第二学期期末高二数学(文科)试题及答案

肇庆市中小学教学质量评估 2011—2012学年第二学期统一检测题
高二数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点P 的极坐标为)4
,2(π
，则点P 的直角坐标为
A.（1，1）
B.（1，-1）
C.（-1，1）
D.（-1，-1） 2. 计算=-2)1(i
A. 2i
B. -2i
C. 2+2i
D. 2-2i 3. 一物体作直线运动，其运动方程为t t t s 2)(2+-=，则t =0时其速度为
A. -2
B. -1
C. 0
D. 2 4. 设bi a z +=（R b a ∈,），则z 为纯虚数的必要不充分条件是
A. a ≠0且b =0
B. a ≠0且b ≠0
C. a =0
D. a =0且b ≠0
5. 直线⎩⎨⎧︒-=︒-=)
20sin(,20cos 3t y t x （t 为参数）的倾斜角是
A. 20︒
B. 70︒
C. 110︒
D. 160︒ 6. 曲线3x y =在点P 处的切线斜率为k =3，则点P 的坐标为
A.（2，8）
B.（-2，-8）
C.（1，1）或（-1，-1）
D. )81
,21(--
7. 若x 是纯虚数，y 是实数，且i y y i x )3(12--=+-，则=+y x
A. i 251+
B. i 251+-
C. i 25
1- D. i 251--
8. 函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间是
A. )21,0(
B. ),21(+∞
C. )21,21(-
D. )21,(--∞和),2
1
(+∞
9. 函数x
x
x f -+=11)(，记)()(1x f x f =，)]([)(1x f f x f k k =+（*N k ∈），则=)(2012x f
A. x
1
- B. x C. 11+-x x D. x x -+11
10.实数a ，b ，c 满足a +b +c =0，abc >0，则
c
b a 1
11++的值 A. 一定是正数 B. 可能是零 C. 一定是负数 D. 无法确定
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11.已知复数i z 43+-=，则=||z ▲ .
12.圆心在)2
,1(π
A ，半径为1的圆的极坐标方程是 ▲ .
13.定点A （-1，-1）到曲线⎩⎨⎧=+=θθ
sin cos 1y x （θ为参数）上的点的距离的最小值是 ▲ .
14.设2
0πθ<<，已知θcos 21=a ，n n a a +=+21，则猜想n a 的值为 ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）
随机抽取100个行人，了解他们的性别与对交通规则的态度之间的关系，得到如下的统计表：
（1）求男、女行人遵守交通规则的概率分别是多少；
（2）能否有99.9%的把握认为男、女行人遵守交通规则有差别？ 附：
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.
为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：
（1）求小李这5天的平均投篮命中率；
（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率.（线性回归方
程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式∑∑==---=n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b 1
2
1
)()
)((ˆ，x b y a
ˆˆ-=，其中x ，y 表示样本均值.
17．（本小题满分14分）
设函数c bx x a x x f ++-=2
32
31)(，其中0>a ，曲线)(x f y =在点P (0，f (0))处的切线方程为1=y .
（1）求b ，c 的值；
（2）求函数)(x f 的单调区间.
18．（本小题满分14分）
设数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知11=a ，n n a n S )1(2+=（*N n ∈）. （1）求2a ，3a ，4a 的值； （2）猜想n a 的表达式，并加以证明.
如图，用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m 2. 为使所用材料最省，底宽应为多少？
20．（本小题满分14分）
已知函数x
x
x a x f +-+
=11ln )(. （1）若函数)(x f 在（0，+∞）上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）设0>≥q p ，求证：q
p q
p q p +-≥
-ln ln .
2011—2012学年第二学期统一检测题 高二数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题
二、填空题
11. 5 12. θρsin 2= 13. 15- 14. 1
2
cos
2-n θ
三、解答题
15．（本小题满分12分）
解：（1）男行人遵守交通规则的概率为
62.050
31
=； （3分）
女行人遵守交通规则的概率为
98.050
49
=. （6分） （2）25.2050
502080)1949131(100))()()(()(2
22
=⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=
d c b a d b c a bc ad n K . （10分） 因为828.1025.202>=K ，
所以有99.9%的把握认为男、女行人遵守交通规则有差别. （12分）
16．（本小题满分12分）
证明：（1）小李这5天的平均投篮命中率为5.05
4
.06.06.05.04.0=++++=
y . （4分）
（2）小李这5天打篮球的平均时间355
4321=++++=x （小时） （5分）
01.0210)1()2()
1.0(21.011.000)1()1.0()2()()
)((ˆ2
22221
2
1
=+++-+--⨯+⨯+⨯+⨯-+-⨯-=
---=∑∑==n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b
（7分）
47.0301.05.0ˆˆ=⨯-=-=x b y a
（9分） 所以47.001.0ˆˆˆ+=+=x a x b y
（10分） 当x =6时，53.0ˆ=y
，故预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. （12分）
17．（本小题满分14分）
解：（1）b ax x x f +-='2)( （2分）
由题意，得⎩⎨⎧='=,0)0(,
1)0(f f 即⎩⎨⎧==.0,1b c （6分）
（2）由（1），得)()(2a x x ax x x f -=-='（a >0） （7分） 当x ∈（-∞，0）时，0)(>'x f ； （9分） 当x ∈（0，a ）时，0)(<'x f ； （11分） 当x ∈（a ，+∞）时，0)(>'x f . （13分）
故函数)(x f 的单调增区间为（-∞，0）与（a ，+∞），单调减区间为（0，a ）.（14分）
18．（本小题满分14分）
解：（1）因为11=a ，n n a n S )1(2+=（*N n ∈），所以，
当n =2时，2213)(2a a a =+，得22=a ； （1分） 当n =3时，33214)(2a a a a =++，得33=a ； （2分） 当n =4时，443215)(2a a a a a =+++，得44=a . （3分） （2）猜想)(*N n n a n ∈=. （7分） 由n n a n S )1(2+= ①，可得)2(211≥=--n na S n n ②， （8分） ①-②，得1)1(2--+=n n n na a n a ， （10分） 所以1)1(-=-n n na a n ，即)2(1
1
≥-=-n n a n a n n ， （12分） 也就是11
21121===-=-=--a n a n a n a n n n Λ，故)(*N n n a n ∈=. （14分）
19．（本小题满分14分）
解：如图，设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2
x
m ， 半圆的面积为
28
x π
m 2，所以矩形的面积为)8
(2x a π
-
m 2，
所以矩形的另一边长为)8
(x x a π
-m. （2分）
因此铁丝的长为x
a
x x x a x x
x l 2)41()8(22)(+
+=-++=πππ，πa x 80<<， （7分） 所以2241)(x
a
x l -
+='π
. （9分） 令0241)(2
=-
+
='x a
x l π
，得π+±=48a x （负值舍去）. （10分）
当)48,
0(π+∈a x 时，0)(<'x l ；当)8,48(ππa
a x +∈时，0)(>'x l . （12分） 因此，π
+=
48a
x 是函数)(x l 的极小值点，也是最小值点. （13分）
所以，当底宽为π
+48a
m 时，所用材料最省. （14分）
20．
（本小题满分14分）
解：（1）函数)(x f 的定义域为（0，+∞）. （1分）
2
22)1(2)1()1(2)(x x x
x a x x a x f +-+=+-='. （3分） 因为)(x f 在（0，+∞）上单调递增，所以0)(≥'x f 在（0，+∞）上恒成立， 即02)1(2≥-+x x a 在（0，+∞）上恒成立. （5分） 当x ∈（0，+∞）时，由02)1(2≥-+x x a 得2
)1(2x x
a +≥
. （6分）
设)0(2
12)1(2)(2
>++=
+=
x x
x x x
x g ，所以21
)(≤x g （当且仅当x =1时取等号），（7分） 所以21≥
a ，即实数a 的取值范围为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,21. （8分） （2）要证q p q p q p +-≥
-ln ln
，只需证q
p q
p q p +-≥-2ln ln ， （9分）
只需证11ln 21+-≥q p q p
q p ，只需证011ln 21≥+-
+
q
p q
p q p
. （10分） 设x
x
x x h +-+
=
11ln 21)(，由（1）知)(x h 在（1，+∞）上单调递增， （12分） 又1≥q
p ，所以0)1()(=≥h q p
h ，即011ln 21≥+
-
+
q
p q p
q p 成立， （13分） 所以当0>≥q p ，q
p q
p q p +-≥
-ln ln
成立. （14分）。