人教版初三数学下册中考知识点梳理：第2讲整式与因式分解

第2讲整式与因式分解一、知识清单梳理
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A→D→C→E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由题意可知， 当03x ≤≤时，11
222
y AP AB x x =⋅=⨯=； 当35x <≤时，
ABE ADP EPC ABCD y S S S S ∆∆∆=---矩形()()11123123325222x x =⨯-⨯⨯-⨯--⨯-19
22
x =-+；
当57x <≤时，()11
27722
y AB EP x x =⋅=⨯⨯-=-.∵3x =时，3y =；5x =时，2y =.∴结合函数
解析式， 可知选项B 正确. 【点睛】
考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积．
2．若正比例函数y ＝mx （m 是常数，m≠0）的图象经过点A （m ，4），且y 的值随x 值的增大而减小，则m 等于（ ） A ．2 B ．﹣2
C ．4
D ．﹣4
【答案】B
【解析】利用待定系数法求出m ，再结合函数的性质即可解决问题． 【详解】解：∵y ＝mx （m 是常数，m≠0）的图象经过点A （m ，4）， ∴m 2＝4，
∵y的值随x值的增大而减小，
∴m＜0，
∴m＝﹣2，
故选：B．
【点睛】
本题考查待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝4
5
，则tanB等于()
A．4
3
B．
3
4
C．3
5
D．
4
5
【答案】B
【解析】法一，依题意△ABC为直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=4
5
，∵22
cos sin1
B B
+=，
∴sinB=3
5
,∵tanB=
sin
cos
B
B
=
3
4
故选B
法2，依题意可设a=4,b=3,则c=5，∵tanb=
3
4
b
a
故选B
4．如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）
A．125°B．135°C．145°D．155°【答案】A
【解析】分析：如图求出∠5即可解决问题．
详解：
∵a∥b，
∴∠1=∠4=35°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠5=55°，
∴∠3=180°-∠5=125°，
故选：A．
点睛：本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5．若数a使关于x的不等式组
()
3x a2x1
1x
2x
2
⎧-≥--
⎪
⎨-
-≥
⎪⎩
有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式
方程y5
1y
-
-
+3=
a
y1
-
有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．
【详解】不等式组整理得：
1
3
x a
x
≥-
⎧
⎨
≤
⎩
，
由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，
分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=
2
2
a-
，
由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=c
x
（c
是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）
【解析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=c
x
图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=c
x
（c是常数，且c≠0）
的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
7．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（）
A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）
【答案】C
【解析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故选C．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键.
关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.
8．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2
【答案】C
【解析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC 和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求得△PBC的面积．
【详解】延长AP交BC于E．
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°．
在△APB和△EPB中，∵，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE S△ABC＝4cm1．
【点睛】
本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S △PBC ＝S △PBE +S △PCE
S △ABC ．
9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A ．9人 B ．10人
C ．11人
D ．12人
【答案】C
【解析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】设参加酒会的人数为x 人，依题可得：
1
2
x （x-1）=55， 化简得：x 2-x-110=0，
解得：x 1=11，x 2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 101
9273
） A ．﹣2和﹣1 B ．﹣3和﹣2 C ．﹣4和﹣3 D ．﹣5和﹣4
【答案】C
1
9273
33﹣3算，由3＜34可知﹣34和﹣3之间． 故选C ．
点睛：此题主要考查了二次根式的化简和估算，关键是根据二次根式的性质化简计算，再二次根式的估算方法求解.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，点,A B 是反比例函数(0,0)k
y k x x
=>>图像上的两点（点A 在点B 左侧），过点A 作AD x ⊥轴
于点D，交OB于点E，延长AB交x轴于点C，已知
21
25
OAB
ADC
S
S
∆
∆
=，14
5
OAE
S
∆
=，则k的值为__________．
【答案】20 3
【解析】过点B作BF⊥OC于点F，易证S△OAE=S四边形DEBF=14
5
，S△OAB=S四边形DABF，因为
21
25
OAB
ADC
S
S
∆
∆
=，
所以
21
25
DABF
ADC
S
S
∆
=
四边形，
4
25
BCF
ADC
S
S
∆
∆
=，又因为AD∥BF，所以S△BCF∽S△ACD，可得BF:AD=2：5，因为
S△OAD=S△OBF，所以1
2
×OD×AD =
1
2
×OF×BF，即BF:AD=2：5= OD：OF，易证：S△OED∽S△OBF，S△OED：
S△OBF=4:25，S△OED：S四边形EDFB=4:21，所以S△OED=
8
15
，S△OBF= S△OED+ S四边形EDFB=
8
15
+
14
5
=
10
3
, 即可
得解：k=2 S△OBF=20 3
.
【详解】解：过点B作BF⊥OC于点F，
由反比例函数的比例系数|k|的意义可知：S△OAD=S△OBF，
∴S△OAD- S△OED =S△OBF一S△OED，即S△OAE=S四边形DEBF=14
5
，S△OA B=S四边形DABF，
∵
21
25
OAB
ADC
S
S
∆
∆
=，
∴
21
25
DABF
ADC
S
S
∆
=
四边形，
4
25
BCF
ADC
S
S
∆
∆
=，
∵AD∥BF
∴S△BCF∽S△ACD，
又∵
4
BCF
S
∆=，
∴BF:AD=2：5，∵S△OAD=S△OBF，
∴1
2
×OD×AD =
1
2
×OF×BF
∴BF:AD=2：5= OD：OF
易证：S△OED∽S△OBF，
∴S△OED：S△OBF=4:25，S△OED：S四边形EDFB=4:21
∵S四边形EDFB=14
5
，
∴S△OED=
8
15
，S△OBF= S△OED+ S四边形EDFB=
8
15
+
14
5
=
10
3
,
∴k=2 S△OBF=20 3
.
故答案为20 3
.
【点睛】
本题考查反比例函数的比例系数|k|的几何意义，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理和性质定理. 12．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m．
【答案】1
【解析】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知点（0，2.4），（1，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出答案；
【详解】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，
由图得知：点（0，2.4），（1，0）在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，
∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8，
则1.8=﹣x2+2.4，
故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：1米， 故答案为1．
13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．
【答案】115°
【解析】根据过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，∠P=40°，可以求得∠OCP 和∠OBC 的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D 的度数，本题得以解决．
【详解】解：连接OC ，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°， ∴∠COB=50°， ∵OC=OB ，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠D+∠ABC=180°， ∴∠D=115°， 故答案为：115°． 【点睛】
本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 14．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线2k y=
x 交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2k
x
＋b 的解集是 ▲ ．
【答案】－2＜x ＜－1或x ＞1．
不等式k 1x ＜
2k x ＋b 的解集即k 1x －b ＜2k
x
的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线y ＝k 1x －b 在双曲线2k
y=x
下方的自变量x 的取值范围即可．
而直线y ＝k 1x －b 的图象可以由y ＝k 1x ＋b 向下平移2b 个单位得到，如图所示．根据函数2
k y=x
图象的对称性可得：直线y ＝k 1x －b 和y ＝k 1x ＋b 与双曲线2
k y=
x
的交点坐标关于原点对称． 由关于原点对称的坐标点性质，直线y ＝k 1x －b 图象与双曲线2k
y=x
图象交点A′、B′的横坐标为A 、B 两
点横坐标的相反数，即为－1，－2．
∴由图知，当－2＜x ＜－1或x ＞1时，直线y ＝k 1x －b 图象在双曲线2
k y=x
图象下方． ∴不等式k 1x ＜
2
k x
＋b 的解集是－2＜x ＜－1或x ＞1． 15．如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数()y x 0x
k
=
<的图象经过点C ，则k 的值为 ．
【答案】－6
【解析】分析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4， ∴A （﹣3，2）. ∵点A 在反比例函数()y x 0x
k
=<的图象上， ∴23
k
=
-，解得k=－6. 【详解】请在此输入详解！
16．计算：cos 245°-tan30°sin60°=______． 【答案】0
【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
故答案为0.
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
17．某种水果的售价为每千克a 元，用面值为50元的人民币购买了3千克这种水果，应找回 元（用含a 的代数式表示）．
【答案】（50-3a ）.
【解析】试题解析：∵购买这种售价是每千克a 元的水果3千克需3a 元，
∴根据题意，应找回（50-3a ）元．
考点：列代数式.
18．如图，矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点'D 处.则重叠部分AFC ∆的面积为______.
【答案】10
【解析】根据翻折的特点得到'AD F CBF ∆≅∆，AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()2
2248x x +=-，解出x,再根据三角形的面积进行求解.
【详解】∵翻折，∴'4AD AD BC ===，'90D B ∠=∠=︒，
又∵'AFD CFB ∠=∠， ∴'AD F CBF ∆≅∆，
∴AF CF =.设BF x =，则8FC AF x ==-.
在Rt BCF ∆中，222BC BF CF +=，即()22248x x +=-， 解得3x =，
∴5AF =，
∴11541022
AFC S AF BC ∆=
⋅=⨯⨯=. 【点睛】
此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知翻折的性质及勾股定理的应用.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）．
【答案】CE的长为（4+）米
【解析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【详解】过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=CH AH
，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×
3
3
=23（米），
∵DH=1.5，
∴CD=23+1.5，在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=CD CE
，
∴CE=23 1.5
3
2
=（4+3）（米），
答：拉线CE的长为（4+）米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】每件衬衫应降价1元.
【解析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可.
【详解】解：设每件衬衫应降价x元.
根据题意，得（40-x）（1+2x）=110,
整理，得x2-30x+10=0,
解得x1=10，x2=1．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应舍去，
∴x=1.
答：每件衬衫应降价1元.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.
21．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．求证：△BDE≌△BCE；试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
【答案】证明见解析.
【解析】（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出
∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；
（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED 为菱形．
【详解】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，
∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，
∵AB⊥EC，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBE=∠CBE=30°，
在△BDE和△BCE中，
∵
DB CB
DBE CBE BE BE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BDE≌△BCE；
（2）四边形ABED 为菱形；
由（1）得△BDE ≌△BCE ，
∵△BAD 是由△BEC 旋转而得，
∴△BAD ≌△BEC ，
∴BA=BE ，AD=EC=ED ，
又∵BE=CE ，
∴BA=BE=ED= AD
∴四边形ABED 为菱形．
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
22．先化简，后求值：（1﹣11a +）÷（2221
a a a a -++），其中a ＝1． 【答案】11
a a +-,2. 【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 【详解】解：原式＝()()
2111111a a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭+ ()()
2111a a a a a +=+- 11
a a +=-， 当a ＝1时， 原式＝
3131+-＝2． 【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
23．图1是某市2009年4月5日至14日每天最低气温的折线统计图．图2是该市2007年4月5日至14日每天最低气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；在这10天中，最低气温的众数是____，中位数是____，方差是_____．请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况．
【答案】(1)作图见解析；（2）7，7.5，2.8；（3）见解析.
【解析】（1）根据图1找出8、9、10℃的天数，然后补全统计图即可；
（2）根据众数的定义，找出出现频率最高的温度；按照从低到高排列，求出第5、6两个温度的平均数即为中位数；先求出平均数，再根据方差的定义列式进行计算即可得解；
（3）求出7、8、9、10、11℃的天数在扇形统计图中所占的度数，然后作出扇形统计图即可．
【详解】（1）由图1可知，8℃有2天，9℃有0天，10℃有2天，
补全统计图如图；
（2）根据条形统计图，7℃出现的频率最高，为3天，
所以，众数是7；
按照温度从小到大的顺序排列，第5个温度为7℃，第6个温度为8℃，
所以，中位数为1
2
（7+8）=7.5；
平均数为
1
10
（6×2+7×3+8×2+10×2+11）=
1
10
×80=8，
所以，方差=
1
10
[2×（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（10﹣8）2+（11﹣8）2]，
=
1
10
（8+3+0+8+9），
=
1
10
×28，
=2.8；
（3）6℃的度数，
2
10
×360°=72°，
7℃的度数，
3
10
×360°=108°，
8℃的度数，
2
10
×360°=72°，
10℃的度数，
2
10
×360°=72°，
11℃的度数，
1
10
×360°=36°，
作出扇形统计图如图所示．
【点睛】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定n 个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
24．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．求证：△ABF≌△CDE；如图，若∠1=65°，求∠B的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）50°．
【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，
∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，
在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，
∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．
考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．
25．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在小正方形的顶点上．在图中画出以线段AB 为一边的矩形ABCD （不是正方形），且点C 和点D 均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB 为一腰，底边长为22的等腰三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上，连接CE ，请直接写出线段CE 的长．
【答案】作图见解析；CE=4.
【解析】分析：利用数形结合的思想解决问题即可.
详解：如图所示，矩形ABCD 和△ABE 即为所求；CE=4.
点睛：本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题．
26．先化简，再求值：222(2)()y x y y x y x y x y x y
⎛⎫--÷--+ ⎪+-⎝⎭，其中1x =-，2y =. 【答案】1
【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式的除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.
详解：原式()()()()222,x y x y y xy y x y x y x y x y x y -+⎛⎫+=-⋅--+ ⎪++-⎝⎭
()()()
222,x y x y xy x xy y x y x y -+-=⋅---+- 222,xy x xy y =--++
222x y =-+，
当x=-1、y=2时，
原式=-（-1）2+2×
22 =-1+8
=1．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如果2(2)2a a -=-，那么（ ）
A ．2x <
B ．2x ≤
C ．2x >
D ．2x ≥
【答案】B 【解析】试题分析：根据二次根式的性质2(0)0(0)(0)a a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩
，由此可知2-a≥0，解得a≤2.
故选B
点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质
2(0)0(0)(0)a a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩
可求解.
2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A ．12
B ．24
C ．14
D ．13
【答案】D
【解析】过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ，根据旋转性质可知，∠B′=∠B ，把求tanB′的问题，转化为在Rt △BCD 中求tanB ．
【详解】过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B ．
在Rt △BCD 中，tanB=
13CD BD =， ∴tanB′=tanB=
13． 故选D ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
3．如图，△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12
AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为（ ）
A ．65°
B ．60°
C ．55°
D ．45°
【答案】A 【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC ，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．
【详解】由题意可得：MN 是AC 的垂直平分线，
则AD=DC ，故∠C=∠DAC ，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
4．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．33【答案】D 【解析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
【详解】∵ED 是BC 的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =33，
故选D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
5．下列图案是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：A．此图形不是轴对称图形，不合题意；
B．此图形不是轴对称图形，不合题意；
C．此图形是轴对称图形，符合题意；
D．此图形不是轴对称图形，不合题意．
故选C．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（）
A．4
5
B．
5
4
C．
4
3
D．
3
4
【答案】D
【解析】先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，
在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．
∴∠A ＝∠BCD ．
∴tan ∠BCD ＝tanA ＝BC AC ＝34
， 故选D ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
7．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．213014000x x +-=
B ．2653500x x +-=
C ．213014000x x --=
D ．2653500x x --=
【答案】B 【解析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.
【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ，
得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400，
整理后得：2653500x x +-=
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.
8．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A ．甲的速度是4km/h
B ．乙的速度是10km/h
C．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h
【答案】C
【解析】甲的速度是：20÷4=5km/h；
乙的速度是：20÷1=20km/h；
由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，
故选C．
9．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（）
A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8
【答案】A
【解析】试题分析：设正比例函数解析式为：y=kx，将点A（3，﹣6）代入可得：3k=﹣6，解得：k=﹣2，∴函数解析式为：y=﹣2x，将B（m，﹣4）代入可得：﹣2m=﹣4，解得m=2，故选A．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
10．下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解．
【详解】A. 主视图为圆形，左视图为圆，故选项错误；
B. 主视图为三角形，左视图为三角形，故选项错误；
C. 主视图为矩形，左视图为矩形，故选项正确；
D. 主视图为矩形，左视图为圆形，故选项错误.
故答案选：C.
【点睛】
本题考查的知识点是截一个几何体，解题的关键是熟练的掌握截一个几何体.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是____．
【答案】1．
【解析】寻找规律：
上面是1，2 ，3，4，…，；左下是1，4=22，9=32，16=42，…，；
右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方：
（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，…
∴a=（36－6）2=1．
12．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60，则该直尺的宽度为____________cm ．
【答案】533
【解析】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E ，根据圆周角定理有130,2BAD BOD ∠=
∠=︒根据垂径定理有：15,2
AE AD == 解直角OAE △即可. 【详解】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E ，
130,2
BAD BOD ∠=
∠=︒ 10 3.cos303
AE OA ==︒ 5tan 303,3OE AE =⋅︒= 直尺的宽度：105533 3.333CE OC OE =-=
= 533
【点睛】
考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
13518x <<x 的值是_____．
【答案】3，1
【解析】直接得出253，1185，进而得出答案．
【详解】解：∵253，1185，
∴518x <<的整数x 的值是：3，1．
故答案为：3，1．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键．
14．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．
【答案】（1，0）；（﹣5，﹣2）.
【解析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点；另一种是A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点．
【详解】∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1），
∴E （-1，0）、G （0，-1）、D （5，2）、B （3，0）、C （5，0），
（1）当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点时，位似中心就是EC 与AG 的交点，
设AG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），
∴231k b b =+⎧⎨-=⎩，解得11b k =-⎧⎨=⎩
． ∴此函数的解析式为y=x-1，与EC 的交点坐标是（1，0）；
（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，
设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），
320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故此一次函数的解析式为1122
y x =+…①， 同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），
501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
故此直线的解析式为
1
1
5
y x
=-…②
联立①②得
11
22
1
1
5
y x
y x
⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
解得
5
2
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，故AE与CG的交点坐标是（-5，-2）．
故答案为：（1，0）、（-5，-2）．
15．如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．
【答案】（﹣2，2）
【解析】试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，
∴x=0时，
得y=4，
∴B（0，4）．
∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，
∴C在线段OB的垂直平分线上，
∴C点纵坐标为2．
将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，
解得x=﹣2．
所以C′的坐标为（﹣2，2）．
考点：2．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．坐标与图形变化-平移．
16．如图，已知函数y＝x+2的图象与函数y＝k
x
（k≠0）的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数
y＝k
x
（k≠0）的图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1．则k的值为_____．
【答案】3
【解析】连接OA．根据反比例函数的对称性可得OB=OC，那么S△OAB=S△OAC=1
2
S△ABC=2．求出直线
y=x+2与y轴交点D的坐标．设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（-b，-b-2），根据S△OAB=2，得出a-b=2 ①．根据S△OAC=2，得出-a-b=2 ②，①与②联立，求出a、b的值，即可求解．
【详解】如图，连接OA．
由题意，可得OB=OC，
∴S△OAB=S△OAC=1
2
S△ABC=2．
设直线y=x+2与y轴交于点D，则D（0，2），
设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（-b，-b-2），
∴S△OAB=1
2
×2×（a-b）=2，
∴a-b=2 ①．
过A点作AM⊥x轴于点M，过C点作CN⊥x轴于点N，
则S△OAM=S△OCN=1
2
k，
∴S△OAC=S△OAM+S梯形AMNC-S△OCN=S梯形AMNC=2，
∴1
2
（-b-2+a+2）（-b-a）=2，
将①代入，得
∴-a-b=2 ②，
①+②，得-2b=6，b=-3，
①-②，得2a=2，a=1，
∴A（1，3），
∴k=1×3=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较强，难度适中．根据反比例函数的对称性得出OB=OC是解题的突破口．
17．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，
根据题意可列方程是__________________________．
【答案】50（1﹣x ）2=1．
【解析】由题意可得，
50(1−x)²=1，
故答案为50(1−x)²=1.
18．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为__________
【答案】75°
【解析】先根据同旁内角互补，两直线平行得出AC ∥DF ，再根据两直线平行内错角相等得出∠2=∠A=45°，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．
【详解】∵∠ACB=∠DFE=90°，∴∠ACB+∠DFE=180°，∴AC ∥DF ，∴∠2=∠A=45°，
∴∠1=∠2+∠D=45°+30°=75°．
故答案为：75°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，求出∠2=∠A=45°是解题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，75CBD ∠=︒，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，
垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）在（1）条件下，连接BF ，求DBF ∠的度数．
【答案】（1）答案见解析；（2）45°．
【解析】（1）分别以A 、B 为圆心，大于12
AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可； （2）根据∠DBF ＝∠ABD ﹣∠ABF 计算即可；
【详解】（1）如图所示，直线EF 即为所求；
（2）∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABD ＝∠DBC 12
=∠ABC ＝75°，DC ∥AB ，∠A ＝∠C ， ∴∠ABC ＝150°，∠ABC+∠C ＝180°，
∴∠C ＝∠A ＝30°．
∵EF 垂直平分线段AB ，
∴AF ＝FB ，
∴∠A ＝∠FBA ＝30°，
∴∠DBF ＝∠ABD ﹣∠FBE ＝45°．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．关于x 的一元二次方程230x m x m ++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤1
B ．m ＜1
C ．﹣3≤m≤1
D ．﹣3＜m ＜1
【答案】C 【解析】利用二次根式有意义的条件和判别式的意义得到230(3)40m m m +≥⎧⎪⎨+-≥⎪⎩
＝，然后解不等式组即可． 【详解】根据题意得230(3)40
m m m +≥⎧⎪⎨+-≥⎪⎩＝， 解得-3≤m≤1．
故选C ．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方
程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
21．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC 平移，使点A 变换为点D ，点E 、F 分别是B 、C 的对应点．
请画出平移后的△DEF．连接AD、CF，
则这两条线段之间的关系是________．
【答案】见解析
【解析】(1)如图：
(2)连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是AD＝CF，且AD∥CF．
22．某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
员工管理人员普通工作人员
人员结构总经理部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工员工数（名） 1 3 2 3 24 1
每人月工资（元）21000 8400 2025 2200 1800 1600 950
请你根据上述内容，解答下列问题：该公司“高级技工”有名；所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为元，众数为元；小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资y（结果保留整数），并判断y能否反映该公司员工的月工资实际水平．。