动量守恒定律

动量守恒定律
【例1】由动量定理和牛顿第三定律推出动量守恒定律（以两个物体为例）
解析：设两物体质量分别为m1、m2，作用前后的速度分别为v1、v2与v1'、v2'。

在Δt时间内m1、m2所受外力为F l、F2，内力：第1个对第2个物体作用力为f12，其反作用力为f21。

根据动量定理：
对m1：（F l十f21）Δt＝m1 v1'－m1 v1
对m2：（F2十f12）Δt＝m2 v2'－m2 v2
根据牛顿第三定律f12＝f21又由于F l＋F2＝0
所以m1 v1'－m1 v1＝m2 v2'－m2 v2整理得：m1 v1＋m2 v2＝m1 v1'＋m2 v2' 动量守恒定律的“四性”
在应用动量守恒定律处理问题时，要注意“四性”
①矢量性②瞬时性③相对性④普适性
【例2】一辆质量为60kg的小车上有一质量为40kg的人（相对车静止）一起以2m／s的速度向前运动，突然人相对车以 4m／s的速度向车后跳出去，则车速为多大？
下面是几个学生的解答，请指出错在何处。

（1）解析：人跳出车后，车的动量为60v，人的动量为40（4＋v）由动量守恒定律：
（60＋40）×2＝60v－40（4＋v）解得：v＝0.4 m/s （没有注意矢量性）
（2）解析：选车的方向为正，人跳出车后，车的动量为60v，人的动量为40×4，由动量守恒定律：
（60＋40）×2＝60v—40×4，解得v＝6m／s （没有注意相对性）
（3）解析：选车的方向为正，人跳出车后的动量为60v，人的动量为40×（4－2）由动量守恒定律得
（60＋40）×2＝60v—40×（4－2）解得v＝14/3m/s （没有注意瞬
时性）
（4）解析：选地为参照物，小车运动方向为正，据动量守恒定律，
（60＋40）×2＝60v—40（4—v）解得v＝3。

6m/s此法正确。

答案：3.6m／s
【例3】在质量为M的小车中挂有一单摆，摆球的质量为m0，小车和单摆以
恒定的速度v沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生
碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列哪些情况的说法是可能发生的（）
A. 小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为 v l、v2、v3，满足（M＋
m0）v＝Mv l＋mv2＋m0v3
B. 摆球的速度不变，小车和木块的速度变化为v l和v2，满足Mv＝Mv l＋mv2。

C. 摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为v l，满足Mv＝（M＋m）v l
D. 小车和摆球的速度都变为v l，木块的速度变为v2，满足（M＋m0）v＝（M ＋m0）v l＋mv2
分析：小车M与质量为m的静止木块发生碰撞的时间极短，说明在碰撞过
程中，悬挂摆球的细线来不及摆开一个明显的角度，因而摆球在水平方向尚未受到力的作用，其水平方向的动量未发生变化，亦即在小车与木块碰撞的过程中，只有小车与木块在水平方向发生相互作用。

解析：在小车M和木块发生碰撞的瞬间，摆球并没有直接与木块发生力的作用，它与小车一起以共同速度v匀速运动时，摆线沿竖直方向，摆线对球的效力和球的重力都与速度方向垂直，因而摆球未受到水平力作用，球的速度不变，可以判定A、D项错误，小车和木块碰撞过程，水平方向无外力作用，系统动量守恒，而题目对碰撞后，小车与木块是否分开或连在一起，没有加以说明，所以两种情况都可能发生，即B、C选项正确。

【例4】如图所示，在光滑水平面上有A、B两小球沿同一条直线向右运动，并发生对心碰撞。

设向右为正方向，碰前A、B两球动量分别是p A＝10kg·m/s，p B＝15kg·m/s，碰后动量变化可能是（）
A. Δp A＝5kg·m／s Δp B＝5kg·m／s
B. Δp A＝－5 kg·m／s Δp B＝5 kg·m／s
C. Δp A＝5kg·m／s Δp B＝－5 kg·m／s·
D. Δp A＝－20kg·m／s Δp B＝20 kg·m／s
解析：A。

此结果动量不守恒；B。

可能；C。

B的动量不可能减少，因为是A碰B；D。

要出现Δp A＝－20kg·m／s只有B不动或向左运动才有可能出现这个结果。

答案：B
【模拟试题】
1. 据报道，一辆轿车在高速强行超车时，与迎面驰来的另一辆轿车相撞，两车身因碰撞挤压，皆缩短了约0.5m，据测算相撞时两车的速度均为109km/s，试求碰撞过程中车内质量60kg的人受到的平均冲击力约为多少?
2. 一单摆摆球质量m＝0.2kg，摆长l＝0.5m。

今将摆球拉高至与竖直方向成5°角处由静止释放，求摆球运动至平衡位置过程中重力的冲量和合力的冲量。

（g ＝10m／s2）
3. 将质量为m的铅球以大小为v0、仰角为θ的初速度抛入一个装着砂子的总
质量为M的静止砂车中如图所示。

砂车与地面间的摩擦力不计，球与砂车的共
同速度等于多少？
4. 放在光滑水平面上的A、B两小车中间夹了一压缩的轻质弹簧，用两手分别控制小车处于静止状态，下面说法中正确的是
A. 两手同时放开后，两车的总动量为零
B. 先放开右手，后放开左手，两车的总动量向右
C. 先放开左手，后放开右手，两车的总动量向右
D. 两手同时放开，两车的总动量守恒；两手放开有先后，两车总动量不守恒
5. 质量为M的金属块和质量为m的木块用细线连在一起，在水中以加速度a 下沉，不计水的阻力。

某时刻，下沉的速度为v时，细线突然断了，此后金属块继续下沉，木块上浮经t秒木块跃出水面。

测得木块跃出水面的初速度为v1，若此时金属块还未沉到湖底，求此时金属块的速度v2？
6. 质量为m＝2kg的小球，从离地面h1＝5 m高处自由下落，球和地面相碰后又反弹至h2＝3.2 m高处，已知上述过程经历的时间t＝1.9s，求地面和小球间的平均弹力是多大？
【试题答案】
1. 解析：两车相碰时认为人与车一起做匀减速运动直到停止，此过程位移为0.5m，设人随车做匀减速运动的时间为t，已知v0≈30m/s，由
根据动量定理有Ft＝mv0，解得F＝5.4×104N
2. 解析：摆球重力为恒力，且时间t为单摆周期的1/4，即t＝T/4＝。

所以
I G＝mg＝0.2×10×≈0.69 N·s
摆球所受合力为变力，不能直接用公式I＝Ft计算，只能应用动量定理求之：F合t＝Δmv＝m≈0.039N·s
答案：0.69 N·s；0.039 N·s
3. 解析：把铅球和砂车看成一个系统，系统在整个过程中不受水平方向的外力，则水平方向动量守恒。

所以：
m v0cosθ＝（M＋m）v，所以v＝ m v0cosθ/（M＋m）
答案：m v0cosθ/（M＋m）
说明：某方向合外力为零，该方向动量守恒。

4. 解析：根据动量守恒定律的适用条件，两手同时放开，则两车水平方向不受外力作用，总动量守恒；否则，两车总动量不守恒，若后放开左手，则左手对小车有向右的冲量作用，从而两车的总动量向右；反之，则向左。

因而，选项ABD 正确。

5. 解析：把金属块和木块看成是一个系统，则此系统受到外力的冲量应等于其动量的增量。

系统受到的外力为金属块与木块各自受到的重力和水的浮力，由于已知它们在水中一起下沉的加速度，可用牛顿第二定律求出其受到的合力。

设竖直向下为正方向，它们在水中受到的浮力分别为F1和F2。

据动量定理：（mg＋Mg－F1－F2）t＝（Mv2－mv l）－（m＋M）v……①
据牛顿第二定律，它们一起下沉时：Mg＋mg－F1－F2＝（m＋M）a……②
把②代入①得（m＋M）at＝（Mv2－mv l）－（m＋M）v解得
6. 解析：小球下落时是自由落体运动，下落时间和落地时的末速不难求出，反弹后作竖直上抛运动，上升时间和上抛的初速度也能求出，和地面作用的时间为由总时间和下落与上升的时间差，用动量定理就能求出地面的作用力。

落地时速度：，下落所用时间：
反弹后上升初速度：，反弹后上升时间：
对球和地面碰撞过程用动量定理，设向上方向为正：（F－mg）（t－t1－t2）＝mv2－（－mv1）。