2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第二章 2.7 函数的图象 Word版含解析

§2.7　函数的图象
最新考纲　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换
(2)对称变换
①y ＝f (x )y ＝－f (x )；――――――→关于x 轴对称
②y ＝f (x )y ＝f (－x )；――――――→关于y 轴对称 ③y ＝f (x )y ＝－f (－x )；
―――――→关于原点对称 ④y ＝a x (a >0且a ≠1)y ＝log a x (a >0且a ≠1)．――――――→关于y ＝x 对称
(3)伸缩变换
①y ＝f (x )y ＝f (ax )．―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变
0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变②y ＝f (x )y ＝af (x )．――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变
0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变(4)翻折变换
①y ＝f (x )y ＝|f (x )|.――――――――――→保留x 轴上方图象
将x 轴下方图象翻折上去②y ＝f (x )y ＝f (|x |)．―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其 关于y 轴对称的图象概念方法微思考
1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？提示　f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．
2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，求f (x )，g (x )的关系．提示　g (x )＝2b －f (2a －x
)
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．(　×　)(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(　×　)(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．(　×　)
(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．(　×　)题组二　教材改编
2．[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋的图象关于( )
1
x A ．y 轴对称 B ．x 轴对称C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
答案　C
解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.
3．[P32T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是．(填序号)
答案　③
解析　小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．
4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是．
答案　(－1,1]
解析　在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．
题组三　易错自纠
5．下列图象是函数y ＝Error!的图象的是( )
答案　C
6．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案　y ＝ln (1
2
x
)
解析　根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝ln .
(1
2
x )
7．(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案　(0，＋∞)
解析　在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．
题型一　作函数的图象分别画出下列函数的图象：
(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝.
2x －1x －1
解　(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再
把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．
(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝Error!其图象如图③所示．
(4)∵y ＝2＋，故函数的图象可由y ＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得
1x －11x 到，如图④所示．
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋的函数．
1
x
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二　函数图象的辨识
例1 (1)函数y ＝的图象大致是( )
x 2ln|x |
|x |
答案　D
解析　从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D.
(0，1e )(
1
e
，＋∞)
(2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )
A ．y ＝f (|x |)
B ．y ＝－|f (x )|
C ．y ＝－f (－|x |)
D ．y ＝f (－|x |)
答案　C
解析　题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.
思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝
x
在同一直角坐标系下的图象大致是( )(12
)
答案　B
解析　因为函数g (x )＝
x
为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x (12
)的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B.
(2)函数y ＝的部分图象大致为( )
1
ln|e x －e －x |
答案　D
解析　令f (x )＝，则f (－x )＝＝＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关
1ln|e x －e －x |1ln|e －x －e x |1
ln|e x －e －x |于y 轴对称，排除B ，C.当x >1时，y ＝＝，显然y >0且函数单调递减，
1ln|e x －e －x |1
ln (e x －e －x )
故D 正确．
题型三　函数图象的应用
命题点1　研究函数的性质
例2 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )
A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案　C
解析　将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝Error!
画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．答案　(4，＋∞)
解析　画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．
由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2(由于a <b ，故取不到等号)，所以ab ab >4.
命题点2　解不等式
例3 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0
f (x )
cos x 的解集为
．
答案　∪(
－π2，－1)(1，
π
2
)
解析　当x ∈时，y ＝cos x >0.
(0，π
2)
当x ∈时，y ＝cos x <0.
(π
2
，4)
结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，
当1<x <时，<0.又函数y ＝为偶函数，
π2f (x )cos x f (x )
cos x 所以在[－4,0]上，
<0的解集为，
f (x )
cos x
(
－π2，－1)
所以
<0的解集为∪.
f (x )
cos x (－π2，－1)(1，π2)
命题点3　求参数的取值范围
例4 (1)已知函数f (x )＝Error!若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．
答案　(0,1]
解析　作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．
(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ．
答案　(1
2
，1
)
解析　先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率
为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围
1
2为.(12
，1)
思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．
(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．
跟踪训练2 (1)(2018·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值答案　C
解析　画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．
综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．
(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是
．
答案　[－1，＋∞)
解析　如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
高考中的函数图象及应用问题
高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．
一、函数的图象和解析式问题
例1 (1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA 运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
答案　B
解析　当x ∈时，f (x )＝tan x ＋，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；
[0，π
4]
4＋tan 2x 当x ∈时，f ＝f ＝1＋，
[π4，3π4](π4)(3π
4)
5f ＝2.∵2<1＋，(π
2)
225∴f
<f ＝f ，从而排除D ，故选B.(π2)(π4)(3π4
)(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )
A ．f (x )＝
ln|x |x B ．f (x )＝
e x
x C ．f (x )＝－1
1
x 2D ．f (x )＝x －
1
x 答案　A
解析　由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －，则x →＋∞时，
1
x f (x )→＋∞，排除D ，故选A.
(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝的图象大致为( )
e x －e －x
x 2
答案　B
解析　∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，
∴f (x )＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．
e x －e －x
x 2当x ＝1时，f (1)＝＝e －>0，排除D 选项．
e －e －111
e 又e>2，∴<，∴e －>，排除C 选项．
1e 121e 3
2故选B.
二、函数图象的变换问题
例2 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )
答案　D
解析　方法一　先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；
再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.
方法二　先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法三　当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D.三、函数图象的应用
例3 (1)已知函数f (x )＝Error!其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．
答案　(3，＋∞)
解析　在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.
(2)不等式3sin －x <0的整数解的个数为
．
(π
2
x )
12
log 答案　2
解析　不等式3sin －x <0，即3sin <x .设f (x )＝3sin ，g (x )＝x ，在
(π2x )
12
log (π2x )
12
log (π
2
x )
12
log 同一坐标系中分别作出函数f (x )与g (x )的图象，由图象可知，当x 为整数3或7时，有f (x )<g (x )，所以不等式3sin －x <0的整数解的个数为2.
(π
2
x )
12
log
(3)已知函数f (x )＝Error!若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是 ．
答案　(2,2 021)
解析　函数f (x )＝Error!的图象如图所示，不妨令a <b <c ，
由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 020，所以2<a ＋b ＋c <2 021.
1．(2018·浙江)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )
答案　D
解析　由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .
∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B.令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝(k ∈Z )，
k π
2∴当k ＝1时，x ＝，故排除C.
π
2故选D.
2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )
答案　C
解析　当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.
3．已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为( )
答案　A
解析　先作出函数f (x )＝log a x (0<a <1)的图象，当x >0时，y ＝f (|x |＋1)＝f (x ＋1)，其图象由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f (|x |＋1)为偶函数，所以再将函数y ＝f (x ＋1)(x >0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x <0时的图象，故选A.4.若函数f (x )＝Error! 的图象如图所示，则f (－3)等于( )
A ．－
B ．－
1254C ．－1 D ．－2
答案　C
解析　由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝Error!故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
5．函数f (x )的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1 B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1
D ．f (x )＝e －x －1
答案　D
解析　与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
6．(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝Error!若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
答案　A
解析　当x≤0时，f(x)＝2－x－1，当0<x≤1时，－1<x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.
类推有f(x)＝f(x－1)＝22－x－1，x∈(1,2]，…，也就是说，x>0的部分是将x∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．
若方程f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
7．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为．
答案　{x|x≤0或1<x≤2}
解析　画出f(x)的大致图象如图所示．
不等式(x－1)f(x)≤0可化为Error!或Error!
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<x≤2}．
8．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝ .
答案　－2
解析　由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.
9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是 ．
答案　(－13
，0
)
解析　由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．
记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，
故k AB <k <0，k AB ＝
＝－，∴－<k <0.
0－1
2－(－1)131
310．给定min{a ，b }＝Error!已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为 ．
答案　(4,5)
解析　作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．
11．已知函数f (x )＝Error!的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是 ．
答案　[1，]
3解析　先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象．
令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.
又f (0)＝f ()＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤.3312．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .
(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解　(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．
由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；
当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，
因为H (t )＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
(t ＋12)
1
4所以H (t )>H (0)＝0.
因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。