实验数学模型建立与转换

实验数学模型建立与转
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文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
实验四 数学模型建立与转换
一、实验目的
1.学会用MATLAB 建立控制系统的数学模型。

2.学会用MATLAB 对控制系统的不同形式的数学模型之间的转换和连接。

二、实验内容
1.建立控制系统的数学模型
用MATLAB 建立下述零极点形式的传递函数类型的数学模型：
>> z=-3;
p=[-1;-1];
k=1;
sys=zpk(z,p,k)
Zero/pole/gain:
(s+3)
-------
(s+1)^2
2.不同形式及不同类型间的数学模型的相互转换
1）用MATLAB 将下列分子、分母多项式形式的传递函数模型转换为零极点形式的传
递函数模型:
>> num=[12 24 0 20];
den=[2 4 6 2 2];
G=tf(num,den);
[z,p,k]=zpkdata(G,'v');
sys=zpk(z,p,k)
Zero/pole/gain:
6 (s+2.312) (s^2 - 0.3118s + 0.7209)
-------------------------------------------------
(s^2 + 0.08663s + 0.413) (s^2 + 1.913s + 2.421)
2）用MATLAB 将下列零极点形式的传递函数模型转换为分子、分母多项式形式的传
递函数模型:
>> z=[0;-6;-5]; p=[-1;-2;-3-4*j;-3+4*j];
2
2642202412)(23423++++++=s s s s s s s G )43)(43)(2)(1()
5)(6()(j s j s s s s s s s G -+++++++=
k=1;
[num,den]=zp2tf(z,p,k);
G=tf(num,den)
Transfer function:
s^3 + 11 s^2 + 30 s
--------------------------------
s^4 + 9 s^3 + 45 s^2 + 87 s + 50
3. 用MATLAB 命令求如下图所示控制系统的闭环传递函数
>> G1=tf(1,[500 0]);
G2=tf([1 2],[1 4]);
G3=tf([1 1],[1 2]);
G4=G1*G2;
GP=G4/(1+G3*G4);
GP1=minreal(GP)
Transfer function:
0.002 s + 0.004
---------------------
s^2 + 4.002 s + 0.002
3.已知系统的状态空间表达式，写出其SS 模型，并求其传递函数矩阵(传递函数模型)，
若状态空间表达式为⎩⎨⎧+=+=Du
Cx y Bu Ax x ，则传递函数矩阵表达式为： D B A sI C s G +-=-1)()(。

（1）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=113001
（2）u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1006137100010 >> A=[0 1 0;0 0 1;-7 -13 -6];
B=[0;0;1];
C=[7.5 4 0.6];
D=0;
G=ss(A,B,C,D)
a =
x1 x2 x3
x1 0 1 0
x2 0 0 1
x3 -7 -13 -6
b =
u1
x1 0
x2 0
x3 1
c =
x1 x2 x3
y1 7.5 4 0.6
d =
u1
y1 0
Continuous-time model.
（3）u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=100200311450010
>> A=[0 1 0;0 -5 4;-1 -1 -3]; B=[0 0;2 0;0,1];
C=[1 0 0;0 0 1];
D=0;
G=ss(A,B,C,D)
a =
x1 x2 x3
x1 0 1 0
x2 0 -5 4
x3 -1 -1 -3
b =
u1 u2
x1 0 0
x2 2 0
x3 0 1
c =
x1 x2 x3
y1 1 0 0
y2 0 0 1
d =
u1 u2
y1 0 0
y2 0 0
Continuous-time model.
（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡214321432180340322115.6536.138.0125.407.11063
.125.0u u x x x x x x x x >> A=[0.5 2 1.3 6;10 -1.7 0 4.5;12 0.8 -3 1.6;3 5 -6.5 11];
B=[2 2;3 0;4,-3;0 8];
C=[0 1 0.5 0.9;0.7 1.6 0.8 2.9;0.3 0.1 0 5.11];
D=[0.2 0.31;0.9 0.27;0.6 0.15];
G=ss(A,B,C,D)
a =
x1 x2 x3 x4
x1 0.5 2 1.3 6
x2 10 -1.7 0 4.5
x3 12 0.8 -3 1.6
x4 3 5 -6.5 11
b =
u1 u2
x1 2 2
x2 3 0
x3 4 -3
x4 0 8
c =
x1 x2 x3 x4
y1 0 1 0.5 0.9
y2 0.7 1.6 0.8 2.9
y3 0.3 0.1 0 5.11
d =
u1 u2
y1 0.2 0.31
y2 0.9 0.27
y3 0.6 0.15
Continuous-time model.
4.已知各环节（模块）的传递函数如下，各系统的组成如以下各小题所描述，编程求取各系统总的传递函数。

G1=tf([5 -12 33],[1 6 3 5 15]);
G2=tf([1 -6.5 32 35],[6 7 26 -11 17 51]);
G3=tf(20*conv([1 5],[1 6]),conv(conv(conv([1 0],[1 3]),[1 2]),[1 8]));
G4=tf(3*conv(conv([1 11],[1 13]),[1 -7.5]),conv(conv(conv([1 0 0],[1 14]),[1 -25]),[1 6]));
G5=tf(3*conv(conv([1 11],[1 13]),[1 2.56 1]),conv(conv([1 -25],[1 14]),[3 9 5 6]));
（1）模块1、模块2串联，串联后总的系统记为sys12c；
>> sys12c=series(G1,G2)
Transfer function:
5 s^5 - 44.5 s^4 + 271 s^3 - 423.5 s^2 + 63
6 s + 1155
--------------------------------------------------------------------------------------
6 s^9 + 43 s^8 + 86 s^
7 + 196 s^6 + 154 s^5 + 355 s^4 + 692 s^3 + 73 s^2 + 510 s + 765
（2）模块3、模块4并联,并联后总的系统记为sys34b；
>> Sys34c=parallel(G3,G4)
Transfer function:
23 s^7 + 208.5 s^6 - 8150 s^5 - 1.388e005 s^4 - 7.562e005 s^3 - 1.413e006 s^2 - 154440 s
----------------------------------------------------------------------------------------
s^9 + 8 s^8 - 435 s^7 - 7690 s^6 - 46676 s^5 - 116568 s^4 - 100800
s^3
（3）模块1、模块3、模块5串联，串联后总的系统记为sys135c；
>> sys135c=series(series(G1,G3),G5)
Transfer function:
300 s^8 + 10548 s^7 + 1.332e005 s^6 + 7.285e005 s^5 + 1.742e006 s^4 +
3.177e006 s^3 + 1.271e007 s^2
+ 2.32e007 s + 8.494e006
----------------------------------------------------------------------------------------------------
3 s^13 + 33 s^12 - 1219 s^11 - 26879 s^10 - 215199 s^9 - 874306 s^8 -
2.037e006 s^7 -
3.225e006 s^6
- 4.593e006 s^5 - 5.895e006 s^4 - 5.187e006 s^3 -
3.261e006 s^2 - 1.512e006 s
（4）模块1、模块2、模块5并联，并联后总的系统记为sys125b；
>> sys125b=parallel(parallel(G1,G2),G5)
Transfer function:
18 s^13 + 700.1 s^12 + 6526 s^11 + 7120 s^10 + 6.018e004 s^9 + 4.458e004 s^8 - 4.939e005 s^7
- 1.618e006 s^6 - 3.932e006 s^5 - 1.868e006 s^4 - 6.302e006 s^3 -
6.757e006 s^2 - 4.164e006 s
- 4.309e006
------------------------------------------------------------------------------------------------------
18 s^14 - 15 s^13 - 7638 s^12 - 69862 s^11 - 251079 s^10 - 592657 s^9 -
1.056e006 s^8 - 1.452e006 s^7
- 2.619e006 s^6 - 3.275e006 s^5 - 2.837e006 s^4 - 4.092e006 s^3 -
3.527e006 s^2 - 2.46e006 s
- 1.607e006
（5）前向通道：模块1、模块2串联；反馈通道：模块4；正反馈；闭环传递函数记为sys12cf4z;
>> Ga=series(G1,G2);
sys12cf4z=feedback(Ga,G4)
Transfer function:
5 s^10 - 69.5 s^9 - 1587 s^8 + 6234 s^7 - 1.653e004 s^
6 - 394949 s^5 + 618999 s^4 - 1.816e006 s^3
- 2.426e006 s^2
------------------------------------------------------------------------------------------------------
6 s^14 + 13 s^13 - 2625 s^12 - 30722 s^11 - 126902 s^10 - 262551 s^9 - 476732 s^8 - 474353 s^7
- 1.035e006 s^6 - 1.484e006 s^5 - 2.752e005 s^4 - 2.179e006 s^3 -
2.573e005 s^2 - 2.175e006 s
- 3.716e006
（6）前向通道：模块1、模块3、模块5串联；反馈通道：模块2、模块4并联；负反馈; 闭环传递函数记为sys135cf24bf;
>> Gb=series(series(G1,G3),G5);
Gc=parallel(G2,G4);
sys135cf24bf=feedback(Gb,Gc,-1)
Transfer function:
1800 s^18 + 56388 s^17 - 1.948e005 s^16 - 2.981e007 s^15 - 5.128e008 s^14 - 4.215e009 s^13
- 1.968e010 s^12 - 6.044e010 s^11 - 1.614e011 s^10 - 4.225e011 s^9 - 8.951e011 s^8
- 1.487e012 s^7 - 1.544e012 s^6 - 1.123e012 s^5 - 2.548e012 s^4 -
2.968e012 s^3 - 9.097e011 s^2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
18 s^23 + 129 s^22 - 15588 s^21 - 262861 s^20 + 1.788e006 s^19 + 8.513e007
s^18 + 9.971e008 s^17
+ 6.331e009 s^16 + 2.564e010 s^15 + 7.271e010 s^14 + 1.56e011 s^13 + 2.721e011 s^12
+ 4.217e011 s^11 + 6.097e011 s^10 + 7.408e011 s^9 + 6.521e011 s^8 + 2.997e011 s^7
- 4.567e011 s^6 - 2.454e012 s^5 - 4.523e012 s^4 - 3.382e012 s^3 -
3.804e012 s^2 -
4.319e012 s
- 1.394e012
5. 飞机俯仰角控制系统结构图如下，设K=0.25,编程解决以下问题
（1）求取系统闭环传递函数的多项式模型；
>> k=0.25;
G1=tf(-0.4,[2 1]);
G2=feedback(G1,0.5);
G3=0.4*G2;
G4=tf(1,[1 0.3 1]);
G5=feedback(G4,G3);
Gs=feedback(0.7*G5,k,-1)
Transfer function:
1.4 s + 0.56
-------------------------------
2 s^
3 + 1.
4 s^2 + 2.59 s + 0.78（2）将其转换为ZPK模型；
>> zsys=zpk(Gs)
Zero/pole/gain:
0.7 (s+0.4)
-----------------------------------(s+0.3325) (s^2 + 0.3675s + 1.173)（3）求取系统的特征根；
>> [z,p,k]=zpkdata(Gs,'v')
z =
-0.4000
p =
-0.1837 + 1.0673i
-0.1837 - 1.0673i
-0.3325
k =
0.7000
6. 发动机速度控制系统的结构图结构图如图4-12所示，编程解决以下问题。

（1）求取系统闭环传递函数的多项式模型)
()()(s R s C s G =，此时令0)(=s N 。

>> G1=tf(100^2,[1 140 100^2]);
G2=tf(10,[0.1 1]);
G3=tf(10,[2 1]);
Ga=G1*G2*G3;
Gs=feedback(Ga,1,-1)
Transfer function:
1e006
--------------------------------------------------
0.2 s^4 + 30.1 s^3 + 2295 s^2 + 21140 s + 1.01e006
（2）求多项式模型)
()()(s N s C s G N =，此时令0)(=s R 。

>> Gb=G1*G2;
Gn=feedback(G3,Gb)
Transfer function: ⊗图4-11 飞机俯仰角控制系统结构图
s^3 + 150 s^2 + 11400 s + 100000
--------------------------------------------------0.2 s^4 + 30.1 s^3 + 2295 s^2 + 21140 s + 1.01e006（3）求取系统的特征根。

>> Gc=Gs+Gn;
[z,p,k]=zpkdata(Gc,'v')
z =
1.0e+002 *
-1.2806
-0.7359 + 0.7134i
-0.7359 - 0.7134i
-0.1097 + 0.9203i
-0.1097 - 0.9203i
-0.0166 + 0.2186i
-0.0166 - 0.2186i
p =
-73.5865 +71.3418i
-73.5865 -71.3418i
-73.5865 +71.3418i
-73.5865 -71.3418i
-1.6635 +21.8626i
-1.6635 -21.8626i
-1.6635 +21.8626i
⊗图4-12 发动机速度控制系统结构图 参考速度 -1.6635 -21.8626i
k =
5.0000
预习实验内容，按实验要求编写好实验程
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实验报告。