北师大版初中数学八年级上册《平行线的证明》教案

平行线的证明
【考点一：命题、定理及公理】
●对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．
●判断一件事情的句子，叫做命题，每个命题都由条件和结论两部分组成．
●正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．
●公认的真命题称为公理．
●推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理．
【典型例题】
1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式______________________________________．2．命题“任意两个直角都相等”的条件是_________________________，结论是_________________，它是______（真或假）命题．
3．有下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．其中正确的是（）
A．只有命题①正确B．只有命题②正确
C．命题①，②都正确D．命题①，②都不正确
4．下列命题为真命题的是（）
A．同位角相等B．如果∠A+∠B+∠C=180°，那么∠A，∠B，∠C互补
C．邻补角是互补的角D．两个锐角的和是锐角
【变式练习】
1．把“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式______________________________．2．下列命题是假命题的是（）
A．对顶角相等B．圆有无数条对称轴
C．两点之间，线段最短D．平行四边形是轴对称图形
3．下列三个命题：①同位角相等，两直线平行；②两点之间，线段最短；③过两点有且只有一条直线，其中真命题有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．下列语句中，属于命题的是（）
A．画∠AOB=90°B．2比－2大吗C．过点A作直线m D．负数的偶次幂是正数
5．下列四个命题是真命题的是（）
A．同位角相等
B．如果两个角的和是180度，那么这两个角是邻补角
C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
6．有下列四个命题，其中所有正确的命题是（）
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行
②两条直线被第三条直线所截同旁内角互补
③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直
④在同一平面内，过一点由且只有一条直线与已知直线垂直．
A．①②B．①④C．②③D．③④
7．请写出命题：“全等三角形对应角相等”的逆命题，并判断命题的真假．
8．“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是________________________________．
【考点二：平行线的性质及判定】
判定：1．同位角相等，两直线平行．性质：1．两直线平行，同位角相等．2．同旁内角互补，两直线平行．2．两直线平行，同旁内角互补．3．内错角相等，两直线平行．3．两直线平行，内错角相等．
平行线的判定：
【典型例题】
1．如图所示：已知：AD∥EF，∠1＝∠2．求证：AB∥DG．
【变式练习】
1．如图，已知直线EF⊥MN垂足为F，且∠1=140°，则当∠2等于（）时，
AB∥CD．
A．50°B．40°C．30°D．60°
2．如图，可以推理得AB∥CD的条件是（）
A．∠2=∠ABC B．∠1=∠A
C．∠3=∠ABC D．∠3=∠A
3．下列说法正确的是（）
A．同一平面内没有公共点的两条直线平行B．两条不相交的直线一定是平行线
C．同一平面内没有公共点的两条线段平行D．同一平面内没有公共点的两条射线平行4．下列说法正确的是（）
①相等的角是对顶角；②相等且互补的两个角是直角；③一个角的两个邻补角是对顶角；
④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；⑤凡直角皆相等；
⑥同时垂直于同一条直线的两条直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（）A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线
6．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB与CD肯定是平行的，你知道什么原因吗?
E
A
C B
G M D N
F
1
2 7．已知：如图∠1=∠2，当DE 与FH 有什么位置关系时，CD ∥FG ? 并说明理由．
平行线的性质 【典型例题】
1．如图所示：如果AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系式为（ ） A 、α＋β＋γ=360° B 、α－β＋γ=180°
C 、α＋β＋γ=180°
D 、α＋β－γ=180°
2．如图所示：直线AB ∥MN ，分别交直线EF 于点C 、D ，∠BCD 、∠CDN 的角平分线交于点G ，求∠CGD 的度数．
【变式练习】
1．如下图左，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =46°，∠CEF =154°，则∠BCE 等于（ ）
A ．23°
B ．16°
C ．20°
D ．26°
2．如下图中，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 中的直线b 上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（ ） A ．30°
B ．45°
C ．40°
D ．50°
3．把一块直尺与一块三角板如下图右放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）
A ．115°
B ．120°
C ．145°
D ．135°
4．如图，AE∥BD，∠1=120°，∠2=40°，则∠C的度数是（）
A．10°B．20°
C．30°D．40°
5．如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，
则∠α等于（）
A．21°B．48°
C．58°D．30°
6．如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠BED为（）
A．23°B．42°
C．65°D．19°
7．将一副三角板摆放成如图所示，图中∠1=（）度．
A．90 B．120
C．125 D．150
8．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，AB∥DE，∠A=30°，
∠ACE=110°，则∠E的度数为（）
A．30°B．150°C．120°D．100°
9．如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为（）
A．60°B．50°
C．40°D．10°
10．下列说法正确的有（）
（1）两直线被第三直线所截，若同位角相等，则同旁内角相等
（2）两直线被第三直线所截，若内错角的角平分线平行，则这两直线平行
（3）两直线被第三直线所截，若同旁内角不互补，则内错角也不相等
（4）在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，已知AB∥EF，∠BAC=p，∠ACD=x，∠CDE=y，∠DEF=q，则用p、q、y来表示x．得
（）
A．x=p+y－q+180°B．x=p+q－y+180°
C．x=p+q+y D．x=2p+2q－y+90°
12．如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上．
设与∠α相等的角的个数为m，与∠β互补的角的个数为n，若α≠β，
则m+n的值是（）
A．8 B．9 C．10 D．11
13．如图，AB∥CD，BE⊥DE．试说明∠B与∠D之间的关系，并说明理由．
14．如图，点P是∠AOB内的任意一点，
（1）过点P分别作OA、OB的平行线，分别交OA、OB于点C、D；
（2）∠AOB和∠P是否相等? 说明理由．
15．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在DC上，且∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：DE∥BC．
16．如图，点C 在∠AOB 的边OA 上一点，请你使用直尺和圆规，过点C 作直线OB 的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）．
【考点三：三角形的内角和外角定理】
● 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ● 如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行． ● 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条． ● 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° ● 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ● 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
【典型例题】
1、已知：如图所示：在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的平分线，BH 是∠ABC 的平分线．
求证：∠A = 2∠H
证明： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，
∴∠ACD =∠ABC +∠A （___________________________）
∠2是△BCD 的一个外角，∴∠2=∠1+∠H （__________________） ∵CH 是外角∠ACD 的平分线，BH 是∠ABC 的平分线， ∴∠1=
21
∠ABC ，∠2= 2
1∠ACD （_____________________） ∴∠A =∠ACD －∠ABC = 2 （∠2 －∠1） （_______________________） 而 ∠H =∠2 － ∠1 （等式的性质） ∴∠A = 2∠H （_______________________）
【变式练习】
1．如图，在△ABC 中，∠B =67°，∠C =33°，AD 是△ABC 的角平分线， 则∠CAD 的度数为（ ） A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．55°
2．如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）
A．40°B．60°
C．70°D．80°
3．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）
A．110°B．115°
C．120°D．130°
4．两条平行线被第三条直线所截得的角中角平分线互相垂直的是（）
A．内错角B．同旁内角
C．同位角D．内错角和同位角
5．如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，则∠AEC为（）
A．14．5°B．15．5°C．16．5°D．20°
6．如图，两平面镜所成的∠1，一束光线由是P发出，经平面镜OB，OA
两次反射后回到点P，已知PQ∥OA，PR∥OB，则∠1的度数为（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．若一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
8．若△ABC的内角满足：2∠A－∠B=60°，4∠A+∠C=300°，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．无法确定
9．△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C=7∠A，则∠A的度数为（）A．40°B．48°C．36°D．44°
10．如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（）
A．25°B．30°C．20°D．35°
11．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（）
A．75°B．95°
C．105°D．120°
12．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，
则∠A的度数是（）
A．28°B．31°C．39°D．42°
13．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（）A．10°B．20°
C．30°D．40°
14．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交
于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与
∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）
A．19.2°B．8°C．6°D．3°
15．如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（）
A．α+β+γB．α+β－γ
C．β+γ－αD．α－β+γ
16．下列说法：①三角形的高是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
17．△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC
（1）在图中画出△ABC的高AE，垂足为E；并完成下列问题：
1．若∠B=50°，∠C=70°，则∠DAE= ．
2．试探寻∠DAE与∠B、∠C的关系．请说明理由．
（2）若一点F在AD上移动，且FE⊥BC于E，其他条件不变，那么∠EFD与∠B、∠C间有怎样的关系?
18．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．
（1）求∠DAE的度数；
（2）判定AD是∠EAC的平分线吗? 说明理由．
（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．（∠C＞∠B）
19．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：
（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．
（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB－∠B之间的关系应为：．
（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗? 为什么?
20．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BD、CE交于点O，∠A=70°．（1）若∠ACB=40°，求∠BOC的度数；
（2）当∠ACB的大小改变时，∠BOC的大小是否发生变化? 为什么? 请写出证明过程．
21．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数
（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；
22．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，
证明：∠BOC=90°+1
2
∠A．
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?
探究3：如图3 中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有
怎样的关系?
23．（1）如图1，∠1 与∠2 的大小有什么关系?
（2）如图2，BE、CD相交于点A，∠DEA，∠BCA的平分线相交于F．探求∠F、∠B、∠D关系?
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