湘教版八年级下学期期末数学试卷 - 含答案

八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上，每小题4分，共40分）
1．下列条件能确定三角形ABC是直角三角形的是（）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝40°，∠B＝50°
C．AB＝AC D．AB＝2，AC＝3，BC＝4
2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
3．一次数学测试后，某班m名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别是10，11，7，12，第5组的频率为0.2，则m的值为（）
A．40B．48C．50D．52
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（）
A．AD＝BC B．∠DAB＝∠BCD
C．S△AOB＝S△COB D．AC＝BD
5．在数学活动课上，老师和同学们判断一块地板砖上的四边形图案是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相等
D．测量对角线是否平分且相等
6．一次函数y＝（k+3）x+b（k＞0，b＜0）在平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．
C．D．
7．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣3x+b上，则y1和y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD＝3，Q 为AB上一动点，则DQ的最小值为（）
A．1B．2C．2.5D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（）
A．B．1C．2D．
10．2021年4月27日至5月5日湖南省（春季）乡村文化旅游节暨湖南阳明山第十三届“和”
文化节在双牌县阳明山和花千谷景区举行，期间吸引了大批游客前往观光．5月1日上午，一辆旅游大巴以40km/h的速度从零陵区某地出发，当大巴车到达途中桐子坳时（大巴车
停靠前后速度不变），一私家车从同一地点出发前往阳明山．如图是两车离出发地的距离s（km）与大巴车出发的时间t（h）的函数图象．小明同学根据图象得出以下几个结论：
①私家车的速度为60km/h；
②大巴车在桐子坳停留了36分钟；
③私家车比大巴车早到12分钟；
④私家车与大巴车相遇时离景区还有30km；
⑤当两车相距6km时，t＝2.1或2.7h．
其中正确结论的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题4分，共32分）11．函数y＝中自变量x的取值范围是．
12．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是．
13．德国有个叫鲁道夫的人，用毕生的精力把圆周率π算到小数点后面35位．他的计算结果是 3.14159265358979423846264338327950288，在这串数字中“3”出现的频率是．（结果保留两位小数）
14．若点A（1+m，2）与点B（﹣3，1﹣n）关于y轴对称，则m+n的值是．15．函数y＝mx+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的整数解是．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝9，则EF的长为．
17．我们知道，四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为．
18．如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE，BF交于点P，过点P作PM∥CD
交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：
①△ABE≌△BCF；②AE＝BF；③AE⊥BF；④线段MN的最小值为﹣1．
其中正确的结论有．（填写正确的序号）
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）19．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为BD上一点，AC＝CE，BC＝DE．
求证：∠BAC＝∠DCE．
20．（8分）某中学积极开展跳绳锻炼，一次体育测试后，体育委员统计了全班同学单位时间的跳绳次数，列出了频数分布表和频数分布直方图，如图：
次数频数
60≤x＜80a
80≤x＜1004
100≤x＜12018
120≤x＜14013
140≤x＜1608
160≤x＜1804
180≤x＜2001
（1）补全频数分布直方图并求出频数分布表中a的值．
（2）表中组距是次，组数是组．
（3）跳绳次数在100≤x＜160范围的学生有人，全班共有人．
（4）若规定跳绳次数不低于140次为优秀，求全班同学跳绳的优秀率是多少？
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（5，2），B（3，5），C（﹣1，﹣1）．将点A向下平移4个单位得到A'，将点B向左平移2个单位得到B'，点C'与点C关于x轴对称．
（1）请分别写出A'，B'，C'的坐标；
（2）求△A'B'C'的面积．
22．（10分）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：四边形DFCE是平行四边形；
（2）若∠ADE＝30°，DF＝4，求BF的长．
23．（10分）暑期将至，某游泳馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次游泳费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳费用按八折优惠．
设某学生暑期游泳x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值；
（2）八年级学生小华计划暑期前往该游泳馆游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？
请说明理由．
24．（10分）如图，小明家门前有一块矩形空地ABCD，AB＝4m，BC＝8m，小明想把这块空地改造成两个停车位，于是小明做了如下操作：
①连接BD；
②在BC上取一点F，使得∠EDB＝∠FDB；
③在AD上取一点E，使得AE＝CF；
④分别取DE，BF的中点M，N．
这样小明就成功地改造了两个停车位EBNM和MNFD．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）请你帮助小明计算出EM的长．
25．（12分）已知直线y＝x+4与x轴、y轴相交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将直线AB进行平移，平移后的函数解析式为y＝kx+b，并与x轴、y轴相交于C、D两点，当S△OCD＝24时，求直线CD的解析式；
（3）在x轴上有一点P，使得△ABP是等腰三角形．请你直接写出所有满足条件的点P 的坐标．
26．（12分）如图①，点E是线段AB延长线上一点，且AB＞BE，分别以AB和BE为边作正方形ABCD和BEFG，连接AG，CE．
（1）请你直接写出AG与CE的数量与位置关系；
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），AG与CE相交于点O，AG 与BC相交于点H，BG与CE相交于点M，如图②，请问（1）中AG与CE的数量与位置关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）连接CG，AE，如图③，若AB＝4，BE＝3，请求出CG2+AE2的值．
八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上，每小题4分，共40分）
1．下列条件能确定三角形ABC是直角三角形的是（）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝40°，∠B＝50°
C．AB＝AC D．AB＝2，AC＝3，BC＝4
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∠A＝∠B＝∠C＝60°，不是直角三角形，不符合题意；
B、∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°，是直角三角形，符合题意；
C、AB＝AC，是等腰三角形，不一定是直角三角形，不符合题意；
D、22+32≠42，不是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．绿色饮品B．绿色食品
C．有机食品D．速冻食品
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．一次数学测试后，某班m名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别是10，11，7，12，第5组的频率为0.2，则m的值为（）
A．40B．48C．50D．52
【分析】根据频率公式：频率＝即可求解．
【解答】解：根据题意，得＝0.2，
解得m＝50．
故选：C．
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（）
A．AD＝BC B．∠DAB＝∠BCD
C．S△AOB＝S△COB D．AC＝BD
【分析】由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，AD∥BC，
∴S△AOB＝S△COB，
∴不能得到AC＝BD，
故选：D．
5．在数学活动课上，老师和同学们判断一块地板砖上的四边形图案是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相等
D．测量对角线是否平分且相等
【分析】由矩形的判定定理和平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，不能判定矩形，故选项A不符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，不能判定矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形，更不能判定矩形，故选项C不符合题
意；
D、测量对角线是否平分且相等，能判定矩形；
故选：D．
6．一次函数y＝（k+3）x+b（k＞0，b＜0）在平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．
C．D．
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵一次函数y＝（k+3）x+b（k＞0，b＜0），
∴k+3＞0，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，
故选：C．
7．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y＝﹣3x+b上，则y1和y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定
【分析】先根据直线y＝﹣3x+b判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣3x+b，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵﹣4＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD＝3，Q 为AB上一动点，则DQ的最小值为（）
A．1B．2C．2.5D．
【分析】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据垂线段最短求解．
【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选：B．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将△CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（）
A．B．1C．2D．
【分析】由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，由折叠的性质得C'D＝CD＝3，C'E＝CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，
由折叠的性质得：C'D＝CD＝3，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°，
∴∠AC'D＝90°，
∴AC'＝＝＝4，
设CE＝C'E＝x，
在Rt△ABE中，BE＝5﹣x，AE＝x+4，
由勾股定理得：（5﹣x）2+32＝（x+4）2，
解得：x＝1，
故选：B．
10．2021年4月27日至5月5日湖南省（春季）乡村文化旅游节暨湖南阳明山第十三届“和”
文化节在双牌县阳明山和花千谷景区举行，期间吸引了大批游客前往观光．5月1日上午，一辆旅游大巴以40km/h的速度从零陵区某地出发，当大巴车到达途中桐子坳时（大巴车停靠前后速度不变），一私家车从同一地点出发前往阳明山．如图是两车离出发地的距离s（km）与大巴车出发的时间t（h）的函数图象．小明同学根据图象得出以下几个结论：
①私家车的速度为60km/h；
②大巴车在桐子坳停留了36分钟；
③私家车比大巴车早到12分钟；
④私家车与大巴车相遇时离景区还有30km；
⑤当两车相距6km时，t＝2.1或2.7h．
其中正确结论的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由图象得：大巴车出发48÷40＝1.2（h）停留，则停留了1.8﹣1.2＝0.6（h），继续行驶（96﹣48）÷40＝1.2（h）到达阳明山．则大巴车共用时1.8+1.2＝3（h），可得私家车的速度为96÷（2.8﹣1.2）＝60（km/h），求出大巴车在桐子坳停留后继续行驶和私家车的解析式，可得两车相遇的时间和当两车相距6km时的时间．
【解答】解：由图象得：大巴车出发48÷40＝1.2（h）停留，则停留了1.8﹣1.2＝0.6（h）＝36分钟，②正确；
私家车的速度为96÷（2.8﹣1.2）＝60（km/h），①正确；
大巴车继续行驶（96﹣48）÷40＝1.2（h）到达阳明山．则大巴车共用时1.8+1.2＝3（h），3﹣2.8＝0.2（h）＝12分钟，③正确；
设大巴车在桐子坳停留后继续行驶时离出发地的距离s（km）与大巴车出发的时间t（h）的函数的解析式为s＝kt+b，
，
解得：，
∴s＝40t﹣24，
设离出发地的距离s（km）与大巴车出发的时间t（h）的函数的解析式为s＝k′t+b′，，
解得：，
∴s＝60t﹣72，
60t﹣72＝40t﹣24，
解得：t＝2.4，
∴家车与大巴车相遇时离景区还有（2.8﹣2.4）×60＝24（km），④错误；
当两车相距6km时：有一下几种情况a：40t＝6，解得：t＝0.15，
b：60t﹣72﹣（40t﹣24）＝6，解得：t＝2.7，
c：40t﹣24﹣（60t﹣72）＝6，解得：t＝2.1，
∴当两车相距6km时，t＝0.15或2.1或2.7h．⑤错误．
其中正确的结论有①②③，
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题4分，共32分）11．函数y＝中自变量x的取值范围是x≤5．
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，求出不等式的取值范围即可．
【解答】解：若使函数y＝有意义，
∴5﹣x≥0，
即x≤5．
故答案为x≤5．
12．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是8．
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．
【解答】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°＝8
即该正多边形的边数是8．
13．德国有个叫鲁道夫的人，用毕生的精力把圆周率π算到小数点后面35位．他的计算结果是 3.14159265358979423846264338327950288，在这串数字中“3”出现的频率是
0.17．（结果保留两位小数）
【分析】频数即一组数据中出现符合条件的数据的个数，频率＝频数÷总数．依据频数的计算公式即可求解．
【解答】解：在3.14159265358979423846264338327950288中，“3”出现的次数是6次，所以在这串数字中“3”出现的频率是6÷36≈0.17．
故答案为：0.17．
14．若点A（1+m，2）与点B（﹣3，1﹣n）关于y轴对称，则m+n的值是1．【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同．据此可得m，n的值．
【解答】解：∵点A（1+m，2）与点B（﹣3，1﹣n）关于y轴对称，
∴，
解得，
∴m+n＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
15．函数y＝mx+m+2的图象经过第一、二、四象限，则m的整数解是﹣1．【分析】根据函数y＝mx+m+2的图象经过第一、二、四象限，可知k＝m＜0，b＝m+2＞0，从而可以求得m的取值范围，然后即可写出m的整数解．
【解答】解：∵函数y＝mx+m+2的图象经过第一、二、四象限，
∴，
解得﹣2＜m＜0，
∴m的整数解是﹣1，
故答案为：﹣1．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝9，则EF的长为9．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，CD＝9，
∴AB＝2CD＝2×9＝18，
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝9，
故答案为：9．
17．我们知道，四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（2，）．
【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，根据勾股定理得到OD′＝＝，于是得到结论．
【解答】解：∵AD′＝AD＝2，
AO＝AB＝1，
∴OD′＝＝，
∵C′D′＝2，C′D′∥AB，
∴C′（2，），
故答案为（2，）．
18．如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE，BF交于点P，过点P作PM∥CD
交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：
①△ABE≌△BCF；②AE＝BF；③AE⊥BF；④线段MN的最小值为﹣1．
其中正确的结论有①②③④．（填写正确的序号）
【分析】由正方形的性质及F，E以相同的速度运动，利用SAS证明△ABE≌△BCF，得到AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，再根据∠CBF+∠ABP＝90°，可得∠BAE+∠ABP＝90°，
进而得到AE⊥BF，根据点P在运动中保持∠APB＝90°，可得点P的路径是一段以AB 为直径的弧，设AB的中点为H，连接CH交弧于点P，此时CP的长度最小，根据勾股定理，求出CH的长度，再求出PH的长度，即可求出线段CP的最小值，根据矩形对角线相等即可得到MN．
【解答】解：∵动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动，
∴DF＝CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CF＝BE，
∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，故②正确；
∵∠CBF+∠ABP＝90°，
∴∠BAE+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，即AE⊥BF，故③正确；
∵点P在运动中始终保持∠APB＝90°，
∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，如图，
设AB的中点为H，连接CH交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△BCH中，CH＝＝，
∵PH＝AB＝1，
∴CP＝CH﹣PH＝﹣1，
∵PM∥CD，PN∥BC，
∴四边形PMCN是平行四边形，
∵∠BCD＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN＝CP＝﹣1，即线段MN的最小值为﹣1，故④正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）19．（8分）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝90°，C为BD上一点，AC＝CE，BC＝DE．
求证：∠BAC＝∠DCE．
【分析】根据HL证明Rt△ABC≌△Rt△CDE，可得结论．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC≌△Rt△CDE（HL），
∴∠BAC＝∠DCE．
20．（8分）某中学积极开展跳绳锻炼，一次体育测试后，体育委员统计了全班同学单位时间的跳绳次数，列出了频数分布表和频数分布直方图，如图：
次数频数
60≤x＜80a
80≤x＜1004
100≤x＜12018
120≤x＜14013
140≤x＜1608
160≤x＜1804
180≤x＜2001
（1）补全频数分布直方图并求出频数分布表中a的值．
（2）表中组距是20次，组数是7组．
（3）跳绳次数在100≤x＜160范围的学生有39人，全班共有50人．
（4）若规定跳绳次数不低于140次为优秀，求全班同学跳绳的优秀率是多少？
【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据，可以得到a的值，然后根据频数分布表中的数据，可知140≤x＜160这一组的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；（2）根据频数分布表中的数据，可以得到组距和组数；
（3）把第3组和第4组，第5组的频数相加可得到跳绳次数在100≤x＜160范围的学生数，把全部7组的频数相加可得到全班人数；
（4）用后三组的频数和除以全班人数可得到全班同学跳绳的优秀率．
【解答】解：（1）由直方图中的数据可知，a＝2，
由频数分布表可知，140≤x＜160这一组的频数为8，
补全的频数分布直方图如图所示，
；
（2）根据频数分布表得：表中组距是20次，组数是7组．
故答案为：20，7；
（3）跳绳次数在100≤x＜160范围的学生有18+13+8＝39（人），全班人数为2+4+18+13+8+4+1＝50（人）；
故答案为：39，50；
（4）跳绳次数不低于140次的人数为8+4+1＝13，
所以全班同学跳绳的优秀率＝×100%＝26%．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（5，2），B（3，5），C（﹣1，﹣1）．将点A向下平移4个单位得到A'，将点B向左平移2个单位得到B'，点C'与点C关于x轴对称．
（1）请分别写出A'，B'，C'的坐标；
（2）求△A'B'C'的面积．
【分析】（1）依据点A向下平移4个单位得到A'，将点B向左平移2个单位得到B'，点C'与点C关于x轴对称，即可得到A'，B'，C'的坐标；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△A'B'C'的面积．
【解答】解：（1）如图所示，A'（5，﹣2），B'（1，5），C'（﹣1，1）；
（2）如图所示，△A'B'C'的面积＝6×7﹣﹣﹣＝42﹣4﹣9﹣14＝15．
22．（10分）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：四边形DFCE是平行四边形；
（2）若∠ADE＝30°，DF＝4，求BF的长．
【分析】（1）根据三角形的性质得到BF＝CF，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DF∥AC，由平行四边形的判定定理即可得到四边形DFCE是平行四边形；
（2）由三角形的中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，求得DE＝BF，根据直角三角形的性质得到OF＝DF＝2，由勾股定理得到OD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE和DF分别是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，
即DE∥CF，DF∥CE，
∴四边形DFCE是平行四边形；
（2）解：如图，设AF与DE交于O，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵BF＝CF＝BC，
∴DE＝BF，
∵AF⊥BC，
∴DE⊥AF，
∴∠DOF＝90°，
∵∠ADE＝30°，DF＝4，
∴OF＝DF＝2，
∴OD＝＝＝2，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠C＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴DE＝2OD＝4．
23．（10分）暑期将至，某游泳馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次游泳费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳费用按八折优惠．
设某学生暑期游泳x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．其函数图象如图所示．
（1）求k1和b的值；
（2）八年级学生小华计划暑期前往该游泳馆游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？
请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出y2与x之间的函数关系式，将x＝8分别代入y1、y2关于x的函数解析式，比较即可．
【解答】解：（1）根据题意，得：
，解得，
∴方案一所需费用y1与x之间的函数关系式为y1＝18x+30，
∴k1＝18，b＝30；
（2）∵打折前的每次游泳费用为18÷0.6＝30（元），
∴k2＝30×0.8＝24；
∴y2＝24x，
当游泳8次时，
选择方案一所需费用：y1＝18×8+30＝174（元），
选择方案二所需费用：y2＝24×8＝192（元），
∵174＜192，
∴选择方案一所需费用更少．
24．（10分）如图，小明家门前有一块矩形空地ABCD，AB＝4m，BC＝8m，小明想把这块空地改造成两个停车位，于是小明做了如下操作：
①连接BD；
②在BC上取一点F，使得∠EDB＝∠FDB；
③在AD上取一点E，使得AE＝CF；
④分别取DE，BF的中点M，N．
这样小明就成功地改造了两个停车位EBNM和MNFD．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）请你帮助小明计算出EM的长．
【分析】（1）先判定四边形BEDF是平行四边形，再根据FD＝FB，即可得出四边形BEDF 是菱形；
（2）设DE＝BE＝xm，则AE＝（8﹣x）m，在Rt△ABE中利用勾股定理列方程，即可得到DE的长，进而得出EM的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDB＝∠FBD，
又∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵∠EDB＝∠FDB，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴FD＝FB，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：由题可得AD＝BC＝8m，∠A＝90°，
设DE＝BE＝xm，则AE＝（8﹣x）m，
在Rt△ABE中，AE2+AB2＝BE2，
即（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴DE＝5m，
又∵M是DE的中点，
∴EM＝DE＝m．
25．（12分）已知直线y＝x+4与x轴、y轴相交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将直线AB进行平移，平移后的函数解析式为y＝kx+b，并与x轴、y轴相交于C、D两点，当S△OCD＝24时，求直线CD的解析式；
（3）在x轴上有一点P，使得△ABP是等腰三角形．请你直接写出所有满足条件的点P 的坐标．
【分析】（1）根据直线解析式可得出A、B的坐标；
（2）设平移后的解析式，求出点C、点D的坐标，根据S△OCD＝24求出b值，即可得直线CD的解析式；
（3）根据等腰三角形的判定，分三类讨论，可求点P的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则B点的坐标为：（0，4）；
当y＝0时，x＝﹣3，则点A的坐标为：（﹣3，0）；
（2）由题意得直线CD的解析式为：y＝x+b，
∴当x＝0时，y＝b，则C点的坐标为：（0，b）；
当y＝0时，x＝﹣b，则点D的坐标为：（﹣b，0）；
∵S△OCD＝24，
∴S△OCD＝OC•OD＝×|b|×|﹣b|＝24，
∴b2＝64，解得：b＝8或﹣8，
∴直线CD的解析式为y＝x+8或y＝x﹣8；
（3）①当P A＝PB时，点P在线段AB的垂直平分线上，如图：
∴AM＝BM，PM⊥AB，
∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB＝＝＝5，
∵∠AOB＝∠AMP＝90°，∠OAB＝∠MAP，
∴△AOB∽△AMP，
∴，即，
∴AP＝，
∴OP＝AP﹣OA＝﹣3＝，
∴P（，0）；
②当P A＝AB时，如图：
∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB＝＝＝5，
∴P A＝AB＝5，
∴OP1＝3+5＝8，OP2＝5﹣3＝2，
∴P（﹣8，0）或（2；0）；
②当PB＝AB时，点B在线段AP的垂直平分线上，如图：
∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴AB＝＝＝5，
∴PB＝AB＝5，
在Rt△AOB和Rt△POB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△POB（HL），
∴OP＝OA＝3，
∴P（3，0）；
综上可得点P的坐标为（，0）或（﹣8，0）（2；0）或（3，0）．
26．（12分）如图①，点E是线段AB延长线上一点，且AB＞BE，分别以AB和BE为边作正方形ABCD和BEFG，连接AG，CE．
（1）请你直接写出AG与CE的数量与位置关系；
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），AG与CE相交于点O，AG 与BC相交于点H，BG与CE相交于点M，如图②，请问（1）中AG与CE的数量与位置关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）连接CG，AE，如图③，若AB＝4，BE＝3，请求出CG2+AE2的值．
【分析】（1）延长AG交CE于P，根据SAS证△ABG≌△CBE，可证AG＝CE，∠GAB+∠CEB＝90°，可证AG⊥CE；
（2）连接AC，与（1）同理证AG＝CE，根据∠GAB+∠CAG+45°＝90°，∠GAB＝∠BCE，得∠AOC＝90°，即AG与CE的数量与位置关系仍成立；
（3）连接AC，EG，根据勾股定理可得CG2+AE2＝AO2+OE2+OC2+OG2＝AC2+EG2＝（AB）2+（BE）2，代入数值即可得出．
【解答】解：（1）如图①，延长AG交CE于P，
在△ABG和△CBE中，
，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE，∠AGB＝∠CEB，
∵∠AGB+∠GAB＝90°，
∴∠GAB+∠CEB＝90°，
∴∠APE＝90°，
即AG⊥CE；
（2）AG与CE的数量与位置关系仍成立，理由如下：
连接AC，
在△ABG和△CBE中，
α，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE，∠OAB＝∠ECB，
∵∠OAB+∠CAO+∠DAC＝90°，∠DAC＝∠ACB，
∴∠ECB+∠ACB+∠CAO＝90°，
∴∠AOC＝90°，
即AG⊥CE；
（3））连接AC，EG，
∵四边形ABCD和BEFG都是正方形，AB＝4，BE＝3，
∴AC＝AB＝4，EG＝BE＝3，
∴由勾股定理得CG2+AE2＝AO2+OE2+OC2+OG2＝AC2+EG2＝（4）2+（3）2＝50，即CG2+AE2的值为50．。