自考线性代数试题及答案

自考线性代数试题及答案
一、选择题（每题2分，共20分）
1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？
A. [1, 2; 3, 4]
B. [2, 0; 0, 1]
C. [1, 1; 1, 1]
D. [0, 1; 1, 0]
答案：B
2. 设向量v = (1, 2, 3)，向量w = (4, 5, 6)，则向量v与向量w 的点积为：
A. 32
B. 34
C. 36
D. 38
答案：A
3. 对于线性变换T: R^3 → R^2，如果T(x, y, z) = (x + z, y - z)，那么T的秩是：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
4. 设A和B是两个n阶方阵，若AB = BA，则称矩阵A和B是可交换的。

若A和B是两个n阶实对称矩阵，且AB = BA，那么：
A. A和B一定可交换
B. A和B一定不可交换
C. A和B可交换或不可交换
D. 无法判断A和B是否可交换
答案：A
5. 对于任意的n阶方阵A，以下哪个选项是正确的？
A. |A| = |A^T|
B. det(A) = det(A^T)
C. trace(A) = trace(A^T)
D. A * A^T 一定是对称矩阵
答案：C
6. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，若AB = 0，则：
A. 必有B = 0
B. 必有A = 0
C. 必有rank(A) + rank(B) ≤ max(m, p)
D. rank(AB) ≤ rank(A)
答案：D
7. 对于n维向量空间V，以下哪个命题是线性代数的基本定理？
A. 每个向量都可以由V的一组基唯一表示
B. V中任意两个不同的向量都是线性无关的
C. V中任意非零向量都是可逆的
D. V中任意两个向量都线性相关
答案：A
8. 设λ是n阶方阵A的一个特征值，对应的特征向量为v，则：
A. (A - λI)v = 0
B. Av = v
C. A^2v = λ^2v
D. (A + I)v = λv
答案：A
9. 对于任意矩阵A，以下哪个选项是正确的？
A. |A| = |A^2|
B. det(A) = det(A^2)
C. trace(A) = trace(A^2)
D. A^2 一定是可逆的
答案：B
10. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB = Im，则：
A. B一定是A的逆矩阵
B. A一定是B的逆矩阵
C. A和B互为逆矩阵
D. A和B不一定是方阵
答案：C
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 设矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则A的特征多项式为f(λ) = _______。

答案：(λ-1)(λ-4)
12. 若向量α = (1, 0, -1)，向量β = (2, 1, 3)，则向量α和向量β的向量积为 _______。

答案：(-1, -5, 2)
13. 对于线性变换T: R^2 → R^2，如果T(x, y) = (2x - y, x +
2y)，那么T的核（null space）是 {(0, 0)}。

答案：错误
14. 设矩阵B是由矩阵A通过初等行变换得到的，如果rank(A) = rank(B)，则矩阵A和B具有相同的 _______。

答案：秩
15. 对于任意的。