自动控制原理--控制系统的稳态误差

不能采用拉氏变换终值定理的缘故。因此，利用式(356)来计算稳态误差是普遍成立的，而利用拉氏变换终 值定理的式(3-60)求稳态误差时，应注意使用条件。
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess
lim sE(s) s0
lim s s0
s(s 1)(2s 1) s(s 1)(2s 1) K(0.5s 1)
1 s2
1 K
计算结果表明，稳态误差的大小与系统的开环增益 K有关， 系统的开环增益越大，误差越小。由此可见，稳态精度与 稳定性对 K的要求是矛盾的。
解：由图3-42可知，在扰动作用点之前加入一个积分环 节，该比例－积分控制器对扰动作用为I型系统，该系统在 阶跃扰动作用下不存在稳态误差，而在斜坡扰动作用下存 在稳态误差。
Ns
Rs
Es
K11
1 T1s
M s
K2
Y s
sT2s 1
图3-42 例3-19题系统结构图
t
终值定理：
sR( s )
ess
lim e(t )
t
lim sE(s)
s0
lim s0 1
G(s)H(s)
应用终值定理时，应满足sE(s)在s右半平面及虚轴上 解析的条件，即 sE(s)的极点均位于s 左半平面。
例题
例22 设单位反馈系统开环传递函数 G(s)=1/Ts ， 输入信号分别为：
1） r(t)=t 2) r(t)=t2/2
T
1
T
2）R(s) s3 , E(s) s2 (1 Ts) , 符合终值定理应用条件。
1
ess
lim sE(s)
s0
lim
s0
s(1
Ts)
Ts
3.
R(s)
s2
2
,
E(s)
1 Ts
s2
2
不符合终值定理应用条件 。
（如使用终值定理将得出错误结论）
例题
使用终值定理要注意条件 稳态误差与输入信号的形式有关
例23
已知系统的结构图如图3-37所示。G0
s
，K分别求
s
rt 和12 t 2 rt时 系si统n的t 稳态误差。
解： 对于 rt ，1则t 2
2
Rs
Es
G0s
Ys
Rs由 式s13(3-57)，
图3-37 例26系统结构图
得
Es
1
Rs G0 s
1
s 2 s K
1 K2误差系数，有
对于0型系统： 对于Ⅰ型系统： 对于Ⅱ型系统：
• 可见，0型系统不能跟踪斜坡输入信号。 随时间的推移,误差越来越大；
• I型系统可以跟踪斜坡输入信号。但具 有与K有关的稳态误差，可用增加K的 方法提高稳态精度；
• II型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信 号，即稳态误差为零。
1、阶跃输入
定义
为静态位置误差系数，有
对于0型系 统：
对于Ⅰ型和Ⅱ型系统
由于0型系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差 为与K有关的一定值，因此常称为有差系统。
• 为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增 大K值。
• 若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系 统的类型高于I型。
2、斜坡输入
本例说明，当输入为阶跃、斜坡、等加速度等诸函数 的组合时，等加速度函数分量要求的系统类型最高。 图3-39b为Ⅱ型系统，能够跟踪输入信号中的等加速 度函数分量，但存在稳态误差；而对于图3-39a，由 于是Ⅰ型系统，故不能跟踪等加速度输入分量，稳态 误ess差
为无穷大。
三、扰动作用下的稳态误差
注意： 对于上述给定和扰动稳态误差利用终值定 理进行求取必须满足两个条件：
YN
s
s T2s
K2
1
K1K2
N
s
而误差信号
EN
s
YN
s
s T2s
K2
1
K1K2
N
s
所以，系统在扰动作用下的稳态误差
essn
lim
s0
sEN
s
n0 K1
由上例可知，增大扰动作用点之前的比例控制器增益 K，1 可以减小系统在阶跃扰动的稳态误差。式(3-88)表明，系统 在阶跃扰动作用下的稳态误差与 无K关2 。因此，增大扰动点 之后的系统前向通道增益，不能改变系统对扰动的稳态误差 数值。
Es
K0.5s 1 ss 12s 1
Y s
义，因此首先要判断系统
Bs
的稳定性。
图3-35 例3-14系统结构图
由结构图写出系统的闭环特征方程为
s s 12s 1 K 0.5s 1 0
经整理得
2s3 3s2 (1 0.5K )s K 0
劳斯行列表为
s3
2
1 0.5K
s2 s1
3
2K 31 0.5K
ess
lim sE
s0
s
lim
s0
1
ss
K
两种方法虽然结果相同，但是后者得到的只是终值误 差，看不出他是怎样随时间而趋于无穷大的。
当输入为正弦函数时，即
rt sint
， Rs
s2 2
因为
E
s
Rs 1 G0 s
s
K
s
s2
2
K 1
K s
2
K2 2 s K K2 2 s2 2 K2 2 s2 2
3、抛物线输入
定义
为静态速度误差系数，有
对于0型系统： 对于Ⅰ型系统： 对于Ⅱ型系统：
对于Ⅲ型系统及以上系统：
Ka ess 0
• 可见，I型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大；
• II型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与K有关的稳态误差，可 用增加K 的方法提高稳态精度；
• III型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。
例26 已知两个系统如图3-39所示。输入信为r(t) 4 6，t 试3分t 2
别求出两个系统的稳态误差。
Rs
10
ss 4
Ys Rs
10s 1
Y s
s2s 4
a)
b)
图3-39 例3-17系统结构图
解：图3-39a为Ⅰ型系统，由上表可知，系统不能跟随rt 3t 2
分量，所以 ess 。 图的e3ss-标39准Kb6a形为式Ⅱ120。4型12题t，系22.中变4统的换，加后不题难e也速s得s 由度出原输K来入a 的为，140所变，以K1成而，a 3为非稳t 2表态中。误差K6a
K 0
s0
3 K
显然，系统稳定的充要条件是0 K。 根6 据式(3-57)，相应 的误差传递函数为
GR
s
Es Rs
s(s
s(s 1)(2s 1) 1)(2s 1) K(0.5s
1)
而
E s GR s R s
s(s 1)(2s 1)
1
s(s 1)(2s 1) K (0.5s 1) s2
（3）采用复合控制。在输出反馈控制的基础 上，再增加按给定作用或主要扰动而进行 的补偿控制，构成复合控制系统。
（1）扰动前馈补偿
R s
Gn (s)
E s
Gc (s)
N s
Go (s)
（2）给定前馈补偿
Y s
Gn
s
1
Gc
s
Gr (s)
Rs
E s
Gc (s)
Go (s)
Y s
Gr
s
1
Go
s
例28 设控制系统如图3-40所示。图中 R s 为Rs0阶跃输入信 号； 为M比(s例) 控制器的输出，为被控对象的控制信号；
因此稳态精度与暂态性能、稳定性始终存 在矛盾。在保证系统稳定的前提下，为实现提 高稳态精度的目的，可采用以下措施：
（1）在增大开环增益和扰动作用点前系统前向 通道增益K1的同时，附加校正装置，以确 保稳定性。
（2）增加系统前向通道积分环节个数的同时， 也要对系统进行校正，以防止系统失去稳 定，并保证具有一定的瞬态响应速度。
而有
et
K K2 2
eKt
K
2 2
K
cost
sin t
所以
ess
t
K2 2
Kcost
sint
当 t 时， 既e不ss 等于零，也不趋于无穷大。若直
接利用终值定理，则会得出
ess
lim sE s
s0
lim
s0
s
s2
K s2
2
0
的错误结果。这是由于 sE在s 平s面的虚轴上有极点，
因此得到
et L1 Es
1 K2
eKt
1 K
t
1 K2
1 K2
eKt
Kt 1
系统的误差有两个分量，一是动态分量
1 K2
，eK他t 随着
时间的增加而衰减到零；一是稳态分量
1 K2
Kt，1随
着时间的增加而增大，当 t 时，这个分量将趋于
无穷大。所以，系统的稳态误差 ess ，如利用终值 定理，则有
控制系统的稳态误差
• 稳态误差的概念和定义 • 给定作用下的稳态误差 • 扰动作用下的稳态误差 • 提高系统稳态精度的方法
一、稳态误差的概念
•控制系统的性能：动态性能和稳态性能
•稳态性能用稳态误差 es来s 描述
•讨论稳态误差的前提是系统是稳定的
Ns
Rs
Es
G1s
G2s
Y s
Bs
Hs
控制系统结构图
例 24 设 图 3-24 所 示 系 统 的 输 入 信 号 r(t)=10+5t，
试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。
解： 由图3-24求得系统的特征方程为
R(s)
C(s)
-
由特征方程列劳斯表
s3 2
1+0.5K
s2 3
K
s1
s0
K
要使系统稳定，必须 K >0 , 1+0.5K >0 , 3(1+0.5K)－2K >0 解得 K >0，K>-2，K< 6 所以，当0< K< 6时，系统是稳定的。 由图3-24可知，系统的开环传递函数为
理的。
四、提高系统稳态精度的方法：
从前述可知： （1）在系统中增加前向通道积分环节的个数或增大开环增益,可减小
系统的给定稳态误差； （2）增加误差信号到扰动作用点之间的积分环节个数或放大系数，
可减小系统的扰动稳态误差。 但一般系统的积分环节不能超过两个，放大倍数也不能随意增
大，否则将使系统暂态性能变坏，甚至造成系统不稳定。
系统的稳态误差系数分别为
20
所以，系统的稳态误差为
上述结果表明，系统的稳态误差与K成反比，K值越 大，稳态误差越小，但K值的增大受到稳定性的限制， 当K >6时，系统将不稳定。
21
例25 已知系统结构如图3-35所示。当输入信号为 r(t) t 时求系统的给定稳态误差。
解：由于只有当系统稳定 Rs 时，计算稳态误差才有意
ER (s) GR
sRs
s s K1K2
1 s
1 s K1K2
在 nt信号0 作用下（此时令 r）t 1t
EN
(s)
GN
sRs
s
K2 K1K2
1 s
由叠加原理得
E(s)
ER (s) EN (s)
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
⑶ 求 ess
ess
lim sE(s) lim s
增大系统的增益在实践中可以用增加放大器的放大倍数 或提高信号电平等方法来实现，是一种简单、有效的提高 系统精度的方法。但是，增大系统的增益又可能使系统的 稳定性变得恶劣。为了解决这个矛盾，往往在提高 K值的 同时，又要采取其他相应的措施保证系统稳定。
例3-19 如果在例3-18 中采用比例-积分控制器，如图342所示，试分别计算系统在阶跃扰动和斜坡扰动作用下稳 态误差。
为阶N跃s扰 动n0输入。试求系统的稳态误差。
s
控制器
Ns 被控对象
Rs
Es
K1 Ms
K2
Y s
sT2s 1
图3-40 例3-18系统结构图
解： 由图3-40可知，本例系统为Ⅰ型系统。令扰动 Ns， 0则
系统对阶跃输入信号的稳态误差为零。但是，如果令 Rs 0
，则系统在扰动作用下输出量的实际值为
R(s)
E (s)
C(s)
G(s)
(-)
3) r(t)=sinωt
C(s)
求系统稳态误差。
解：误差传递函数为
例题
E(s)
1
Ts
e (s) R(s) 1 G(s)H (s) 1 Ts
1）
R(s)
1 s2
, E(s)
T
,
s(1 Ts)
符合终值定理应用条件。
T
ess
lim sE(s)
s0
lim s0 1 Ts