3.2.1函数的单调性与最值(第2课时)

域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x_)_≤__M_； （2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
函数最小值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
域为I，如果存在实数M满足： 请同学们仿此给 （1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x出_)_≥函__M数_定；最义小值的 （2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值.
解： 因为函数f(x)在区间[-2,2]上是增函数，且
f(1-m)<f(m)，
- 2 1- m 2
所以， - 2 m 2
1- m m
解得 1 m 2
2
故实数m的取值范围是
( 1 ,2] .
2
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落， 经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单 调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让 我们来研究——函数的最大值与最小值.
对函数最值的理解
1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 x0 I ,
使得 f x0 M .并不是所有满足 f (x) M 的函数都有
最大值M.
2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函
数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小
y
的函数值.
3.最值几何意义：f(x)的最大值 M
所以函数 f(x)图像的对称轴为直线x=a,
①当a 5时，f (x)在[5,5]为增函数，
所以f (x)min f (5) 27 10a ②当- 5 a 5时，则f (x)min f (a) 2 a2
③当a 5时，f (x)在[5,5]为减函数，
所以f (x)min f (5) 27 -10a
⑵作差：作差f(x1)－f(x2); (3)变形：要变到能判断符号为止（变形常用方法：因式 分解、配方、通分、分子分母有理化等）；
(4)判断符号：判断f(x1)－f(x2)的正负,有时要讨论； (5)得出结论：根据定义得出其在某区间上单调性.
3.判断函数单调性的方法：(1)图象法；(2)定义法.
例1 已知函数f(x)的定义域为[-2,2]，且f(x)在区间 [-2,2]上是增函数，f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围.
探究1 函数的最大值 观察下列两个函数的图象：
最高点的纵坐标即 是函数的最大值！
y
M
o
x0 B
x
图2
思考1 这两个函数图象有何共同特征？ 思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函 数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何?
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义
2. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间 (-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( D )
A.a≥3
B.a≤3
C.a≥-3
D.a≤-3
【解析】二次函数图像的对称轴为x=-2a
故只需-2a ≥6,即a≤-3
3.函数y=x2,x∈［-1，2］的最大值为____4___. 【解析】函数y=x2在［-1,0］上为减函数，在［0,2］ 上为增函数. 当x=-1时，y=1；当x=2时，y=4，所以函 数y=x2在x∈［-1,2］上的最大值为4.
例3 已知函数 f (x) 3x2 12 x 5,当自变量x在下列范
围取值时，求函数的最大值和最小值： (1)R;(2)[0,3];(3)[-1,1]
解析：f (x) 3x2 12 x 5 3(x 2)2 7
所以，函数f(x)图像的对称轴为直线x=2,
(1) f (x)min f (2) 7,没有最大值； (2) f (x)min f (2) 7, f (x)max f (0) 5；
就是图象上最高点的纵坐标， 最小值就是图像上最低点的纵 o
x0
x
坐标.
例2已知函数 f (x) 2 (x [2,6]) ,求此函数的最大值和最小值.
x 1
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2
则f
( x1)
f
( x2 )

2
x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) ( x1 1)] 2( x2 x1) .
( x1 1)( x2 1)
( x1 1)( x2 1)
单调性求 最值
由2 x1 x2 6, 得x2 x1 0, (x1 1）(x2 1) 0,
于是f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 ).
所以，函数f（x）= 2 是区间[2,6]上的减函数.
(3) f (x)min f (1) 4, f (x)max f (1) 20.
例4 已知函数 f (x) x2 2ax 2(a为常数) , 求函数
f(x)在[-5,5]上的最小值.
解：f (x) x2 2ax 2 (x a)2 2 a2
那么就说函数f (x) 在区间D上单调递增．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特别地，当函数f(x) 在它的定义域上单调 递增时，我们就称它 是增函数.
函数 f (x)在区间D上单调递增
函数 f (x)在区间D上图像从左向右是上升的
复习回顾 1.函数的单调性定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I:区间 D I
如果 x1, x2 D ，当x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2) ，
变式 已知函数 f (x) x2 2ax 2(a为常数) , 求函数
f(x)在[-5,5]上的最大值.
解：f (x) x2 2ax 2 (x a)2 2 a2
所以函数 f(x)图像的对称轴为直线x=a,
①当a 0时，则f (x)max f (5) 27 -10a
1.函数的最值是函数在其定义域上的整体性质. 2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般 的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数 可以直接使用函数的单调性. 3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情 况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决.
②当a 0时，则f (x)max f (-5) 27 10a
1．设二次函数f(x)=x2+4x-3，函数值f(2),f(1), f(-1),f(5)中，最小的一个是( C ) A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5) 【解析】由题意知抛物线的对称轴为x=-2， 函数f(x)=x2+4x-3在［-2,+∞)上是增函数，有 f(-1)＜f(1)＜f(2)＜f(5).
那么就说函数f (x) 在区间D上单调递减．
特别地，当函数f(x) 在它的定义域上单调 递减时，我们就称它 是减函数.
函数 f (x)在区间D上单调递减
函数 f (x)在区间D上图像从左向右是下降的
复习回顾 2.定义法证明函数的单调性的一般步骤
⑴取值：设x1 ,x2是给定区间内的两个任意值，且x1< x 2 (或x1 >x 2）；
x-1
因此，函数 f（x）= 2 在区间[2,6]的两个端点上分
x-1
别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最
大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.
【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明， 然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此 解题过程分为两个部分，先证明函数在[2，6]上是减 函数，再求这个函数的最大值和最小值.
3.2.1 函数的单调性与最值
（第二课时）
1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点） 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.（难点）
复习回顾 1.函数的单调性定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I:区间 D I
如果 x1, x2 D ，当x1 x2 时，都有f (x1) f (x2) ，