定积分的应用之微元法

(3)将 A 表示成定积分，并计算
A
1
(
0
x

x2
)dx


2 3
3
x2

1 3
x3

1
1 3.
0
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
这一曲线称为悬链线，已知悬链线方程为
y

a
x
(e a

x
ea
)
2
(a 0) 求从x a 到 x a这一段的弧长（如上页右图）
解 由于弧长公式中被积函数比较复杂，所以代公式前，要
将
ds 部分充分化简，然后再求积分.
这里， y

1
x
(e a

x
ea
)
，于
2
是
ds
1 y '2 dx
A( x)
dV A(x)dx,
再在 x的变化区间[a,b] 上积分， 则得公式
b
V a A(x)dx. O a x x dx
bx
例 6 设有底圆半径为 R 的圆柱，被一与圆柱面交成 角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积（如右 下图）.
解 取坐标系如图，则底圆方程为
x2 y2 R2,
n
F ΔFi ; i1
ΔFi ≈ f (i )Δxi (i 1,2,, n);
n
n
第三步：写出整体量 F 的近似值，F ΔFi ≈ f (i )Δxi ；
i1
i1
n
第四步：取 max{Δxi} 0 时的 f (i )Δxi 极限，则得
i1
n
1. 直角坐标系下的面积计算
用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.
（1） 曲线 y f (x)( f (x) 0), x a, x b 及 Ox 轴所围
图形，如下页左图，面积微元dA f (x)dx ，面积
A b f (x)dx . a
（2） 由上、下两条曲线 y f (x), y g(x)( f (x) g(x)) 及
于是所求弧长为
ds (dx)2 (dy)2 '(x)2 '(x)2 dt.

s
'(t)2 '(t)2dt.
注意：计算弧长时，由于被积函数都是正的. 因此，为使弧长
为正，定积分定限时要求下限小于上限.
例 9 两根电线杆之间的电线，由于自身重量而下垂成曲线，
dA 1 r 2 ( )d ,
2
将dA在[ , ]上积分,便得曲边
扇形面积为

A 1 r2 ( )d . 2
O
r r(θ)
d
x
例 4 计算双纽线r 2 a2 cos 2 (a 0) 所围成的图形 的面积（如下图所示）.
y
θ π4
ax O
解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，
在 x 处垂直于 x 轴作立体的截 R
面，得一直角三角形，两条直角边分 别 为 y 及 y tan ， 即 R2 x2 及
O aa
R2 x2 tan ， 其 面 积 为
R
A(x) 1 (R2 x2 ) tan ，从而得楔形体
2
积为 V
R 1 (R2 x2 ) tandx tan
解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交 点以确定积分区间：
解方程组

y y
x2, 2 x,
得交点（0，0）及（1，1）.
(2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作
dA均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量，x 变化范围为[0，
1]，于是
dA ( x x2 )dx,
1
1
x
(e a

e

x a
)2
dx.
4

1 2
x
(e a

e

x a
)dx
故悬链线这段长为 s a 1 y '2 d x a
ax
x
(ea e a )dx 0
x
x
a(ea e a )
a 0

a(e e1)
例 10
求摆线
x

y

a(t sin t), a(1 cost)
在x的变化区间[a,b] 内积分，就得所求弧长
s b 1 y'2dx b 1 f '(x)2dx.
a
a
y
B
y
ds N
y
AM T
dx Q dy
O a x x dy b x
-a O
ax
若曲线由参数方程
x (t),

y


(t)
( t )给出，这时弧长微元为
围成图形（图见下页）面积微元（注意，这时就应取横条矩
形 dA，即取 y 为积分变量）dA [( y) ( y)]dy，面积
A d [( y) ( y)]dy. c
y d
y dy
x ψ( y) y
O
c
y
1
(1,1)
x ( y)
x
O
x x dx x
例 1 求两条抛物线 y2 x, y x2 所围成的图形的面积 .
6 2
2. 极坐标下的面积计算
曲边扇形：是指由曲线r r( )及两条射线 , 所围
成的图形（如右下图）.
取 为积分变量，其变化范围为[ , ]，在微小区间 [ , d ]
上“以常代变”，即以小扇形面积 dA作为小曲边扇形面积的近似 值，于是得面积微元为
(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问
题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 x, x dx 上，
以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线 性 化 ）， 写 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值 ， 即 为 微 元 dF f (x)dx .
二、用定积分求平面图形的面积
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
一、 定积分应用的微元法
用定积分计算的量的特点：
(1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 a,b 有关， 且在该区间上具有可加性. 就是说，F 是确定于 a,b 上 的整体量，当把 a,b 分成许多小区间时，整体量等于
F
lim 0 i1
f (i )Δxi

b f (x)dx .
a
观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表 达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式 f (i )Δxi 中的 变量记号改变一下即可（ i 换为 x ；xi 换为 dx ）.
而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 a,b 上无限累加， 即在 a,b上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，
不妨设上述直线为 x轴，则在 x处的截面面积 A(x) 是 x 的已知连续函数，求该物体介于 x a 和 x b(a b)之间的体积（如右下图）.
为求体积微元，在微小区间 [x, x dx]上视 A(x) 不
变，即把[x, x dx]上的立体薄片近似看作 A(x) 为底，
dx为高的柱片，于是得 y
我们仍用微元法，取 x为积分变量， x [a,b]，在微小 区间[x, x dx]内，用切线段 MT 来近似代替小弧段 MN （“常代变”）得弧长微元为
ds MT MQ2 QT 2 (dx)2 (dy)2 1 y'2dx.
这里ds 1 y'2dx 也称为弧微分公式.
在区间 [a,b] 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为
A(x) πf 2 (x).
在 x的变化区间[a,b] 内积分，得旋转体体积为
V π b f 2 (x)dx. a
y
类似地，由曲线 x (y) ，直线
y c, y d 及 y 轴所围成的曲边梯形 绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下
x a, x b所围成的图形，如下页右图，面积微元
dA [ f (x) g(x)]dx,，面积 A
b
[
f
(
x)

g
(
x)]dx
.
a
y y f (x)
y y f (x)
O x x dx
O a x x dx b x a
bx
y g(x)
（3）由左右两条曲线 x ( y), x ( y)及 y c, y d 所
这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用
的微元法.
定积分应用的微元法：
(一) 在区间 a,b 上任取一个微小区间 x, x dx ，然后写出
在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为dF f (x)dx (称为 F 的微元);
（二） 将微元dF 在a,b 上积分（无限累加），即得
V π
a y2dx 2π
a2
(a 3

2
x 3 )3 dx
a
0
2π
a (a2
42
3a 3 x 3
24
3a 3 x 3

x2 )dx

32 πa3.
0
105
四、平面曲线的弧长
设有曲线 y f (x) （假定其导数 f (x)连续），我们来 计算从 x a到 x b的一段弧长的长度 s（如下页左图）.
3


π 3
(1
2 cos
1
cos 2
)d

9
0
2
2
π
π2(1 cos 2 )d
3
π
π


3
2

2 sin
Hale Waihona Puke Baidu
1 4
sin
2

3 0

9 2



1 2
sin
2

2 π
3
5 π.
4
三、用定积分求体积
1. 平行截面面积为已知的立体体积
设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体 可用定积分求其体积.
y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若
取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
于是得 dA [( y 4) 1 y2 ]dy,
2
A 4 [( y 4) 1 y2 ]dy 1 y2 4 y 1 y3
4
18.
2
2
2
在 0 t 2π的一段长(a 0).
解
x(t) a(1 cost),
R (R2 x2 )dx
R 2
0
y
x2 y2 R2
x
tan (R2 x x2 ) R 2 R3 tan .
3 03
2、 旋转体体积 设 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 y f (x) 和 直 线 x a, x b(a b)，及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而 成（如下图），我们来求它的体积 V .
r 1 cos ,
r 3cos.
由3cos 1 cos 得 cos 1 ，故

π
2
O
，考虑到图形的对称性，得所求的
3
面积为
r 3cosθ
r 1cos
2 3x
A 212
π 3
(1
cos
)2
d

1
0
2
π
π2(3
cos
)2
d

再 4 倍即可，在第一象限 的变化范围为 [0, π]，于是
4
A 4 1
π
π
4 a2 cos 2 d a2 sin 2 4 a2.
20
0
例 5 求心形线 r 1 cos 及圆r 3cos 所围成的阴影 部分面积（如右下图）.
解 先求两线交点，以确定 的变化范围，解方程组
b
F a f (x)dx.
微元法中微元的两点说明：
(1) f (x)dx作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切 的 说 ， 就 是 要 求 其 差 是 关 于Δx 的 高 阶 无 穷 小 . 即 ΔF f (x)dx o(Δx) . 这 样 我 们 就 知 道 了 ， 称 作 微 元 的 量 f (x)dx，实际上是所求量的微分 dF ;
n
各部分量之和，即F Fi . i1 (2) 所求量 F 在区间 a,b 上的分布是不均匀的，
也就是说， F 的值与区间 a,b 的长不成正比.（否则的
话， F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）.
用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: 第二步：求出每个部分量的近似值，
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
A(x) bx
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
2
2
2
x3 y3 a3
2
2
解出 y2 (a3 x3 )3 ，于是所求体积为