【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破 第2部分 专题二 第1讲 选择题技法专练(
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题五 第一讲 直 线
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题五 第一讲 直 线 与 圆(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1. 又因为直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．(2013·长春模拟)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B.175C ．8D ．2 解析：选D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，∴63＝m 4≠－143，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3|32＋42＝2.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －3＝0的圆心为(1,0)，被圆截得的弦最长的直线过(1,0)点，又直线过点P (0,1)，所以直线方程为x ＋y －1＝0.4．(2013·广东高考)直线l 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A 因为所求直线l (设斜率为k )垂直于直线y ＝x ＋1，所以k ·1＝－1，所以k ＝－1.设直线l 的方程为y ＝－x ＋b (b ＞0)，即x ＋y －b ＝0，所以圆心到直线的距离为|－b |2＝1，所以b ＝ 2.故l 的方程为x ＋y －2＝0.5．(2013·天津高考)已知过点P (2,2) 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切， 且与直线ax －y ＋1＝0垂直， 则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2. 6．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y ＝0或x －y ＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选B 当直线的斜率k 不存在时，过原点的直线方程为x ＝0，因为圆心(2,0)到此直线的距离2>2(圆的半径)，此时不合题意；当斜率k 存在时，设过原点的直线方程为kx －y ＝0，要使该直线与圆相切，则有|2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1.所以，切线方程为x ＋y＝0或x －y ＝0.7．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 2的圆心与圆C 1的圆心关于直线x －y －1＝0对称，设圆C 2的圆心为(a ，b )，则b －1a ＋1＝－1⇒a ＋b ＝0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，b ＋12在直线x －y －1＝0上，解得a ＝2，b ＝－2.所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.8．(2013·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A. 2 B . 3 C ．1 D ．3解析：选A 由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋－2－2＝ 2.9．(2013·湖南高考)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83 D.43解析：选D 以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x )、P 2(－x,0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－－x 43－4，求得x ＝43，即AP ＝43.10．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0“相切”，则a 应满足( )A ．a ＞7或a ＜－3B ．a ＞6或a ＜－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3解析：选C 依题意知：当两平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧ －＋a |5＜5，－＋a 2＋1|5＜5，得－6＜a ＜6； 两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧－＋a |5＞5，－＋a 2＋1|5＞5，得a ＜－3或a ＞7，所以两条直线和圆“相切”时a 应满足－3≤a ≤－6或6≤a ≤7.二、填空题11．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d ＝－2＋－2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.答案：2 212．(2013·湖北高考)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析：直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2是单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的切线．圆O ：x 2＋y 2＝5的圆心到直线l 的距离为1，故过原点O 与l 平行的直线l 1与圆O 的2个交点到直线l 的距离为1，l 1关于l 对称的直线l 2与圆O 也有2个交点，共4个．答案：413．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.答案：1314．当直线l ：y ＝k (x －1)＋2被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，k 的值为________．解析：由题易知直线l 过定点P (1,2)，圆心C (2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，则k ×2－11－2＝－1，得k ＝1.答案：115．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋2＋m ＋2＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. 所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切． 答案：－5或216．已知圆C 1的方程为(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，则直线l 的方程为______________．解析：圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r ＝2.由题知l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝|－3k －1－4k |k 2＋1＝|7k ＋1|k 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|7k ＋1|k 2＋12＝4，解得k ＝0或k ＝－724. ∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)．答案：y ＝0或y ＝－724(x －4)。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专题六 第3讲 概
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题六 第3讲 概率与统计选择、填空题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法解析：选D 由于被抽取的个体具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．2．(2013·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析：选D 事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P ＝1－110＝910. 3．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为( )A ．120B ．80C ．15D ．150解析：选D根据题意知，该组数据的平均数为450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋4608＝450，所以该组数据的方差为18×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则a <b 的概率为( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选D 取出的两个数用数对表示，则数对(a ，b )的不同选法共有15种，即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，其中a <b 的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，故所求事件的概率P ＝315＝15.5．(2013·重庆高考)如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6解析：选 B 由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4.6．(2013·陕西高考)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测， 如图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准， 产品长度在区间[20,25)上为一等品， 在区间[15,20)和[25,30)上为二等品， 在区间[10,15)和[30,35]上为三等品. 用频率估计概率， 现从该批产品中随机抽取1件， 则其为二等品的概率是( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45解析：选D 由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.7．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( ) A.65B.65C. 2D ．2解析：选D 由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B.14 C.25D.12解析：选B P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 5＝110，由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P AB P A ＝110×52＝14.9．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 设第一组中抽取的号码是x (1≤x ≤8)． 由题意可得分段间隔是8，又∵第16组应抽出的号码是126， ∴x ＋15×8＝126，∴x ＝6.∴第一组中用抽签法确定的号码是6.10．在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14 B.34 C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x )3＝6364，得x＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964. 二、填空题11．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析：由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的310，由分层抽样得应从高二年级抽取50×310＝15名学生．答案：1512．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是________．解析：分两种情况来考虑：(1)甲在第二次射击时命中，结束射击；(2)甲在第二次射击时未命中，乙命中结束射击．所以概率为14×15×⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14×45＝19400.答案：1940013．(2013·武汉模拟)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：(1)由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15×[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案：(1)2,10,18,26,34 (2)6214．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．解析：由题意可知，可将学号依次为1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14.故还有一个同学的学号应为6＋14＝20.答案：2015．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析：基本事件总数为N ＝7×9＝63，其中m ，n 都为奇数的事件个数为M ＝4×5＝20，所以所求概率P ＝M N ＝2063.答案：2063。
【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题四 第二讲 高
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分 专题四 第二讲 高考中的立体几何(解答题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．在直角梯形A 1A 2A 3D 中，A 1D ＝10，A 2A 3＝16，A 1A 2＝8，A 1A 2⊥A 1D ，A 1A 2⊥A 2A 3，且B ，C 分别是边A 1A 2，A 2A 3上的一点，沿线段BC ，CD ，DB 分别将△BCA 2，△CDA 3，△DBA 1翻折上去恰好使A 1，A 2，A 3重合于一点A .(1)求证：AB ⊥CD ；(2)求AC 与平面BCD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意∠BAC ＝∠BAD ＝π2， 故BA ⊥平面ACD ，所以AB ⊥CD .(2)由题意得，A 1D ＝A 3D ＝10，A 1B ＝A 2B ＝4，A 2C ＝A 3C ＝8，作点A 在平面BCD 内的射影点O ，由V A BCD ＝V B ACD 得，S △BCD ·AO ＝S △ACD ·AB ，又S △ACD ＝12×8×8＝32， S △BCD ＝12(8＋10)×8－12×4×10－12×8×4＝36，所以AO ＝32×436＝329. 设AC 与平面BCD 所成角为α， 则sin α＝AO AC ＝329×8＝49. 2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(1)证明：BD ⊥PC ；(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P ABCD 的体积． 解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又AC ⊥BD ，PA ，AC 是平面PAC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC .而PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC .(2)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(1)知，BD ⊥平面PAC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面PAC 所成的角．从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC 知，BD ⊥PO ，在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°，得PD ＝2OD .因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9. 在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22， 所以PD ＝2OD ＝42， PA ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×9×4＝12.3.如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥EF ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小；(2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A CD E 的余弦值．解：(1)由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角)为异面直线BF与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连接EP ，PC .因为FE 綊AP ，所以FA 綊EP .同理，AB 綊PC .又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD .而PC ，AD 都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，EP ⊥AD .由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD .设FA ＝a ，则EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝2a .故∠CED ＝60°.所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°.(2)证明：因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .连接MP ，则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设Q 为CD 的中点，连接PQ ，EQ .因为CE ＝DE ，所以EQ ⊥CD .因为PC ＝PD ，所以PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角A CD E 的平面角．由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝62a ，PQ ＝22a . 于是在Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝PQEQ ＝33. 所以二面角A CD E 的余弦值为33. 4.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝a ，∠ABC ＝60°，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE ＝a ，点M 在线段EF 上．(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ？证明你的结论；(3)求二面角B EF D 的平面角的余弦值．解：(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC，又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE.(2)当EM＝33a时，AM∥平面BDF，在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN，则∶NA＝1∶2，∵EM＝33a，而EF＝AC＝3a，∴EM∶MF＝1∶2，∴MF綊AN，∴四边形ANFM是平行四边形，∴AM∥NF，又∵NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，∴AM∥平面BDF.(3)取EF的中点G，EB的中点H，连接DG，GH，DH.∵DE＝DF，∴DG⊥EF，由(1)知BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，又∵EF⊥FC，FC∩BC＝C，∴EF⊥平面FCB，∵FB⊂平面FCB，∴EF⊥FB，又∵GH∥FB，∴EF⊥GH，∴∠DGH是二面角BEFD的平面角．在△BDE中，DE＝2a，DB＝3a，BE＝AE2＋AB2＝5a，∴DE2＋DB2＝BE2，∴∠EDB＝90°，∴DH＝52a.又∵DG＝52a，GH＝22a，∴在△DGH中，由余弦定理得cos∠DGH＝10 10，10 10.即二面角BEFD的平面角的余弦值为。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专题四 第2讲 高
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题四 第2讲 高考中的立体几何解答题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）1.(2013·昆明模拟)如图，已知四棱锥P ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点，连接AM ，AN ，MN .(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若MN ＝5，AD ＝3，求二面角N AM B 的余弦值． 解：(1)取AB 的中点E ，连接NE ，ME . ∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点， ∴ME ∥AD ，NE ∥PA .∵AD ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ， ∴ME ∥平面PAD .∵PA ⊂平面PAD ，NE ⊄平面PAD ， ∴NE ∥平面PAD .∵ME ∩NE ＝E ，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ， ∴平面MEN ∥平面PAD . ∵MN ⊂平面MEN ， ∴MN ∥平面PAD .(2)∵NE ∥PA ，PA ⊥平面ABCD ， ∴NE ⊥平面ABCD .在Rt △NEM 中，MN ＝5，ME ＝AD ＝3，得NE ＝MN 2－ME 2＝4. 以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，4.∴AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，0，AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，4. 设平面AMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ·AM ＝0，n ·AN ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋32y ＝0，32y ＋4z ＝0，令x ＝1，得y ＝－2，z ＝34.∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2，34是平面AMN 的一个法向量． 又EN ＝(0,0,4)是平面AMB 的一个法向量， ∴cos 〈n ，EN 〉＝n ·EN|n |·|EN |＝38989.∴二面角N AM B 的余弦值为38989. 2.(2013·沈阳模拟)如图，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点O ，E 分别是A 1C 1，AA 1的中点，AO⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE ∥平面AB 1C 1；(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角； (3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．解：法一：(1)证明：∵点O ，E 分别是A 1C 1，AA 1的中点，∴OE ∥AC 1， 又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1.(2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1，∴AO ⊥B 1C 1. 又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO ＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，∴A 1C ⊥B 1C 1. 又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1.∵B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ， 即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. (3)设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ， ∵V A A 1B 1C 1＝V C 1AA 1B 1，即13×12·A 1C 1·B 1C 1·AO ＝13·S △AA 1B 1·d . 又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7. ∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217.法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0，3)，A 1(0，－1,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C (0,2, 3)． (1)证明：∵OE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，1AC ＝(0,1，－3)，∴OE ＝－121AC ，即OE ∥AC 1，又∵OE ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1.(2)∵1AB ＝(2,1，－3)，1A C ＝(0,3，3)， ∴1AB ·1A C ＝0，即AB 1⊥A 1C ， ∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，∵11A C ＝(0,2,0)，11A B ＝(2,2,0)，1A A ＝(0,1，3)， 设平面AA 1B 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧11A B ·n ＝0， 1A A ·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，33. ∴sin θ＝|cos 〈11A C ，n 〉|＝22×73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. 3.(2013·天津高考)如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E为棱AA 1的中点．(1)证明：B 1C 1⊥CE；(2)求二面角B 1CE C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长． 解：法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0，2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得11B C ,＝(1,0，－1)，CE ,＝(－1,1，－1)，于是11B C ,·CE ,＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2) 1B C ,＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·1B C＝0，m ·CE ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故11B C ,＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，11B C ,〉＝1111m B C m B C ＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，11B C ,〉＝217. 所以二面角B 1CE C 1的正弦值为217. (3)AE ,＝(0,1,0)，1EC ,＝(1,1,1)．设EM ,＝λ1EC ,＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ,＝AE ＋EM ,＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB ,＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM ,，AB ,〉|＝AM AB AM AB＝2λλ2＋λ＋2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1. 于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13，所以AM ＝ 2. 法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E .又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E .又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE . (2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)知，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1CE C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1CE C 1的正弦值为217. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x . 在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ，整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝ 2. 所以线段AM 的长为 2.4．如图，在三棱锥S ABC 中，SA ＝AB ＝AC ＝BC ＝2SB ＝2SC ，O 为BC 的中点．(1)求证：SO ⊥平面ABC ；(2)在线段AB 上是否存在一点E ，使二面角B SC E 的平面角的余弦值为155？若存在，确定E 点位置；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：如图，连接AO ，∵O 为BC 中点且SB ＝SC ， ∴SO ⊥BC . 设SB ＝a ，则SO ＝22a ，AO ＝62a .又∵SA ＝2a ，∴SO 2＋OA 2＝SA 2，∴SO ⊥OA . 又∵BC ∩OA ＝O ，∴SO ⊥平面ABC .(2)如图，以O 为原点，以OC 所在射线为x 轴正半轴，以OA 所在射线为y 轴正半轴，以OS 所在射线为z 轴正半轴建立空间直角坐标系．则有O (0,0,0)，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，2a 2， C ⎝⎛⎭⎪⎫2a 2，0，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，6a 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2，0，0，∴AB ,＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2，－6a 2，0，SC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2，0，－2a 2. 假设存在E 满足条件，设BE ,＝λBA , (0≤λ≤1)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，62λa ，0， 则CE ,＝⎝⎛⎭⎪⎫22λ－a ，62λa ，0. 设平面SCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CE＝0，n ·SC ＝0，即⎩⎨⎧λ－x ＋3λy ＝0，x －z ＝0，取n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2－λ3λ，1.∵OA ⊥平面SBC ，∴可取向量m ＝(0,1,0)为平面SBC 的法向量．∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝2－λ3λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ3λ2＝155， 解得λ＝12.∴当E 为AB 中点时，二面角B SC E 的余弦值为155.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第一讲 集合、
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第一讲集合、常用逻辑用语（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集个数为( )A．13 B．14C．15 D．16解析：选C 由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5,6,7,8}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.2．(2013·山东高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：选A 由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．3．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A “x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．4．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 若已知a1<a2<a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p及其逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．5．(2013·武汉模拟)命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0解析：选B 根据否命题与原命题的关系求解．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是“若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0”．6．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件解析：选C 对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项A 正确；对于B ，直线与双曲线相切只有一个交点，但只有一个交点并不一定相切，故B 正确；对于C ，由p ∧q 为假命题只能得知p ，q 不能同是真命题，因此选项C 错误；对于D ，注意到由x >2得x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)>0；反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，如取x ＝0时，x 2－3x ＋2>0，但此时0<2，因此选项D 正确．7．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：2＞3.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．(綈q )∧pC ．(綈p )∨qD ．q解析：选B 依题意，命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此綈p 是假命题，(綈q )∧p 是真命题，(綈p )∨q 是假命题．8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．9．设a ∈R ，则“a －1a －a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解析：选C 因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，所以由a －1a 2－a ＋1<0得a <1，不能得知|a |<1；反过来，由|a |<1得－1<a <1，所以a －1a 2－a ＋1<0.因此，“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的必要不充分条件．10．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 由题知命题p 等价于3a 2≤1，即3a ≤2，解得a ≤23.对于命题q ，由函数y＝(2a －1)x在[1，＋∞)上为减函数，得0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤23.二、填空题11．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由题意，log 2(a ＋3)＝2，得a ＝1， 所以b ＝2，从而A ∪B ＝{1,2,5}． 答案：{1,2,5}12．(2013·沈阳六校联考)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c的取值范围为________．解析：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤12.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”．当“p 真q 假”时，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，113．设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是________．解析：在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.答案：(－3，－1)14．已知函数y ＝lg(4－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由图易得a >4.答案：(4，＋∞)15．(2013·海淀模拟)已知下列命题： ①函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________．解析：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，而不是π2，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2⇒/ a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②16．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 的个数为________．解析：由题意，知S 为函数y ＝lg(36－x 2)的定义域内的自然数集，由36－x 2>0，解得－6<x <6，又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然当k ＝0时，k 2＝k ＝0；当k ＝1时，k 2＝k ＝1.所以0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不能同时在集合M 中，才能称为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M中所含两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3与5，即M＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M共有5个．答案：5。
2014高考数学(文)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分 专题2 第2讲 填空题技法专练含解析
[填空题技法专练］1．（2013·海口模拟）在△ABC中，若｜AB｜＝1，|AC｜＝错误!，|AB＋AC|＝|BC｜，则｜AC－AB|＝________。
解析:依题意得｜AB＋AC｜2＝｜AC－AB|2，（AB＋AC)2－(AC－AB）2＝4AC·AB＝0,AC⊥AB，｜AC－AB|＝｜BC｜＝错误!＝2.答案：22．已知函数f（x）＝（1＋tan x）cos2x的定义域为错误!，则函数f(x)的值域为________．解析：f(x)＝(1＋tan x)cos2x＝错误!sin错误!＋错误!，因为x∈错误!，所以sin错误!∈错误!，所以f(x）的值域为错误!.答案：错误!3．(2013·济南模拟）复数错误!的虚部为________．解析：∵错误!＝错误!＝1－i，∴复数错误!的虚部为－1。
答案：－14．已知点P（x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取得最小值时，过点P引圆错误!2＋错误!2＝错误!的切线，则此切线段的长度为________．解析：由基本不等式得2x＋4y≥2错误!＝2错误!＝4错误!,当且仅当x＝2y＝错误!时取得最小值,即P错误!.由于点P与圆心C之间的距离｜PC｜＝错误!，故切线长＝错误!＝错误!＝错误!。
答案：错误!5．如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直，这样的棱柱叫做正棱柱．已知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上,则该正六棱柱的体积的最大值为________．解析：设棱柱高为2x(0<x<3）,则底面积S＝6×错误!×（错误!)2,则V＝Sh＝6×错误!（错误!)2×2x＝3错误!(9－x2）x＝－3错误!x3＋27错误!x，令V′＝－9错误!x2＋27错误!＝0，解得x＝±错误!，则V max＝V（错误!）＝－3错误!×3错误!＋27错误!×错误!＝54.答案：546．已知双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0)的焦点F到一条渐近线的距离为错误!|OF｜，点O为坐标原点,则此双曲线的离心率为________．解析：由题意知一焦点F（c,0）到直线y＝错误!x的距离为错误!c,即错误!＝b＝错误!c，整理得b2＝c2－a2＝错误!2，解得e＝错误!＝2。
【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专题五 第3
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分 专题五 第3讲 第一课时 圆锥曲线中的X 围、存在性和证明问题（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）1．(2013·某某高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．解：(1)如图1，设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |. 由此得|4－x |＝2x －12＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，图1∴动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图2.将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，图2 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2， ① x 1x 2＝243＋4k2. ② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1， ③ 将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2， 可得⎝⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图2. ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①②③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， ∴直线m 的斜率为－32或32.2．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M ，N 分别为其左、右顶点，过F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 的面积等于2，且满足|2MF |＝2|AB |＋|2F N |.(1)求此椭圆的方程；(2)当直线l 绕着焦点F 2旋转但不与x 轴重合时，求AM ·AN ＋BM ·BN 的取值X 围．解：(1)当直线l 与x 轴垂直时， 由S 四边形AMBN ＝12·2a ·2b2a ＝2，得b ＝1.又|2MF |＝2|AB |＋|2F N |， 所以a ＋c ＝2·2b2a＋a －c ，即ac ＝2，又a 2＝c 2＋1，解得a ＝ 2. 因此该椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，而M (－2，0)，N (2，0)，所以AM ＝(－2－x 1，－y 1)，AN ＝(2－x 1，－y 1)，BM ＝(－2－x 2，－y 2)，BN ＝(2－x 2，－y 2)．从而有AM ·AN ＋BM ·BN ＝(－2－x 1)(2－x 1)＋y 21＋(－2－x 2)(2－x 2)＋y 22＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－4＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2－4.因为直线l 过椭圆的焦点F 2(1,0)，所以可以设直线l 的方程为x ＝ty ＋1(t ∈R)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝ty ＋1消去x 并整理，得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0(Δ＞0恒成立)， 所以y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2. 从而x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2＝4t 2＋2， x 1x 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＝2－2t2t 2＋2，可得AM ·AN ＋BM ·BN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2＋22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2t 2t 2＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t t 2＋22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t 2＋2－4＝8t 2＋22－6t 2＋2. 令t 2＋2＝m ，则m ≥2.从而有AM ·AN ＋BM ·BN ＝8m 2－6m ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －382－98，而0＜1m ≤12，所以可以求得AM ·AN ＋BM ·BN 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－98，0.3．设点P 是曲线C ：x 2＝2py (p >0)上的动点，点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54.(1)求曲线C 的方程；(2)若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为k (k ≠0)的直线交C 于点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12.所以曲线C 的方程为x 2＝y .(2)由题意知直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1，则点M ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋1，y ＝x 2，消去y ，得x 2－kx ＋k －1＝0，解得x 1＝1，x 2＝k －1，则Q (k －1，(k －1)2)． 所以直线QN 的方程为y －(k －1)2＝－1k(x －k ＋1)，代入曲线y ＝x 2中，得x 2＋1k x －1＋1k －(1－k )2＝0，解得x 3＝k －1，x 4＝1－1k－k ，则N ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k－k ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2.所以直线MN 的斜率k MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k －k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k .又易知过点N 的切线的斜率k ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k .由题意有－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k .解得k ＝－1±52.故存在实数k ＝－1±52满足题意．4．(2013·海淀模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1,0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得QA ·QB ＝－716恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知c ＝1. 根据椭圆的定义得2a ＝ －1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫222＋22， 即a ＝ 2.所以b 2＝2－1＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设在x 轴上存在点Q (m,0)，使得QA ·QB ＝－716恒成立．当直线l 的斜率为0时，A (2，0)，B (－2，0)， 则(2－m,0)·(－2－m,0)＝－716， 解得m ＝±54.当直线l 的斜率不存在时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－22. 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋54，22·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋54，－22≠－716，所以m ≠－54.下面证明m ＝54时，QA ·QB ＝－716恒成立．显然直线l 的斜率为0时，QA ·QB ＝－716.当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝ty ＋1可得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0.显然Δ＞0，y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－1t 2＋2. 因为x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－54，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫ty 1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 2－14＋y 1y 2 ＝(t 2＋1)y 1y 2－14t (y 1＋y 2)＋116＝－(t 2＋1)1t 2＋2＋14t 2t t 2＋2＋116＝－2t 2－2＋t 22t 2＋2＋116＝－716. 综上所述，在x 轴上存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，使得QA ·QB ＝－716恒成立．。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题四 第一讲 空间几
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题四第一讲空间几何体(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．(2013·长春调研)一个简单几何体的正(主)视图、俯视图如图所示，则其侧(左)视图不可能是( )A．正方形B．圆C．等腰三角形D．直角梯形解析：选D 当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，A可能；当几何体是一个横放的圆柱时，B可能；当几何体是横放的三棱柱时，C可能；只有D不可能．2．(2013·陕西检测)如图是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，其中小立方体中的数学表示相应位置的小立方体的个数，则该几何体的侧(左)视图为( )解析：选C 由俯视图知侧(左)视图从左到右能看到的小立方体的个数分别为2,3,1.3．(2013·湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧(左)视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正(主)视图的面积等于( )A.32B．1C.2＋12D. 2解析：选D 由已知，正方体的正(主)视图与侧(左)视图都是长为2，宽为1的矩形，所以正(主)视图的面积等于侧(左)视图的面积等于 2.4．(2013·洛阳模拟)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．64＋32πB．64＋64πC．256＋64πD．256＋128π解析：选C 依题意，该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体，其中正四棱柱的底面边长是8，侧棱长是4，圆柱的底面半径是4，高是4，因此所求几何体的体积等于π×42×4＋82×4＝256＋64π.5．(2013·东城检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．75＋210 B．75＋410C．48＋410 D．48＋210解析：选B 由三视图可知该几何体是一个四棱柱．两个底面的面积之和为2×4＋52×3＝27，四个侧面的面积之和为(3＋4＋5＋10)×4＝48＋410，故表面积为75＋410.6．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C 中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．7．(2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是 ( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83.8．(2013·江西高考)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π解析：选A 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为62＝3，母线长为2，故V ＝10×4×5＋12π×32×2＝200＋9π.9．(2013·辽宁五校联考)已知三边长分别为3,4,5的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P ABC 的体积为( )A ．5B ．10C ．20D ．30解析：选A 取点P 在平面ABC 上的射影O ，则OP ＝OA ＝OB ＝OC ＝R ，又因为S △ABC ＝12|AB |·|AC |·sin C ，由正弦定理可得sin C ＝|BC |2R ，故12|AB |·|AC |·sin C ＝|AB |·|AC |·|BC |4R ＝6，解得R ＝52，故V P ABC ＝13S △ABC ·R ＝5.10．已知α，β，γ是三个不重合的平面，a ，b 是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．只有②解析：选C 由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③.二、填空题11．(2013·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)解析：圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V ＝13πh (r 2中＋r 2下＋r 中r 下)＝π3×9×(102＋62＋10×6)＝588π，降雨量为V 142π＝3×196π196π＝3.答案：312．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个三棱锥的组合体，如图所示，且EA ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，则有FD ＝4，AE ＝2， AD ＝DC ＝4，FD ∥EA ，所以F 和D 到平面AEB 的距离相等，且为4，故V F BAE ＝13×S △BAE ×AD ＝13×12×4×2×4＝163，V F ABCD ＝13×S 四边形ABCD ×FD ＝13×4×4×4＝643，则该几何体的体积为163＋643＝803.答案：80313．(2013·长春三校调研)在三棱柱ABC A ′B ′C ′中，已知AA ′⊥平面ABC ，AA ′＝2，BC ＝23，∠BAC ＝π2，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．解析：依题意可知，球心到平面ABC 的距离为12AA ′＝1，平面ABC 所在圆的半径为12BC＝3，则球的半径为12＋32＝2，则球的体积为43×π×23＝32π3.答案：32π314．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S＝4πR 2＝24π.答案：24π15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2，高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin 60°×1＝533.答案：53316．已知三棱锥P ABC 的各顶点均在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，PO ⊥平面ABC ，AC BC＝3，则三棱锥与球的体积之比为________．解析：如图，依题意，AB ＝2R ，又ACBC＝3，∠ACB ＝90°，因此AC ＝3R ，BC ＝R ，V P ABC＝13PO ·S △ABC ＝13×R ×⎝ ⎛12×3R × )R ＝36R 3，而V 球＝4π3R 3，因此V P ABC ∶V 球＝36R 3∶4π3R 3＝3∶8π.答案：3∶8π。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第2部分 专题一 第三讲 数学思想
[数学思想专练(三)]一、选择题1．(2013·南昌模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q 是( )A ．－332B.332 C ．－342D.342解析：选C 若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.又依题意S 3＋S 6＝2S 9，即a 1－q 31－q＋a 1－q 61－q＝2·a 1－q 91－q，化简得q 3(2q 6－q 3－1)＝0，即(2q 3＋1)·(q 3－1)＝0，因为q ≠1，所以q 3－1≠0，则2q 3＋1＝0，解得q ＝－342. 2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A f (1)＝21＝2，由f (a )＋f (1)＝0，得f (a )＝－2. 若a >0，则f (a )＝2a，因为2a>20＝1，所以f (a )＝－2无解；若a ≤0，则f (a )＝a ＋1，由f (a )＝－2，即a ＋1＝－2，解得a ＝－3，显然满足a ≤0. 综上所述，a ＝－3.3．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833 B ．4 3 C.239D ．43或833解析：选D 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.4．a 、b 、c 、d 是空间的四条直线，如果a ⊥c ，b ⊥c ， a ⊥d ，b ⊥d ，那么( ) A ．a ∥b 或c ∥dB ．a 、b 、c 、d 中任何两条直线都不平行C ．a ∥b 且c ∥dD ．a 、b 、c 、d 中至多有一对直线平行解析：选A (1)若a 、b 相交，必须确定一个平面α，由题设知c ⊥α，d ⊥α，则c ∥d ；(2)若a ∥b ，则满足题设条件的直线c 、d 的位置关系不确定，可能平行，可能相交，也可能异面；(3)若a 、b 异面，由c ⊥a ，c ⊥b ，得c 平行或重合于a 、b 的公垂线，同理d 也平行或重合于a 、b 的公垂线，于是c ∥d .综上所述，a ∥b 或c ∥d 必有一个成立．5．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为( )A ．－112，0B.112，0C.112，－112D.14，－112解析：选A A ＝{－4,3}．当k ＝0时， B ＝∅，符合要求；当k ≠0时，x ＝－1k.由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，所以－1k ＝－4或－1k＝3，所以k ＝14或k ＝－13，所以实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为 －112，0. 6．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)解析：选C 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立，所以a ＝2；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的范围是{a |－2<a ≤2}． 二、填空题7．对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝m ＋n2；当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝mn ，设集合A ＝{(a ，b )|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，则集合A 中的元素个数为________．解析：(1)当a ，b 都为偶数或都为奇数时，a ＋b2＝6⇒a ＋b ＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a ，b )有2×5＋1＝11个．(2)当a ，b 为一奇一偶时，ab ＝6⇒ab ＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a ，b )有2×3＝6个．综上所述，集合A 中的元素共有17个． 答案：178．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前20项的和为________．解析：当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋1，故奇数项是首项为1，公差为1的等差数列，其前10项之和等于1×10＋10×92＝55；当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n ，故偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，其前10项之和为－2101－2＝211－2＝2 046.所以，数列{a n }的前20项之和为55＋2 046＝2 101. 答案：2 1019．若x >0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________． 解析：当x >1时，y ＝lg x ＋log x 10＝lg x ＋1lg x≥2lg x ·1lg x ＝2；当0<x <1时，y ＝lg x ＋log x 10＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ≤－2－lg x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ＝－2. 所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞) 三、解答题10．已知函数f (x )＝ax 3－32(a ＋2)x 2＋6x －3.(1)当a >2时，求函数f (x )的极小值；(2)试讨论函数y ＝f (x )的图像与x 轴公共点的个数．解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2－3(a ＋2)x ＋6＝3a ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x －1)，∴易求得函数f (x )的极小值为f (1)＝－a2.(2)①a ＝0，则f (x )＝－3(x －1)2， ∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点；②若a <0，则f (x )的极大值为f (1)＝－a 2>0，f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a <0，∴f (x )的图像与x 轴有3个交点；③若0<a <2，则f (x )的极大值为f (1)＝－a 2<0，f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a <0， ∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点， ④若a ＝2，则f ′(x )＝6(x －1)2≥0， ∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点；⑤若a >2，由(1)知f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －342－34<0，f (x )的极小值为f (1)＝－a2<0，∴f (x )的图像与x 轴只有1个交点；综上知，若a ≥0，则f (x )的图像与x 轴只有1个交点；若a <0，则f (x )的图像与x 轴有3个交点．11．(2013·东莞模拟)已知椭圆C 的中心为原点O ，点F (1,0)是它的一个焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，OA ·OB ＝12.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P 为椭圆的上顶点，且存在实数t 使PA ＋PB ＝t PF 成立，求实数t 的值和直线l 的方程．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a 2－b 2＝1. ①∵当l 垂直于x 轴时，A ，B 两点坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b 2a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a ， ∴OA ·OB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a ＝1－b 4a 2，则1－b 4a 2＝12，即a 2＝2b 4. ②由①②消去a 得2b 4－b 2－1＝0. ∴b 2＝1或b 2＝－12(舍去)．当b 2＝1时，a 2＝2，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当直线斜率不存在时，易求A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22，P (0,1)，所以PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22－1，PB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22－1，PF ＝(1，－1)， 由t 使PA ＋PB ＝t PF ，得t ＝2，直线l 的方程为x ＝1， 当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以PA ＝(x 1，y 1－1)，PB ＝(x 2，y 2－1)，PF ＝(1，－1)， 由PA ＋PB ＝t PF，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝t ，y 1－1＋y 2－1＝－t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝t ，y 1＋y 2＝2－t .因为y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，解得k ＝－1， 此时，直线l 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－x ＋1，得3x 2－4x ＝0，t ＝x 1＋x 2＝43，所以，当直线斜率存在时，t ＝43，直线l 的方程为y ＝－x ＋1，综上所述，存在实数t 且t ＝2时，直线方程为x ＝1； 当t ＝43时，直线l 的方程为y ＝－x ＋1.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第三讲 基本初等
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5， c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <b解析：选C 根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .2．(2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选D 由已知，得f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，所以f (x )＋f (－x )＝2.因为lg 2，lg 12互为相反数，所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 3．(2013·日照模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是( )A ．(0，5)B ．(－5，5)C ．(2，5)D ．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 由已知得函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，且f (1)＝2，所以0<x 2－4<1，则x ∈(－5，－2)∪(2, 5)．4．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1、y 2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A 设仓库到车站的距离为x 千米，由题意得y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x >0，又当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，故k 1＝20，k 2＝45.所以y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．5．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意得，当x －1>0，即x >1时，f (x )＝1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝e>1；当x －1＝0，即x ＝1时，f (x )＝0－ln 1＝0；当x －1<0，即x <1时，f (x )＝－1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝1e<1.因此，函数f (x )的零点个数为3.6．已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：选A a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图像(图略)，由图可知，两函数的图像在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点．所以n ＝－1.7．(2013·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －4|，x ≠4，a ， x ＝4，若函数y ＝f (x )－2有3个零点，则实数a 的值为( )A ．－4B ．－2C ．0D ． 2解析：选D 如图，当函数y ＝f (x )－2有3个零点时，等价于函数y ＝f (x )的图像和y ＝2的图像有3个交点，此时必有a ＝2.8．(2013·沈阳模拟)已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 C.⎝⎛⎭⎪⎫110，1D ．(10，＋∞)解析：选C 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝1＋lg a 1－lg a ，由方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a 1－lg a 有正根，即f (x )，g (x )的图像在(0，＋∞)上有交点，如图可知0<1＋lg a1－lg a <1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a >0，1＋lg a1－lg a <1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧－1<lg a <1，2lg alg a －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<lg a <1，lg a <0或lg a >1，即－1<lg a <0，则110<a <1.9．已知两条直线l 1：y ＝a 和l 2：y ＝182a ＋1(其中a >0)，l 1与函数y ＝|log 4x |的图像从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 4x |的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为m ，n .当a 变化时，n m的最小值为( )A ．4B ．16C ．211D ．210解析：选C 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则x A ＝4－a，x B ＝4a，x C ＝4－1821a +，x D ＝41821a +，则n m ＝4a－41821a +41821a -+－4－a，分子与分母同乘以41821a a ++，可得n m ＝4a ＋182a ＋1＝218221a a ++.又2a ＋362a ＋1＝2a ＋1＋362a ＋1－1≥2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫362a ＋1－1＝11，当且仅当2a＋1＝6，即a ＝52时等号成立，所以n m的最小值为211.10．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，－1<x ≤0，f x －＋1，x >0，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －2B ．a n ＝n (n －1)C ．a n ＝n －1D ．a n ＝2n－2解析：选C 当x ∈(－1,0]时，f (x )＝x 3，其端点为(0,0)，然后将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到x ∈(0,1]的图像，其中一端点为(1,1)，….如此平移下去，分别得到x ∈(1,2]，x ∈(2,3]，…的图像，其端点分别为(2,2)，(3,3)，…，又其图像与直线y ＝x 的交点的横坐标即为函数g (x )＝f (x )－x 的零点，易知零点分别为0,1,2,3，…，故其通项公式为a n ＝n －1.二、填空题11．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f－x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________．解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 答案：012．(2013·潍坊模拟)若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 在区间[1，e 2]上有解，则实数k 的取值范围是________．解析：原方程在区间[1，e 2]上有解，即方程k ＝ln x －1x在区间[1，e 2]上有解，也就是函数y ＝k 和y ＝ln x －1x 的图像在区间[1，e 2]上有交点．因为y ＝ln x －1x 的导数为2－ln x x，所以可得函数y ＝ln x －1x 在[1，e 2]上单调递增，可知函数y ＝ln x －1x在x ＝e 2处取得最大值1e 2，在x ＝1处取得最小值－1，所以函数y ＝ln x －1x 在[1，e 2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1e 2，从而－1≤k ≤1e2.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1e 13．函数y ＝f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，则f (x )在区间[0,2 012]上零点的个数为________．解析：根据f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋54＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54，可得fx ＋52＝－f (x )，进而得f (x ＋5)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以5为周期的周期函数．当x ∈[－1,4]时，f (x )＝x 2－2x，在[－1,0]内有一个零点，在(0,4]内有x 1＝2，x 2＝4两个零点，故在一个周期内函数有三个零点．又因为2 012＝402×5＋2，故函数在区间[0,2 010]内有402×3＝1 206个零点，在区间(2 010,2 012]内的零点个数与在区间(0,2]内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f (x )在[0,2 012]上零点的个数为1 207.答案：1 20714．2013届大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________．解析：由题意，知总成本C (x )＝20 000＋100 x . 所以总利润P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400.令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大． 答案：30015．(2013·西城模拟)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：f (－x )＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x＋x 是增函数，此时f (x )＝e x＋x ≥f (0)＝1，因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，即函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝k 有两个不同的交点，结合图形可知，实数k 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)16．设函数f (x )＝a x＋b x－c x，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．①任意x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②存在x 0∈R ，使ax 0，bx 0，cx 0不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则存在x 0∈(1,2)，使f (x 0)＝0. 解析：(1)由题设f (x )＝0，a ＝b ⇒2a x＝c x⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＝12， 又a ＋b ≤c ，a ＝b ⇒a c ≤12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0，所以12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x⇒0<x ≤1.(2)由题设a ＋b >c ⇒a c ＋b c >1，又0<a c <1,0<bc <1，∀x ∈(－∞，1)⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x >a c ，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x >b c ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b cx >1，即f (x )>0，所以①正确；由(1)可知②正确；由△ABC 为钝角三角形，所以a 2＋b 2<c 2，所以f (2)<0.又a ＋b >c ，所以a c ＋bc>1，所以f (1)>0，由零点存在性定理可知③正确．答案：(1){x |0<x ≤1} (2)①②③。
【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专题二 第3
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分 专题二 第3讲 平 面 向 量选择、填空题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）一、选择题1．已知a ，b ，c 是平面向量，下列命题中真命题的个数是( ) ①(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ②|a ·b |＝|a ||b |； ③|a ＋b |2＝(a ＋b )2;④a ·b ＝b ·c ⇒a ＝c . A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确． 2．(2013·潍坊模拟)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE ·BD ＝( )A ．－3B ．0C ．－1D ．1解析：选 C AE ·BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋12AD ·(AD －AB )＝12|AD |2－|AB |2＋12AB ·AD ＝2－4＋12×2×2×12＝－1.3．(2013·某某模拟)已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM ＝λOB ＋(1－λ)OA ，实数λ∈(1,2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 一定共线解析：选B 依题意得OM －OA ＝λ(OB －OA )，即AM ＝λAB .又λ∈(1,2)，因此点B 在线段AM 上．4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A.5 B ．2 5 C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为12|AC |·|BD |＝12×5×20＝5.6．(2013·某某模拟)已知a ，b 是平面向量，若a ⊥(a －2b )，b ⊥(b －2a )，则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B 记向量a ，b 的夹角为θ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·a －2b ＝0，b ·b －2a ＝0，即|a |2＝|b |2＝2a ·b ＝2|b |2cos θ，cos θ＝12，θ＝π3，即向量a ，b 的夹角为θ＝π3.7．△ABC 中，AB 边上的高为CD ，若CB ＝a ，CA ＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD ＝( )A.13a －13bB.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b 解析：选D 如图所示，∵a ·b ＝0， ∴a ⊥b ，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5. 又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝455.∴AD ＝45AB ＝45(a －b )＝45a －45b .8．(2013·某某模拟)在平面直角坐标系中，A (3,1)，B (－3，－3)，C (1,4)，P 是AB 和AC 夹角平分线上的一点，且|AP |＝2，则AP 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52613，2613B ．(－2，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－455，255D ．(－3，1)解析：选A 因为AB ＝(－6，－4)，AC ＝(－2,3)，由点P 是角平分线上的一点，故AP ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB |＋AC |AC |，即AP ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB |＋AC |AC |＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－4213＋－2，313＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10213，2213，即|AP |2＝λ2×⎝ ⎛⎭⎪⎫10052＋452＝2λ2＝4，解得λ＝2，故AP ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－10213，2213＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52613，2613.9.如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，且满足AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m 、n ∈(0,1)，m ＋n ＝1，M 、N 分别是EF 、BC 的中点，则|MN |的最小值为( )A.24B.33 C.34D.53解析：选C 在△ABC 中，连接AM ，AN ，则有MN ＝AN －AM ，AN ＝12(AB ＋AC )，AM ＝12(AE ＋AF )，则MN ＝12(AB ＋AC －AE －AF )＝1－m 2AB ＋1－n2AC ，∴|MN |2＝1－m24＋1－n 24＋1－m1－n4.又m ＋n ＝1，∴|MN |2＝m 2－m ＋14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋316，则当m ＝12时，|MN |取最小值34.10.如图所示，等边三角形ABC 的边长为2，D 为AC 的中点，且△ADE 也是等边三角形．在△ADE 以点A 为中心向下转动到稳定位置的过程中，BD ·CE 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，53 解析：选A 如图所示，在△ADE 转动的过程中，设∠BAD ＝θ，则∠CAE ＝θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以BD ·CE ＝(BA ＋AD )·(CA ＋AE )＝|BA |·|CA |cos60°＋|AD |·|AE |·cos 60°＋BA ·AE ＋AD ·CA ＝－2cos θ＋52，又cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以BD ·CE 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 二、填空题11．(2013·高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：412．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________.解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12.由b·c ＝0得b ·[ta ＋(1－t )b ]＝0，即ta·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：213．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：依题意得|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，所以|a |＝1＋6×12＋9＝13，|b |＝2，所以向量a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |＝2＋6×122＝52.答案：5214．(2013·威海模拟)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足|OA ＋OB |＝|OA －OB |，则实数a 的值是________．解析：由|OA ＋OB |＝|OA －OB |，得|OA ＋OB |2＝|OA －OB |2，即|OA |2＋|OB |2＋2OA ·OB ＝|OA |2＋|OB |2－2OA ·OB ，所以OA ·OB ＝0，因此OA ⊥OB .在等腰Rt △OAB 中，圆心O 到直线x ＋y ＝a 的距离为d ＝22|a |＝2，所以|a |＝2，故a ＝±2.答案：±215．(2013·某某模拟)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的一个动点．若OC ＝x OA ＋y OB ，则x ＋3y 的取值X 围是________．解析：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π3，则有OC ＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y ＝cos θ，sin θ＝32x ，解得x ＝2sin θ3，y ＝cos θ－sin θ3，故x ＋3y ＝2sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，其中0≤θ≤π3，易知f (θ)＝3cos θ－33sin θ为减函数，由单调性易得其值域为[1,3]．答案：[1,3]16．(2013·某某模拟)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若△ABC 所在平面内的一点P 满足PA ＋PB ＋λPC ＝0，则(1)当λ＝1时，|PA |2＋|PB |2|PC |2＝________； (2)|PA |2＋|PB |2|PC |2的最小值为________． 解析：当λ＝1时，PA ＋PB ＋PC ＝0，此时点P 为△ABC 的重心．以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线为x 轴，y 轴正半轴建立平面直角坐标系，设A (a,0)，B (0，b )，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝49a 2＋19b 2＋19a 2＋49b219a 2＋19b 2＝5. 由PA ＋PB ＋λPC ＝0得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a λ＋2，b λ＋2，所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a λ＋2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b λ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a λ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b λ＋2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a λ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b λ＋22＝λ2＋2λ＋2，当λ＝－1时，|PA |2＋|PB |2|PC |2取得最小值1. 答案：(1)5 (2)1。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题二 第四讲 高考中的
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题二 第四讲 高考中的三角函数(解答题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23. (1)求b 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3的值． 解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6. (2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，从而得cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝459. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝45＋318.3．(2013·南昌模拟)已知平面向量a ＝(cos φ，sin φ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sinφ，－cos φ)，其中0<φ<π，且函数f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1. (1)求φ的值；(2)先将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，然后将得到的函数图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)∵a ·b ＝cos φcos x ＋sin φsin x ＝cos(φ－x )，b ·c ＝cos x sin φ－sin x cos φ＝sin(φ－x )．∴f (x )＝(a ·b )cos x ＋(b ·c )sin x＝cos(φ－x )cos x ＋sin(φ－x )sin x＝cos(φ－x －x )＝cos(2x －φ)，即f (x )＝cos(2x －φ)．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，且0<φ<π， ∴φ＝π3. (2)由(1)得，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，其图像平移后得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像，于是可得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤x －π6≤π3， ∴12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≤1， 即当x ＝π2时，g (x )取得最小值12， 当x ＝π6时，g (x )取得最大值1. 4．(2013·济南模拟)已知m ＝(2cos x ＋23sin x,1)，n ＝(cos x ，－y )，且m ⊥n .(1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调递增区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，所以y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 则－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1＝3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，所以A ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z.因为0<A <π，所以A ＝π3. 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋c 2－bc ，所以4＝(b ＋c )2－3bc ，因为b ＋c ＝4，所以bc ＝4.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第2部分 专题一 第二讲 数学思想
[数学思想专练(二)]一、选择题1．不等式x 2－log a x <0，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1 B.116≤a ＜1C ．a >1D ．0<a ≤116解析：选B 不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，所以a ≥116，所以116≤a <1.2．(2013·西城模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数g (x )＝f (x )－e x的零点即为函数f (x )与y ＝ex的图像交点的个数，如图所示，作出函数f (x )与y ＝e x的图像，由图像可知两个函数图像有两个交点，∴函数g (x )＝f (x )－e x有两个零点．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 令x ＋1＝0，得x ＝－1，令log 2x ＝0，得x ＝1；令F (x )＝f (f (x ))＋1，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－1，log 2x ＋＋1，－1<x ≤0，log 2x ＋2，0<x ≤1，log 22x ＋1，x >1.作出函数y ＝F (x )的图像如图所示，有4个零点．4．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，即a ·b ＝0，∴a ⊥b . 如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝31，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.5．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M ，N 两点，若直线MF 1(F 1为椭圆的左焦点)是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A ．2－ 3 B.3－1 C.22D.32解：选B 如图，易知|MF 2|＝c ，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|MF 1|＝2a －c .在△F 1MF 2中，∵MF 1⊥MF 2，又|F 1F 2|＝2c ，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2，即2a 2－2ac －c 2＝0.方程两边同除以－a 2得e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 画出函数f (x )的图像，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10，10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.二、填空题7．如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图像与函数y ＝k (x －2)＋4的图像有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．解析：函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋ (y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋ 4－x 2的图像是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图像如图所示，易得实数k 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.答案：⎝⎛⎦⎥⎤512，348．已知1a ＋2b＝1(a >0，b >0)，当ab 取最小值时，方程2－2x ＝ b －bax |x |的实数解的个数是________．解析：1ab ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋2b 22＝18，当1a ＝2b ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，则方程1－x ＝2－x |x |，在同一坐标系作出y 1＝－(x －1)和y 2＝2－x |x |的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1. 答案：19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，作出函数f (x )的图像，显然f (x )在(－∞，0)上单调递减，而a >0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2a ×12－1＝a －1，所以若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a －1>0，即a >1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22成立，故④正确．综上，正确的命题有①③④. 答案：①③④ 三、解答题10．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R)． (1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0,3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1,2]上的最小值． 解：(1)因为x |x －1|＋1＝x ， 所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1， x ≥a ，－x 2＋ax ＋1， x <a ，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间[1,2]上递增，f (x )min ＝f (1)＝2－a;②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0， 所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.11．设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≤0，g x ，x >0，其中f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝12x 2－ln x ，方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解：x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，所以当x ＝1时，g (x )取极小值g (1)＝12.(1)当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有4个解； (2)当a <0时，因为f ′(x )＝3a (x 2－1)，若x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＝3a (x 2－1)，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(1)所示，从图像可以看出F (x )＝a 2不可能有4个解．图(1) 图(2)(3)当a >0时，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(2)所示，从图像看出方程F (x )＝a 2若有4个解，则12<a 2<2a ，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专题二 第4讲 高
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题二 第4讲 高考中的三角函数解答题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）1．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，知当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1； 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， ∴ f (x )的最小值为－12. 因此，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3的值． 解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6. (2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，从而得cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝459. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝45＋318. 3．(2013·济南模拟)已知m ＝(2cos x ＋23sin x,1)，n ＝(cos x ，－y )，且m ⊥n .(1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调递增区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，所以y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 则－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋1＝3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，所以A ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z. 因为0<A <π，所以A ＝π3. 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋c 2－bc ，所以4＝(b ＋c )2－3bc ，因为b ＋c ＝4，所以bc ＝4.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3. 4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋φ2cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，其图像的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1. (1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值． 解：(1)f (x )＝32sin(ωx ＋φ)＋12[1－cos(ωx ＋φ)]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6＋12， ∵两个相邻对称中心的距离为π2，∴最小正周期T ＝π， ∴2π|ω|＝π，∵ω>0，∴ω＝2. 又f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＋φ＋12＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝12， ∴cos φ＝12. ∵0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＋π6＋12＝sin C ＋12＝76， 故sin C ＝23. ∵0<C <π2，∴cos C ＝53. 又a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×b ×23＝25， ∴b ＝6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝21，∴c ＝21.。
【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专题三 第2
《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分 专题三 第2讲 高考中的数列解答题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）1．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)∵S n ＝na n －n (n －1)，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)a n －1－(n －1)(n －2)， ∴a n ＝S n －S n －1＝na n －n (n －1)－(n －1)a n －1＋(n －1)(n －2)， 即a n －a n －1＝2.∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列， 故a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知b n ＝2a n a n ＋1＝22n －12n ＋1＝12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32(a n －1)，数列{b n }满足b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，且b 1＝3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{}满足＝a n ·log 2(b n ＋1)，其前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)对于数列{a n }有S n ＝32(a n －1)，①S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2)，②由①－②得a n ＝32(a n －a n －1)，即a n ＝3a n －1，n ＝1时，由S 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，则a n ＝a 1·qn －1＝3·3n －1＝3n.对于数列{b n }有b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，可得b n ＋1＝14b n －1＋14，即b n ＋1b n －1＋1＝14.b n ＋1＝(b 1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝42－n ， 即b n ＝42－n－1.(2)由(1)可知＝a n ·log 2(b n ＋1)＝3n·log 242－n＝3n ·log 224－2n＝3n(4－2n )．T n ＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n )·3n ，③3T n ＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n )·3n ＋(4－2n )·3n ＋1，④由③－④得－2T n ＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n －(4－2n )·3n ＋1＝6＋(－2)(32＋33＋…＋3n )－(4－2n )·3n ＋1.则T n ＝－3＋91－3n －11－3＋(2－n )·3n ＋1＝－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－n ·3n ＋1.4．(2013·某某模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＋3＝3a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n ＋1a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：T n <72(n ∈N *)．解：(1)当n ＝1时，2S 1＋3＝3a 1⇒a 1＝3;当n ≥2时，2S n ＋3＝3a n,2S n －1＋3＝3a n －1， ∴2S n －2S n －1＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n.(2)证明：由(1)得b n ＝4n ＋1a n ＝(4n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋9×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋(4n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋(4n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，①∴13T n ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋9×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(4n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋(4n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，② 由①－②得23T n ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －(4n ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1 ＝13＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －(4n ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1 ＝13＋4·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13－(4n ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －(4n ＋1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1. ∴2T n ＝7－(4n ＋7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .∴T n ＝72－12(4n ＋7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <72.5．已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k (k 为常数)． (1)若k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； (2)若k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值；(3)已知a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n ∈N *都成立？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中，令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2， 即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a 1>0，所以a 3－2a 2＋a 1＝0， 即a 2－a 1＝a 3－a 2， 故a 1，a 2，a 3成等差数列． (2)当k ＝0时，a 2n ＋1＝a n a n ＋2.因为数列{a n }的各项都为正数，所以数列{a n }是等比数列． 设公比为q (q >0)．因为a 2，a 4，a 5成等差数列，所以a 2＋a 5＝2a 4， 即a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 3.因为a 1>0，q >0，所以q 3－2q 2＋1＝0， 解得q ＝1或q ＝1＋52或1－52(舍去负值)．所以a 2a 1＝q ＝1或a 2a 1＝q ＝1＋52.(3)存在常数λ＝a 2＋b 2－k ab，使a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1.证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋k ，n ≥2，n ∈N *， 所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1， 即a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1＝a n a n ＋2＋a 2n .由于a n >0，此等式两边同除以a n a n ＋1， 得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n， 所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2， 即当n ∈N *时，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1. 因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－ka，所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－k a b ＝a 2＋b 2－kab，所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－k ab.6．设a n 是函数f (x )＝x 3＋n 2x －1(n ∈N *)的零点． (1)证明：0<a n <1； (2)证明：nn ＋1<a 1＋a 2＋…＋a n <32. 证明：(1)因为f (0)＝－1<0，f (1)＝n 2>0，且f (x )在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数f (x )在(0,1)内有零点． 因为f ′(x )＝3x 2＋n 2>0， 所以函数f (x )在R 上单调递增．所以函数f (x )在R 上只有一个零点，且零点在区间(0,1)内． 而a n 是函数f (x )的零点，所以0<a n <1. (2)先证明左边的不等式：因为a 3n ＋n 2a n －1＝0，由(1)知0<a n <1，所以a 3n <a n ，即1－n 2a n ＝a 3n <a n ，所以a n >1n 2＋1. 因为a n >1n 2＋1≥1nn ＋1＝1n －1n ＋1， 所以a 1＋a 2＋…＋a n >⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 再证明右边的不等式： 当n ＝1时，f (x )＝x 3＋x －1.由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋12－1＝－38<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＋34－1＝1164>0，所以12<a 1<34.由(1)知0<a n <1，且a 3n ＋n 2a n －1＝0， 所以a n ＝1－a 3n n 2<1n2.因为当n ≥2时，1n2<1n －1n ＝1n －1－1n，所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n <34＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋12－1n <32. 所以当n ∈N *时，都有a 1＋a 2＋…＋a n <32.综上所述，nn ＋1<a 1＋a 2＋…＋a n <32.。
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题三 第一讲 等差数列
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题三 第一讲 等差数列、等比数列(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）"一、选择题1．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为( )A ．2B ．3 C.12 D.13解析：选A 设等比数列的公比为q ，依题意有S 6＝9S 3，∴S 6－S 3＝8S 3，∴S 6－S 3S 3＝8，即q 3＝8，得q ＝2.2．(2013·南昌模拟)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和， S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( )A ．4 2B ．±4 2C ．4D ．±4 解析：选B 依题意得S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝－36，a 5＝－4; S 13＝a 1＋a 132＝13a 7＝－104，a 7＝－8，a 5a 7＝32.因此a 5与a 7的等比中项是±32＝±4 2.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2 013＝S 2 013＝2 013，则a 1＝( ) A ．－2 014B ．－2 013C ．－2 012D ．－2 011解析：选D S 2 013＝2 013a 1 007＝2 013，所以a 1 007＝1，则d ＝a 2 013－a 1 0071 006＝2，a 1＝a 2 013－2 012d ＝－2 011.4．(2013·合肥模拟)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7解析：选D 依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0，2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.5．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…，是一个以5为首项，以2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.6．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )A ．4B ．3C ．23－2D.92解析：选A 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n＝2n －1，S n ＝n 2.因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝n ＋2－n ＋＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据均值不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2n ＋9n ＋1－2＝4，当且仅当n ＝2时等号成立．7．已知等比数列{a n }的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 由题意得a 1＋a 3＋…＋a n －1＝85，a 2＋a 4＋…＋a n ＝170，所以数列{a n }的公比q ＝2.由数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1－q n1－q，得85＋170＝1－2n1－2，解得n ＝8.8．(2013·西宁模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．S 102＝0B ．S 102＝1C ．S 102＝3D ．S 102＝4解析：选A 依题意得a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，数列{a n }的项是以6为周期重复性地出现，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0. 注意到102＝6×17.因此S 102＝17×0＝0.9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( ) A.15n 3－25n ＋65 B ．n 3－5n 2＋9n －4 C ．n 2－2n ＋2D ．2n 2－5n ＋4解析：选C 依题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋n －11＋2n －32＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2.10．(2013·南昌模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，已知(a 8＋1)3＋2 013(a 8＋1)＝1，(a 2 006＋1)3＋2 013(a 2 006＋1)＝－1，则下列结论正确的是( )A ．d <0，S 2 013＝2 013B ．d >0，S 2 013＝2 013C ．d <0，S 2 013＝－2 013D ．d >0，S 2 013＝－2 013解析：选C 记f (x )＝x 3＋2 013x ，则函数f (x )是在R 上的奇函数且为增函数；依题意有f (a 8＋1)＝－f (a 2 006＋1)＝1>f (0)＝0，即f (a 8＋1)＝f [－(a 2 006＋1)]＝1，a 8＋1＝－(a 2 006＋1)，a 8＋1>0>a 2 006＋1，即a 8>a 2 006，d ＝a 2 006－a 82 006－8<0；a 8＋a 2 006＝－2，S 2 013＝2 013a 1＋a 2 0132＝2 013a 8＋a 2 0062＝－2 013.二、填空题11．(2013·广东高考)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.解析：依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 答案：1512．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧S10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2n －2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49.故nS n 最小值为－49.答案：－4913．(2013·深圳模拟)已知公比为2的等比数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＋a 11＋a 14＋a 17＋a 20＝13，则该数列前21项的和S 21＝______.解析：设等比数列的首项为a 1，公比q ＝2，前n 项和为S n .由题知a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，a 20仍为等比数列，其首项为a 2，公比为q 3，故其前7项的和为T 7＝a 2[1－q 37]1－q3＝a 1q －q 21－q ＋q ＋q 2＝a 1－q211－q·q 1＋q ＋q 2＝S 21·27＝13，解得S 21＝912. 答案：91214．公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…，构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.解析：据题意等差数列a 1，a 2，a 6成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒ak 4＝64a 1＝a 1＋(n －1)·(3a 1)，解得n ＝22，即k 4＝22.答案：2215．将正奇数按如下表的规律填在5列的数表中，则2 013排在数表的第________行，第________列．等差数列，所以通项公式可写成a n ＝8n －5，当n ＝252时，a 252＝2 011.又因为此数表偶数行的数从右向左递增，故2 013排在数表的第252行，第2列．答案：252 216．在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 1＋a 4＝12，则a n ＝________；设b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和S n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则有a 2＋a 3＝5＋a 3＝12，a 3＝7，d ＝a 3－a 2＝2，a n＝a 2＋(n －2)d ＝2n ＋1.b n ＝14nn ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，因此数列{b n }的前n 项和S n ＝14×⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛ 1n －⎦⎥⎤⎭⎪⎫1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝nn ＋.答案：2n ＋1n n ＋。
【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第2部分 专题一 第四讲 数
[数学思想专练(四)]一、选择题1．若a >2，则关于x 的方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：选B 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数．又f (0)f (2)＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫83－4a ＋1＝113－4a <0，所以f (x )＝0在(0,2)上恰好有1个根．2.如图所示，已知三棱锥P ABC ，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．240解析：选C 因为三棱锥P ABC 的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．把三棱锥P ABC 补成一个长方体AEBG FPDC ，易知三棱锥P ABC 的各边分别是此长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P ABC ＝V AEBG FPDC －V P AEB －V C ABG －V B PDC －V A FPC ＝V AEBG FPDC －4V P AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.3．定义运算：(a ⊕b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2.若关于x 的不等式(a ⊕b )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b ⊕a )⊗x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(1，＋∞)解析：选D 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.所以(－3⊕1)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0，即3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.4．已知OA ＝(cos θ1,2sin θ1)，OB ＝(cos θ2，2sin θ2)，若OA '＝(cos θ1，sinθ1)，OB '＝(cos θ2，sin θ2)，且满足OA '·OB '＝0，则S △OAB 等于( )A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选B 由条件OA '·OB '＝0，可得cos (θ1－θ2)＝0.利用特殊值，如设θ1＝π2，θ2＝0，代入，则A (0,2)，B (1,0)，故面积为1.5．已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x ＋1且给定条件p ：“π4≤x ≤π2”，又给定条件q ：“|f (x )－m |<2”，且p 是q 的充分条件，则实数m 的取值X 围是( )A ．(3,5)B ．(－2,2)C ．(1,3)D ．(5,7)解析：选D f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x ＋1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －23cos 2x ＋1＝2sin 2x －23cos 2x ＋3 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3.令t ＝2x －π3，当π4≤x ≤π2时，f (x )＝g (t )＝4sin t ＋3，π6≤t ≤2π3， ∴当π4≤x ≤π2时，f (x )max ＝7，f (x )min ＝5.∵p 是q 的充分条件，∴对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，|f (x )－m |<2恒成立，即m －2<f (x )<m ＋2恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧m －2<f x min，m ＋2>f xmim，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2<5，m ＋2>7，解得5<m <7.6．抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，则常数m 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(－1，＋∞)解析：选 A 若抛物线上两点(x 1，x 21)，(x 2，x 22)关于直线y ＝m (x －3)对称，则满足⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 222＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3，x 21－x 22x 1－x 2＝－1m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 22＝m x 1＋x 2－6，x 1＋x 2＝－1m ，消去x 2，得2x 21＋2mx 1＋1m2＋6m ＋1＝0.∵x 1∈R ，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1m2＋6m ＋1>0，即(2m ＋1)(6m 2－2m ＋1)<0. ∵6m 2－2m ＋1>0， ∴m <－12.即当m <－12时，抛物线上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，所以如果抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，那么m ≥－12.二、填空题7. 若x ，y ∈R ，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝(x ，y )x a －y b＝1，a >0，b >0，当A ∩B 有且只有一个元素时，a ，b 满足的关系式是________．解析：A ∩B 有且只有一个元素可转化为直线x a －y b＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，故圆心到直线的距离为|ab |b 2＋a2＝1.∵a >0，b >0，∴ab ＝a 2＋b 2.答案：ab ＝a 2＋b 28．(2013·呼和浩特模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝________.解析：因为1a n ＋1＝1a na n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 013－1a 2 014＝1a 1－1a 2 014，又a 1＝1，所以1a 2 014∈(0,1)，所以1a 1－1a 2 014∈(0,1)，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1－1a 2 014＝0.答案：09．在各棱长都等于1的正四面体OABC 中，若点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (x ＋y ＋z ＝1)，则|OP |的最小值等于________．解析：因为点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (x ＋y ＋z ＝1)，所以点P 与A 、B 、C 共面，即点P 在平面ABC 内，所以|OP |的最小值等于点O 到平面ABC 的距离，也就是正四面体的高，为63. 答案：63三、解答题10．在长方形AA 1B 1B 中，AB ＝2AA 1＝4，C ，C 1分别是AB ，A 1B 1的中点(如图(1))．将此长方形沿CC 1对折，使二面角A 1CC 1B 为直二面角，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点(如图(2))．(1)求证：C 1D∥平面A 1BE ； (2)求证：平面A 1BE⊥平面AA 1B 1B ； (3)求异面直线C 1D 与BE 所成角的正弦值． 解：(1)证明：取A 1B 的中点F ，连接DF ，EF. 因为D ，F 分别是A 1B 1，A 1B 的中点，所以DF 是△A 1BB 1的中位线．所以DF∥BB 1∥CC 1，且DF ＝12BB 1＝12CC 1.又因为E 是CC 1的中点， 所以C 1E ＝12CC 1.所以DF∥C 1E ，且DF ＝C 1E. 所以四边形C 1EFD 是平行四边形． 所以C 1D∥EF.又EF ⊂平面A 1BE ，C 1D ⊄平面A 1BE ， 所以C 1D∥平面A 1BE.(2)证明：因为CC 1⊥A 1C 1，CC 1⊥B 1C 1且A 1C 1∩B 1C 1＝C 1， 所以CC 1⊥平面A 1C 1B 1.因为BB 1∥CC 1，所以BB 1⊥平面A 1C 1B 1. 因为C 1D ⊂平面A 1C 1B 1，所以BB 1⊥C 1D.又A 1C 1＝C 1B 1，且D 是A 1B 1的中点，所以C 1D⊥A 1B 1. 因为A 1B 1∩BB 1＝B 1，所以C 1D⊥平面AA 1B 1B. 由(1)知EF∥C 1D. 所以EF⊥平面AA 1B 1B. 又因为EF ⊂平面A 1BE ， 所以平面A 1BE⊥平面AA 1B 1B.(3)由(1)知C 1D∥EF，所以∠BEF 为异面直线C 1D 与BE 所成的角． 由A 1C 1＝2，C 1E ＝12CC 1＝1，得A 1E ＝5，同理BE ＝ 5.由AA 1＝2，AB ＝22，得A 1B ＝23，BF ＝12A 1B ＝ 3.又EF⊥A 1B ，所以sin ∠BEF＝BF BE ＝35＝155.即异面直线C 1D 与BE 所成角的正弦值为155. 11．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2(p >0)．若抛物线C ：y 2＝2px 上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以抛物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N .试问x 轴上是否存在定点Q ，使点Q 在以MN 为直径的圆上？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)当直线l 1与抛物线无公共点时，由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 由抛物线定义知抛物线上的点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离．所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2.当直线l 1与抛物线有公共点时，把直线l 1的方程与抛物线方程联立，消去x 得关于y 的方程2y 2－3py ＋6p ＝0，由Δ＝9p 2－48p ≥0且p >0，得p ≥489，此时抛物线上的点到直线l 2的最小距离为p 2≥249>2，不满足题意．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消去x 得ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0， 由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0，所以直线l 的方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)．令x ＝－1，又由y 2＝4x 0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0. 设Q (x 1,0)，则QM ＝(x 0－x 1，y 0)，QN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0. 由题意知QM ·QN ＝0， 即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0.把y 20＝4x 0代入上式， 得(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0. 因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0，所以x 1＝1，即在x 轴上存在定点Q (1,0)，使点Q 在以MN 为直径的圆上．。
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[选择题技法专练]1．(2013·成都模拟)对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c解析：选B 当a ·b ＝0时，a 与b 也可能垂直，故选项A 是假命题； 当a 2＝b 2时，|a |＝|b |，故选项C 是假命题；当a ·b ＝a ·c 时，b 与c 也可能垂直，故选项D 是假命题． 2．(2013·重庆高考)3－a a ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92C ．3D.322解析：选B 法一：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，3－a a ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．法二：3－a a ＋6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814≤92，当且仅当a ＝－32时等号成立．3．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2解析：选B 因为m ⊂α，l 1⊂β，若α∥β，则有m ∥β且l 1∥α，故α∥β的一个必要条件是m ∥β且l 1∥α，排除A ；因为m ，n ⊂α，l 1，l 2⊂β且l 1与l 2相交，若m ∥l 1且n ∥l 2，则m 与n 也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m 与直线l 1可能为异面直线，故α∥β的一个充分不必要条件是m ∥l 1且n ∥l 2.4．已知0<a <1,0<x ≤y <1，且log a x ·log a y ＝1，那么xy 的取值范围是( ) A ．(0，a 2]B ．(0，a ]C.⎝⎛⎦⎥⎤0，1a D.⎝⎛⎦⎥⎤0，1a2解析：选 A ∵0<a <1,0<x ≤y <1，∴xy >0，log a x >0，log a y >0，∴log a xy ＝log a x ＋log a y ≥2log a x ·log a y ＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧log a x ＝log a y ，log a x ·log a y ＝1，即x ＝y ＝a 时取等号，∴0<xy ≤a 2.5．(2013·深圳模拟)设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3B.1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<0解析：选D 对于A ，构造幂函数y ＝x 3，其在R 上为单调递增函数，因为0<a <b <1，根据其单调性可知a 3<b 3，故A 错误；对于B ，1a －1b ＝b －a ab，因为0<a <b <1，所以ab >0，b －a >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b，故B 错误；对于C ，构造指数函数y ＝a x ，因为0<a <b <1，所以a b <1，故C 错误；对于D ，构造对数函数y ＝lg x ，因为0<a <b <1，所以0<b －a <1，故lg(b－a )<0，故D 正确．6．函数f (x )＝|sin x －cos x |＋sin x ＋cos x (x ∈R)的最小值为( ) A ．0 B ．－22C ．－ 2D ．－2解析：选C 依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥cos x ，2cos x ，sin x <cos x ，根据函数解析式，作出一个周期内的函数图像观察即可得到函数f (x )的最小值为－ 2.7．(2013·陕西高考)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]解析：选D 取特殊值进行判断．当x ＝1.1时，[－x ]＝－2，－[x ]＝－1，故A 错；当x ＝1.9时，[2x ]＝3,2[x ]＝2，故B 错；当x ＝1.1，y ＝1.9时，[x ＋y ]＝3，[x ]＋[y ]＝2，故C 错．8．函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x＝1的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 方程f (x )·2x＝1可化为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数y ＝f (x )和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像，如图所示．可以发现其图像有两个交点，因此方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个实数根．9．若0≤α<β≤π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <1D ．ab >2解析：选A 当α＝0时，a ＝sin 0＋cos 0＝1；当β＝π4时，b ＝sin π4＋cos π4＝2，从而b >a ，而1<ab ＝2<2，所以排除B 、C 、D 只有A 正确．10．已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，则f ′(x )的图像是( )解析：选A f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋cos x ′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′(x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以排除B ，D 两项．法一：当x ＝π2时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12×π2－sin π2＝π4－1<0，故排除C.法二：g ′(x )＝12－cos x ，显然当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，g ′(x )<0，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，故排除C.11．设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图像上的点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图像大致为( )解析：选A 由题意可得y ′＝x cos x ，k ＝g (x 0)＝x 0cos x 0，由于它是奇函数，所以排除B ，C ；又在y 轴附近g (x 0)为增函数，所以排除D.12．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l与函数的图像交于B 、C 两点，则(OB ＋OC )·OA＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32解析：选D 由题意知，点A 为(4,0)，根据三角函数的图像，知点B 、C 关于点A 对称，设B (x 1，y 1)，则C (8－x 1，－y 1)，(OB ＋OC )·OA＝8×4＝32.13．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图像交于P 、Q两点，则线段PQ 长度的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 由题意知P 、Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限内的点，则m >0，n >0，n ＝2m，所以|PQ |2＝|2OP |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋4m 2≥16(当且仅当m 2＝4m2，即m ＝2时取等号)，故线段PQ 长度的最小值是4.14．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝SMB ．P >S MC ．P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S M nD ．P 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n解析：选C 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >SM和P 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n ，而P ≠S M ，所以选项A 不正确． 15．(2013·海淀模拟)若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n ＋T ＝a n 成立，则称数列{a n }为周期数列，周期为T .已知数列{a n }满足a 1＝m (m >0)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －1，a n >1，1a n，0<a n ≤1，则下列结论中错误的是( )A ．若m ＝45，则a 5＝3B ．若a 3＝2，则m 可以取3个不同的值C ．若m ＝2，则数列{a n }是周期为3的数列D ．存在m ∈Q 且m ≥2，使得数列{a n }是周期数列解析：选D 对于A ，当a 1＝m ＝45时，a 2＝54，a 3＝a 2－1＝14，a 4＝4，a 5＝3，因此选项A正确；对于B ，当a 3＝2时，若a 2>1，则a 3＝a 2－1＝2，a 2＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m －1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1，1m ＝3，由此解得m ＝4或m ＝13；若0<a 2≤1，则a 3＝1a 2＝2，a 2＝12，⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m －1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧0<m ≤1，1m ＝12，由此解得m ＝32，因此m 的可能值是13，32，4，选项B 正确；对于C ，当m ＝2时，a 1＝2，a 2＝2－1，a 3＝2＋1，a 4＝2，a 5＝2－1，a 6＝2＋1，…，此时数列{a n }是以3为周期的数列，因此选项C 正确．16．已知函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程f (x )＝kx ＋k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤14，13 B.⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，－14∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1解析：选B f (x ＋1)＝(x ＋1)－[x ＋1]＝(x ＋1)－([x ]＋1)＝x －[x ]＝f (x )，即f (x )是以1为周期的函数．当0≤x <1时，f (x )＝x －0＝x ，要使方程f (x )＝k (x ＋1)有三个不同的实根，则需函数y ＝f (x )的图像与直线y ＝k (x ＋1)(y ＝k (x ＋1)是过点(－1,0)，斜率为k 的直线)的图像有三个交点，如图所示，满足题意的直线l 应位于直线l 1，l 2之间，或位于直线l 3，l 4之间(其中包括直线l 1，l 4，不包括直线l 2，l 3)，结合图像可知，实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13.。