

ikx ik i t A dE e e e b

θω∆-=

dx ………… ⑺ 从狭缝平面所有各点出发的次波到达P 点并叠加，由⑵式得合振动即取决于⑺从

x=0到x=b 的积分 s i n 00

b i k i

t

i k x

A E d E e

e e d x b

ωθ∆

-==⎰

⎰ …… ⑻

因从AC 平面上各点到达P 点的光程∆都相等且与x 无关，又因i t e ω-也是常量，故⑻式中ik e ∆和i t e ω-可提到积分号前面。一般来说，光程∆是衍射角θ的函数，但因缝很窄，可以近似认为无论沿哪个方向传播的次波，到达P 点都有相同的

振幅，即∆与θ近似无关。这样sin sin 000

sin b

ikx ikb A b A e dx e ik θθ

θ

=

⎰（-1）

=

sin 20

sin 2b i A e b i

πθλπθ

λ

（-1）

=sin sin sin 0

sin 2b b b i

i

i

e e

e A b i

πθπθπθλ

λ

λ

πθλ

--⋅

⑼

应用欧拉公式 s i n 2i u i u

e e u i --= 其中sin b u πθλ=

最后得合振动（未乘ik e ∆因子）为：sin 0sin sin b i

i t b E A e e

πθ

ωλ

πθ

λπθλ

-=⋅⋅

（） =sin sin sin sin b i t b A e b πθ

ωπθ

λπθλ

-⋅

⋅（）

（

） ⑽ 复数因子sin b i

t e

πθ

ωλ

-（）表示合振动的相位。它虽然随θ而变，但与光强的分布无

关，衍射图样只取决于合振幅。最后可得衍射角为θ的所有次波在观察点P 叠加起来的合振幅：

000sin sin sin sin sin p b u A A A A c u b u πθλπθ

λ

===（）

…… ⑾

令(sin )/u b πθλ=，故P 点的光强为