物理竞赛运动学专题一：斜坡斜抛问题

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物理竞赛运动学专题一：斜坡斜抛问题
例1、斜坡上斜抛问题(向下坡抛)：如图为抛射面截面，设在此截面内斜坡倾角α，物体抛出速度v ，求当抛射角θ多大时，射程S 最大。

（忽略空气阻力）
分析：此题使用解析几何的方法较自然，问题将转化为求抛物线被直线所截长度，这是高中解析几何中的典型问题。

解法1：如图建立坐标，斜坡所在的直线方程为:
x y ⋅-=αtan (1)
物体斜上抛的轨迹为抛物线，时间t 从抛出开始，其参数方程是： )3(2
1sin )
2(cos 2 gt t v y t v x -⋅=⋅=θθ 将(2)(3)代入(1)两边，可求得物体下落到斜坡上的时间0t :
g
v t t )cos tan (sin 20θαθ+== (4) 设落点P 坐标为),(00y x ，则有：
00cos t v x ⋅=θ (5)
2
αcos 0
x OP S ==射程 (6)
由(4)(5)(6)可解得：(其中注意三角函数倍角公式)
)sin 1(cos )sin 1(2
4,22)7()sin )2(sin(cos )tan 2cos tan 2(sin cos 2
22max 22
2
ααααπθπ
αθααθα
αθαθα
-=+=-==+++=++=g v g v S S g v S g v S 取极大值
时当进一步简化为
讨论：1）、对于向上坡抛的情况，只要把上式中的 α改为－α (假设抛射面内斜坡与水平面夹角的锐角为α),（7）变为
)sin 1(24
,22)7()sin )2(sin(cos 2
max 22
ααπθπ
αθααθα
+=+==---=g v S S g v S 取极大值时当
综合两种情况，在斜坡上，要使抛出物体的射程最远，初速度方向应沿斜面与竖直面夹角的平分线。

2）．（7）式中如果射程S 不变，可转化为求θ多大时，v 最小的一类问题。

下面举例说明。

17、(15分)在一山坡上有一个敌人据点，现要在山脚下架炮轰击该据点，经侦知据点与架炮处的距离约1500米，山坡斜度为30度，试估算炮弹射出时的速度至少要多大才能击中？（g 取10m/s 2, 忽略空气阻力)。

方法1：解析几何法：设炮弹射角θ（与水平方向夹角）,斜坡倾角α
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解：如图建立坐标，斜坡所在的直线方程为:
x y ⋅=αtan (1)
物体斜上抛的轨迹为抛物线，时间t 从抛出开始，其参数方程是： )3(2
1sin )
2(cos 2 gt t v y t v x -⋅=⋅=θθ 将(2)(3)代入(1)两边，可求得物体下落到斜坡上的时间0t :
g
v t t )cos tan (sin 20θαθ-== (4) 设落点P 坐标为),(00y x ，则有：
00cos t v x ⋅=θ (5)
αcos 0
x OP S ==射程 (6)
由(4)(5)(6)可解得：(其中注意三角函数倍角公式)
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3、一水枪需将水射到高喷口水平距离为3.0m 的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m.若不计空气阻力，求所需的最小初速度及发射仰角。

(提示：连结喷口和墙上部，即转化为讨论2问题)
4、足球运动员在离球门L=11m 的罚球点准确地从其正前方球门的横梁下缘踢进一球，横梁下缘离地面高为h=2.5m,足球的质量m=0.5kg,不计空气阻力，问必须传给这个足球的能量至少为多少？ s
m v Sg v v Sg v g v S /150)
5.01(1500)sin 1(24,22)7(sin )2sin(cos )tan 2cos tan 2(sin cos min 2min 222=+⨯=+=+==---=--=ααπθπαθααθααθαθα取极小值时当进一步简化为。