成都七中高2015届高三上学期期中数学(文科)考试题答案1

成都七中高2015届高三上学期期中数学考试题答案（文科）
满分150分，考试时间120分钟
出题人：江海兵 审题人：廖学军
一、选择题，本大题有10个小题，每小题5分，共50分，每小题有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上.
1.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1
3, 2.cos()3
a b A B ==+=，则c =
（ ）
.4..3.
A B C D 答案：D
解析：22211
cos ,2cos 94232()17
33C c a b ab C =-=+-=+-⋅⋅-=
2．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织
（ ）
C
390.根据等差数
3b 的取值范围是
（.[1,)A -+∞ .(1,)B -+∞ .(,1)C -∞- .(,1]D -∞- 答案：D
解析：由题意可知()02
b
f x x x '=-+
≤+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即(2)b x x ≤+在(1,)x ∈-+∞
上恒成立，2()(2)2f x x x
x x =+=+且(1,
)x ∈-+∞()1f x ∴
>-
∴要使(2)b x x ≤+，需1b ≤- 故答案为1b ≤-，选D
4．已知c ＞1，
( ) A ．a ＜
b
．a 、b 大小不定 答案：A
，易看出分
母的大小，所以a 5．已知数列{}n a 满足*110,n a a n N +==
∈，则2015a 等于( ) .0...
2A B C D
答案：B
解析：根据题意，由于数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1
，那么可知∴a 1=0，a 2=-
，a 3=
a 4=0，a 5=-
a 6=
3，那么
可知
20152a a ==
，选B.
6．在中，若、、分别为角、、的对边，且，则有（ ）
A ．成等比数列
B ．成等差数列
C ．成等差数列
D ．成等比数列 答案：D
解析：由cos 2cos cos()1B B A C ++-=变形得：cos cos()1cos 2B A C B +-=-，
[]2cos cos ()cos(),cos212sin B A C A C B B π=-+=-+=-，
∴上式化简得：2cos()cos()2sin A C A C B --+=，22sin sin()2sin A C B ∴--=，
即2sin sin sin A C B =，由正弦定理:sin :sin :sin a A b B c C ==得：2ac b =，则,,a b c
成等比数列．故选D
7.设M 是ABC ∆所在平面上的一点，且33
0,22
MB MA MC D ++=是AC 中点，则
MD BM 的值为（ ）
1
1.
.
.1.2
32
A B C D
答案：A
解析：D 为AC 中点，33
()2322MB MA MC MD MD ∴=-+=-⋅=- 13MD MB ∴=
8．已知函数9
()4,(0,4),1
f x x x x =-+
∈+当x a =时，()f x 取得最小值b ，则在直角坐标系中函数||1
()()x b g x a
+=的图像为（ ）
答案：B
解析：因为x ∈（0，4），∴x+1＞1，故
99
()41551,(0,4),
11f x x x x x x =-+=++-≥=∈++
当且仅当9
11
x x +=+时取得等号，此时函数有最小值1，∴a=2，b=1，可知g(x)
的解析式进而作图可知结论选B.
ABC ∆a b c A B C cos2cos cos()1B B A C ++-=,,a c b ,,a c b ,,a b c ,,a b c
9．下列说法正确的是（ ）
A ．函数y f x =()的图象与直线x a =可能有两个交点；
B ．函数22log y x =与函数22log y x =是同一函数；
C ．对于[]a b ,上的函数y f x =()，若有0f a f b ⋅()()＜，那么函数y f x =()在()a b ,内有零点；
D ．对于指数函数x y a = (1a ＞)与幂函数n y x = (0n ＞)，总存在一个0x ,当0x x ＞时，就会有x n a x ＞． 答案：D
解析：因为选项A 中最多有个交点，选项B 中，不是同一函数，定义域不同，选项C 中，函数不一定是连续函数，故选D.
10．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和215
94
y ax x =+-都相切,则a =
( )
A. 1-或2564-
B. 1-或214
C. 74-或2564-
D. 7
4-或7
答案：A
解析：由3y x =求导得2'3y x =设曲线3y x =上的任意一点300(,)x x 处的切线方程
为320003()y x x x x -=-，将点()1,0代入方程得00x =或03
2
x =.
（1）当00x =时：切线为0y =，所以215904ax x +-=仅有一解，得25
64a =-
（2）当032x =时：切线为272744y x =-,由2272744
159
4
y x y ax x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩得24309ax x --=仅
有一解，得1a =-.
综上知1a =-或25
64
a =-.
二、填空题，本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在答11 __ ．
12.已知指数函数()y f x =，对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图像都过1
(,2)2
P ，如果123()()()4f x g x h x ===，那么123x x x ++= 答案：3
2
解析：令(),()log ,()x c
b f x a g x x h x x ===则1
2111
()2,()log log 22222
b b f a g ====-=， sin155cos35cos 25cos 235-=
11
()()222
c h ==11123114,1()441,,244
x a b c f x x x x ∴===-∴==⇒===1233
2x x x ∴++=
136,62,a b ta b ta b ==+-已知若与 的夹角为钝角
答2,0)(0,2) 解
析
：
ta b ta b +-与 的夹角为钝角
，
∴
2
2
22()0,0,36720,ta b ta b t a b t t +⋅-<∴-<∴-<<<)(
又因为ta b +与ta b -不共线,所以0t ≠,所以(,0)(0,2)
t ∈ 14.已知命题p ：函数2()2f x x ax =+-在[1,1]-内有且仅有一个零点．命题q ：
23(1)20x a x +++≤在区间13
[,]22
内恒成立．
若命题“p 且q”是假命题，实数a 的取值范围是 ．
答案：5
2
a >-
提示：先确定p 且q 为真命题的a 的取值范围，然后取补集可得结果.
15.给出定义：若11,,()22x m m m Z ⎛
⎤∈-+∈ ⎥⎝
⎦，则m 叫做实数x 的“亲密函数”，记
作{}x m =，在此基础上给出下列函数{}()f x x x =-的四个命题：
①函数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数；②函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；
③函数()y f x =的图像关于直线()2
k
x k Z =∈对称；
④当(]0,2x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点.
其中正确命题的序号是 答案：②③④
解析：11,22x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，{}()0f x x x x =-=-，当13,22x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦时，()1f x x =-
当35,22x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，()2f x x =-，作出函数的图像可知①错，②，③对，再作出
ln y x =的图像可判断有两个交点，④对
三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上.
16.（12分）已知函数2()42cos (2)14
f x x x π
=-++
（1）求()f x 得最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的取值范围.
解析：（1）()4cos(4)4sin 42sin(4),233
f x x x x x x T πππ
=-+=+=+∴=
（2）4,4,sin(4)1643333
x x x ππππππ
-≤≤∴-≤+≤≤+≤ ()f x ∴的取值范
围为2⎡⎤⎣⎦
17. （12分）已知数列{}n a 满足111
21,(*)2n n
n n
n a a a n N a ++==∈+. （Ⅰ）证明数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）设(1)
b n n a =+，求数列{}b 的前n 项和S .
，的长为4（百米）.现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为1S 和2S .
（1）若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度；
（2）若小路的端点,E F 两点分别在两腰上，求12
S
S 得最小值.
解：（1）E 为AC 中点，333
,34222
AE EC ∴==+<+，F ∴不在BC 上，故F 在AB 上，可得7
2AF =，
在ABC ∆中，2cos 3A =，在AEF ∆中，22215
2cos 2
EF AE AF AE AF A =+-⋅=，
EF ∴= （2）若小路的端点,E F 两点分别在两腰上，如图所示， 设,CE x CF y ==，则5x y +=
12
21
sin 991121111125sin 22ABC CEF ABC CEF CEF CA CB C S S S S S S S xy x y CE CF C
∆∆∆∆∆⋅-==-=-=-≥-=+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
当且仅当52x y ==
时取等号，故12
S
S 的最小值为1125. 2n n ++⋅1
2n n +++⋅2n n n ++-
19．(12分)关于x
（Ⅰ）当1m =（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(--+=x x x f ，
恒成立？ 解析：（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<，可得其解集为{|27}.x x <<
（2）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ，
公共点. ∴只须1=x 时, 21.（14分）已知函数21
(),()()sin 2
f x x
g x f x x λ'==+，其中函数()g x 在[]1,1-上
是减函数.
（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若()3sin1g x λ≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，求λ得取值范围.
（3）关于x 的方程ln (1)2f x x m +=-，1 1.1x e e ⎡⎤
∈--⎢⎥⎣⎦
有两个实根，求m 的取值
范围. 解析：（1）2(),()2,(1)2f x x f x x f ''=∴==，∴在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-， 即210x y --=
（2）()sin ,()cos ,()g x x x g x x g x λλ'=+∴=+在[]1,1-上单减()0g x '∴≤在
[]1,1-上恒成立，
即cos x λ≤-在[]1,1-上恒成立，1
λ∴≤-，又()g x 在[]1,1-单减，[]m a x ()(1)s i n 1
g x g λ∴=-=- ()3sin1g x λ≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，∴只需sin 13sin 1λλ--≤+恒成立，
2sin 1λ∴≥-
sin30sin1,12sin1,2sin11λ<<∴-≤≤-
（3）由（1）知2
(1)(1)f x x
+=+∴方程为2l n (1)2x x m
+=-，设2()l n (1)2h x x x m =+-+，则方程2ln(1)2x x m +=-根的个数即为函数()h x 图像与
x 轴交点的个数.
22()211x
h x x x
-'=-=++，当(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在(1,0)-上为增函数,
当(,1)(0,)x ∈-∞-+∞时，()0,()h x h x '<∴在(,1)(0,)x ∈-∞-+∞和都是减函数.
()h x ∴在1,01e ⎡⎫
⎪⎢-⎣⎭
上为减函数，在(]0,1e -上为减函数.
()h x ∴在1,11e e ⎡⎤
-⎢⎥-⎣⎦
上的最大值为(0)h m =，又
12
(1),(1)42h m h e m e e e
-=--=+- 且224e e ->，∴所求方程有两根需满足1
(1)0(0)0(1)0
h e h h e ⎧-≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩
2
0m e ⇒<≤时原方程有两根，
20,m e ⎛⎤∴∈ ⎥
⎝⎦。