2018年高考数学专题35立体几何中的探索问题黄金解题模板

专题35 立体几何中的探索问题
【高考地位】
探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的． 【方法点评】
方法一 直接法
使用情景：立体几何中的探索问题
解题模板：第一步 首先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；
第二步 然后运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决；
第三步 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果
要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.
例1．【2018河南漯河市高级中学第三次模拟】如图， AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面垂直，且1,2AD EF AF AB ====. （1）求证：平面AFC ⊥平面CBF ；
（2）在线段CF 上是否存在了点M ，使得//OM 平面ADF ？并说明理由.
【变式演练1】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面
ABC 为正三角形， 1AA ⊥底面ABC ，且13AA AB ==， D 是BC 的中点.
（1）求证： 1//A B 平面1ADC ； （2）求证：平面1ADC ⊥平面1DCC ；
（3）在侧棱1CC 上是否存在一点E ，使得三棱锥C ADE -的体积是9
8
？若存在，求出CE 的长；若不存在，说明理由.
（2）∵底面为正三角形,
是
的中点,
∴AD CD ⊥, ∵ 平面
,
平面
,
∴ .
∵ , ∴ 平面, ∵
平面,
∴平面平面.
（3）假设在侧棱上存在一点,使三棱锥的体积是.
【变式演练2】已知长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示.
(1)试问：在折叠的过程中，直线AB与CD能否垂直？若能，求出相应a的值；若不能，请说明理由；
(2)求四面体A－BCD体积的最大值.
【解析】
(2)由于△BCD面积为定值，所以当点A到平面BCD的距离最大，即当平面ABD⊥平面BCD时，该四面体的体积最大，
此时，过点A在平面ABD内作AH⊥BD，垂足为H，
则有AH⊥平面BCD，AH就是该四面体的高.
在△ABD中，AH＝AB AD
BD
⋅
＝
12
5
，
S△BCD＝1
2
×3×4＝6，
此时V A－BCD＝1
3
S△BCD·AH＝
24
5
，即为该四面体体积的最大值.
点睛：翻折问题的解决中要关注翻折过程中的变量与不变量，特别是过程中哪些边和哪些角是不变的。

本题中，特别是AB AD
⊥是已知不变的垂直关系，对本题的垂直证明非常重要。

方法二空间向量法
使用情景：立体几何中的探索问题
解题模板：第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；
第二步然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、求解；
第三步得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结
果
要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.
例2. 【2018河南省漯河市高级中学第三次模拟】如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均是直角梯形，
090FAB DAB ∠=∠= 二面角F AB D --是直二面角， //,//,2,1BE AF BC AD AF AB BC AD ====.
（1）证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行； （2）求二面角F CD A --的余弦值.
（2）因为平面,ABEF ABCD FA ⊥⊂平面ABEF ,平面ABCD ⋂平面ABEF AB =,
又0
90FAB ∠=，所以AF AB ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ，
因为AD ⊂平面ABCD ，所以AF AD ⊥，
因为0
90DAB ∠=,所以AD AB ⊥，
以A 为坐标原点， ,,AD AB AF 所在的直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 如图，由已知得()()()1,0,0,2,2,0,0,0,2D C F , 所以()()1,0,2,1,2,0DF DC =-=,
设平面DFC 的法向量为(),,n x y z =，则20
{ { 20
x z n DF x y n DC =⋅=⇒=-⋅=，
不妨设1z =，则()2,1,1n =-，
不妨取平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =，
所以cos ,6
m n m n m n ⋅=
==
⋅，
由于二面角F CD A --为锐角，因此二面角F CD A --的余弦值为
6
.
【变式演练3】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，
22AB EF ==，90AED ∠=，AE ED =，H 为AD 的中点.
（1）求证：EH ⊥平面ABCD ；
（2）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B FD P --的大小为3
π
？若存在，求出BP 的长；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在点P 的坐标为(1,2,0)-,使2BP BC ==.
因为AB AD ⊥，且EA AD A =，所以AB ⊥平面AED .
因为EH ⊂平面AED ，所以AB EH ⊥.
因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EH AD ⊥. 又AB
AD A =，所以EH ⊥平面ABCD .
考点：空间线面的位置关系及空间向量的有关知识的综合运用．
【变式演练4】如图,ABCD 是边长为3的正方形，ABCD 面⊥DE ，AF DE DE AF 3,//=,BE 与平面ABCD 所成的角为0
60.
(1)求二面角D BE F --的的余弦值;
(2)设点M 是线段BD 上一动点，试确定M 的位置，使得BEF AM 面//，并证明你的结论.
解：
【变式演练4】如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AB BC ==，四边形ABDE
是直角梯形，//BD AE ，BD BA ⊥，1
22
BD AE ==，点O 、M 分别为CE 、AB 的中点. （1）求证：//OD 平面ABC ；
（2）求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；
（3）能否在EM 上找到一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由 .
【高考再现】
1. （2016四川理18）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC AD ∥，=90ADC PAB ∠∠=，
1
2
BC CD ==
AD .E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90. （1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由； （2）若二面角P CD A --的大小为45，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.
P
A
B
C
D
E
解析 （1）取棱AD 的中点()
M M PAD ∈平面，点M 即为所求的一个点.证明如下： 因为AD BC ∥，1
2
BC AD =，所以BC AM ∥，且BC AM =.所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM AB ∥.
又AB ⊂平面PAB ，CM PAB ⊄平面，所以CM ∥平面PAB . (说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点).
解法二：由已知得，CD PA ⊥，CD AD ⊥，PA AD A =I ， 所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.
从而PDA ∠是二面角P CD A --的平面角. 所以45PDA ∠=.
由PA AB ⊥，PA CD ⊥，又因为BC AD ∥，1
2
BC AD =，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD .
设1BC =，则在Rt PAD △中，2PA AD ==.
作Ay AD ⊥，以A 为原点，以AD uuu r ， AP uu u r
的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直
角
2. （2016北京理17）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， PA PD ⊥，
PA PD =，
AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD =
（1）求证：PD ⊥平面PAB ；
（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM
平面PCD ?若存在，求
AM
AP
的值；若不存在，说明理由.
D
C
B
A
P
（3）设棱PA 上存在点(,,)M x y z ，使得BM 平面PCD ，并设
(01)AM
AP
λλ=≤≤，得A M A P λ=，即(,1,)(0,1,1)x y z λ-=-，即(,,)(0,1,)x y z λλ=-.得(0,1,),(1,,)M BM λλλλ-=--. 由
BM 平面
P C D ，平面PCD 的一个法向量是(1,2,2)=-n ，得
(1,2,2)(1,,)
BM λλλλ⋅=-⋅--=-++=n ，解得1
4
λ=. 又BM ⊄平面PCD ，所以BM
平面PCD .
即在棱PA 上存在点M 使得BM 平面PCD ，且
1
4
AM AP =.
3. （2016四川文17）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，
PA CD ⊥，BC AD ∥，90ADC PAB ∠=∠=o
，1
2
BC CD AD ==
. （1）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； （2）证明：平面PAB ⊥平面.PBD
P
A
B
C D
（2）由已知， PA AB PA CD ⊥⊥，，因为1
2
BC BC AD AD =
∥，，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面.ABCD 从而.PA BD ⊥因为1
2
BC BC AD AD =
∥，，所以MD BC ∥，且.BC MD = 所以四边形BCDM 是平行四边形.所以1
2
BM CD AD ==
，所以.BD AB ⊥又AB AP A =I ，所以BD ⊥平面.PAB 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面.PBD
M
D
C
B
A
P
（2016北京文18）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥.
（1）求证：DC ⊥平面PAC ； （2）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；
（3）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA
平面CEF ?说明理由.
F
B
C D
P
E
【反馈练习】
1. 【2018陕西西安西北工业大学附中模拟】如图，在各棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，侧面
11A ACC ⊥底面ABC ， 160A AC ∠=︒.
(1) 求侧棱1AA 与平面1ABC 所成角的正弦值的大小； (2) 求异面直线1,AA BC 间的距离；
(3) 已知点D 满足BD BA BC =+，在直线1AA 上是否存在点P ，使//DP 平面1ABC ？若存在，请确定点P 的位置，若不存在，请说明理由.
则())(()1
1
0,1,0,,,0,1,0,A B A C B -
∴(
)()()11
0,1,
3,3,2,3,0,2,0AA AB AC ===
设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z =，
则10{
n AB n AC ⋅=⋅=，即20
20
y y +==，所以{
x z
y =-=，取()1,0,1n =-
由16cos ,AA n =
，∴侧棱1AA 与平面1ABC ；
(3) BD BA BC =+ ()
=-，所以D 点的坐标为()
D
假设存在点P 符合题意，设1AP AA λ=，则(
)
13,DP DA AA λλ=+=-
因//DP 平面1ABC ， ()1,0,1n =-为平面1ABC 的法向量
∴0,1λ==
又DP ⊄面1ABC ，故存在点P ，使//DP 平面1ABC ，且
P 为1A 点. 2. 【2018吉林百校联盟联考】如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ， SA AD ⊥，
//AD BC ， 4
3
SA BC AB ==
24AD ==．
（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ； （2）若AB AC =，在（1）的条件下，求三棱锥S AED -的体积．
点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
3.【2018云南师范大学附中】如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，
，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若点分别为上的点，且，在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出三棱锥的体积；若不存在，请说明理由.
∴平面． ∵
平面
，∴平面
平面
． （Ⅱ）线段上存在一点，使得平面．
证明：在线段上取一点，使，连接
∵，∴，且，
又∵，且
， ∴，且
，
∴四边形是平行四边形，∴， 又平面
，
平面
，∴
平面
．
∴
．
4．【2018云南大理云南师范大学附属中学模拟】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，
PA ⊥底面ABCD ， 3PA =， 2AD =， 4AB =， 060ABC ∠=.
（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）E 是侧棱PB 上一点，记
PE
PB
λ=（01λ<<），是否存在实数λ，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为0
60？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
∴BC ⊥平面PAC ．
∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．
设平面ADE 的法向量为()111m x y z =，，， 则·0{
·0m AD m AE ==，
，
即()11110{
4310y y z λλ-=+-=，， 取11x =
，则()1
331m λ⎛⎫
= ⎪ ⎪-⎝
⎭
，，． 设平面PAD 的法向量为()222n x y z =，，，
则·0{ ·0
n AP n AD ==，
，即
22230 0z y =-=，， 取21y =，则310n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，，． 若平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒，
则1cos cos602m n 〈〉=︒=，
110
12
+=， 2=，即2
9
14
λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，
解得3λ=（舍去）或35
λ=． 于是，存在3
5
λ=
，使平面ADE 与平面PAD 所成的二面角为60︒． 5．如图，在三棱锥ABOC 中， AO ⊥平面BOC ， 6
OAB OAC π
∠=
∠=
， 2AB AC ==， BC =
,D E 分别为,AB OB 的中点．(19)
(I)求O 到平面ABC 的距离；
(II)在线段CB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，若存在，试确定F 的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．
6. 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.
（Ⅰ）若BE ＝1，是否在折叠后的线段AD 上存在一点P ，且AP PD λ=，使CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥A －CDF 的体积的最大值，并求出此时二面角E －AC －F 的余弦值． 【解析】∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ，FD ⊥EF ， ∴FD ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ， ∴FD ⊥AF ，
在折起过程中，AF ⊥EF ，又FD ∩EF ＝F ， ∴AF ⊥平面EFDC .
以F 为原点，FE ，FD ，FA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
解法二：AD上存在一点P，使CP∥平面ABEF，此时λ＝.理由如下：
当λ＝时，＝，可知＝，
过点P作MP∥FD交AF于点M，连接EM，PC，则有＝＝，
又BE＝1，可得FD＝5，故MP＝3，
又EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP∥EC，故四边形MPCE为平行四边形，∴CP∥ME，又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，
故有CP∥平面ABEF.
7. 【2018广东东莞外国语学校模拟】如图5,矩形ABCD 中, AB 12,AD 6,== , E,F 分别为CD,AB 边上的点,且DE 3,BF 4==,将
BCE 沿BE 折起至PBE 位置(如图6所示),连结AP,PF ,其中
PF =(Ⅰ) 求证: PF ABED ⊥平面；
(Ⅱ) 在线段PA 上是否存在点Q 使得FQ PBE 平面?若存在,求出点Q 的位置；若不存在,请说明理由.
平面的距离.
(Ⅲ) 求点A到PBE
割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形
(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
8. 【2018北京西城回民中学模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形， AB CD ，
90ABC ∠=︒， 2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ⊥平面ABCD ．
（Ⅰ）求证： AB ⊥平面PBC ．
（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90︒）的大小． （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM 平面PAD ？若存在，求
PM
PB
的值；若不存在，请说明理由．
不妨设2BC =，由2AB PB PC BC CD ====，
∴(P ， ()1,1,0D -， ()1,2,0A ．
∴(1,DP =-， ()2,1,0DA =． 设平面PAD 的法向量为(),,m x y z =， ∵0{
m DP m DA ⋅=⋅=，
∴30{
20
x y z z y -+=+=，
令1x =，则2y =-， z =
∴(1,2,m =-．
取平面BCP 的一个法向量()0,1,0n =，
∴2cos ,2
m n =-
． ∴面ADP 和面BCP 的二面角（锐角）的大小为
π4
．
9. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB ⊥平面,//,,PAD AB CD PD AD E =是PB 的中点， F 是DC 上的点且1,2
DF AB PH =为PAD ∆边AD 上的高.
（1）证明： PH ⊥平面ABCD ；
（2）若1,1PH AD FC ===，求三棱锥C BEF -的体积；
（3）在线段PB 上是否存在这样一点M ，使得FM ⊥平面PAB ?若存在，说出M 点的位置.
【解析】（1），又平面，平面，
又，平面
（2）是的中点，到平面的距离等于点到平面距离的一半，即=，又因为，所以三棱锥；
10. 【2018河北衡水武邑中学模拟】在五面体ABCDEF 中， ////,222AB CD EF CD EF CF AB AD =====, 60DCF ︒∠=, AD CD ⊥，平面CDEF ⊥平面ABCD .
(1)证明:直线CE ⊥平面ADF ；
(2)已知P 为棱BC 上的点，试确定P 点位置，使二面角P DF A --的大小为60︒.
【解析】（1）//,2,CD EF CD EF CF ===∴四边形CDEF 为菱形， CE DF ∴⊥，
平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ⋂平面,,ABCD CD AD CD AD =⊥∴⊥平面,ACDEF CE AD ∴⊥，又,AD DF D ⋂=∴直线CE ⊥平面ADF .
11. 【2018北京市平谷区高三第二学期质量监控】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形， π3
DAB ∠=， PD ⊥平面ABCD ， 3PD AD ==， 2PM MD =， 2AN NB =， E 是AB 中点． （I ）求证：直线AM
平面PNC ． （II ）求证：直线CD ⊥平面PDE ．
（III ）在AB 上是否存在一点G ，使得二面角G PD A --的大小为π3
，若存在，确定G 的位置，若不
存在，说明理由．
⊥．
所以CD DE
又PD⊥平面ABCD，
⊥
所以CD PD
⋂=
又DE PD D
所以直线CD⊥平面PDE
同理可得平面PDG
的法向量23k y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 由题意得 213cos602429n k n k -
⋅︒===⋅⋅， 解得32
y =。