2011年四川高考数学试题评析

Ⅰ. 2011年四川高考数学试题评析
一、2011年高考数学试题总体评价
2011年四川高考数学试题，从总体上来讲，涉及的知识面广，开卷的起点低，试题的坡度平缓，整体的难度适中，逐题分层把关，具有良好的区分度。

试题遵循2011年普通高等学校招生全国统一考试大纲的规定：贯彻了有利于中学数学教学与有利于高校选拔人才相结合的原则，贯彻了“总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新”的指导思想。

试卷保持了立足现行高中教材的一贯风格，在注重对基础知识、基本技能和基本方法全面考查的同时，更突出了对数学思想、数学核心能力进行综合考查，重视对考生学习潜能的考查。

反映了命题工作者的集体智慧与原创精神，是一套高水平的高考数学试题，有较高的信度和效度。

（一）指导思想明确，贯彻落实到位
1．突出数学思想、方法及数学能力的考查，注重“多思少算”
《考纲》要求：对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法的理解；要从学科整体意义和思想价值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．
今年的数学试卷，数学思想和方法的考查仍然贯穿于试题的始终。

试卷对函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想、化归与整合思想，偶然与必然的思想，以及思维能力，运算能力，空间想象能力，实践能力与创新意识都作了全方位的考查。

具体如下：理科的第4、7、9、10、11、12、14、15，文科的第4、7、10、11、12、14、15等试题考查了数形结合思想；理科的第8、17、21、22，文科的第5、16、18、20、22等试题考查了函数与方程思想；理科的第12、20、21、22（3），文科的12、21、22（3）还着力考查了等价转化的数学思想；理科的20、22，文科的20、22（2）突出了分类讨论思想的考查。

2．突出主干知识考查，兼顾知识的覆盖面
2011年数学试题所考查知识点大致分布如下表：
内容代数三角向量立体几何解析几何概率统计极限导数
文科51 12 12 21 29 20 5
理科49 12 13 21 24 20 11
2010年数学试题所考查知识点大致分布如下表：
内容代数三角向量立体几何解析几何概率统计极限导数
文科 40分 17分 5分 21分 31分 22分 14分
理科 40分 17分 5分 21分 26分 17分 24分
2009年数学试题所考查的知识点大致分布如下表：
内容代数三角向量立体几何解析几何概率统计极限导数
文科 48分 17分 4分 26分 21分 22分 12分
理科 48分 17分 4分 26分 26分 17分 12分
2008年数学试题所考查的知识点大致分布如下：
内容代数三角向量立体几何解析几何概率统计极限导数
文科 44分 22分 5分 27分 28分 12分 12分
理科 40分 27分 0分 26分 26分 12分 19分
2007年数学试题所考查的知识点大致分布如下：
内容代数三角向量立体几何解析几何概率统计极限导数
文科 41分 21分 8分 26分 30分 17分 8分
理科 40分 21分 8分 26分 30分 17分 7分
《考试大纲》对理科数学列出138个考点，文科数学列出122个考点，2011年的文理科试题
均考查了其中的近70﹪，具有较大的覆盖面，但是，数学高考试卷是以能力为主线的，当然，以能力立意的数学试卷,必然以数学知识为载体，在考查能力的同时也考查知识，但是这里知识不是考查的主体，它从属于能力，能力立意的试卷不刻意追求知识的覆盖率。

试卷做到重点知识重点考查，如《考试大纲》所指出的函数、数列、三角与向量、圆锥曲线、立体几何、概率与统计等是中学数学的知识主干，重点章节，其中的核心模块概率与统计、三角函数、立体几何、圆锥曲线、数列、函数与导数在今年文理科试卷中解答题部分均得到较高的体现，由于向量，线性规划，概率与统计、函数极限与连续，导数等内容是联系中学数学与高等数学的纽带，突出这部分的考查有助于考生进入高校继续学习，因此今年的文理科试题仍然保持对这部分内容的重点考查。

其中理科考查了49分，占总分的32.7﹪，文科考查了42分，占总分的28﹪。

（二）2011年四川高考数学试题的特点
1．回归教材，重视基础，正确导向
试题依旧沿袭了四川卷的惯有特色，整套试卷中有不少题目总是在教材上挖掘、开采，总能在教材上找到不少试题的原型。

如文科试卷的第1、2、3、5、8、9、10、13、14、17、18、19、21（1）、22（1）共86分左右的试题是由教材中的例、习题改编，分值占57﹪；理科试卷中的1、2、5、6、8、9、13、14、17、18、19（1）（2）、20、21（1）、22（1）约90分的题由教材中的例、习题改编，分值占到近60﹪，这些题目重视基础，紧扣教材，回归课本，不偏不怪，着力考查考生对“三基”的掌握情况，是现行高中教材中最基本且重要的数学基础知识和通性通法，既体现了高考的公平公正，又为中学数学教学提供良好的导向。

理科卷第20（1）再次考查了教材习题中的一个公式的应用，这对引导教师教学过程中扎根教材、挖掘教材有积极的推动作用。

2．在知识交汇点处设计试题，使试题达到必要的深度，体现出良好的区分度
今年的数学试卷在题型结构、题量、各题型分值、主干知识比例、试题难度系数等方面与往年一样保持了相对的稳定，是对四川自主命题数学卷命题风格的延续和传承，并在传承中创新，在创新中进步。

创新是高考数学命题的源头活水，高考数学试题的创新思路通常表现在：在知识交汇点处设计试题、（定义）新颖信息问题、研究型（探索型、开放型）试题。

（1）知识交汇点试题
四川卷数学试题实行自主命题以来，往往都是立足于知识板块命题，使得对基础知识的考查扎实有效；但在10（理）、11、12、20（理）、21、22等分层把关试题处，又精心设计了知识交汇试题，以体现必须的区分度。

这些试题源于教材而又深度改编，既保持稳定又坚持创新，体现高考的公平性，有利于中学教学与高校选拔。

如理11题，将无穷递缩等比数列各项和的考查融入于函数的递推关系中，体现函数、数列、极限等知识的相互交汇融合，要求学生有一定的理性思维素养；又如：理12题，以集合、向量（坐标运算）为知识载体，以数形结合、代数运算与代数推理为考查核心，来体现概率中古典概型的考查，试题立意新颖独特；理20题，将组合数的运算、组合公式的猜证与数列的通项紧密相联，既考查数学知识，又考查考生的意志品质。

再如理22，文22题，文理考查的核心一样，都以构造新函数（数列）为突破口，但文科试题的试题形式更容易让学生联系这类问题的解题规律，理科却以数字100替代字母n，一改文科赋值（特殊性）考查、理科考查一般规律的考查模式，让人耳目一新，很具有思辨性、研究性和（方法的）开放性，充分考查学生综合解决问题的能力，需要学生具有较高的思维能力；文理22题将函数、导数、方程、数列、不等式有机结合，设问上层层递进，考查入手容易，深入解答有不小困难，具有很强的选拔功能。

（2）新颖信息问题
随着高中新课程标准、新教材的使用，对考生创新意识和创新能力的要求将逐步提高．“出
活题，考能力”要求考生灵活运用所学的数学知识、思想方法，对新概念、新信息、新情境、新问题进行思考、探索、研究，创造性地解决问题，因此，创新问题值得我们高度重视。

如文、理16题，定义新概念“单函数”，考查考生对新知识、新概念的阅读、理解、接受和运用的能力，以反映学生学习潜能的高低，区分不同水平层次的学生。

（3）考题呈现有新招理第20题（1）小问考查教材习题中公式的运用，命题者用意明显，试图在局部问题上调高问题切入点，考生既可以证明或利用公式实施求和，找到问题的突破点，又可以通过观察、猜想获得通项公式，从而跳步解答、得分；文第20题（1）小问，也是这样，多数文科学生直接利用求和公式得到方程后便无力前行，（虽（1）不能求解，但应不影响（2）的解答）对学生的意志品质有一定的考查和要求，符合现行的新课改理念和精神。

3．体现文、理科的差异，尤其在运算和推理方面对文科学生适当降低了要求
今年的试卷仍然考虑到中学文理科学生的实际情况，从以下四个方面注重了文理科试卷的差异与联系
（1）文科试卷有60分左右的试题与理科完全不同，这些试题与理科相应试题要求要低。

（2）相同的较难试题，在文科试卷中位置放后。

（3）在姊妹题4、12、15、16、17、19、21、22题中，题干基本内容相同，但设问不同。

（4）试题考虑到文科考生也有少数数学学科的优生，在第12、21、22题的压轴性上文理基本保持一致，这是符合考试说明的，考试说明中有为了有利于高校选拔人才，在压轴题上文理不能有太大差异，尤其不能把文科的压轴题降低为中档题来考查。

4．适当降低（或分散）了压轴题的难度，更加务实、更趋理性
22题第（2）小题，最终化为一元二次方程根的问题，但变形过程中的等价性、分类讨论的完备性，都要求考生思维必须十分慎密、视野开阔，试题入手容易，完整解答却很困难，很具区分度。

解析几何问题时隔四年后，又回到了后两题（21题）的位置，表现出推理与运算把关
的态势，繁而不难，多思可少算。

（许教授：双压轴试题）
可见，今年的试题既保持了四川高考数学卷以往的命题特色，又积极改革，顺应时世，试题不落俗套，特色鲜明，是一份具有良好选拔功能的优秀试题。

二、考生答卷中所反映的主要问题
1、双基掌握不扎实
（1）概念不清。

搞清概念是学好数学的基础。

但从答卷来看，一些考生尤其是差生对基本数学概念掌握混乱。

如：椭圆方程表达为双曲线方程等。

（2）公式记错。

一些考生对公式掌握混乱，记忆不清，如：用向量法求点面距离时不知道用哪个向量的模作分母，数列通项公式与求和公式混乱。

（3）对知识理解不准确，如公式的使用不讲前提，不看条件。

2、数学素养差
（1）计算能力差：计算能力偏弱，成为现在中学生的一个普遍现象，解题方法知道往往运算出错，如：立几19题的解答中，向量的坐标求错；文20关于公比的求解十分困难。

（2）推理证明能力差：数学推理证明需要思维严谨，步步有据，但很多考生在这方面表现很差，表现在19题（1）用几何法证明，考生胡乱推理，线面关系不清，逻辑混乱等。

（3）思想方法能力不到位：如理20题数列对是否分类讨论；22题不能进行等价转化等。

3、阅读能力差，审题能力不强
读题看题审题不仔细，阅读理解题意不到位，如：文理科17概率问题等。

4、书写表达不规范，答错位置的很多
如试卷上到处画箭头，两个试题的结果答在同一题位置处等等。

5、意志品质，策略方法训练不到位，如理20题猜想后跳步得分
总之考生所犯各种错误均是因为其数学基本功不够，运算能力差，书写不规范，基本技能
基本方法掌握不好，思维能力薄弱，解题能力不到位所导致的。

三、教学建议
根据今年的高考试题特点以及考生在试卷中存在的主要问题，我们建议教学中要注意：（一）贯彻“三抓一落实”
三抓：即是抓三基和主干知识；抓运算和推理能力；抓教材回归和拓展。

一落实：落实“过手”训练。

1、抓三基和主干知识
最基础的知识是有最有用的知识，最基本的方法往往是最有用的方法．三基和知识主干都源于教材，回归课本，夯实基础，熟练掌握解题的通性通法，是数学教学最根本的出发点和归宿。

高中数学的重点内容：函数、不等式、数列、几何体中的线面关系、直线与圆锥曲线、向量、概率统计、导数等主干知识，是构成高考试卷的主体，是历年考查的重点．其中，函数是高中数学的核心内容，又是学习高等数学的基础，贯穿于高中数学的始终，运用函数的观点，可以从较高的角度去处理方程、不等式、数列、曲线与方程等问题，这都需要学生掌握基本的数学知识、形成基本的数学技能、能运用基本的数学方法。

2、抓运算和推理能力
数学高考历来重视运算能力，80％以上的分数都要通过运算得到．部分运算能力差的考生至今仍然没有对此有足够重视，而是将运算能力差完全归结于粗心，认为平时运算是浪费时间，寄希望于高考会有奇迹出现．这是十分有害的．我们必须清楚地认识到运算是一种能力和技能，必须从每一道题做起，坚持长期训练．要能够根据题设条件，合理运用概念、公式、法则、定理，提高运算的准确性．要注意算理，寻求与设计合理、简捷的运算途径，适当注意近似计算、估算、心算，提高运算速度．
3、抓教材回归和拓展
课本是考试内容的载体，是高考命题的依据，也是学生智能的生长点，是最有参考价值的资料．有相当多的高考试题是对课本中基本题目稍作变形得来的，其用意就是引导学生重视基础，切实抓好“三基”(基础知识、基本技能、基本方法)．尤其是函数、导数、不等式、数列、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线这些重点内容，要充分保证教学时间，狠下功夫、下足力气、深挖教材、适度拓展，讲练结合、反思到位、扎实高效．
（二）提高三个能力
提高能力，主要指：提高数值、符号运算能力；提高代数、几何推理能力；提高解决创新问题的能力。

1、提高数值、符号运算能力
数学符号是对数学问题的抽象和概括，提高数值、符号运算能力，才能加深对数学问题本质的理解；对较复杂的数值运算和抽象字母运算的训练，要经常接触，不能轻视，只有这样在平时的训练中积累经验、提升心理素质，在考场上才能操作有序，运算自如。

如今年理20、文理21都大量涉及字母运算，对考生的运算能力提出了高要求。

2、提高代数、几何推理能力
高考数学命题中，代数推理显得更为突出、更具考查性，要提高代数、几何的推理能力，这就要求我们在教学过程中，要着重研究问题解决的思维过程，培养、提高学生综合、分析问题的能力；在分析解决问题的过程中，构建知识的横向联系，养成多角度思考问题的习惯；当练习的题目达到一定量后，决定思维素质的因素就在于题目的质量和处理水平了，重视审题与解题后的总结、反思，不断积累正、反两个方面的经验，这是提高推理能力的有效途径。

3、提高解决创新问题的能力
在认真研究教材、《考试说明》的基础上，适当编拟命制一些新情境、新信息问题，如定义
新概念、规定新运算、创造新知识、透视新热点、依托高观点、构造新函数，有利于培养学生阅读理解和分析问题、解决问题的能力，有利于创新意识的培养。

（三）实现三个转变
三个转变就是：变教师唱独角戏为全员参与；变孤立知识点为构建全面和谐的知识网络；变解题方法单一化为形成丰富的解题经验。

1、变教师唱独角戏为全员参与
真正实现学生为主体，教师为主导，发展为主旨
2、变孤立知识点为构建全面和谐的知识网络
立足三基，构建和谐的知识网络，是一切数学能力培养的先决条件
3、变解题方法单一化为形成丰富的解题经验
点（个例）——类（反映类型问题）——法（总结思想方法）——经验（形成）
（四）抓规范答题
从今年开始，高考阅卷开始实行网上阅卷，对学生的答题习惯，规范表达等方面提出了更高的要求。

Ⅱ. 2012届高考备考复习建议
一、重视对《考试大纲》的研究，并结合对近年高考题的认真分析，深化对高考题的认识，明确考试要求
（一）认真研究《考试大纲》
2011年《考试大纲》强调了对数学基础的考查。

仔细研读《考试大纲》可以发现：不仅在“考试性质”、“考试要求”（即对数学高考提出的总体的命题要求）中强调了对数学基础知识的考查，并且在对具体的“考试内容”的考查要求中突出了对数学基础知识的考查。

《考试大纲》对数学知识的要求分为三个层次：了解、理解和掌握、灵活和综合运用。

在《考试大纲》对具体内容的要求中，对第三层次的要求占的比重相当小，仅出现以下几处：“掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用”、“能根据条件熟练地求出直线方程”、“熟记导数的基本公式”（但实际高考命题中，属第三层次的要求还不止这些），其它的则是“了解”和“理解和掌握”。

由此可见《考试大纲》强调了对数学基础知识的考查。

《考试大纲》不仅强调对数学基础知识的考查，还“要求既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。

”通过仔细研读《考试大纲》对“考试内容”的具体要求，不难发现，其重点内容集中在函数、导数、三角函数、向量、概率与统计、数列、不等式、直线与平面、直线与圆锥曲线等是支撑数学学科知识体系的重点内容呢。

1. 数学高考的命题原则
数学高考的命题始终贯彻“在考查基础知识的同时，注重对能力考查”的原则。

在考查学生基础知识、基本技能、基本数学思想和方法的同时，注重对思维能力、运算能力、空间想象能力、应用数学的实践能力和创新意识的考查，兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题的层次性，合理调控综合程度，试卷不刻意追求知识的覆盖面。

2. 数学高考的试卷难度分析
考纲对试题易、中、难的比例有了更明确规定，以容易题、中档题为试题主体。

试卷易、中、难三种试题比例为3：5：2，其中选择题3：2：1，填空题2：1：1，解答题中档题和难题的比例为1：1。

《考试大纲》适当加大了文理卷的差异度。

从中可以看出考纲力求文理科学生高考成绩平衡，文科试题将“适当拉大试题难度的分布区间，试题难度的起点应降低，而试题难度的终点应与理科相同”。

近几年来，选择题、填空题和解答题前半部分的试题难度比较低，具
体表现为重视教材内容的考查，减少运算量、加大思维量，降低试题的入口难度，突出对归纳和探究能力的考查。

3. 《考试大纲》的数学基础知识、思想方法考查要求分析
（1）函数和导数
函数是高中数学内容的知识主干，是高考考查的重点，函数问题多与导数相结合，主要体现在解答题的考查。

选择题和填空题主要涉及函数的性质、图象、函数的极限、连续性及导数的几何意义。

突出考查函数与方程的思想、有限与无限的思想，数形结合的思想。

（2）数列
数列是高中数学的重要内容之一。

由于数列是高等数学的重要基础，历年来，高考把数列作为重要内容加以考查，文科试卷侧重于基础知识和基本方法，命题以等差、等比数列为主，以具体思维、演绎思维为主；理科试卷则侧重于理性思维，命题设计以一般数列，如Sn与an 关系，递推数列，考查以抽象思维和逻辑思维为主。

（3）不等式
不等式的考查往往以选择题、填空题形式出现，不仅考查解不等式的同解变形，更突出体现数形结合的思想和特殊与一般的思想，即特殊值法。

解不等式或证明不等式以解答题出现，往往与函数、导数、数列相综合，对能力考查的要求比较高。

（4）三角函数
高考中三角函数作为函数的一种具体形式，重点考查图象和性质，尤其是正弦型、余弦型、正切型的图象和性质。

同时，与解三角形相结合，主要涉及方程的思想和换元法。

（5）立体几何
立体几何是考查空间想象能力、逻辑推理能力的重要内容。

注意传统几何法，现代的向量法相互补充。

（6）解析几何
解析几何重点考查利用代数的方法研究几何问题，突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想。

（7）概率
概率、统计是高中数学的重要内容，是考查实践能力的重要素材，以应用题形式呈现，体现或然与必然的数学思想方法考查。

4. 研究考纲、突出重点、构建知识网络
《考试大纲》是高考命题的依据，因而也是备考的准绳，特别是在冲刺阶段，时间更加宝贵，考纲的指导意义更加明显。

弄清个知识点的要求层次，对于要重点复习、重点突破，同时注意各部分知识各自的纵向联系，和它们之间各部分知识之间的横向联系，理清知识脉络，抓住主干知识，构建知识网络。

避免走弯路，把有限的时间用来突出重点，优化备考。

通过对本书的研读，可以看出：《考试大纲》对函数、数列、不等式、平面向量、圆锥曲线、概率、立体几何、导数都提出了较高要求，因而这些内容是高考命题的重点和热点，高考将以这些内容为背景来命制解答题。

对这些重点内容必须重点突破，其策略是：总结规律，明确步骤；强化训练，熟练掌握。

通过研究，可以发现高考命题的一个秘诀：简单题+简单题=难题。

由《考试大纲》所提供的命题原则——“在知识网络交汇点设计试题”，以及本书中对样题的剖析可知，现在的高考考查能力的题目，往往是几个重点和热点考点内容的有机组合，其实它们都是来自简单题，在备考过程中，再不需要“深挖洞”——在各个考点上向深度、难度进军，而只需“广积粮”——系统掌握知识，再综合运用它们；在解题时，心中也会底气十足，再也不会一遇难题就胆怯。

现在的高考注重“在知识的交汇处命题”，因此我们必须从整体上把握这些知识，只有构建一个完整的知识网络体系、才能综合运用这些知识。

如何构建知识网络体系呢？不妨从如下
几个方面入手：
①对照《考试大纲》，理清考点。

《考试大纲》中有哪些考点？每个考点的要求属于哪个层次？如何运用这些考点解题？考查这些考点的常用题型有哪些？
②对照《考试大纲》，理清联系；为了理清联系，可以画出知识网络图表，在画图表时，应注意各考点之间有哪些联系？哪些属于知识的交汇处。

③对照《考试大纲》，理清方法：熟练掌握常用的重要的数学思想方法，有意识地对基本思想和方法进行归纳和总结，掌握科学的方法。

只有这样，才能在高考中灵活并综合运用所学的知识。

（二）近几年数学高考试题的设计创新
数学科的考试在命题实践中，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，在试题命制和试卷结构中进行了新的创新设计。

注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，增加应用性和能力型的试题，融知识、方法、思想、能力于一体，全面检测考生的数学素养。

注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，发挥数学科考试的区分选拔功能和对中学数学教学的积极的导向作用。

1．重新认识数学知识的考查价值
数学知识是命题处理的对象，更是进行其他考查的基础和载体，随着数学教育改革的发展，数学科高考对基础知识进行了重新的认识和定位。

在新课程试卷的命制中强调基础的更新，减少对单纯知识、公式的记忆要求，降低对运算复杂性、技巧性的要求。

如三角函数公式记忆，指数、对数、幂计算的要求，复数的概念和计算等。

知识的作用的重新定位，就是将评价的内容更多地指向有价值的数学任务和数学活动，将纯粹的数学运算被置于问题解决的过程之中。

运用这些知识载体，不但考查学生的数学知识，而且获得理性思维的培育和美感的熏陶。