2018—2019学年北师大版七年级下册第一章《整式的乘除》同底数幂的除法相关运算技巧

成都金堂金龙中学2018—2019北师版七下数学
第一章《整式的乘除》同底数幂的除法相关运算技巧
逆用幕的运算性质
幕的运算性质用式子表示，是：
m n m+n
1. a • a =a ；
2. a m-a n=a m-n；
3. (a m) n=a mn；
4. (ab)n=a n b n.
逆用这
它们是整式乘除法的基础，解一些与幕的运算有关的问题时，些性质，可以化难为易，取到事半功倍的效果，下面举例说明.
1. 计算
例 1 计算(-0.125)7• 88= ____ .
解原式=(-0.125) 7• 87• 8=(-0.125 • 8)7• 8=-8.
2. 求值
例 2 若2x+5y-3=0,则4x• 32y= ____ .
解已知条件变形为2x+5y=3,则
原式=(22)x• (25)y=22x+5y=8.
例3已知3x=a，3y=b，则32x-y等于[]
小 2 2 1
A. ―a3b C 2ab D・ a3 4
b b
解由3x=a，3y=b，得
原式二护小=(歹严4歹
1-2 Jt
例4若偕=3,偕=2贝II庐5w
解不难发现
= 12^,
二原式=(1护乡益・12"・12珂愕乎
例5已知3x+3-x=4，则27+27x的值是[]
A. 64
B. 60
C. 52
D. 48
解由已知等式，得
(3x+3-x) 2=16.
...3 2x+3-2x=14.
原式=(3x)3+(3-x) 3=(3x+3-x)(3 2x+3-2x-1)=4(14 -1)=52 .
3. 大小比较
例 6 已知a=355 , b=444 , c=533，则有[]
A. a v b v c B . c v b v a
C. c v a v b
D. a v c v b
解a=(3 5)11=24311,
b=(44)11=25611, c=(53)11=12511.
v 125 v 243v 256,
c v a v b.
例丁已知—芬.Q~・那么良Q的大小关系为【］
A. P>Q
B. P=Q
C. P v Q
D.不能确定
•P=Q.
4. 个位数字
例8设v n>表示正整数n的个位数，例如v 3> =3,v 21> =1 ,v 13X24> =2,则v 210> = _________________________ .
解210=(24)2• 22=16 • 4,
•v210> =v 6X 4> =4.
例9 19 93+9319的个位数字是[]
A. 2 B . 4
C. 6 D . 8
解1993+9319的个位数字等于993+319的个位数字.
v 9 93=(92) 46• 9=8146• 9.
319=(34)4• 33=814• 27.
••• 993+319的个位数字等于9+7的个位数字.
则1993+9319的个位数字是6.
逆用幕的运算性质解题
幕的运算性质有：
m n m n m、n m
a • a = a + ；(a ) = an；
n n n m n m n z
(ab) = a b ; a 宁a = a —(a^ 0, m> n).
逆用这些性质，常能化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果. 例1 计算(-0.125)1999• 26000.
解：原式=(-0.125)1999• 82000
=(-0.125)1999• 81999• 8
=(-0.125X 8)1999• 8
=(-1)1999• 8
=-8.
例 2 若2x+3y-4= 0,求9x• 27y的值.
解：由条件，知2x+3y=4.所以
9x• 27y
=32x• 33y
2x+3y
=3
=34例3 若103x= 125,求101-x.
解：由103x= 125,得(10")3= 53.故10 = 5.
A101_K
例 4 已知 a = 355，b = 4“，c= 533，则有[]
A. a v b v c
B. c v b v a
C. c v a v b
D. a v c v b
解：a= (35)1」24311, b= (44)1」25611, c= (53)1」12511.
因为125v 243v 256.所以c v a v b.
故应选C.
例5 220+321+720的个位数字是____ .
解：原式二(24)5+(34)5• 3+(74)5
=165+815• 3+24015.
v 165, 815• 3, 24015的个位数字分别是6, 3, 1,
••• 220+321+720的个位数字是0.
幕运算常见错误浅析
幕运算是学习整式乘法和除法的基础，是同学们遇到的一种比较抽象的运算. 对于幕的运算性质：a m• a n=a m+n, a m+ a n=a m-n(m > n), (a m)n=a mn, (ab)n=a n b n等，尽管老师反复提醒不要粗心大意，但仍会出现诸如53x 53=59, a5+a5=a10,(52)5=57, (ab2)3=ab6, a3n十a n=a3等类运算错误.
出现错误有其偶然性，也有更深层原因：
1. 不稳定的知识结构，产生负迁移
在数学法则的学习中，新法则的内容会以特殊的方式作用于原有的认识结构，错算53X 53.实际上，是在学习这个性质时，对幕的概念的
理解模糊.因此，要想方设法唤起原有知识：a…一「然后
畏开•曰..... a• a• a • ■■■ • a=a •日•….a=a m+rL.
- 、丄 - 一—_______________________________________ * . _ _ .■ % _ _
■&rfT'a m+nTa.
例1计算：m • m • m • m
错解：原式=m+4+3+2=m4.
分析：错解忽略了指数为“ T的情况.原式=m5.
例 2 计算：(-3ab)2.
错解：( -3ab2) 2=-32a2b4=-9a2b4．
分析：错在忽略了积中数字因数的符号，原式=9a2b4．
2．不合理的思维定势，产生负迁移
思维定势是一种客观存在的思维定向预备状态，同学们的认知过程是在原有的定势上进行的，而这种定势会产生正负两种相向的迁移，要求我们有效地把握•在运算中出现类似于a3n十a n=a3错误，最主要的原因是受3n±n = 3的影响，把只能用在整数中相除的法则，机械地搬用于幕的除法之中．这便是思维定势负迁移作用的结果．
例3计算a2a3十a3= ____ ,
错解：原式=a2x
分析：这是将整式乘除法则机械搬用的错误，尽管结论凑巧相同，也不能算是正确．正确解法是：原式=a2+3-3 =a2
例 4 下列计算中，不正确的是[ ]
A
5 5 5 5 5
.x +x=2x B. a 宁a=a
C．(-a)5(-a)5=a10 D．(-a5)5=-a25
( 正确答案：B)
以上所述是产生幂运算错误两种知识方面的因素．此外，还有非知识方面的因素，象错a m+a m= a2m,也有不认真仔细审题之过(没注意左边就是两同类项之和，可合并).又如计算a mn十a m-n不就是计算被除数与除数相等时的商吗？直接观察便知结果是1,但却偏偏出现误算a m-J a m-n=a(m-n)-(m-n) = a m-n-m-n=a-2n,这是心理素质不稳定、急躁而出现认知故障，造成运算刻板,
最终导致错误．
指数运算的一些技巧
指数运算技巧性较强，如果能选择恰当的方法，有可能避开繁杂的计算，本文介绍几种运算技巧：
1 •将底数写成幕
不含字母的指数运算，一般将底数写成幕，根据(a ) m=a m n，将指数化简. 例1计算
分析’r . io
4 - 212------ ' !27
故上式制+「》+£) -Y召.
2. “底倒指反”
负指数化正指数的口诀是：底倒指反.即底数取倒数，指数取相反数.
例2计第屮一餅+(2冲
解：
原式胡肯凋J需
3•用乘法公式
如护-対=(評評-廿咕扌± 2+/ =(说土界几界±沪=(評士r〉(严士界r+m 用这些公式解题，可使计算简傍
例 3 计算(a2-2+a-2) *(a2-a-2).
K=愿式=@_君'『-(a + a_1)(a - a'1) = -~~ = ~7
a + a a + 1
4 •用分式基本性质
因为？二罟（垃斗0＞将分亍分母乘以一个适当的式子，能使分式中的负指数b bm 化为正指数.
例4计阜
_
［（乳—上厂—
_（日—b厂1 十b）（日一b）
解：原式心'时一4@ _6_ ］生+对梓
a. - b 一伍+ b) b
■ —
a -
b + fa + b) R
5 •指数式化为根式
当指数是扌或扌等分数时.常把扌旨数化咸二次根式.
6 •根式化为分数指数
例5计算弓一竿
当根号内均是乘除形式的多重根式时，将根式化为分数指数运算.
例6
为单根式.
X
1
5 - ■
1 -
3 -1/ 2
4
y 4
-3
■。