Ch-5-1-07基础等离子体课件——核工业物理研究院

第五章 磁流体模型

通常所说的等离子体理论的磁流体近似指的是用单磁流体方程组和低速运动下的麦氏电磁方程组组成的理论体系。【略去位移电流，磁场与电流的关系用安倍定律描述，加法拉第定律，一般不涉及库仑定律】关于等离子体运动的描述，主要是连续性方程，运动方程，运动介质中的欧姆方程，以及状态方程，在磁流体近似假定下，构成闭合的理论体系。

V . 1 单流体方程, 理想及电阻性磁流体方程

V .1.1单磁流体近似方程组

双磁流体近似方程组是对由电子和一种离子组成的等离子体的统计描述的重大化简。尤其是当我们主要考虑宏观运动特性时（磁流体平衡，理想磁流体和电阻磁流体稳定性，等），对电子和离子，我们都只需Braginskii 方程组中的连续性方程和动量方程，以及一个类似于绝热定律的状态方程。即

0)(=⋅∇+∂∂e e e V n t

n （5-1-1） 0)(=⋅∇+∂∂i i i V n t n （5-1-2） el l e l e m

elm l e elm e e e R B V E en x x P dt V d m n ++-∂∏∂-∂∂-=)][( （5-1-3） ([])i ilm i ilm i i i l i l el l m

d V P n m en E V B R dt x x ∂∂∏=--++-∂∂ （5-1-4）

e m

el elm e e e e e e Q x V q V P dt T d n +∂∂∏-⋅-∇=⋅∇+ 23 （5-1-5） i m

il ilm i i i i i i Q x V q V P dt T d n +∂∂∏-⋅-∇=⋅∇+ 23 （5-1-6） 这里

∇⋅+∂∂=e e V t

dt d ， ∇⋅+∂∂=i i V t dt d ， （5-1-7） i i i e e e T n P T n P == , （5-1-8） i e Zn n = （5-1-9）

仔细分析电子流体和离子流体的运动时，我们注意到，由于电中性条件，电子流体和离子流体是分不开的。此外，电子流体的运动实际上主要是形成等离子体内部的电流，而离子流体的运动主要是形成等离子体的流体运动。引入等离子体的质量密度

i i e e i i n m n m n m ρ=+ （5-1-10） 和等离子体元的速度

1()i i i e e e i V n mV n m V V ρ

=+ （5-1-11） 和电流密度 ()e i e j n e V V =- （5-1-12）

我们首先可以将电子和离子的两个连续性方程简化为一个等离子体的连续性方程

()0V t

ρρ∂+∇⋅=∂ （5-1-13） 和电中性条件（5-1-9）。然后，进一步假定粘滞张量为零并将（5-1-4）和（5-1-3）相加，利用电中性条件消去电场项，利用电流密度的定义将Lorentz 力项写成j B ⨯ ，得到 dV P j B dt

ρ=-∇+⨯ （5-1-14） 这就是等离子体单磁流体近似的运动方程。显然，其形式已经非常简洁，更重要的，它表明，等离子体的宏观运动主要是受两种力的支配：第一是流体自身的压强梯度力，这与其他流体是一样的（其他流体中的粘滞力不能忽略），第二是Lorentz 力。由于这两种力远大于粘滞力，因此，一般情况下不必考虑粘滞力。这样，相对于一般流体，又有一定程度的简化。但电磁力的作用，又使等离子体的宏观运动，比一般流体运动复杂得多。相关物理现象也丰富得多。

V .1.2 广义欧姆定律( the generalized Ohm ’s law)

现在到处描述电流密度变化的方程。已经指出，电流密度主要是电子运动贡献的，因此，可以以双流体近似中的电子方程为基础来推导。由（5-1-12），将电子宏观速度写成 /e i e V V j n e =- （5-1-15） 将（5-1-3）除以e n e ，再代入（5-1-14），得到 //2//()e e e e e P m j j j B dj E V B n e n e n e dt σσ⊥⊥

∇⨯+⨯+-=++ （5-1-16） 这就是广义欧姆定律。这是单磁流体近似下的另一个重要方程。其中，左边第一项和第二项共同描述运动等离子体中的电场 'E E V B =+⨯ （5-1-17）

这是与静止介质的重大差别。在实验室坐标中，相对其运动的等离子体将产生电场V B ⨯ 。这一点很重要。例如，在太阳风中，一个新产生的离子会受到运动太阳风电场的加速，最后和太阳风一起运动。这个过程是太阳风捕获新生离子的一个重要机制。在聚变实验中，同样有类似的情况。如向高温等离子体中注入新的冷燃料，这些燃料的原子被电离后，新生成的离子也会被热等离子体捕获。

（5-1-5）左边第3项是电子压强梯度产生的等效电场；第四项是所谓的Hall 电场，在某些条件下会很重要。（例如对磁再联（magnetic reconnection ））,右边第一项是无碰撞趋肤效应，对一些等离子体现象也很重要；最后一项是电阻项。

第四章中已指出，在强磁场中，实际上是平行电阻起主要作用，垂直电阻的效应小一个因子1/1e e τΩ<<。这样以后我们将这项简化为j η 。

V .1.3 理想磁流体方程

到目前为止，大量的等离子体问题的研究是在最简单的近似下进行的，这就是理想磁流体近似。它忽略了除（5-1-6）中的广义电场外的所以其他项，于是广义欧姆定律取最简单的形式 '0E V B E +⨯== （5-1-18）

相应地，能量方程也取最简单的绝热近似

()0d P dt γρ

= （5-1-19） 5/3γ=是绝热指数。

完整的理想单辞流体方程组由连续性方程（5-1-13），运动方程（5-1-14），简化的广义欧姆定律（5-1-18），绝热运动方程（5-1-19）及关于电磁场的Maxwell 方程组组成.这些方程是：

0B j μ∇⨯= （5-1-20） 70410μπ-=⨯是真空导磁率。

（5-1-20）是严格的Maxwell 方程 021E B j c t μ∂∇⨯=+∂ 的一个近似，即忽略了位移电流密度。这是因为对大量磁流体运动，其特征变化时间远长于电磁波的传播时间。这里暗示一个条件

1,1i pi τωτΩ>>>> （5-1-21）

方程（5-1-20）通常称Ampere 定律。

另外的Maxwell 方程还有Farady 定律 B E t ∂∇⨯=-∂ （5-1-22） 如果通过欧姆定律消去E ，这个方程可以改写成 ()0B V B t

∂+∇⨯⨯=∂ （5-1-23） 这是另一个非常重要的方程。它反映了理想等离子体的另一个这样现象：磁力线被“冻结”在运动等离子体中。（见下面分析）

最后，磁场满足无源条件 0B ∇⋅= （5-1-24）

要问以上方程组是否能够完整地描述磁流体运动，我们观测一下所涉及的总未知变数的数目和方程的数目是否相符。关于磁流体运动的变数有：等离子体密度ρ，运动速度V 和标压强P,共5个变数；关于电磁场的变数有：磁场B ，电场E ，电流密度j ，共9个变数，一共有14个变数。有关方程为：一个连续性方程，3个运动方程，一个绝热方程，共5个磁流体方程；电磁场方程为：Ampere 定律的3个分量，欧姆定律(5-1-23)的3个分量，及磁场散度的3个方程，总共也是14个方程。因此，变量数和方程数的关系是相符的。也就是说，描述理想磁流体运动的方程组是完备的，也是唯一的。这里我们不再进行关于完备性和唯一性的严格证明，但在以后的学习中可以通过具体问题来加深理解。

V .1.4 电阻磁流体方程

一些磁流体运动中电组项不能略去，相反，电阻可以起决定性的影响。这一般是与所谓的边界层问题相联系的情形。这里的“边界层”是指某一个尺度很小的空间范围，在那里电阻引起的磁扩散是十分重要的。典型的就是磁再联区域。

与理想磁流体的不同就是现在欧姆定律中要保留电阻项 E V B j η+⨯= （5-1-25）