湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 文

长郡中学2017—2018学年度高二第二学期期末考试
数学（文科）
一、选择题:本大题共15个小题,每小题3分，共45分。

1。

设集合{|23,}A x x x Z =-<<∈，{2,1,0,1,2,3}B =--，则集合A B 为（ ）
A ．{2,1,0,1,2}--
B ．{1,0,1,2}-
C ．{1,0,1,2,3}-
D ．{2,1,0,1,2,3}-- 2.若复数
323ai
i
+-是纯虚数，则实数a 等于( ） A ．2 B ．—2 C ．-1 D ．1
3.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）
A ．y =．tan y x = C ．1
y x x
=+
D ． x x y e e -=- 4。

已知：命题p ：若函数2()f x x x a =+-是偶函数，则0a =;命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解。

在①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝中真命题的是（ ）
A ．②③
B ．②④ C.③④ D ．①④
5。

若1cos(+)=43πα,(0,)2π
α∈，则sin α的值为（ ）
A 718
D ． 6。

已知数列{}n a 是等差数列,满足1252a a S +=，下列结论中错误的是（ ) A ．90S = B ．5S 最小 C.36S S = D ．50a =
7.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是(单位：m ）（ ）
A ．102
B ．106
C 。

103
D ．10 8。

函数sin ()ln(2)
x
f x x =
+的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C 。

D ．
9.设数列{}n a 是首项为1，公比为q (1q ≠-）的等比数列，若11n n a a +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则
23342015
2016111111a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭（ ） A ．4026 B ．4028 C 。

4030 D ．4032
10.将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位,再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸
长到原来的2倍，得到函数()sin g x x =的图象，若函数()f x 在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，则ϕ
的值不可能为（ ） A ．
3
π
B ．25π
C 。

58π
D ．54π
11。

已知函数2()(21)x f x ae x a x =--+，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有最值，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞-
B ．(1,0)- C. (2,1)-- D ．(,0)(0,1)-∞
12。

如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形,60BAD ∠=︒，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则AE EF ⋅=( ）
A ．12
B ．32-
C 。

32
D ．1
2
-
13.已知函数2()6sin cos 8cos 3f x x x x ωωω=-+(0ω>)，()1y f x =+的部分图象如图所示，且
0()4f x =，则0(1)f x +=（ )
A ．6
B ．4
C ．-4
D ．—6
14。

已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式
222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为（ ）
A ．3[1,)2
B ．3(1,)2
C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．1(,1]12
15。

已知函数,0
(),0
x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围为
（ ） A ． (1,)+∞
B ．(,)e +∞
C ．(,)e -∞-
D ．(,1)-∞-
二、填空题：本大题共5小题,每题3分，共15分.
= ．
17.若复数z x yi =+(x ，y ∈R )满足(1)3z i i +=-，则x y +的值为 ． 18.设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数,当[2,1)x ∈-时，242,20,
(),01,
x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩则
21
((
))4
f f = ． 19。

下列命题中:
（1)23
k π
απ=+
（k Z ∈）是tan α=
（2）函数()2cos 1f x x =-的最小正周期是π;
（3）ABC ∆中,若cos cos sin sin A B A B >,则ABC ∆为钝角三角线； （4）若0a b +=，则函数sin cos y a x b x =-的图象的一条对称轴方程为4
x π
=；
其中是真命题的为（填命题序号） ．
20.若a 、b 是函数2()f x x px q =-+(0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、—2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列,则p q +的值等于 ． 三、解答题 ：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
21。

已知点(1,2)A -和向量(2,3)a =
(1）若向量AB 与向量a 同向，且AB =B 的坐标;
（2）若向量a 与向量(3,)b k =-的夹角是钝角，求实数k 的取值范围.
22. 在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足(1)1
(1)
n n n n a b n n ++=
+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S 。

23。

在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c
，且
222cos cos sin sin B C A A B -=-。

（1）求角C ； (2)若6
A π
∠=
，ABC ∆
的面积为为AB 的中点,求CM 的长.
24.已知函数2
1()(1)ln 2
f x x ax a x =
-+-,1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性;
（2)证明：若5a <,则对任意1x ,()20,x ∈+∞,12x x ≠，有1212
()()
1f x f x x x ->--。

25.已知函数()(1)x f x bx e a =-+（a ，b ∈R )。

（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 的值；
（2)若1a <,2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个,求a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5：BADDA 6-10:BBABC 11-15：ADDAC 二、填空题
16。

14 17.-5 18。

1
4
19.（1）（3）(4) 20.9
三、解答题
21.（1）设(,)B x y ，则(1,2)AB x y =-+,
若向量AB 与向量a 同向，则有3(1)2(2)x y -=+， 若向量213AB =22(1)(2)52x y -++=, 解可得54x y =⎧⎨=⎩
，或38x y =-⎧⎨=-⎩，
当3
8
x y =-⎧⎨=-⎩时,(4,6)AB =--,与向量a 反向，不合题意,舍去； 当54x y =⎧⎨=⎩
时，(4,6)AB =,与向量a 同向，
则B 的坐标为(5,4)；
（2）若向量a 与向量(3,)b k =-的夹角是钝角， 则有630a b k ⋅=-+<且290k +≠，
解可得2k <且92
k ≠-,
故k 的取值范围是99
(,)(,2)22
-∞--.
22.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，且2a 是1a 与31a -的等差中项,即有13212a a a +-=，即为
2112q q +-=，解得2q =,
即有1112n n n a a q --==； （2)11(1)1112(1)(1)1n n n n n n a b a n n n n n n -++⎛⎫=
=+=+- ⎪+++⎝⎭
，数列{}n b 的前n 项和
2
1
111
111211(1222)(1)12223
11211
n n n n S n n n n --=+++
++-+-+
+=+-=-+-++。

23.（1）由222cos cos sin sin B C A A B -=-，
得222sin sin sin sin C B A A B -=。

由正弦定理，得222c b a -=，
即222c a b =+.
又由余弦定理，得222cos 222
a b c C ab ab +-===。

因为0C π<∠<,所以6
C π
∠=。

(2）因为6
A C π
∠=∠=
，
所以ABC ∆为等腰三角形,且顶角23
B π
∠=
.
故22
1sin 2ABC S a B ∆==
=4a =. 在MBC ∆中，由余弦定理，得
2221
2cos 416224282
CM MB BC MB BC B =+-⋅=++⨯⨯⨯
=.
解得CM =。

24。

（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.
211(1)(1)
'()a x ax a x x a f x x a x x x
--+--+-=-+==。

（i)若11a -=即2a =，则2
(1)'()x f x x
-=,故()f x 在(0,)+∞上单调递增.
（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <； 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >,
故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)a -，(1,)+∞单调递增.
（iii)若11a ->即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)，(1,)a -+∞单调递增.
(2）考虑函数2
1()()(1)ln 2
g x f x x x ax a x x =+=-+-+，
则21'()(1)(1)11)a g x x a a x -=--+
≥-=- 由于15a <<，故'()0g x >，即()g x 在(4,)+∞单调增加,从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->,故
1212
()()
1f x f x x x ->--，
当120x x <<时，有
12211221
()()()()
1f x f x f x f x x x x x --=>---。

25。

（1)函数()f x 的定义域为R ，
'()(1)(1)x x x f x be bx e bx b e =+-=+-。

因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =, 所以(0)0,'(0)1,f f =⎧⎨=⎩得10,10,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,
2.
a b =⎧⎨=⎩
（2）当2b =时，()(21)x f x x e a =-+（1a <）, 关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，
等价于关于x 的不等式(21)0x x e a ax -+-<的整数解有且只有一个.构造函数
()(21)x F x x e a ax =-+-，x R ∈，
所以'()(21)x F x e x a =+-。

①当0x ≥时，因为1x e ≥，211x +≥,所以(21)1x e x +≥,又1a <，所以'()0F x >,所以()F x 在
(0,)+∞上单调递增.
因为(0)10F a =-+<，(1)0F e =>，所以在[0,)+∞上存在唯一的整数00x =使得0()0F x <，即
00()f x ax <.
②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(,0)-∞内不存在整数使()0F x <,即()F x 在(,1]-∞-上不存在整数使()0F x <.
因为1x ≤-，所以(21)0x e x +<。

当01a ≤<时，函数'()0F x <,所以()F x 在(,1)-∞-内为单调递减函数，所以(1)0F -≥，即
3
12a e
≤<； 当0a <时，3
(1)20F a e
-=-+<,不符合题意。

综上所述，a 的取值范围为3
[,1)2e
.
另:也可以用数形结合的方法,酌情给分。

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