北京市西城区2013届高三第二次模拟数学文科

2013北京西城区高三二模数学文科
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1. 设集合{2,3,4}A =，{2,4,6}B =，若x A ∈且x B ∉，则x 等于
A ．2
B ．3 √
C ．4
D ．6
2. 已知命题:,cos 1p x x ∀∈≤R ，则
A ． :,cos 1p x x ⌝∃∈≥R
B ．:,cos 1p x x ⌝∀∈≥R
C ． :,cos 1p x x ⌝∃∈>R √
D ．:,cos 1p x x ⌝∀∈>R
3. 设变量,x y 满足约束条件3,
1,x y x y +≥⎧⎨-≥-⎩
则目标函数2z y x =+的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4√
4. “ln 1x >”是“1x >”的
A ．充分不必要条件 √
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5. 如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为
A
B
． √ C
． D ．4
6. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，
2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该
问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是
A ．8i ≥
B ．9i ≥
C ．10i ≥ √
D ．11i ≥
正（主）视图
A B
C
A 1
B 1
C 1
7. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是
A ．78S S <
B ．1516S S <
C ．130S > √
D ．150S >
8. 给出函数()f x 的一条性质：“存在常数M ，使得()f x M x ≤对于定义域中的一切实数x 均成立.”
则下列函数中具有这条性质的函数是 A ．1
y x
=
B ．2y x =
C ．1y x =+
D ．sin y x x =
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 是虚数单位，
i
2i
=+_____. 10. 函数sin cos y x x =+的最小正周期是_________，最大值是________.
11. 在抛物线22y px =上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则p =________. 12. 圆心在x 轴上，且与直线y x =切于(1,1)点的圆的方程为________. 13. 设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60，则⋅+⋅a c b c 的最大值为________.
14. 我们可以利用数列{}n a 的递推公式2
,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时，为偶数时（n ∈*
N ）求出这个数列各
项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.
则2425a a +=_________；
研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3
cos 4
A =，2C A =. （Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）若24ac =，求,a c 的值.
16.（本小题满分13分）
在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
在选取的40名学生中，
（Ⅰ）求成绩在区间[80,90)内的学生人数； （Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率.
17.（本小题满分13分）
如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧棱1BB ⊥底面
ABCD ，E 是侧棱1CC 的中点.
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11BDD B ； （Ⅱ）求证：//AC 平面1B DE .
18.（本小题满分14分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦
点的距离之和为6.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线:2l y kx =-与椭圆C 交与,A B 两点，点(0,1)P ，且PA PB =，求直线l 的方程.
A
B
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
C
19.（本小题满分14分）
设函数2()f x x a =-.
（Ⅰ）求函数()()g x xf x =在区间[0,1]上的最小值；
（Ⅱ）当0a >时，记曲线()y f x =在点11(,())P x f x （1x >l ，l 与
x 轴交于点2(,0)A x ，求证：12x x >>
20.（本小题满分14分）
如果由数列{}n a 生成的数列{}n b 满足对任意的n ∈*
N 均有1n n b b +<，其中
1n n n b a a +=-，则称数列{}n a 为“Z 数列”.
（Ⅰ）在数列{}n a 中，已知2n a n =-，试判断数列{}n a 是否为“Z 数列”； （Ⅱ）若数列{}n a 是“Z 数列”，10a =，n b n =-，求n a ；
（Ⅲ）若数列{}n a 是“Z 数列”，设,,s t m ∈*N ，且s t <，求证：t m s m t s a a a a ++-<-.
北京市西城区2010年抽样测试参考答案 高三数学试卷（文科） 2010.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案
B C D A B C C D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 12
i 55
+ 10. 2π11. 2 12. 22(2)2x y -+=
13.
14. 28,640
注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）
15、解：（Ⅰ）因为3
cos 4
A =
， 所以2
cos cos 22cos 1C A A ==- …………………3分
231
2()148
=⨯-=. …………………5分
（Ⅱ）在ABC ∆中，因为3cos 4A =
，所以sin A = …………………7分
因为1cos 8C =
，所以sin C == …………………9分 根据正弦定理sin sin a c
A C
=， …………………10分 所以
23
a c =， 又24ac =，所以4,6a c ==. …………………12分
16、解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)的频率为
1(0.00520.0150.0200.045)100.1-⨯+++⨯=， …………………3分
所以，40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为400.14⨯=（人）.
…………………5分
（Ⅱ）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间[90,100]内”，
由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人， 记这四个人分别为,,,a b c d ，
成绩在区间[90,100]内的学生有2人， …………………7分 记这两个人分别为,e f ， 则选取学生的所有可能结果为：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d b e b f (,),(,),(,)c d c e c f ， (,),(,),(,)d e d f e f
基本事件数为15， …………………9分 事件“至少一人成绩在区间[90,100]之间”的可能结果为：
(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),(,)c e c f d e d f e f ，
基本事件数为9， …………………11分 所以93
()155
P A ==. …………………13分
17、证明：（Ⅰ）因为ABCD 是菱形，所以
AC BD ⊥，
因为1BB ⊥底面ABCD ，
所以1BB AC ⊥， …………3分 所以AC ⊥平面11BDD B . …………5分 （Ⅱ）设AC ,BD 交于点O ，取1B D 的中点F ，连接,OF EF ，
则1//OF BB ，且11
2
OF BB =，
又E 是侧棱1CC 的中点，11
2EC CC =，11//BB CC ，11BB CC =，
所以1//OF CC ，且11
2
OF CC =, …………………7分
A B
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
C
O
F
所以四边形OCEF 为平行四边形，//OC EF ， …………………9分 又AC ⊄平面1B DE ，EF ⊂平面1B DE ， ………………11分 所以//AC 平面1B DE . ………………13分 18、解：（Ⅰ）由已知26a =
，3
c a =
， …………………3分 解得3a =
，c =
所以2
2
2
3b a c =-=， …………………4分
所以椭圆C 的方程为22
193
x y +=. …………………5分
（Ⅱ）由22
1,93
2x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
得，22(13)1230k x kx +-+=， 直线与椭圆有两个不同的交点，所以2214412(13)0k k ∆=-+>， 解得2
1
9
k >
. …………………7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则1221213k x x k +=
+，12
2
3
13x x k =+， …………………8分 计算121222
124
()441313k y y k x x k k k +=+-=⋅-=-++， 所以，,A B 中点坐标为22
62
(
,)1313k E k k -++， …………………10分 因为PA PB =，所以PE AB ⊥，1PE AB k k ⋅=-，
所以2
2
2
1131613k k k k -
-+⋅=-+， …………………12分 解得1k =±， …………………13分
经检验，符合题意，
所以直线l 的方程为20x y --=或20x y ++=. …………………14分 19、（Ⅰ）解：3
()g x x ax =-，2
()3g x x a '=-， …………………2分
当0a ≤时，()g x 为R 上的增函数，
所以()g x 在区间[0,1]上的最小值为(0)0g =； …………………4分 当0a >时， ()g x '的变化情况如下表：
所以，函数()g x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减. …………………6分
1<，即03a <<时，
()g x 在区间[0,1]上的最小值为g = ……………7分
1≥，即3a ≥时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为(1)1g a =-. ……8分 综上，当0a ≤时，()g x 在区间[0,1]上的最小值为(0)0g =；当03a <<时，()g x 的
最小值为；当3a ≥时，()g x 的最小值为1a -.
（Ⅱ）证明：曲线()y f x =在点11(,())P x f x （1x ）处的切线方程为
2111()2()y x a x x x --=-，
令0y =，得21212x a
x x +=， …………………10分
所以212112a x x x x --=，因为1x >2
11
02a x x -<，21x x <. ………11分
因为1x 11
22x a
x ≠
，
所以211211
222x a x a
x x x +==+> …………………13分
所以12x x >> …………………14分
20、解：（Ⅰ）因为2n a n =-，
所以2
2
1(1)21n n n b a a n n n +=-=-++=--，n ∈*
N ， …………………2分 所以12(1)1212n n b b n n +-=-+-++=-，
所以1n n b b +<，数列{}n a 是“Z 数列”. …………………4分
（Ⅱ）因为n b n =-，
所以2111a a b -==-，3222a a b -==-，…，11(1)n n n a a b n ---==--， 所以1(1)12(1)2
n n n
a a n --=-----=-
（2n ≥），…………………6分 所以(1)2
n n n
a -=-
（2n ≥）， 又10a =，所以(1)2
n n n a -=-（n ∈*
N ）. …………………8分
（Ⅲ）因为 111()()s m s s m s m s s s m s a a a a a a b b +++-++--=-+
+-=++， 111()()t m t t m t m t t t m t a a a a a a b b +++-++--=-+
+-=+
+，
………………10分
又,,s t m ∈*N ，且s t <，所以s i t i +<+，s i t i b b ++>，n ∈*
N ， 所以1122,,,s m t m s m t m s t b b b b b b +-+-+-+->>>， …………………12分
所以t m t s m s a a a a ++-<-，即t m s m t s a a a a ++-<-. …………………14分。