高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战53430

一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A.3﹣4i
B.3+4i
C.﹣3﹣4i
D.﹣3+4i
2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）
A.{0，1}
B.{﹣1，0，1，2}
C.{﹣1，0，2}
D.{﹣1，0，1}
3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和
n，则m﹣n=（）
A.5
B.6
C.7
D.8
4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）
A.（﹣1，1，0）
B.（1，﹣1，0）
C.（0，﹣1，1）
D.（﹣1，0，1）
6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A.200，20
B.100，20
C.200，10
D.100，10
7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么
集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A.60
B.90
C.120
D.130
二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）
9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为.
10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为.
11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.
12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=.
13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=.（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】
14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为.
【几何证明选讲选做题】
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则
=.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.
17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，
49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25，30] 3 0.12
（30，35] 5 0.20
（35，40] 8 0.32
（40，45] n1 f1
（45，50] n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.
18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.
19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式.
20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (3)
参考答案与试题解析
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A.3﹣4i
B.3+4i
C.﹣3﹣4i
D.﹣3+4i
【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值.
【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，
故选：A.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题.
2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）
A.{0，1}
B.{﹣1，0，1，2}
C.{﹣1，0，2}
D.{﹣1，0，1}
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.
【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，
∴M∪N={﹣1，0，1，2}，
故选：B.
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.
3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和
n，则m﹣n=（）
A.5
B.6
C.7
D.8
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论.
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，
直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，
则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，
故选：B.
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.
4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论.
【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，
即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，
曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，
即两个双曲线的焦距相等，
故选：A.
【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键.
5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）
A.（﹣1，1，0）
B.（1，﹣1，0）
C.（0，﹣1，1）
D.（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论.
【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），
A.若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件.
B.若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件.
C.若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件.
D.若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件.
故选：B.
【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键.
6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A.200，20
B.100，20
C.200，10
D.100，10
【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.
【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，
∴样本容量=10000×2%=200，
分层抽样抽取的比例为，
∴高中生抽取的学生数为40，
∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.
故选：A.
【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键.
7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定.
【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，
又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定.
故A、B、C错误.
故选：D.
【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面.
8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么
集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A.60
B.90
C.120
D.130
【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论.
【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；
②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；
③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：.
∴总共方法数是++=130.
即元素个数为130.
故选：D.
【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）
9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） .
【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.
【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③.
解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2.
综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）.
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题.
10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为 y=﹣5x+3. .
【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程.
【解答】解；y′=﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，
∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3.
故答案为：y=﹣5x+3
【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题.
11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.
【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论
【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，
若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，
故答案为：.
【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的.比较基础.
12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 .
【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果.
【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，
即sin（B+C）=2sinB，
∵sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinB，
利用正弦定理化简得：a=2b，
则=2.
故答案为：2
【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=
50 .
【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案.
【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，
∴a10a11=e5，
∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10
=ln（e5）10=lne50=50.
故答案为：50.
【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题.
（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】
14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1） .
【分析】首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标.
【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，
化为普通方程为：y2=x，
曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，
联立，
即交点的直角坐标为（1，1）.
故答案为：（1，1）.
【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则
= 9 .
【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求.
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，
∴=，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△CDF∽△AEF，
∴=（）2=9.
故答案为：9.
【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.
【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值.
（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值.
【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
∴Asin（+）=Asin=A•=，
∴A=.
（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），
∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，
∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=.
∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=.
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题. 17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25，30] 3 0.12
（30，35] 5 0.20
（35，40] 8 0.32
（40，45] n1 f1
（45，50] n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.
【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；
（3）利用对立事件可求概率.
【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；
（2）频率分布直方图：
（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，
已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，
∴P（A）==，
∴P（）=1﹣P（A）=，
∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为.
【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题.
18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.
【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可.
【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；
（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，
∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，
∴DF=，AF==，
∴CF==，又FE∥CD，
∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，
∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），
由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），
设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，
cosθ=|cos＜，＞|===
∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：
【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题.
19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式.
【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；
（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明.
【解答】解：（1）由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：
S2=4a3﹣20 ①
又S3=S2+a3=15 ②
联立①②解得：a3=7.
再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：
a1=2a2﹣7 ③
又S3=a1+a2+7=15 ④
联立③④得：a2=5，a1=3.
∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；
（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1.
由此猜测an=2n+1.
下面由数学归纳法证明：
1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立.
2、假设n=k时结论成立，即ak=2k+1.
那么，当n=k+1时，
由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得，
，
两式作差得：.
∴
==2（k+1）+1.
综上，当n=k+1时结论成立.
∴an=2n+1.
【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了
学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题.
21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.
【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域.
（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论.
（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.
【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，
要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，
即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，
则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，
∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，
由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，
由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，
综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）.
（2）f′（x）==
=﹣，
由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0 解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，
即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），
同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）.
（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，
则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，
∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0
即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，
∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，
∵k＜﹣6，
∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），
∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），
且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），
由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f （1）的集合为：
（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）.
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大.
20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得.
（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1•k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程.
【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为+=1.
（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，
②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，
+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）
2﹣4]=0，
∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，
整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，
∴﹣1=k1•k2==﹣1，
∴x02+y02=13.
把点（±3，±2）代入亦成立，
∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13.
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系.
(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(10,0),则焦点坐标为()
A.(±13,0)
B.(0,±10)
C.(0,±13)
D.(0,±)
【解析】选 D.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,所以c2=a2b2=169100=69,所以焦点坐标为(0,±).
2.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为()
A.有相等的长、短轴
B.有相等的焦距
C.有相同的焦点
D.有相等的离心率
【解析】选B.对于椭圆+=1(0<k<9),
c2=(25k)(9k)=16,
焦点在y轴上,所以它们有相等的焦距.
3.(·孝感高二检测)若椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()
A. B. C. D.
【解析】选B.由椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,所以2×2b=2a+2c,即2b=a+c,所以5c23a2+2ac=0,等式两边同除以a2得5e2+2e3=0,解得e=或e=1(舍).
4.(·茂名高二检测)已知椭圆+=1及以下3个函数:①f(x)=x;
②f(x)=sinx;③f(x)=cosx,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有
() A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【解析】选B.我们知道:①f(x)=x,②f(x)=sinx都是奇函数,其图象关于原点对称,而椭圆+=1的图象也关于原点对称,故①②函数图象能等分该椭圆面积;而③f(x)=cosx是偶函数,其图象不关于原点对称,故f(x)=cosx的图象不能等分该椭圆面积.
综上可知:只有①②满足条件.
5.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是() A.98a B.99a C.100a D.101a
【解析】选 D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|,
因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.
故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.
【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选C而致错.
6.(·吉林高二检测)椭圆+=1的离心率为,则k的值为()
A.21
B.21
C.或21
D.或21
【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5k,由==,得k=;
当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k5,
由==,得k=21.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(·荆州高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由得
由a2=b2+c2,得b2=32.
故椭圆的方程为:+=1.
答案:+=1
8.(·上海高考)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=,若AB=4,BC=,则Γ的两个焦点之间的距离为.
【解析】如图所示.以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.
设D在AB上,且CD⊥AB,AB=4,BC=,∠CBA=⇒CD=1,DB=1,AD=3⇒C(1,1)且2a=4,把C(1,1)代入椭圆标准方程得+=1,a2=b2+c2⇒b2=,c2=⇒2c=.
答案:
9.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为.【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.
【解析】由题意,F(1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=2,因为
2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.
答案:6
【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.
【解题指南】先设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,
由离心率得a=2b,利用两点间的距离公式表示出|PM|2,若0<b<,则当y=b时|PM|2最大,这种情况不可能,若b≥,则当y=时4b2+3=7,从而求出b值,最后求得所求方程.
【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b,
|P M|2=x2+=3+4b2+3(b≤y≤b),
若0<b<,则当y=b时|PM|2最大,即=7,
所以b=>,故矛盾.
若b≥,则当y=时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为+y2=1.
11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围.
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n22mncos60°=(m+n)23mn
=4a23mn≥4a23·
=4a23a2=a2(当且仅当m=n时取等号).
所以≥,即e≥.
又0<e<1,所以e的取值范围是.
(2)由(1)知mn=b2,
所以=mnsin60°=b2,
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
(30分钟50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为()
A.x2+y2=1
B.(x1)2+y2=4
C.x2+y2=4
D.x2+(y1)2=4
【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.
2.F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为()
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA====.
因为2a=6,所以a=3,c=2,
所以b2=a2c2=94=5.
所以椭圆方程为+=1,
同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.
3.(·邯郸高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bxc=0的两个实根x1,x2,则点P(x1,x2)()
A.必在圆x2+y2=2内
B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外
D.以上三种情况都有可能
【解析】选A.因为x1,x2是方程ax2+bxc=0的两个实根,所以x1+x2=,x1·x2==.
由+=(x1+x2)22x1x2=+1,
因为a>b,所以<1,所以+1<2,
故点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.
4.(·衡水高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()
A.(0,1)
B.
C. D.
【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为·=0,
所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.
又M点总在椭圆内部,
所以该圆内含于椭圆,即c<b,c2<b2=a2c2,
故e2<,所以0<e<.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(·辽宁高考)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则+=.
【解析】根据题意,椭圆的左右焦点分别为F1(,0),F2(,0),由于点M的不确定性,不妨令其为椭圆的左顶点M(3,0),线段MN的中点为椭圆的上顶点H(0,2),则M关于C的焦点的对称点分别为A(2+3,0),B(2+3,0),而点N(3,4),
据两点间的距离公式得
+=+=12.
答案:12
6.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为.
【解析】如图,不妨设椭圆方程为
+=1(a>b>0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y),
由=2,得(c,b)=2(xc,y),
即
解得
所以D.
因为点D在椭圆上,所以+=1,
解得a2=3c2,即e2=,所以e=.
答案:
【变式训练】(·江苏高考改编)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1(a>0,b>0),右焦点
为F,直线l方程为:x=,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=d1,则椭圆C的离心率为.
【解题指南】利用d2=d1构建关于参数a,b,c的关系式.
【解析】由原点到直线BF的距离为d1得d1=,因F到l的距离为d2故d2=c,
又d2=d1,所以c=⇒a2c2=
⇒1e2=e2,又=,解得e=.
答案:
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.已知椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,
过F,B,C三点作☉P,且圆心在直线x+y=0上,求此椭圆的方程.
【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别算出
FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.
【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为☉P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC 的垂直平分线上,
FC的垂直平分线方程为x=.①
因为BC的中点为,kBC=b,
所以BC的垂直平分线方程为y=②
由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.
因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,
可得(1+b)(bc)=0,
因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1c2得b2=,
所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.
8.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求·的取值范围.
【解析】由+=1,得F1(,0),F2(,0),
设P(x0,y0),则=(x0,y0),
=(x0,y0).
所以·=(5)+.①
又+=1,所以=4,代入①,
所以·=1,
因为0≤≤9,所以0≤≤5,
所以1≤·≤4,
所以·∈[1,4].
【误区警示】本题易出现只注意到≥0得出·≥1的错误,错误的原因是忽视了点P(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0∈[3,3].
【变式训练】已知椭圆+=1(a>b>0),若椭圆的离心率e满足≤e≤,且+=2,求椭圆长轴长的取值范围.
【解题指南】由+=2把b2用a2表示,代入关于离心率的不等式组中,求出2a的范围.
【解析】由+=2得b2=①,
所以e2===1,
又因为≤e≤,所以≤1≤,
结合①b2=可得≤≤,
所以≤a2≤,≤a≤,即≤2a≤,故长轴长的取值范围是[,].。