2019年浙教版数学九年级上册 第3章 圆的基本性质附答案

【章节训练】第3章圆的基本性质-1
一、选择题（共25小题）
1．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）
A．10°
B．20°
C．50°
D．70°
2．如图，香港特别行政区区徽中的紫荆花图案，该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）
A．45°
B．60°
C．72°
D．108°
3．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）
A．1cm
B．2cm
C．4cm
D．πcm
4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
5．如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是（）
A．60°
B．72°
C．90°
D．120°
6．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）
A．70°
B．35°
C．45°
D．60°
7．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）
A．42°
B．28°
C．21°
D．20°
8．下列运动属于旋转的是（）
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
9．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）A．
B．
C．
D．
10．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4
B．1：3：2：4
C．1：4：2：3
D．1：2：4：3
11．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF 的长等于（）
A．6
B．6
C．3
D．9
12．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
13．如图，要使此图形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为（）
A．30°
B．60°
C．120°
D．180°
14．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）
A．AC=CD
B．OM=BM
C．∠A=∠ACD
D．∠A=∠BOD
15．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）
A．（，）或（﹣，﹣）
B．（，）或（﹣，﹣）
C．（﹣，﹣）或（，）
D．（﹣，﹣）或（，）
16．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（）A．或2
B．或2
C．2或2
D．2或2
17．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（）
A．100°
B．80°
C．50°
D．40°
18．已知⊙O的半径为5．若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．无法判断
19．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF 等于（）
A．40°
B．45°
C．55°
D．80°
20．已知等边△ABC，顶点B（0，0），C（2，0），规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转，使点A落在x轴上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋转，使点B落在x轴上，称为二次变换，…经过连续2017次变换后，顶点A的坐标是（）
A．（4033，）
B．（4033，0）
C．（4036，）
D．（4036，0）
21．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）
A．4
B．5
C．6
D．6
22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为（）
A．40°
B．70°
C．80°
D．140°
23．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）
A．13寸
B．6.5寸
C．26寸
D．20寸
24．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（）
A．顺时针旋转90°，向右平移
B．逆时针旋转90°，向右平移
C．顺时针旋转90°，向下平移
D．逆时针旋转90°，向下平移
25．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形ABC的中心，若点A的坐标为（0，3），将△ABC绕着点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2018秒时，点A的坐标为（）
A．（0，3）
B．（，）
C．（）
D．（﹣3，3）
二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）
26．如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转度构成的．
27．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，且AB＞OC，若OC和AB是方程x2﹣11x+24=0的两个根，则⊙O的半径OA=．
28．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升cm．
29．线段AB=10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有个．
30．如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB=，则BE的最小值为．
三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）
31．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD=2cm，AB=5cm，求AD、AC的长．
32．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1；
（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；
②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：．
【章节训练】第3章圆的基本性质-1
参考答案与试题解析
一、选择题（共25小题）
1．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）
A．10°B．20°C．50°D．70°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【解答】解：如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
2．如图，香港特别行政区区徽中的紫荆花图案，该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）
A．45°B．60°C．72°D．108°
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．
故选：C．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
3．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（）
A．1cm B．2cm C．4cm D．πcm
【分析】根据圆的认识进行解答即可．
【解答】解：∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm，
故选：C．
【点评】此题考查圆的认识，关键是根据圆的概念进行解答．
4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）
A．120°B．100°C．80°D．60°
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠A=60°，再根据圆内接四边形的性质可得∠BCD的度数．【解答】解∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，
∴∠A=60°，
∴∠C=180°﹣60°=120°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
5．如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是（）
A．60°B．72°C．90°D．120°
【分析】把此图案绕看作正五边形，然后根据正五边形的性质求解．
【解答】解：图形看作正五边形，
而正五边的中心角为72°，
所以此图案绕旋转中心旋转72°的整数倍时能够与自身重合．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
6．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）
A．70°B．35°C．45°D．60°
【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，
∴弧AC=弧AB （垂径定理），
∴∠ADC=∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；
又∠AOB=70°，
∴∠ADC=35°．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理．关键是将证明弧相等的问题转化为证明所对的圆心角相等．
7．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）
A．42°B．28°C．21°D．20°
【分析】利用OB=DE，OB=OD得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连结OD，如图，
∵OB=DE，OB=OD，
∴DO=DE，
∴∠E=∠DOE，
∵∠1=∠DOE+∠E，
∴∠1=2∠E，
而OC=OD，
∴∠C=∠1，
∴∠C=2∠E，
∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，
∴∠E=∠AOC=×84°=28°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
8．下列运动属于旋转的是（）
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转；
B、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；
C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；
D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的概念．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
9．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）
A． B． C． D．
【分析】此题是一组复合图形，根据平移、旋转的性质解答．
【解答】解：A、B、C中只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D可经过平移，又可经过旋转得到．
故选：D．
【点评】本题考查平移、旋转的性质：
①平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．
10．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：3
【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°=∠B+∠D，
故选：D．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据内接四边形的对角互补的性质解答．
11．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF 的长等于（）
A．6 B．6 C．3 D．9
【分析】连接DF，根据垂径定理得到=，得到∠DCF=∠EOD=30°，根据圆周角定理、余弦的定义计算即可．
【解答】解：连接DF，
∵直径CD过弦EF的中点G，
∴=，
∴∠DCF=∠EOD=30°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴CF=CD•cos∠DCF=12×=6，
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的推论、解直角三角形，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
12．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由四边形ABCD与四边形CEFG都为正方形，得到四条边相等，四个角
为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG，利用全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．【解答】解：如图，设BE，DG交于O．
∵四边形ABCD和CEFG都为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG．
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BOG=90°，
∴BE⊥DG；故①②正确；
连接BD，EG，如图所示，
∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，
则DE2+BG2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③正确．
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
13．如图，要使此图形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为（）
A．30°B．60°C．120° D．180°
【分析】根据旋转对称图形的旋转角的概念作答．
【解答】解：正六边形被平分成六部分，
因而每部分被分成的圆心角是60°，
因而旋转60度的整数倍，就可以与自身重合．
则α最小值为60度．
故选：B．
【点评】本题考查旋转对称图形的旋转角的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
14．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）
A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD
【分析】根据垂径定理判断即可．
【解答】解：连接DA，
∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，
∴CM=MD，∠CAB=∠DAB，
∵2∠DAB=∠BOD，
∴∠CAD=∠BOD，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
15．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（）
A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，）
【分析】根据题意只研究点B的旋转即可，OB与x轴夹角为45°，分别按顺时针和逆时针旋转75°后，与y轴负向、x轴正向分别夹角为30°，由此计算坐标即可．【解答】解：由点B坐标为（2，﹣2）
则OB=，且OB与x轴、y轴夹角为45°
当点B绕原点逆时针转动75°时，
OB1与x轴正向夹角为30°
则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（，）；
同理，当点B绕原点顺时针转动75°时，
OB1与y轴负半轴夹角为30°，
则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（﹣，﹣）；
故选：C．
【点评】本题为坐标旋转变换问题，考查了图形旋转的性质、特殊角锐角三角函数值，解答时注意分类讨论和确定象限符号．
16．点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻
边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．2或2D．2或2
【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD=OB=2，如图②，BD=6，求得OD、OE、DE的长，连接OD，根据勾股定理得到结论．
【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，
∴BD=×4=2，
∴OD=OB﹣BD=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE=BD=1，
∴OE=1+2=3，
连接OC，
∵CE===，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC===2；
如图②，
OD=2，BD=4+2=6，DE=BD=3，OE=3﹣2=1，
由勾股定理得：CE===，
DC===2，
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
17．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（）
A．100°B．80°C．50°D．40°
【分析】根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠AOB，根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵OA=OB，∠ABO=40°，
∴∠AOB=100°，
∴∠C=∠AOB=50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
18．已知⊙O的半径为5．若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
【分析】点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP=6＞5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
19．如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF 等于（）
A．40°B．45°C．55°D．80°
【分析】连接BF，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AFB，根据三角形的外角的性质计算．
【解答】解：连接BF，
∵的度数为30°，
∴的度数为150°，∠AFB=15°，
∵G是的三等分点，
∴的度数为50°，
∴∠GBF=25°，
∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，
故选：A．
【点评】本题考查的是矩形的性质、圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20．已知等边△ABC，顶点B（0，0），C（2，0），规定把△ABC先沿x轴绕着点C顺时针旋转，使点A落在x轴上，称为一次变换，再沿x轴绕着点A顺时针旋
转，使点B落在x轴上，称为二次变换，…经过连续2017次变换后，顶点A的坐标是（）
A．（4033，）B．（4033，0）C．（4036，）D．（4036，0）
【分析】利用已知点坐标得出等边△ABC边长为2，根据三角函数可得等边△ABC 的高，顶点A的坐标分别为（4，0），（4，0），（7，），（10，0），（10，0），（13，），…，进而得出点的坐标变化规律，即可得出答案．
【解答】解：顶点A的坐标分别为（4，0），（4，0），（7，），（10，0），（10，0），（13，），
…，
2017÷3=672…1，
672×6+4=4036，
故顶点A的坐标是（4036，0）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，正确得出点的坐标变化规律是解题关键．
21．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）
A．4 B．5 C．6 D．6
【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC=AC=AB=×16=8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===6，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为（）
A．40°B．70°C．80°D．140°
【分析】根据旋转角的定义，旋转角就是∠ABC，根据等腰三角形的旋转求出∠ABC即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=×140°=70°，
∵△A′BC′是由△ABC旋转得到，
∴旋转角为∠ABC=70°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键的理解旋转角的定义，属于中考常考题型．
23．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）
A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解方程即可；
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
24．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（）
A．顺时针旋转90°，向右平移B．逆时针旋转90°，向右平移
C．顺时针旋转90°，向下平移D．逆时针旋转90°，向下平移
【分析】在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到．
【解答】解：顺时针旋转90°，向右平移．故选A．
【点评】此题将常见的游戏和旋转平移的知识相结合，有一定的趣味性，要根据
平移和旋转的性质进行解答：
（1）①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．
（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
25．如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形ABC的中心，若点A的坐标为（0，3），将△ABC绕着点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2018秒时，点A的坐标为（）
A．（0，3） B．（，）C．（）D．（﹣3，3）
【分析】△ABC绕点O倪时针旋转一周需6秒，而2018=6×336+2，所以第2018秒时，点A旋转到点A′，∠AOA′=120°，OA=OA′=3，作A′H⊥x轴于H，然后通过解直角三角形求出A′H和OH即可得到A′点的坐标．
【解答】解：∵360°÷60°=6，2018=6×336+2，
∴第2018秒时，点A旋转到点B，如图，
∠AOA′=120°，OA=OA′=3，
作A′H⊥x轴于H，
∵∠A′OH=30°，
∴A′H=OA′=，OH=A′H=，
∴A′（﹣，﹣）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）
26．如图所示的图案，可以看成是由字母“Y”绕中心每次旋转36度构成的．
【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．利用基本图形和旋转次数，即可得到旋转的角度．
【解答】解：根据图形可得：这是一个由字母“Y”绕着中心连续旋转9次，每次旋转36度角形成的图案．
故答案为：36．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
27．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，且AB＞OC，若OC和AB是方程x2﹣11x+24=0的两个根，则⊙O的半径OA=5．
【分析】解一元二次方程求出AB、OC，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：x2﹣11x+24=0
（x﹣3）（x﹣8）=0
x﹣3=0，x﹣8=0，
x1=3，x2=8，
∵AB＞OC，
∴AB=8，OC=3，
∵OC⊥AB，
∴AC=AB=4，
由勾股定理得，OA==5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是垂径定理、一元二次方程的解法，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
28．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升10或70cm．
【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB
由垂径定理得：BC=AB=30cm，
在Rt△OBC中，OC==40cm，
当水位上升到圆心以下时水面宽80cm时，
则OC′==30cm，
水面上升的高度为：40﹣30=10cm；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
故答案为10或70．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
29．线段AB=10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有2个．【分析】以A为圆心，5cm长为半径作圆，与以AB为直径的圆交于2点，依此即可求解．
【解答】解：如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．
故答案为：2．
【点评】此题考查了圆的认识，关键是熟悉圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合的知识点．
30．如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB=，则BE的最小值为．
【分析】方法1：先将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM于H，则∠BCF=90°，BC=FC，根据旋转的性质，即可得到△BCP≌△FCE（SAS），进而得出∠BHF=90°，据此可得点E在直线FH上，即点E的轨迹为直线FH，再根据当点E与点H重合时，BE=BH最短，求得BH的值即可得到BE的最小值．
方法2：连接PD，依据SAS构造全等三角形，即△BCE≌△DCP，将BE的长转化为PD的长，再依据垂线段最短得到当DP最短时，BE亦最短，根据∠O=30°，OD=3+，即可求得DP的长的最小值．
【解答】解法1：如图所示，将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM于H，则∠BCF=90°，BC=FC，
∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，
∴∠PCE=90°，PC=EC，
∴∠BCP=∠FCE，
在△BCP和△FCE中，
，
∴△BCP≌△FCE（SAS），
∴∠CBP=∠CFE，
又∵∠BCF=90°，
∴∠BHF=90°，
∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为射线，
∵BH⊥EF，
∴当点E与点H重合时，BE=BH最短，
∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP=30°，
∴CP=BC=，BP=CP=，
又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE，
∴正方形CPHE中，PH=CP=，
∴BH=BP+PH=，
即BE的最小值为，
故答案为：．
解法2：如图，连接PD，
由题意可得，PC=EC，∠PCE=90°=∠DCB，BC=DC，
∴∠DCP=∠BCE，
在△DCP和△BCE中，
，
∴△DCP≌△BCE（SAS），
∴PD=BE，
当DP⊥OM时，DP最短，此时BE最短，
∵∠AOB=30°，AB==AD，
∴OD=OA+AD=3+，
∴当DP⊥OM时，DP=OD=，
∴BE的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根
据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解答．
三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）
31．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD=2cm，AB=5cm，求AD、AC的长．
【分析】由直径AB=5cm，可得半径OC=OA=AB=cm，分别利用勾股定理计算AD、AC的长．
【解答】解：连接OC，
∵AB=5cm，
∴OC=OA=AB=cm，
Rt△CDO中，由勾股定理得：DO==cm，
∴AD=﹣=1cm，
由勾股定理得：AC==，
则AD的长为1cm，AC的长为cm．
【点评】本题考查了同圆的半径相等、勾股定理，在圆中常利用勾股定理计算边的长，本题熟练掌握勾股定理是关键．
32．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1；
（2）①连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2=2AB2；
②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：BP=AB．【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）①连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解决问题；
②结论：BP=AB，如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；
【解答】（1）解：补全图形如图1：
（2）①证明：连接BD，如图2，
∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ=AP，∠QAP=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠1=∠2．
∴△ADQ≌△ABP，
∴DQ=BP，∠Q=∠3，
∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90°，
∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，
∵在Rt△BPD中，DP2+BP2=BD2，
又∵DQ=BP，BD2=2AB2，
∴DP2+DQ2=2AB2．
②解：结论：BP=AB．
理由：如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN=CD，连接AN，QN．
∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，
∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，
∵∠AQP=45°，
∴∠NQC=90°，
∵CD=DN，\
∴DQ=CD=DN=AB，
∴PB=AB．
【点评】本题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。