2022-2023学年浙江省丽水市八年级(下)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年浙江省丽水市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在二次根式x−2中，字母x的取值范围是( )
A. x>2
B. x<2
C. x≥2
D. x≤2
2. 下列图形中，是中心对称的图形的是( )
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 平行四边形
D. 正五边形
3. 若反比例函数y=k
(k≠0)的图象经过点(1,2)，则该图象必经过另一点( )
x
A. (−1,2)
B. (−1,−2)
C. (−2,1)
D. (2,−1)
4. 从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一名同学参加数学抢答竞赛，四名同学数学平时成的平均数及方差如下表所示：
甲乙丙丁
平均数(分)96939898
方差(分 2) 3.5 3.3 3.3 6.1
根据表中数据，要从这四名同学中选择一名成绩好且发挥稳定的同学去参赛，那么应该选的同学是( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
5.
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知
∠ACB=25°，则∠AOB的大小是( )
A. 130°
B. 65°
C. 50°
D. 25°
6. 一元二次方程x2+6x=1配方后可变形为( )
A. (x+3)2=8
B. (x−3)2=8
C. (x+3)2=10
D. (x−3)2=10
7. 已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2−4ac=0时，方程的解为( )
A. x1=b
2a ，x2=−b
2a
B. x1=b
a
，x2=−b
a
C. x1=x2=b
2a D. x1=x2=−b
2a
8. 用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠B≠45°，则AC≠BC”时，首先应假设( )
A. AC=BC
B. AB=AC
C. ∠B=45°
D. ∠C≠90°
9. ▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A. BE=DF
B. AE=CF
C. AF//CE
D. ∠BAE=∠DCF
10.
如图，在菱形ABCD中，AD=10，AC=12，点E是点A关于
直线CD的对称点，连结AE交CD于点F，连结CE，DE，则AE的长
是( )
A. 16.8
B. 19.2
C. 19.6
D. 20
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 当x=4时，二次根式1+2x的值为______ ．
12. 某中学开展“好书伴我成长”读书活动，随机调查了八年级50名学生一周读书的册数，读1册书的有15人，读2册书的有20人，读3册书的有15人，则这50名学生一周平均每人读书的册数是______ ．
13. 一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为______．
14. 已知等腰三角形的底边长为3，腰长是方程x2−6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为______ ．
15.
如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B，分
别在x轴，y轴上，对角线交于点E，反比例函数y=k
x
(x>0)的
图象经过点D，E.若E点坐标为(4,4)，则B点坐标为______ ．
16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，在△ABC内取一点G，使点G到三角形三边距离GD，G E，GF都相等，连结AG，BG，已知BF=m，AE=n(m≥n)．
(1)若m=n，则CF的长是______ (用含m的代数式表示)；
(2)当CF=1，4m2+4n2=109时，m−n的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共52.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算
(1)2(2+2)；
(2)20−51
．
5
18. (本小题6.0分)
解方程
(1)x2=4；
(2)x(2x−1)−(2x−1)=0．
19. (本小题6.0分)
已知x，y满足下表．
x…−2−114…
y…−2−441…
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当2<x<4时，求y的取值范围．
20. (本小题6.0分)
据调查，八年级某班30名学生所穿校服尺寸绘制如下条形统计图：
(1)求这30名学生所穿校服尺寸的众数和中位数；
(2)若该校八年级共有600名学生，请你估计尺寸为170cm的校服需要多少件．
21. (本小题6.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，A，B，C是一个平行四边形的三个顶点，画出一个平行四
边形．
(1)请用三角板画出一个平行四边形的示意图；
(2)若AC=8，BC=6，求出你所画的平行四边形两条对角线的长．
22. (本小题6.0分)
如图，某学校有一块长40m，宽20m的长方形空地，计划在其中修建三块相同的长方形绿地，三块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．
(1)若设计人行通道的宽度为1m，则三块长方形绿地的面积共多少平方米？
(2)若三块长方形绿地的面积共512m2，求人行通道的宽度．
23. (本小题8.0分)
(a>0)过点A(x1,m)B(x2,n)，m>n>0，且m−n=5．
已知反比例函数y=a
x
(1)当a=6，x1=1时，求m的值；
(2)若x2=2x1，求n的值；
(3)反比例函数y=b
(b<0)过点C(x1−2,m)D(x2−3,n)，求证：a−b=30．
x
24. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，过点A作AF⊥AB交直线CD于点F，且AB=AF，BE平分∠ABC交AD于点E，交AF于点G，过点A作AH⊥BE交直线CD于点H．
(1)求证：∠ABE=∠AEB；
(2)若AB=3，AD=5，求线段AH的长；
(3)下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、2分、3分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当点F与点C重合时，求证：AG=DE；
②当点F在DC延长线上，且CD=3CF时，求证：AG=1
DE；
2
③当点F在线段CD上时，求证：AG=DE+CF．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】C
【解析】解：A.直角三角形不是中心对称图象，故本选项不合题意；
B.等边三角形不是中心对称图象，故本选项不合题意；
C.平行四边形是中心对称图象，故本选项正确；
D.正五边形不是中心对称图象，故本选项不合题意．
故选：C．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3.【答案】B
(k≠0)的图象经过点(1,2)，
【解析】解：∵反比例函数y=k
x
∴k=2．
∵(−1)×(−2)=2，
∴点(−1,−2)在该反比例函数图象上，
故选：B．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，根据纵横坐标之积是定值k进行判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征是纵横坐标之积是k．4.【答案】C
【解析】解：∵98>96>93，
∴丙、丁的成绩更好；
∵3.3<6.1，
∴丙的成绩更稳定；
∴应该选的同学是丙．
故选：C ．
由题意知，要选择平均数大且方差小的成绩，比较四名队员的平均数与方差，进而可得答案．本题考查了运用平均数与方差作决策．解题的关键在于熟练掌握平均数与方差的意义．5.【答案】C
【解析】解：∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，
∴OA =OC =12AC ，OB =OD =12
BD ，
∴OB =OC ，
∴∠OBC =∠ACB =25°，
∴∠AOB =∠OBC +∠ACB =25°+25°=50°，
故选：C ．
由矩形的性质得OB =OC ，再由等腰三角形的性质得∠OBC =∠ACB =25°，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．6.【答案】C
【解析】解：∵x 2+6x =1，
∴x 2+6x +9=10，
∴(x +3)2=10，
∴一元二次方程x 2+6x =1配方后可变形为：(x +3)2=10，
故选：C ．
方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵b2−4ac=0，
∴方程有两个相等的实数解，
∵x=−b±b2−4ac
，
2a
∴方程的解为x1=x2=−b
．
2a
故选：D．
利用判别式的意义得到方程有两个相等的实数解，然后根据一元二次方程的求根公式得到方程的解．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了公式法解一元二次方程．
8.【答案】A
【解析】解：用反证法证明“已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠45°.求证：AC≠BC”．
第一步应先假设AC=BC，
故选：A．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判
断即可得解．
【解答】
解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
A.若BE=DF，则OB−BE=OD−DF，即OE=OF，所以四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；
B.若AE=CF，则无法证明四边形AECF是平行四边形，故本选项符合题意；
C.AF//CE，则∠FAO=∠ECO，
又∵AO=OC，
∴在△AOF和△COE中，
{∠F A O=∠E C O
A O=OC
∠A O F=∠C O E
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；
D.在▱ABCD中，AB=CD，AB//CD，
∴∠CDF=∠ABE，
∵∠BAE=∠DCF，
∴在△ABE和△CDF中，
{∠B A E=∠D C F
A B=C D
∠A B E=∠C D F
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE=DF，然后同A可得四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意．
10.【答案】B
【解析】解：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为菱形，AD=10，AC=12，
∴AB=CD=BC=DA=10，BO=DO=6，AC⊥BD于点O，
∴AO=AB2−BO2=102−62=8，
∴AC=2AO=16，
∵点E是点A关于直线CD的对称点，
∴AC=EC，DA=DE，AE=2EF，
∴BC=DE，
在△ABC和△CDE中，
{A B=C D
B C=DE
，
A C=C E
∴△ABC≌△CDE(SSS)，
∴S△A B C=S△C D E，
∴AC⋅BO=CD⋅EF，
即12×8=10EF，
解得EF=9.6，
∴AE=2EF=19.2．
故选：B．
连接BD交AC于点O，由菱形的性质及勾股定理可求得BO、AC的长，再结合对称的性质利用SSS证明△ABC≌△CDE，利用面积法可求解EF的长，进而可求解．
本题主要考查菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识的综合运用，证明S△A B C=S△C D E是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：当x=4时，原式=1+2×4=9=3．
故答案为：3．
将x的值代入计算可得．
本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．
12.【答案】2册
=2(册)，
【解析】解：这50名学生一周平均每人读书的册数为1×15+2×20+3×15
50
故答案为：2册．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
13.【答案】6
【解析】解：360÷60=6．
故这个多边形边数为6．
故答案为：6．
利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都360°．
14.【答案】7或11
【解析】解：解方程x2−6x+8=0，得x1=2，x2=4，
当腰长为2时，2+2>3，
则三角形的周长为：2+2+3=7，
当腰长为4时，3+4>4，
则三角形的周长为：4+4+3=11，
故答案为：7或11．
利用十字相乘法解出方程，分腰长为2和腰长为4两种情况计算即可．
本题考查的是一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，利用十字相乘法解出方程、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
15.【答案】(0,6)
【解析】解：作DH⊥x轴于H，
(x>0)的图象经过点D，E(4,4)，
∵反比例函数y=k
x
∴k=4×4=16，
∴y=16
(x>0)，
x
)，
设D(m,16
m
∵四边形ABCD是正方形，
∴点E为BD的中点，
∴D(8,2)，
∴OH=8，DH=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90°，
∴∠OAB+∠HAD=90°，
∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OBA=∠HAD，
∵∠AOB=∠AHD，
∴△AOB≌△DHA(AAS)，
∴OB=AH，OA=DH=2，
∴AH=8−2=6，
∴OB=6，
∴B(0,6)，
故答案为：(0,6)．
作DH⊥x轴于H，利用中点坐标公式可得点D的横坐标为8，再利用AAS证明△AOB≌△DHA(AAS )，得OB=AH，OA=DH=2，从而得出点B的坐标，即可得出答案．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点C的坐标是解题的关键．
16.【答案】(2−1)m7
2
【解析】解：(1)由于DE⊥AC，DF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形GFCE为矩形，
∵GE=GF，
∴四边形GFCE为正方形，
∴GE=GF=CF=CE，
∵DG ⊥AB ，DE ⊥AC ，AG =AG ，DG =DE ，
∴RT △ADG≌RT △AGE (HL )，
∴AD =AE =n ，
同理：BD =BF =m ，
∴BC =BF +CF =m +CF ，AC =AE +CE =n +CE =n +CF ，
AB =m +n ，
在RT △ABC 中由勾股定理可得：
AB 2=AC 2+BC 2，
∴(m +n )2=(n +CF )2+(m +CF )2，
∵m =n ，
∴(m +m )2=(m +CF )2+(m +CF )2，
解得：CF =( 2−1)m 或(− 2−1)m (去)，
∴CF =( 2−1)m ，
故答案为：( 2−1)m ，
(2)由(1)可得，在直角△ABC 中，由勾股定理可得：
AC 2+BC 2=AB 2，
即(BF +CF )2+(AE +CF )2=(BD +AD )2
又⋅AD =AE =n ，BF =BD =m ，
∴(m +1)2+(n +1)2=(m +n )2，
解得m +n +1=mn
∴(m +n )2=m +n 2+2mn =m 2+n 2+2(m +n +1)
..m 2+n 2+3=(m +n )2−2(m +n )+1=(m +n−1)2，
∵4m 2+4n 2=109，
.m +n =132，mn =152
，∴(m−n )2=(m +n )2−4mn =
494，∴m−n =72
．故答案为：7
2．(1)根据三角形内心的性质，即可得到四边形GECF 是正方形，且△ADG≌△AEGABDG≌△BFG .从
而得到BD=BF，AD=AE；再在直角△ABC中，由勾股定理即可求出CF的长；
(2)在直角三角形中的勾股定理得到m−n+1=mn，由4m+4n=109联立即可得到m+n，mn的值，在利用和的平方与差的平方公式的关系，即可求出m−n的值．
本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，平方公式和平方差公式的综合运用．
17.【答案】解：(1)原式=22+2×2
=22+2；
(2)原式=25−5
=5．
【解析】(1)把括号中的每一项分别同2相乘，再把结果相加即可；
(2)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)x2=4，
x1=2，x2=−2；
(2)x(2x−1)−(2x−1)=0，
(2x−1)(x−1)=0，
2x−1=0或x−1=0，
x1=1
，x2=1．
2
【解析】(1)利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由表格可知：xy=4，
∴y=4
，
x
∴y关于x的函数表达式为y=4
；
x
(2)∵y=4
，
x
∴当2<x<4时，y随x的增大而减小，
∵当x=2时，y=2，
当x=4时，y=1，
∴当2<x<4时，求y的取值范围为1<y<2．
【解析】(1)观察表格中x，y的变化规律即可得出y关于x的函数表达式；
(2)利用当2<x<4时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
本题考查了函数表达式及求值，根据表格中x，y的变化规律即可得出y关于x的函数表达式是解决问题的关键．
20.【答案】(1)因为170cm出现的次数最多，出现15次，
所以该班学生所穿校服型号的众数为170cm，
=170(cm)，
中位数为排好序的第15和16的平均数170+170
2
(2)600×15
=300(人)，
30
所以估计尺寸为170cm的校服需要300件．
【解析】(1)根据众数的定义以及中位数的定义解答；
(2)总人数乘以样本中穿170型校服的学生所占比例可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示：
方法一：
方法二：
方法三：
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=AC2+BC2=10，
方法一(图①)：连结BD交AC于点O，则OB=BC2+OC2=213，
∴对角线BD=2OB=413，AC=8．
方法二(图②)：对角线AB=CD=10．
方法三(图③)：连结AD交BC于点O，
∴OA=AC2+OC2=73，
∴对角线AD=2OA=273，BC=6．
【解析】(1)由题意画出图形即可；
(2)由勾股定理可得出答案；
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)(40−4×1)×(20−2×1)
=(40−4)×(20−2)
=36×18
=648(平方米)．
答：三块长方形绿地的面积共648平方米．
(2)设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为(40−4x)米，宽为(20−2x)米的矩形，根据题意得：(40−4x)(20−2x)=512，
整理得：8(10−x)2=512，
解得：x1=2，x2=18(不符合题意，舍去)．
答：人行通道的宽度是2米．
【解析】(1)利用矩形的面积=长×宽，即可求出结论；
(2)设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为(40−4x)米，宽为(20−2x)米的矩形，根据两块长方形绿地的面积共512m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】(1)解：∵反比例函数y=a/x(a>0)过点A(x1,m)，
∴a=x1⋅m，
∵a=6，x1=1，
∴m=6；
(2)解：∵反比例函数y=a/x(a>0)过点A(x1,m)，B(x2,n)，
∴a=x1⋅m=x2⋅n，
∵x2=2x1，
∴x1⋅m=2x1⋅n，
∴m=2n，
又∵m−n=5，
∴2n−n=5，
∴n=5；
(3)证明：由(2)可知：a=x1⋅m=x2⋅n，
∵反比例函数y=b/x(b<0)过点C(x1−2,m)，D(x2−3,n)，
∴b=(x1−2)⋅m=(x2−3)⋅n，
即：x1⋅m−2m=x2⋅n−3n，
∴3n−2m=0，
∵m−n=5，
∴m=5+n，
∴3n−2(5+n)=0，解得：n=10，
∴m=5+n=15，
∴a=15⋅x1，b=15(x1−2)=15⋅x1−30，
∴a−b=30．
(a>0)过点A(x1,m)得a=x1⋅m，再由a=6，x1=1即可求出m的【解析】(1)由反比例函数y=a
x
值；
(a>0)过点A(x1,m)，B(x2,n)得a=x1⋅m=x2⋅n，再根据x2=2x1可得m
(2)由反比例函数y=a
x
=2n，结合m−n=5可解出n的值；
(b<0)过点C(x1−2,m)，D(x2−3,n)得b=( (3)由(2)可知a=x1⋅m=x2⋅n，根据反比例函数y=b
x
x1−2)⋅m=(x2−3)⋅n，整理后得3n−2m=0，结合m−n=5可解出m=15，由此可得a=15⋅x1，b=15⋅x1−30，据此可得出结论．
此题主要考查了反比例函数图象上的点，解答此题的关键是理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式；满足反比例函数解析式的点都在反比例函数的图象上．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB；
(2)解：∵∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
又∵AH⊥BE，
∴∠BAH=∠DAH，
∵AB//CD，
∴∠BAH=∠H=∠DAH，
∴AD=DH=5，
∵AB=AF=3，AD=5，
∴DF=AD2−AF2=25−9=4，
∴HF=1，
∴AH=AF2+HF2=1+9=10；
(3)证明：①如图1，由(2)可知：AD=DH，AB=AE=CD，∠H=∠BAH，
∴DE=FH，
∵∠H+∠CAH=90°=∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠CAH=∠ABE，
又∵∠BAC=∠ACH，AB=AF，
∴△ABG≌△FAH(ASA)，
∴AG=FH，
∴AG=DE；
②设CD=3x，则AE=AF=AB=3x，
∵CD=3CF，
∴CF=x，
∴DF=4x，
∴AD=AF2+DF2=5x，
∴AD=DH=5x，DE=5x−3x=2x，
∴FH=x，
∴AG=FH=x，
∴AG=1
DE；
2
③如图2，∵AB=CD=AE，AD=DH，
∴DE=CH，
由①可知：△ABG≌△FAH，
∴AG=FH，
∴AG=FH=CF+CH=CF+DE．
【解析】(1)由角平分线的性质和平行线的性质可得∠ABE=∠AEB；
(2)由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BAH=∠H=∠DAH，可得AD=DH=5，由勾股定理可求DF的长，AH的长；
(3)①由“ASA”可证△ABG≌△FAH，可得AG=FH，即可求解；
②由勾股定理可求AD=DH=5x，可求AG=x，DE=2x，即可求解；
③由全等三角形的性质可得AG=FH，由(2)可知DE=CH，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。