用数学史的方式打开高中数学新课程教学——以三角函数的教学为例

用数学史的方式打开高中数学新课程教学——以三角函数的教学为例
发布时间：2021-05-06T14:29:10.170Z 来源：《教学与研究》2021年1月第3期作者：陈月霜
[导读] 国家教材委员会2019年审查通过《普通高中教科书数学必修第一册》，并于2020年七月第一次印刷使用。

陈月霜
福建省厦门市第二外国语学校
摘要国家教材委员会2019年审查通过《普通高中教科书数学必修第一册》，并于2020年七月第一次印刷使用。

对于新教材的使用、新课程的实施，如何顺应新高考、实现数学的“育人”功能？仔细研读教材，变化不小，融入了不少数学史料，本文尝试用数学史料的渗透方式进行新课程的教学，激发学生的学习兴趣，提升学生的数学核心素养，提高学生解决问题的能力，以适应新高考要求。

关键词数学史、新教材、核心素养
随着课程的改革，新高考的来临，人教版高中数学新教材已于2020年下半年在我省启用了，章建跃主编说这是核心素养导向下的教材变革，充分体现了整体性、过程性、联系性、选择性、融合性、实践性的特点。

做为一线的教师，带着期待与些许好奇在仔细研读新教材必修一与必修二之后发现其无论在课程结构还是内容顺序上都有耳目一新的感觉，弥补了旧版的很多不足；细节处理到位，知识衔接自然，有舒畅之感，亮点颇多。

不仅在章头言、“阅读与思考”、“文献阅读与数学写作”等栏目中增加数学史料与数学文化；还在课程内容上进行了数学史的渗透。

笔者认为这是最大的惊喜，亮点；通过数学史的渗透，某些知识点不再生硬与突然，厘清其来胧去脉的同时能帮助学生加深对知识（数学概念、方法和数学思想）的理解；体会数学知识的创造过程，培养创造性思维；理解数学学科的应用价值和文化价值，培养学生的数学核心素养等等。

下面笔者以“三角函数”这一章节为例，谈谈核心素养下如何用数学史料知识融入渗透课堂教学的方式进行新课程教学。

参与新教材编写的汪晓勤博士在对于数学史与数学教育的研究中整理总结出四种数学史运用于课堂教学的方式：复制式、附加式、重构式、顺应式。

1.复制式即让数学问题在课堂教学过程中循着历史的脚步再次呈现，这样的运用方式不仅让学生有这一数学问题的知识发展经历，而且能增加对相关数学家的认知、回顾其思考后加深对数学家们的思想方法理解。

2.附加式是将课程内容相关的数学家的故事、生平简介、事迹等，或者是相关数学历史故事、相关数学术语、符号的由来等。

比如对数的产生，对数符号，弧度制等。

3.重构式是在历史的借鉴基础上用现今的方式方法进行表述，进而表达其核心的数据思想及方法，即发生教学法。

简单说是根据其发生的顺序将教学内容整合重构设计教学。

4.顺应式是对历史故事或者是历史情境、专业史料根据实际教学的需要进行改编推陈出新；或者是在史料的基础上改编数学问题。

如阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中定义的圆锥曲线、旦德林双球与双曲线的定义等。

在新教材2019年版的必修一第五章的《三角函数》中，弧度制和三角函数的概念在其发展的漫长过程中蕴含着丰富的数学史，在新课程教学的背景下，数学史的渗透教学方式让人眼前一亮，这四种方式的运用帮助学生从新的视角学习数学，理解三角函数。

一、在弧度制的概念教学
新教材在第173页右侧框中采用复制式的方式从最早的弧度制概念的孕育到欧拉明确提出弧度制的思想，并明确这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大化简三角公式及计算，虽然课本并没有大篇幅的进行弧度制产生的历史介绍，但是这种处理已经引起了学生的兴趣。

我们在课堂上还可以做如下的补充：巴比伦人先发明了60进制，圆周等分为360份后每一份圆周对应1度的圆心角（这个圆心角即为1度角），再将1度细分为60份，每份即1分，1分再平均细分为60份，每一份称为1秒。

这样的“度、分、秒”即用来度量角，这是60进制的度量单位制。

弧度制概念的历史背景是进制的不统一问题，其概念是在三角函数概念产生之后才提出的.在的表达式中，存在进制的不统一，角度单位是 60 进制的，而是10进制的单位长度，所以历史上有许多数学家研究过如何进行进制的统一。

托勒密（希腊天文学家）将圆周360等分后觉得量弧长与量弦长应采取相同的长度单位，但是弧长是圆周的360分之一，直径长为丌分之360，不是整数不方便计算，便将近似为3直径为120个单位，半径为其一半，记这个单位为p，并制作了弦表，用弧长的单位来度量弦长，即60进制。

而印度的阿耶婆多用半径（固定的）度量圆弧，这是弧度制思想的萌芽。

至1748年数学家欧拉在其名著中引进弧度制，他写道：单位圆的半圆周长为，所以半圆周长为r分之，以此类推得到弧长的各个弧度量值；其本质用直线度量曲线，统一了半径和圆弧的度量单位，由60进制度量角和圆弧转变为十进制的度量，把角度转换为实数。

我国《周骼算经》中记载将整个圆周分为365又四分之一度进行弧长的计算，既用度表示弧长也用单位长度表示弧长，说明我国古人认为度与长度单位有着相同的作用，不过可惜的是我国古人一直没有把弧长的计划发展成为度量角的制度[1]。

以往学生对弧度制的产生存在着困惑，觉得突然，且不能理解到位；而通过数学史的有效教学，阐明弧度制产生的原由及蕴含着的数学思想，让学生对弧度制这一内容从停留在应式程度的认知到理解了其产生与三角函数的发展密切相关，使用半径作为一个单位来测量弧长，进而度量弧长所对的圆心角[1]；理解了其产生目的（统一进制），掌握了其本质和意义：弧度制使得度量角的单位有十进制，角（一个实数）为自变量，比值（也是一个实数）为其对应值的数集到数集的映射使三角函数成为真正意义上的函数！（函数是非空数集A与非空数集B的映射关系）
二、在任意角的三角函数概念的教学
在新教材第186页中“阅读与思考”版块介绍了三角学与天文学，三角学的起源、发展、应用，供学生课后进行阅读。

三角学的概念是由于人类在观察天文现象和规律时形成的.三角学原指三角形的测量，也就是解三角形，与它相关的问题是三角学的基础，其英文名是Trigonometry.[1]随着研究的深入渐成为数学的一门科目，且广泛应用。

希腊数学家希帕霍斯在天体位置问题的定量研究时通过半径固定的圆，对各不同的弧长列出相对应的弦长，制作了最早的弦表，得到了全弧与全弦（同样的度量单位）对应的三角函数，这是三角学的创始。

印度数学家婆什迦罗在公元12世纪写过开始把正弦看做比值，把正弦函数看作弧与半径之比的想法，到了15世纪《论各种三角形》中采用该正弦，明确了正弦函数，是三角学在欧洲的起源。

随后韦达《应用于三角形的数学定律》一书中使用了所有三角函数，系统论述三角学，编制了的对应的三角函数表。

而欧拉在单位圆上定义三角函数（单位圆中相应函数线与其半径的比值），引入三角函数概念，至此三角学打开了新大门，不只研究三角形解法了，而是反映现实世界中由三角函数来体现其运动变化的过程，三角学成为一门分析性学科。

纵观三角函数概念的历史和课标的分析，三角函数是刻画周期性变化规律重要数学模型，“任意角的三角函数”满足了非空数集到非空数集的映射这函数本质与“锐角三角函数”有质的区别，它是真正意义上的函数；而学生在初中学到的锐角的正弦和余弦是用于处理三角形中各边角几何量关系的，一种从“角度”到“数值”的映射；而且任意角的三角函数密切关联于圆周运动，故而不能把锐角三角函数当成任意
角的三角函数在锐角情况下的特例。

而有些旧版的教材，并没有遵循历史的足迹和知识的本质。

如苏教版把“任意角的三角函数”看成“锐角三角函数”的推广；湘教版先是回顾了锐角三角函数定义，接着通过说明比值与角的终边上点的位置无关进而得到了任意角的三角函数定义。

这种编排虽解释了锐角三角函数的本质但是却没有解释任意角的三角函数的函数思想，而且学生也可能误以为锐角三角函数是函数。

新教材的处理遵循历史的发生轨迹和三角函数的数学模型本质，其教学以圆周运动这一数学模型展开，探究单位圆上点P的位置变化，通过点P的圆周运动体现角的变化，进而定义三角函数。

我们在课堂教学中可以这样处理：函数为描述变化规律的数学模型的思想下，构建匀速圆周运动，用函数的概念去同化本节所学概念，即任意角的三角函数，渗透数学文化。

环节1.先引用《周易?系辞下》中的诗句创设情境让学生体会循环往复、周而复始，以揭示周期现象的必要性；让学生对数学有生活化的意识，同时遵循历史发展（刻画圆周运动）。

环节2.类比之前学过的指数函数与对数函数，复习“函数是刻画客观世界变化规律的数学模型”，把本节课的概念纳进函数的观念体现其研究的必要（任意角的三角函数是一般函数的下位概念）。

环节3.创设问题情境：刻画摩天轮中游客舱的运动情况，引导学生进行抽象对应：摩天轮——圆，客舱——圆上的某个点（P），用数学的角度观察和分析问题。

环节4.刻画圆上P点的运动，以直角坐标系为载体，横、纵坐标确定点的位置，利用角度和坐标刻画任意时刻点P，再利用单位圆（半径为1）使圆上任意角与点坐标的唯一对应性。

环节5.呈现概念：单位圆定义任意角的三角函数，强调弧度制下任意角构成的集合R与点的横纵坐标及坐标比值之间的构成的数集与数集的一一对应，体现其函数关系。

这样的教室处理采用重构式、附加式和顺应式，在激发学生构建模欲望的同时将任意角三角函数概念的产生纳入函数这个大集体中，帮助学生分辨初中所学锐角三角函数与高中新学任意角三角函数的本质，有利于学生数学素养的形成。

三、在三角函数的周期性概念的教学
周期（periodicity），出自数学家李冶（1192--1279）晚年的著作《敬斋古今黈》卷一中：“老阴老阳相得为三百六十，则周期之日也。

”当代汉语词典引证解释为事物在运动、变化发展的过程中，某些特征多次重复出现，其连续两次出现所经过的时间叫周期。

周期概念纵观历史，其发展与三角函数密不可分。

欧拉在18世纪虽没有具体给出周期及周期函数的概念，但在其著作《无穷分析引论》中认识到三角函数的周期性，并给出了一系列的三角函数诱导公式。

而到了1837年由角的终边的周而复始的变化规律，文字描述了周期现象；1871年西弗在欧拉的基础上呈现了三角函数的周期性。

到了1880年，数学家们尝试刻画其周期性，从文字描述到图像特征描述并不断进行完善.从尼克逊1892年的三角函数背景的形式化定义到穆雷1899年对周期函数的一般性定义，虽然没有强调周期的非零性，但已经是形式化定义了，在其完善的道路上，数学家从未放弃。

20世纪初期博汉南增加了对周期函数的定义域要求，德累斯顿在此基础上明确了其定义域。

从概念的萌芽到描述性定义，再到产生形式化定义，纵观周期函数曲折的发展史，人们对其认知经历了逐渐完善的过程。

学生对三角函数的周期性的认知也是具有历史相似性的，不是直接就能理解的。

故而在课堂的实施中，以其概念的形成为主线，采用复制、重构、附加方式通过其过程的历史呈现，解学生疑困，促理解，树观念，悟精神。

课堂实施举例：
环节一：引入
（1）30秒视频对“周而复始”的成语解读；（２）用数学知识解释“周而复始”；（3）说出高中数学中具有“周而复始”特征的知识。

正弦诱导公式具有周而复始特征。

环节二：初探概念
1.观察正弦函数的图象，正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律；大部分学生都同意三角函数属于周期函数，更一般地，任意函数是否都具有周期性呢?那函数图像满足什么特征时，具备周期性呢?
2.通过几何直观做出的判断往往模糊不清。

比如高斯取整函数，图像可以通过描点法绘制，但我们不可能描完所有的点，也不可能画出无穷的图像，所以类比函数的奇偶性、单调性等，我们最终要回归到严谨的定量描述。

3.教师引导学生回归之前学过的诱导公式，从函数的视角可以得到三角恒等式 cos( x+2π) = cosx，sin( x+2π) =sinx，自变量 x 每增加2π，三角函数值不发生变化。

如果对于更为一般的函数，我们应该如何描述?可以用什么简洁的式子进行定量刻画?
4.历史上穆雷、博汉南和德累斯顿三位数学家也对函数的周期性下了一个定义。

请同学们进行小组讨论，说说它们的共性和个性。

在穆雷的定义中，似乎缺少了周期 T 的非零性。

博汉南的定义中，我们发现周期的非零整数倍仍然是周期，所以可以考虑定义一个最小正周期，这样所有的周期都可以用最小正周期进行统一表示。

德累斯顿定义中的Ｒ在当时并不表示全体实数集，而表示定义域Ｒange，其实间隔相等的常值散点图对应的函数就是一个典型的周期函数。

因此，周期函数的定义应运而生了。

总的来说，穆雷的定义是直观的，博汉南的定义是宏观的，而德累斯顿的定义是微观的。

我们今天在追求一种比穆雷的定义更严谨、比博汉南的定义更精炼、比德累斯顿的定义更普遍的定义，这样的定义具有简洁性、有序性和严谨性。

5.从定义的具体内容来看，周期函数中核心关注的是周期 T 的存在性、自变量 x 的任意性和函数 f( x+T) = f( x) 的恒等性。

从常数 T 的角度而言，我们则关注了其存在性、限制性 ( 非零)和唯一性 ( 最小正周期) 。

根据上述定义，我们有：x∈Ｒ，f( x+2π) = sin( x+2π) = sinx =f( x) ，故函数 f( x) = sinx 是周期函数，最小正周期为 2π。

即：正弦函数是周期函数，（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．
四、结语
新课改不仅带来了教学内容及设置上的变化，更为学习打开了新的方式，新的角度看待事物的发展变化，教学理念新启示。

在具体的教学实施中，学生对数学史的融入教学还是比较接受的，教师们也认同遵循历史发生原理的教学方式对学生理解与掌握知识的提高，虽然有一定的困难（对教师有更高的素养与备课要求），渗透数史的程度尚无量度，具体实施上难度把握上无标准，等等。

但是我们相信核心素养背景下的数学史渗透教学将得到更多的接受，更广泛的应用，期待更多的优秀案例与分享。

参考文献：
[1]刘丽萍.基于数学史的高中三角函数教学研究[D].广州大学,2019.。