第三章-多维随机向量的分布及数字特征

xi x y j y
一般求概率函数 P ( X , Y ) ( xi , y j ) 采用以下公式： P ( X , Y ) ( xi , y j ) PX xi P Y y j X xi 例3.3 整数 X 等可能的取值1,2,3,4，整数Y 等可能的取值 1~ X，求随机向量( X , Y )的概率分布列。 解: 由题目条件随机向量( X , Y )所有可能取值点为 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) 显然，当 y j xi时，P ( X , Y ) ( xi , y j ) 0 。 当 y j xi时，分别有 P ( X , Y ) (1,1) P X 1 P Y 1 X 1 1 1 1 4 4 P ( X , Y ) (2,1) P X 2 P Y 1 X 2
P x1 X x2 , y1 Y y2
X
pij
0 1
Y
0
1/4 1/4
1
1/4 1/4
0 x 0或y 0 1 / 4 0 x 1且0 y 1 F ( x, y ) PX x, Y y 1 / 2 0 x 1且y 1 1 / 2 x 1且0 y 1 1 x 1且y 1
表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二 维随机向量，概率分布律的描述有了实质的变化，而二维推 广到多维只有形式上的变化并无实质性的困难，我们主要讨 论二维随机向量。 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设( X , Y )为二维随机向量，( x, y )为平面内任意一点，则
F ( x, y) P( X x, Y y) ( x, y) R 2 称为二维随机向量 ( X , Y ) 的分布函数，也称为 X与 Y的联合分 x 布函数。
X
pij
Y
y1 p11 p21
pi1
y2
p12 p22
pi 2
x1 x2
xi

yj
p1 j p2 j
pij



i 1,2,3, j 1,2,3, 为随机向量( X , Y )的概率函数或随机变量 X 与 Y 的联合概率函 数。 3. 随机向量概率函数的性质 (1) P ( X , Y ) ( xi , y j ) pij 0 （非负性）
二、二维连续型随机向量与其概率分布的表达 1. 二维连续型随机向量 Def 设( X , Y )为二维随机向量， F ( x, y ) 为其分布函数， 如果存在非负函数 f ( x, y )，使得
F ( x, y )
则称( X , Y )为连续型随机向量，f ( x, y )成为随机向量的概率 密度函数或随机变量 X 与 Y 的联合概率密度函数。
D
这就是说在已知概率密度情况下 事件( X , Y ) D的概率=曲顶柱体的体积 xຫໍສະໝຸດ D图2.5y
例3.4设二维随机向量 ( X , Y ) 的概率密度为
ke ( 2 x 3 y ) x 0 y 0 f ( x, y ) 其他 0
(1) 求常数 k ； (2) 求 ( X , Y ) 的分布函数； (3) 求 P0 X 4,0 Y 1； (4) 求
(2)归一性，即有
f ( x, y)dxdy 1； 2 F ( x, y) f ( x, y) ； (3)分布函数与概率密度函数的关系 xy f ( x, y) (4)随机点 ( X , Y ) 在任意区域 D




内的概率计算式
P( X , Y ) D f ( x, y)dxdy
4. 二维随机向量的边际分布与边际分布函数 Def 设( X , Y )为二维随机向量，则称随机变量X 与Y 的概 率分布分别为随机向量( X , Y )关于分量 X 和 Y 的边际概率分 布；随机变量 X 与Y 的分布函数分别称为随机向量( X , Y ) 关 于分量X 和 Y 的边际分布函数。
从而由分布函数的定义有
而称
P ( X , Y ) ( xi , y j ) pij


(2)
pij 1（归一性）
i 1 j 1

4. 随即向量概率函数与分布函数的关系 如已知随机向量( X , Y ) 概率函数P ( X , Y ) ( xi , y j ) pij ， 则有 F ( x, y) P X x, Y y pij

f (u, v)dudv
x
y
F ( x, y )的定义域为 R 2； 注意： F ( x, y ) 的概率意义为随机点进入区域 D 的概率。 D ( x, y) X x, Y y 2. 二维连续型随机向量的概率密度 (1)非负性，即有 f ( x, y) 0 ；
随机向量 ( X , Y ) 的分布函数与边际分布函数的关系
FX ( x) lim F ( x, y )
y
FY ( y) lim F ( x, y) x 证明:（只证明第一式，第二式同理可证） 由随机变量分布函数的定义
FX ( x) P X x
P[ X xY ] P X x, Y lim F ( x, y )
( X ,Y ) 分布函数的概率意义如 ( x, y ) 图2.3所示，即就是随机点游 X x, Y y 荡到阴影区域的概率。 y 3. 二维随机向量的分布函 数的性质 图2.3 (1) 0 F ( x, y ) 1即非负有界性； F ( x, y) lim F ( x, y) 0 , lim F ( x, y) 0, lim F ( x, y) 1； (2) xlim y x x
(3) P 1 X 2 FX (2) FX (1) e2 e4
二维离散型随机向量与二维连续型随机向量
一、二维离散型随机向量与其概率分布的表达 1. 二维离散型随机向量 Def 设 ( X , Y ) 为二维随机向量，如果( X , Y )的所有可能取值 点是平面上的有限个或无穷可列个点，则称( X , Y )为二维离 散型随机向量。 2. 二维离散型随机向量概率函数 Def 设( X , Y )为二维离散型随机向量，其所有可能取值点 及其对应概率如下表所示，称其为( X , Y )的概率分布表。
边际概率密度的求法设二维随机向量从而关于的边际分布函数为dudy21例36设二维随机向量关于的边际概率密度为同理可得关于的边际概率密度为图211例37设二维随机向量上的均匀分布其中区域关于的边际概率密度为的边际概率密度为关于24例38设xy的概率密度是关于的边际概率密度为图212所以关于y的边缘概率密度为25随机变量的条件分布一条件分布的概念1def为二维随机向量在其中一个取定某个值或某些值得条件下求另外一个随机变量的概率分布这种概率分布成为条件概率分布
试求(1)随机向量 ( X , Y ) 关于分量X 的边际分布函数； (2) P0 X 1,0 Y 1 ； (3) P 1 X 2。 解: (1)由边际分布函数的定义
1 e 2 x x 0 FX ( x) lim F ( x, y ) y x0 0 (2) P0 X 1,0 Y 1 F (1,1) F (0,1) F (1,0) F (0,0) (1 e 2 )(1 e 1 )
概率论
第三章 随机向量的分布及其数字特征 随机向量与随机向量的分布函数 随机向量的概率函数与随机向量的概率密度函数 边际分布与条件分布 随机向量的独立性 随机向量函数的分布 随机向量的数字特征 常用的多维随机向量的分布
随机向量与随机向量的分布函数
对于有些随机试验，要定量化表达其结果用一个随机变 量来描述还不够，往往需要两个或两个以上变量作为整体来 描述。 例如：在打靶时，命中 点的位置是由一对随机变量 (两个坐标)来确定的。 飞机的重心在空中的位 置是由三个随机变量来确定 的等等。 这就需要研究随机向量的概率规律。 一、随机向量的概念 1. 随机向量的定义 Def 设 X 1 , X 2 ,, X k 为 k 个随机变量，如果 ( X 1 , X 2 ,, X k ) 能表达随机试验 E 的结果，则称 ( X 1 , X 2 ,, X k )为 k 维随机向 量；有时也称为 k 维随机变量，X i称为第 i 个分量。







1 1 1 4 2 8 同理可计算的其它值，从而得随机向量( X , Y ) 的分布表。
随机向量( X , Y )的分布表 pij Y 1 2 3 X 1 1/4 0 0 2 3 4 1/8 1/12 1/16 1/8 1/12 1/16 0 1/12 1/16
4 0 0 0 1/16
0 0 0 0 4 1 4 1
(1 e 8 )(1 e 3 ) 0.95
(4)
P X Y
( x , y ) x y

f ( x, y )dxdy
y
x y
D
6e (2 x3 y ) dxdy
(2) 由 ( X , Y ) 的分布函数与概率密度函数的关系
k 1 解得k 6 6

0
其他
F ( x, y )
x y


x
y
f ( x, y )dxdy

(2 x 3 y ) 6 e dxdy x 0, y 0 0 0
y
( x, y )
0
x 0或 y 0
P{ X Y }。

解: (1)由概率密度的性质





f ( x, y)dxdy 1


f ( x, y )dxdy
0


0
ke (2 x 3 y ) dxdy
dx e
0 3 y
ke
0

2 x
k dy 6
从而 有 6e ( 2 x 3 y ) x 0 y 0 于是，概率密度函数为 f ( x, y )
0 x 0或y 0 2 x 3 y (1 e )(1 e ) x 0, y 0
f ( x, y) 0
( X ,Y )
图2.6
x
(3)
P 0 X 4, 0 Y 1
6e (2 x3 y ) dxdy 6 e 2 x dx e 3 y dy
y
所以有 FX ( x) lim F ( x, y)
y
随机向量 ( X , Y )的分布函数与边际分布函数的关系式表 明，边际分布函数由随机向量( X , Y )的分布函数唯一确定， 但反之未必成立。
例3.2设随机向量 ( X , Y的分布函数为 )
(1 e2 x )(1 e y ) x 0, y 0 F ( x, y) 0 其他
y y
(3) F ( x, y )关于 x 或 y 为非减函数； (4) F ( x, y )关于 x或 y 至少是右连续的； (5) 对于任意的数 x1 x2 , y1 y2 有
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) y ( X ,Y ) 性质(5)的概率意义如图2.4， ( x1 , y2 ) ( x2 , y2 ) 即就是随机点游荡到红色区域 的概率。 ( x1 , y1 ) ( x2 , y1 ) 例3.1 设某人同时抛掷一枚5分 x 和一枚1分均匀硬币，用X 0,1分 别表示5分硬币出现国徽面与有字 面；用Y 0,1 分别表示1分硬币出 图2.4 现国徽面与有字面。试将该试验结果用变量形式表示，并 求其分布函数。 解: 由题设条件知试验结果需用随机向量( X , Y )表示，且 其概率分布如下表所示：