2020高考数学冲刺 回归教材 3 三角函数、三角恒等变换与解三角形

解析 取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD， 又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.
设正方形 ABCD 的边长为 2，则 EO＝ 3，ON＝1，
所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2. 过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，
板块四 回归教材 赢得高考
内容索引
NEIRONGSUOYIN
回归教材 易错提醒
1 回归教材
PART ONE
1.终边相同角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_{_β_|_β_＝__α_＋__k_·3_6_0_°_，___ k∈Z} ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
解析 当－1<x≤0 时，0<x＋1≤1，则 f(x)＝12 f(x＋1)＝12(x＋1)x； 当1<x≤2时，0<x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)； 当2<x≤3时，0<x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，…，
…， 12x＋1x，－1<x≤0， 由此可得 f(x)＝xx－1，0<x≤1， 2x－1x－2，1<x≤2， 22x－2x－3，2<x≤3，
10.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)“五点法”作图 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π2，π，32π，2π，求出相应的 x 的值与 y 的值，描点、连线可得. (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换 y＝sin x―向―平左―移―φ―|>φ―0|个―或―单― 向位―右―长― φ度―<→0y＝sin(x＋φ) ―横―坐――标―变―纵 ―为―坐原―― 标来―不的―― 变1ω――ω―>―0―倍→y＝sin(ωx＋φ)
＝12absin C.
2 易错提醒
PART TWO
1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值 的符号. 2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围. 3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω 的符号化为正值后求解. 4.三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时， 平移量为 ωφ，而不是φ. 5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足 “大边对大角”，避免增解.
拓展训练 1.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城 间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了 关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样. 其中，正确信息的序号是__①__②__③__.
则 MP＝ 23，CP＝32，
所以
例1 (2019·全国Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，
f(x)＝x(x－1).若对任意 x∈(－∞，m]，都有 f(x)≥－89，则 m 的取值范围是
A.－∞，94
√B.－∞，73
C.－∞，52
D.－∞，83
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sin α＝± 1－cos2α. (2)商的关系：csoins αα＝tan αα≠kπ＋π2k∈Z.
9.三种三角函数的性质 正弦函数y＝sin x
余弦函数y＝cos x
正切函数y＝tan x
图象
定义域 值域 零点 最小正周期 奇偶性
_R__ [－1,1] (有界性) _{_x_|_x_＝__kπ_，__k_∈__Z__}_
sin 2α＝ 2sin αcos α ， cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝2cos2α－1＝ 1－2sin2α ，
2tan α tan 2α＝_1_－__t_a_n_2α___ __α_≠__k_π_＋__π2_，__k∈__Z__，__2_α_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_，__α_≠__k_π_±_π4_，__k_∈__Z___.
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
推论：cos A＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
15.面积公式
S△ABC＝12bcsin A＝
1 2acsin B
由此作出函数f(x)的图象，如图所示.
由图可知当 2<x≤3 时，令 22(x－2)·(x－3)＝－89， 整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得 x＝73或 x＝83，将这两个值标注在图中. 要使对任意 x∈(－∞，m]都有 f(x)≥－89，必有 m≤73， 即实数 m 的取值范围是－∞，73，故选 B.
对 对称轴
__x_＝__π2_＋__kπ_(_k_∈__Z_)__
_x_＝__k_π_(_k_∈__Z_)__
称 对称
性 中心
__(_kπ_，__0_)_(_k_∈__Z_)_
__π2_＋__k_π_，__0_(_k_∈__Z_)__
__k_2π_，__0__(k_∈__Z__) _
数学学科核心素养培养目标为用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象 素养(一般性)；用数学的思维分析世界、发展逻辑推理、数学运算素养(严谨性)； 用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养(应用性). 数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数 学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复 习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建 瓴，对整体复习效果起到引领和导向作用.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
一、数学抽象、直观想象 二、逻辑推理、数学运算 三、数学建模、数据分析
1
PART ONE
素养1 数学抽象 素养2 直观想象
素养1 数学抽象
通过由具体的实例概括一般性结论，看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学 问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养.
b
c
a sin
A＝
sin B
＝
sin C
＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
14.余弦定理及其推论、变形 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
tan α＋tan β tan(α＋β)＝
1－tan αtan β α≠kπ＋π2，k∈Z，β≠kπ＋π2，k∈Z，α＋β≠kπ＋π2，k∈Z，
tan α－tan β tan(α－β)＝___1_＋__ta_n_α__ta_n_β____ __α_≠__kπ__＋__π2_，__k∈__Z__，__β_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_，__α_－__β_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z___，
解析 看时间轴易知①正确； 骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者 行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确； 两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误.
素养2 直观想象
通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，通过想象对复杂的 数学问题进行直观表达，看我们能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的 本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养.
(2)辅助角公式
acos x＋bsቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn x＝

a2＋b2

a cos x＋ a2＋b2
令 sin θ＝ a ，cos θ＝ b ，
a2＋b2
a2＋b2
b

sin a2＋b2
x，

∴acos x＋bsin x＝ a2＋b2sin(x＋θ) ， 其中 θ 为辅助角，tan θ＝ab.
13.正弦定理及其变形
例2 (2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面 ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则
A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
√B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
__2_π__ 奇 函数
R
[－1,1] (有界性) {x|x＝π2＋kπ，k∈Z}
__2_π__ 偶 函数
_{_x_|x_≠__π2_＋__k_π_，__k_∈__Z_}_ __R___
_{_x_|x_＝__k_π_，__k_∈__Z_}___ __π__ 奇 函数
单 增区间 -π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z) _[_－__π_＋__2_k_π_，__2_k_π_](_k_∈__Z_)_ _-_π2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π__(k_∈__Z_) 调 性 减区间 __π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_(_k_∈__Z_) [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
相关公式：(1)l＝1n8π0r＝ |α|r . (2)S＝12lr＝n3π6r02＝ 12|α|r2 .
7.利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y. (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x. (3)yx叫做 α 的正切，记作 tan α，即 tan α＝yx(x≠0). 8.同角三角函数的基本关系
―纵―坐――标―变―横―为― 坐原―标―来― 不的―变―A―A―>―0―倍→y＝Asin(ωx＋φ).
11.准确记忆六组诱导公式
对于“
kπ 2
±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，
符号看象限.
12.三角函数恒等变换 (1) cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β ， cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ， sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β ， sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，
2.几种特殊位置的角的集合 (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z} . (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合： {α|α＝180°＋k·360°，k∈Z} . (3)终边在x轴上的角的集合： {α|α＝k·180°，k∈Z} . (4)终边在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z} . (5)终边在坐标轴上的角的集合： {α|α＝k·90°，k∈Z} . (6)终边在y＝x上的角的集合： {α|α＝45°＋k·180°，k∈Z} . (7)终边在y＝－x上的角的集合：{α|α＝－45°＋k·180°，k∈Z} . (8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α＝k·45°，k∈Z} .
3.1弧度的角
在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.
4.正角、负角和零角的弧度数
一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
5.角度制与弧度制的换算 π
(1)1°＝ 180 rad.
180
(2)1 rad＝

π
° .
l
6.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ r .