对勾函数的性质及应用

对勾函数的性质及运用
一、对勾函数
b
y ax x =+
)
0,0(>>b a 的图像与性
质：
1. 界说域：),0()0,(+∞⋃-∞
2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab
3.
奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个
“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f
4. 图像在一.三象限, 当0x >时,
b y ax x =+≥ab 2（当且仅当b
x a =
取等号）,
即)(x f 在x=
a
b
时,取最小值ab 2
由奇函数性质知：当x<0时,)(x f 在x=
a
b -时,取最大值ab 2-
5.
单调性：增区间为（∞+,a
b
）,（
a
b -
∞-,）,减区间是（0,
a
b ）,
（
a
b -,0）
二、对勾函数的变形情势
类型一：函数b
y ax x =+
)0,0(<<b a 的图像与
性质
1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞
2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab
3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形.
4.图像在二.四象限, 当x<0时,)(x f 在x=
a
b 时,取最小值ab 2;当0
x >
时,)(x f 在x=
a
b -
时,取最大值ab 2-
5.单调性：增区间为（0,
a
b ）,（
a
b -
,0）减区间是（
∞
+,a b
）,（
a b -∞-,）,
类型二：斜勾函数
b
y ax x =+
)0(<ab
①0,0<>b a 作图如下
1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数
4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.
5.单调性：增区间为（-∞,0）,（0,+∞）. ②0,0><b a 作图如下：
1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞
2.值域：R
3.奇偶性：奇函数
4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.
5.单调性：减区间为（-∞,0）,（0,+∞）. 类型三：函数
)
0()(2>++=ac x c bx ax x f .
此类函数可变形为b
x c ax x f ++
=)(,可由对勾函数
x c ax y +=高低平移得到
演习1.函数
x x x x f 1
)(2++=
的对称中间为
类型四：函数
)0,0()(≠>++
=k a k x a
x x f
此类函数可变形为k
k x a
k x x f -++
+=)()(,则)(x f 可由对勾函数
x a x y +=阁下平移,高低平移得到
演习 1.作函数21)(-+
=x x x f 与x
x x x f +++=23
)(的草图
2.求函数
421
)(-+
=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标
3. 求函数
1)(-+
=x x
x x f 的单调区间及对称中间
类型五：函数
)0,0()(2>≠+=
b a b
x ax
x f .此类函数界说域为R ,且可变形为
x b x a
x
b
x a x f +
=
+=
2)( a.若0>a ,图像如下：
1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：
]
21
,21[b a b
a ⋅
⋅
-
3. 奇偶性：奇函数.
4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,
取最大值b
a
2
,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值
b a 2-
5. 单调性：减区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;增区间是],[b b -
演习1.函数
1)(2
+=
x x
x f 的在区间[)2,+∞上的值域为
b. 若0<a ,作出函数图像：
1．界
说域：),(+∞-∞ 2. 值域：
]
21,21[b
a b
a ⋅
⋅
- 3. 奇偶性：奇函数.
4. 图像在一.三象限.
当0x >时,)(x f 在b x =时,取最小值
b
a 2-,
当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最大值b a 2
5. 单调性：增区间为（
∞+,b ）,（b -∞-,）;减区间是],[b b -
演习1.如2214x
a x +=-
+()1,2x ∈-,则的取值规模是
类
型
六：函数)
0()(2≠+++=a m
x c bx ax x f .可变形为
)
0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f ,
则)(x f 可由对勾函数x t
ax y +
=阁下平移,高低平移得到
演习 1.函数
11
)(2+++=
x x x x f 由对勾函数
x x y 1+=向（填“左”.“右”）平移
单位,向（填“上”.“下”）平移单位. 2.已知1->x ,求函数
110
7)(2+++=
x x x x f 的最小值;
3.已知1<x ,求函数
19
9)(2--+=
x x x x f 的最大值 类型七：函数
)
0()(2≠+++=
a c bx ax m
x x f
演习1.求函数21
)(2++-=
x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值;若区间改为),4[+∞则)
(x f 的最大值为 2.求函数
232)(2
2++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值
类型八：函数
a
x b x x f ++=
)(.此类函数可变形为尺度情势：
)
0()(>-+-+
+=+-++=
a b a
x a b a x a
x a
b a x x f
演习1.求函数13
)(-+=
x x x f 的最小值;
2．求函数
15
)(++=
x x x f 的值域;
3.求函数
32
)(++=
x x x f 的值域 类型九：函数
)
0()(2
2>++=
a a
x b x x f .此类函数可变形为尺度情势：
)
()()(2
22
22o a b a
x a b a x a
x a
b a x x f >-+-+
+=+-++=
演习 1.求函数45
)(22++=
x x x f 的最小值;
2. 求函数
171
)(2
2++=x x x f 的值域。