第7讲.圆的概念及性质.尖子水平

“圆”来如此

漫画释义

满分晋级

7

圆的概念及性质

圆1级 圆的 概念及性质

圆2级 与圆有关 的位置关系 圆3级 正多边形和圆 与圆中的计算

暑期班 第七讲

暑期班 第八讲

暑期班 第九讲

中考内容与要求

中考考点分析

圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

定 义

示例剖析

圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆． 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径． 由圆的定义可知：

⑴ 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． ⑵ 要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 圆O

半径

圆心

A

O

表示为“O ⊙”

圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆．

等圆

O‘

O

同心圆

O

知识互联网

模块一 圆的基本概念

知识导航

E

【例1】 如图，若点O 为O ⊙的圆心，则线段_________________是圆O 的

半径；线段___________是圆O 的弦，其中最长的弦是________；

________是劣弧；___________是半圆．若40A ∠=︒，则

ABO ∠=_________，C ∠=_______，ABC ∠=_______．

（西城区教研）

【解析】 OA OB OC ，，；AB BC AC ，，；AC ；AB BC ，；AC ABC ，；40︒；50︒；90︒

【例2】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线

交于点E ，若2AB DE =，18E ∠=︒，求AOC ∠的度数．

能力提升

夯实基础

E

【解析】 连结OD

∵AB 是直径，2AB DE =，

∴1

2

DE AB OD ==

∴18DOE E ∠=∠=︒，

∴36ODC DOE E ∠=∠+∠=︒

∵OC OD =，∴36OCD ODC ∠=∠=︒，

【解析】 ∴54AOC OCD E ∠=∠+∠=︒．

【例3】 1．如图，M N 、分别是O ⊙中长度相等但不平行的两条弦AB CD 、的中点．

求证：AMN CNM ∠=∠．

【解析】 连结OM ON 、、OB 、OD ．

∵M N 、分别是弦AB CD 、的中点， ∴OM AB ON CD ⊥⊥，

∵AB CD =，∴MOB NOD △≌△ ∴OM ON =

∴OMN ONM ∠=∠，∴AMN CNM ∠=∠．

2．如图，∠P AC =30°，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作 ⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是 cm ． (2012辽宁锦州)

知识导航

模块二 垂直于弦的直径

O

N M D

C B

A

【解析】6 F

E A

D

O

B C

P H F

E A

D

O B C

P

3． 如图，⊙O 的半径为2，弦32=AB ，点C 在弦AB 上，AB AC 4

1

=，则OC 的长为（ ）

（2012山东淄博）

A ．

B ．

C

．

D ． 【解析】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则 AD =BD ．

∵32=AB ，AB AC 4

1

=

， ∴3==BD AD ，2

3

=CD ．

又∵⊙O 的半径为2，即OB =2，

∴12

2=-=BD OB OD ．

∴2

7

22=+=OD CD OC ．故选D ．

【例4】 ⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB =8 cm ，CD =6cm ，求AB 与CD 之间的距离．

(2012黑龙江牡丹江)

【解析】1 cm 或7 cm ．F E A

C D B

O

F

E

A

C

D

B

O

【备选】1． 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =． 【解析】 作OM AB ⊥，垂足为M ，

大圆中，∵OM AB ⊥，∴AM BM =

小圆中，∵OM CD ⊥，∴CM DM =

∴AM CM BM DM -=- 能力提升

B

C

A

O

D

B

C

A

O