三角函数同步练习
三角函数练习
三角函数练习班级 姓名同步练习1——角的推广、弧度制 一、选择题：1．下列命题中的真命题是（ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2kπ－2π＜α＜2kπ(k ∈Z ) 2.下列关于1弧度的角的说法正确的是 （ ）A ）弦长等于半径的弦所对的圆心角等于1弧度B ）1=（π180）0C ）弧长等于半径的弧所对的圆周角等于1弧度D ）1=57.303．在直角坐标系中，终边落在x 轴上的所有角是落 （ ）A ）0360()k k Z ⋅∈ B) 00与1800 C ）0360180()k k Z ⋅+∈ D ）0180()k k Z ⋅∈4．下列各角中，与3300终边相同的角是 （ ）A ）6300B ）-6300C ）-7500D ）0360330()k k Z ⋅-∈ 5．若α= -210，则与角α终边相同的角可以表示为 （ ） A ）036021()k k Z ⋅+∈ B ）036021()k k Z ⋅-∈ C ）018021()k k Z ⋅+∈ D ）018021()k k Z ⋅-∈ 6．若α为第四象限的角，则角π -α所在象限是 （ ）A ）第一象限B ）第二象限C ）第三象限D ）第四象限 7．设k ∈Z ，下列终边相同的角是（ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°8．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为： （ ）A ．70 cmB ．670 cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm 9．“21sin =A ”“A=30º”的 （ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10、若,(0,)2παβ∈，且sin cos 0αβ-<， 则 （ ）()A αβ< ()B αβ>()C 2παβ+<()D 2παβ+>二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）1．与－1050°终边相同的最小正角是 . 2．在[-3600，7200]间，与450终边相同的角的共有 个，它们是 。
九年级下数学三角函数同步练习
九年级下数学三角函数同步练习1．已知sinA=21，且∠A 为锐角，则∠A=（ ）A.30° B.45° C.60° D.75°2． 45cos 45sin +的值等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 213+3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是（ ）A ． 43 B ． 34 C ．53 D ．54 4．许婧同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（A.40B.30°C.20° D.10°5．在△ABC 中，若|sinA －23|+(1－tanB)2=0，则∠C 的度数是（ ）A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°6．若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°7．在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ）A.△ABC 是等腰三角形B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是一般锐角三角形8．在Rt △ABC 中， 90=∠C ，如果AB=2，BC=1，那么sinB 的值是（ ）A ．21 B ．23 C ．33 D ．3 9．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A /B /C /，那么锐角A 、A /的余弦值的关系为（ ）Ａ．cosA=cosA / Ｂ．cosA=3cosA /Ｃ．3cosA=cosA / Ｄ．不能确定10．化简2130(tan ）-︒＝（ ）A ．331- B ．31- C ．133- D ．13-二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分）11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，BC=3，则cosA ＝________.12．对于锐角α，总有 sin 2α+ cos 2α＝ .13．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，135sin =A ，則=B sin _______. 14．在Rt △ABC 中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =________. 三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）1545sin 60)4︒-︒+； ⑵2sin450＋cos300·tan600—2)3(- 。
(必修第一册)三角函数的概念(同步练习)(含解析)
5.2.1三角函数的概念一、单选题1．若点P 的坐标为()cos2020,sin 2020︒︒，则点P 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若2α=，则（ ）A ．sin 0α>且cos 0α>B ．sin 0α>且cos 0α<C ．sin 0α<且cos 0α<D ．sin 0α<且cos 0α>3．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线30x y -=上，求角α余弦值为（ ）A B ．C D ．4．若ABC 的内角A 和B 满足cos cos 0A B <，则ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．“cos α=是“6πα=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知角α的终边与单位圆交于P ⎝⎭，则sin cos αα⋅=（ ）A ．B ．C D二、多选题7．（多选）若角α的终边过点()3,2--，则下列结论正确的是（ ）A ．sin tan 0αα<B ．cos tan 0αα>C ．sin cos 0αα>D ．sin cos 0αα<8．若tan 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则在区间[0,]π上的解为（ ）A ．0B ．πC ．0D ．4π9．若角α的终边上有一点()(),20P a a a ≠，则2sin cos αα-的值可以是（ ）A ．BC ．D三、填空题10．记()cos 80k -︒=，那么tan100︒=______.11．已知点22sin ,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭落在角θ的终边上，则tan θ=________．12．已知tan x =x 的取值集合为______.四、解答题13．已知角α的终边经过点()(),20P a a a ≠，求sin α、cos α、tan α的值.14．已知角α的终边上有一点)1P a +，a ∈R ． （1）若60α=︒，求实数a 的值．（2）若cos 0α>且tan 0α<，求实数a 的取值范围．15．求下列各式的值：（1）5sin902sin03sin 27010cos180︒+︒-︒+︒；（2）22ππ1ππsin cos cos πtan cos πsin 64362---+. 参考答案1．C【分析】利用终边相同的角相差360°的整数倍，把大角变小角，从而判定角2020︒的终边在第三象限，根据三角函数在各象限内的正负，确定点P 的位置.【详解】因为20205360220︒︒=⨯+︒，所以角2020︒的终边在第三象限，所以cos20200︒<，sin20200︒<，所以点P 在第三象限．故选：C2．B【分析】确定α所在象限，再根据各象限内角的三角函数值的符号判断作答.【详解】 因22ππ<<，则2α=是第二象限象限角，所以sin 0,cos 0αα><.故选：B3．D【分析】根据角α的终边在直线30x y -=上，可得角α在第一象限或第三象限，可设点()00,3x x 为角α的终边上一点，再根据三角函数的定义即可的解.【详解】解：因为角α的终边在直线30x y -=上，则角α在第一象限或第三象限，可设点()00,3x x 为角α的终边上一点，所以cos α==故选：D.4．C【分析】先确定角的余弦值的正负，再根据正负可得角的范围，进而可判断三角形的形状即可.【详解】由题意得cos 0A >，cos 0B <或cos 0A <，cos 0B >，即B 是钝角或A 是钝角，所以ABC 是钝角三角形．故选：C.5．B【分析】根据给定条件利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】 若6πα=，则cos α=cos α=时，α可以取6π-，即6πα=不一定成立，所以“cos α=是“6πα=”的必要不充分条件.故选：B.6．B【分析】根据角α的终边与单位圆交于P ⎝⎭，利用三角函数的定义求解.【详解】因为角α的终边与单位圆交于P ⎝⎭， 所以1r OP ==，所以sin αα==所以sin cos αα⋅==．故选：B7．AC【分析】由于角α的终边过点()3,2--，可得sin 0α<，cos 0α<，tan 0α>，然后逐个分析判断即可【详解】∵角α的终边过点()3,2--，∵sin 0α<，cos 0α<，tan 0α>，∵sin tan 0αα<，cos tan 0αα<，sin cos 0αα>，故选：AC ．8．BC【分析】 先根据tan 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出x ，进而结合[0,]x π∈得到答案.【详解】 由()()tan 1Z Z 444x x k k x k k πππππ⎛⎫+=⇒+==∈⇒=∈ ⎪⎝⎭，又[0,]x π∈，所以0x =或x π=.故选：BC.9．AD【分析】根据三角函数的定义计算，注意分类讨论．【详解】若α的终边上有一点()(),20P a a a ≠，则cos 0a a α>===⎨⎪<⎪⎩，sin 0a a α>==⎨⎪<⎪⎩，所以02sin cos 0a a αα>-=⎨⎪<⎪⎩. 故选：AD.10． 【分析】取P的坐标为(,k ，－80°与100°的终边关于原点对称，故(Q k -在100°的终边上，计算得到答案.【详解】在－80°的终边上取一点P ，使1OP =，则P的坐标为(,k . 因为－80°与100°的终边关于原点对称，所以点P关于原点对称的点(Q k -在100°的终边上，所以tan100︒=故答案为： 11．【分析】由题设可得12P ⎫-⎪⎪⎝⎭，由点在θ的终边上，结合单位圆上正切函数的定义写出tan θ即可.【详解】由题设，12P ⎫-⎪⎪⎝⎭，又P 落在角θ的终边上，∵1tan θ-==故答案为：12．,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】得出()0,2π.在()0,2π3π和43π两个，则终边和3π，43π 所以x 的取值集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 故答案为：,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 13．答案见解析【分析】计算r =，考虑0a >和0a <两种情况，分别计算得到答案.【详解】由已知得r ==.当0a >时，r ，则sin α=，cos α=，tan 2α=；当0a <时，r =，则sin α=，cos α=，tan 2α=.综上所述：当0a >时， sin α=cos α=，tan 2α=；当0a <时，sin α=，cos α=，tan 2α=. 14．（1）2（2）(),1-∞-【分析】 （1）利用三角函数的定义列出方程，求出2a =；（2）由cos 0α>且tan 0α<得到α所在象限，故可以得到点的坐标的特征，列出不等式，求出范围（1）依题意，得tan tan 60α==︒=2a =． （2）由cos 0α>且tan 0α<得α为第四象限角，故10a +<，所以1a <-．故实数a 的取值范围是(),1-∞-． 15．（1）-2；（2）269（1）直接代入特殊角的三角函数值计算即可；（2）直接代入特殊角的三角函数值计算即可.【详解】（1）()()5sin902sin03sin 27010cos1805311012︒+︒-︒+︒=-⨯-+⨯-=-； （2）22ππ1ππsin cos cos πtan cos πsin 64362---+()()221126111239=-⨯--⨯--+=⎝⎭⎝⎭。
三角函数同步练习及答案
第四章 三角函数 一、任意角的三角函数∙知识网络∙范例精讲【例1】已知α是第二象限角，试求： （1）2α角所在的象限； （2）3α角所在的象限；（3）2α角所在范围.解：（1）∵α是第二象限角，∴2π+2k π<α<π+2k π,k ∈Z ,即4π+k π<2α<2π+k π,k ∈Z .故当k =2m (m ∈Z )时，4π+2m π<2α<2π+2m π, 因此，2α角是第一象限角；当k =2m +1(m ∈Z )时，45π+2m π<2α<23π+2m π,因此，2α角是第三象限角.综上,可知2α角是第一或第三象限角.（2）同理可求得6π+32k π<3α<3π+32k π,k ∈Z ,当k =3m (m ∈Z )时，6π+2m π<3α<3π+2m π,此时，3α角是第一象限角；当k =3m +1(m ∈Z )时，6π +2m π+32π<3α<3π+2mπ+32π,即65π+2m π<3α<π+2m π，此时，3α角是第二象限角；当k =3m +2(m ∈Z )时，23π+2m π<3α<35π+2m π，此时，3α角是第四象限角.综上，可知3α角是第一、第二或第四象限角.（3）同理可求得2α角所在范围为π+4k π<2α<2π+4k π，k ∈Z .评注： （1）注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°<α<90°这个区间角，只是k =0时第一象限角的一种特殊情况.（2）要会正确运用不等式进行角的表达，同时会对k 取不同值，讨论形如θ=α+32k π(k ∈Z )所表示的角所在象限.（3）对于本题第（3）问，不能说2α只是第三、四象限的角，因为2α也可为终边在y 轴负半轴上的角23π+4k π(k ∈Z )，而此角不属于任何象限. 【例2】求证：tan 2α+cot 2α+1=(tan 2α+tan α+1)(cot 2α－cot α+1).证法一:右边=(tan 2α+tan α+1)ααα22tan tan tan 1+-=ααα2222tan tan )1(tan -+=ααα222tan 1tan tan ++=tan 2α+cot 2α+1=左边. 证法二：左边=tan 2α+cot 2α+2tan αcot α－1=(tan α+cot α) 2－1=(tan α+cot α+1)(tan α+cot α－1)=(tan α+cot α+1)(tan α+cot α－1)tan αcot α =［tan α(tan α+cot α+1)］²［cot α(tan α+cot α－1)］=(tan 2α+tan α+1)(cot 2α－cot α+1) =右边.评注：证明三角恒等式的过程，实际上是“化异为同”的过程.这一过程往往从化简开始.将不同角化为同角以减少角的数目，将不同名函数化为同名函数以减少函数种类，在三角化简证明中有广泛应用.本题也可利用三角函数的定义证明.【例3】化简:αααα2222cos sin cot tan -- +α2cos 1－α2sin 1.解法一:（定义法）设点P （x ，y ）是角α终边上一点，且|OP |=r ，则将sin α=r y ，cos α=r x ，tan α=xy， cot α=yx代入得 原式=2222)()()()(rx r y yx x y --+22)()(y r x r -=)()(2222244x y y x r x y --+22222)(y x x y r -=222x r =α2cos 2. 解法二:（化弦法）原式=αααααα2222cos sin )sin cos ()cos sin (--+αααα2222cos sin cos sin -=αααα2222cos sin cos sin ++αααα2222cos sin cos sin - =αcos 2. 解法三:（换元法）设cos 2α=a ，则sin 2α=1－a ，tan 2α=a a -1，代入原式，得原式==aa a aa a -----)1(11＋a 1－ a -11=)21)(1()1(22a a a a a ----+)1(21a a a --=)1(1a a -+)1(21a a a --=a 2=α2cos 2. 评注: “切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义法、换元法，使三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.【例4】已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax +a =0的两个根（a ∈R ）， （1）求sin 3θ+cos 3θ的值；（2）求tan θ+cot θ的值.分析:涉及实系数一元二次方程的实根问题，欲求两根的某种组合式的值，则韦达定理必被用上.此题的解题关键在于借助韦达定理和同角三角函数基本关系式先求出实数a .解:依题意，方程判别式Δ≥0，即（－a ） 2－4a ≥0，解得a ≥4或a ≤0，且⎩⎨⎧==+.cos sin,cos sin a a θθθα由（sin θ+cos θ）2=1+2sin θcos θ，得a 2=1+2a .解得a =1+2 (舍去)或a =1－2，即sin θ+cos θ=sin θcos θ=1－2.（1）sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ+cos 2θ)=(1－2)［1－(1－2)］=2－2.（2）tan θ+cot θ=θθcos sin +θθsin cos =θθcos sin 1=211-=－2－1. 评注: 对a =1+2的舍去，既可依据判别式大于等于零的条件考虑，也可根据a =sin θcos θ=21sin2θ∈［－21，21］来确定.对于sin α+cos α、sin α－cos α、sin αcos α三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.∙试题详解高中同步测控优化训练（一）三角函数(一)（A 卷）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.若角α与角β的终边相同，则角α－β的终边（ ） A.在x 轴的非负半轴上 B.在x 轴的非正半轴上 C.在y 轴的非负半轴上 D.在y 轴的非正半轴上解析：由角α与角β的终边相同，得α=k ²360°+β，k ∈Z ，所以，α－β=k ²360°，k ∈Z .所以，α－β的终边在x 轴的非负半轴上. 答案：A2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:因为点P （tan α，cos α)在第三象限，所以tan α<0且cos α<0.由tan α<0得α在第二或第四象限;由cos α<0得α在第二或第三象限以及x 轴的负半轴，所以α为第二象限角.答案:B3.集合M ={x |x =2πk ±4π，k ∈Z }与N ={x |x =4πk ，k ∈Z }之间的关系是（ ）A.M NB.N MC.M =ND.M ∩N =∅解法一:通过对k 取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断. 解法二:∵M ={x |x =4π²(2k ±1)，k ∈Z }，而2k ±1为奇数，∴M N . 答案:A4.已知下列各角①787°;②－957°;③－289°;④1711°，其中在第一象限的角是（ ） A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 解析:787°=2³360°+67°，－957°=－3³360°+123°，－289°=－1³360°+71°，1711°=4³360°+271°，∴在第一象限的角是①③. 答案:C5.角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin α的值是（ ）A.22 B.－22 C.22或－22 D.1解析：r =22a a +=2|a |，∴sin α=r a =||2αa =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-2222∴sin α的值为±22. 答案：C6.若cos(π+α)=－21，23π<α<2π，则sin(2π－α)等于（ ） A.－23 B.23C.21D.±23解析:∵cos(π+α)=－21，∴cos α=21. 又∵23π<α<2π，∴sin α=－23.故sin(2π－α)=－sin α=23. 答案:B7.若α是第四象限角，则π－α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解法一:∵α是第四象限角，∴2k π－2π<α<2k π(k ∈Z ). ∴－2k π<－α<－2k π+2π(k ∈Z ). ∴－2k π+π<π－α<－2k π+23π(k ∈Z ).∴π－α是第三象限角.故选C.解法二:∵角α与角－α的终边关于x 轴对称，角α的终边在第四象限，∴角－α的终边在第一象限.又角－α与π－α的终边关于原点对称，∴角π－α的终边在第三象限.故选C.解法三:特殊值法.令α=－6π，则π－α=67π是第三象限角.故选C. 答案:C8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin2解析:∵圆的半径r =1sin 1，α=2， ∴弧长l =r ²α=1sin 2. 答案:B9.已知sin αcos α=81，且=4π<α<2π，则cos α－sin α的值为（ ） A.23 B.－23C.43 D.－43 解析：∵sin αcos α=81， ∴(cos α－sin α) 2=cos 2α+sin 2α－2sin αcos α=1－2³81=43. 又∵4π<α<2π，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α=－23.答案：B10.若实数x 满足log 2x =2+sin θ，则|x +1|+|x －10|的值等于（ ） A.2x －9 B.9－2x C.11 D.9解析:∵－1≤sin θ≤1，∴1≤2+sin θ≤3. ∴1≤log 2x ≤3.∴2≤x ≤8.|x +1|+|x －10|=x +1+10－x =11. 答案:C第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11.tan300°+cot765°的值是__________.解析:原式=tan （360°－60°)+cot （2³360°+45°)=－tan60°+cot45°=1－3. 答案:1－312.若角β的终边与60°角的终边相同，在［0°，360°)内，终边与3β角的终边相同的角为__________.分析：用终边相同的角表示β，然后求3β，同时考虑到角的范围和k 为整数的限制条件.解析：∵β=k ²360°+60°(k ∈Z )，∴3β=k ²120°+20°(k ∈Z ). 又3β∈［0°，360°)，∴0°≤k ²120°+20°＜360°(k ∈Z ). ∴－61≤k ＜617.∴k =0，1，2.此时分别得3β为20°，140°，260°.故与3β终边相同的角为20°，140°，260°. 答案：20°，140°，260°13.不等式（lg20) 2cos x >1(x ∈(0，π))的解集为__________. 解析:（lg20) 2cos x >1，即（lg20) 2cos x >(lg20) 0， ∵lg20>lg10=1，∴2cos x >0，即cos x >0.∴x 在第一或第四象限以及x 轴的非负半轴上.又x ∈(0，π)，∴x ∈(0，2π). 答案:(0，2π) 14.已知函数f (x )=cos2x，下面四个等式: ①f （2π－x ）=f （x ）;②f （2π+x ）=f （x ）;③f （－x ）=－f （x ）;④f （－x ）=f （x ）. 其中成立的个数是__________.解析：f （2π－x ）=cos2-π2x=cos （π－2x ）=－cos 2x =－f （x ），①错;f （2π+x ）=cos （π+2x ）=－cos 2x=－f （x ），②错;f （－x ）=cos （－2x ）=cos 2x=f （x ），③错.故只有④正确.答案：1三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分8分）设一扇形的周长为C （C >0），当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？解:设扇形的中心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l +2r =C ，即l =C －2r .2分∴S =21lr =21 （C －2r ）²r =－（r －4C ）2+162C . 5分故当r =4C 时，S max =162C ，此时，α=r l =rr C 2-=42C C -=2. ∴当α=2时，S ma x =162C . 8分16.（本小题满分10分）已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求ααααtan )cos()sin(2ππ)cot(⋅-+⋅--的值.分析：本题考查同角三角函数基本关系式以及诱导公式等基础知识和基本运算技能. 解法一：由已知得（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0，∴3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0. 2分 由已知条件知cos α≠0，∴α≠2π，即α∈（2π，π）. ∴tan α<0.∴tan α=－32. 6分 原式=ααααtan cos sin )cot(⋅⋅-=αααsin sin cot ⋅-=－cot α=9分 －αtan 1=23. 10分 解法二：由已知条件知cos α≠0，则α≠2π.1分∴由6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，可得 6tan 2α+tan α－2=0，3分即（3tan α+2）（2tan α－1）=0.又α∈（2π，π）， ∴tan α<0.∴tan α=－32.6分以下同解法一.17.（本小题满分12分）如下图，动点P 、Q 从点（4，0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转3π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转6π弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P 、Q 点各自走过的弧长.分析：解答本题的思维步骤是：（1）利用方程思想，结合题意，求出第一次相遇的时间；（2）利用解直角三角形的知识，根据点所处位置，确定C 点坐标； （3）利用弧长公式求弧长.解：设P 、Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ²3π+t ²|－6π|=2π. 所以t =4（秒），即第一次相遇的时间为4秒.4分设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在3π²4=3π4的位置， 则x c =－cos3π²4=－2，y c =－sin 3π²4=－23. 所以C 点的坐标为（－2，－23），8分P 点走过的弧长为34π²4=316π， Q 点走过的弧长为38π.12分18.（本小题满分12分）已知0°<α<45°，且lg （tan α）－lg （sin α）=lg （cos α）－lg （cot α）+2lg3－23lg2，求cos 3α－sin 3α的值. 分析:这是一道关于对数与三角函数的综合性问题，一般可通过化简已知等式、用求值的方法来解.解:由已知等式得lg ααsin tan =lg ααcot 22cos 9， 2分∴9sin αcos α=22，－2sin αcos α=－924， （sin α－cos α） 2=9249-.∵0°<α<45°，∴cos α>sin α. ∴cos α－sin α=3122-.8分cos 3α－sin 3α=（cos α－sin α）（cos 2α+sin αcos α+sin 2α） =3122-³（1+922）=271216-. 12分19.（本小题满分12分）已知βαsin sin =p ，βαcos cos =q ，且p ≠±1，q ≠0，求tan αtan β的值.分析：本题考查同角三角函数基本关系的灵活运用.解：由βαsin sin =p ，得sin α=p sin β. ① 由βαcos cos =q ，得cos α=q cos β.②2分①÷②得tan α=qptan β（q ≠0）. ∴tan αtan β=qptan 2β.③4分①2+②2得sin 2α+cos 2α=p 2sin 2β+q 2cos 2β， 即p 2sin 2β+q 2cos 2β=1=sin 2β+cos 2β. ∴（p 2－1）sin 2β=（1－q 2）cos 2β.∴tan 2β=1122--p q （p ≠±1）.④ 10分将④代入③得tan αtan β=)1()1(22--p q q p .12分。
专题19 三角函数(同步练习)(新高考地区专用)(解析版)
专题19 三角函数（同步练习）一、角度制与弧度制1-1．下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于 90的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角。
其中正确的命题的个数是( )。
A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】A【解析】①∵大于 90小于 180的角为钝角，∴钝角的终边在第二象限，钝角是第二象限的角，对；②小于 90的角包含负角，负角不是锐角，∴小于 90的角是锐角，错； ③ 330-是第一象限角，∴第一象限角一定不是负角，错； ④ 120是第二象限角， 390是第一象限角， 390120<， ∴第二象限角一定大于第一象限角，错； ∴正确的命题只有①，故选A 。
1-2．手表时针走过2小时，时针转过的角度为( )。
A 、 60B 、 60-C 、 30D 、 30- 【答案】B【解析】∵时针顺时针旋转，∴针转过的角度为负数， 60302-=⨯-，故选B 。
1-3．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则( )。
A 、π+π=β+αk (Z k ∈)B 、π+π=β+αk 2(Z k ∈)C 、π+π=β+αk 2(Z k ∈)D 、π+π=β+αk 22(Z k ∈) 【答案】B【解析】∵α-π是与α关于y 轴对称的一个角，∴β与α-π的终边相同，即)(2α-π+π=βk ，∴π+=α-π+π+α=β+α)12()(2k k ，故选B 。
1-4．若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合}24|{Z k k k ∈π+π≤α≤π+πα，中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( )。
A 、B 、C 、D 、【答案】C【解析】当k 取偶数时，比如0=k 时，24π≤α≤π故角的终边在第一象限。
当k 取奇数时，比如1=k 时，2345π≤α≤π，故角的终边在第三象限，故选C 。
1-5．若72.4-=α，则α是( )。
A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 【答案】A 【解析】∵72.47124.423->-≈π-，且π->-272.4，∴α是第一象限角，故选A 。
三角函数的应用同步练习(含答案)
三角函数的应用同步练习(含答案)1、三角函数可以作为描述现实世界中__周期_______现象的一种数学模型.2、|sin |y x =是以____π________为周期的波浪型曲线.3、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ A ） A ．123sin,[0,24]6ty t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6ty t ππ=++∈C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈D ．123sin(),[0,24]122t y t ππ=++∈4、从高出海面hm 的小岛A 处看正东方向有一只船B ，俯角为30看正南方向的一船C 的俯角为45，则此时两船间的距离为（ A ）.A ．2hmBCD ．5、受日月引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。
在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y （米）是时间,240(≤≤t t 单位：时）的函数，记作)(t f y =，下面是该港口在某季节每天水深的数据：⑴根据以上数据，求出函数)(t f y =近似表达式。
⑵一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m 以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（航底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？解析：⑴由表中数据知：12)39(2=-⨯=T ∴6122ππω==，即k t A x f +=6sin )(π又∵当t=0时，0)(=x f 及t=3时，13)(max =x f∴⎩⎨⎧=+=1310k A k ，∴⎩⎨⎧==310A k 。
1.3 三角函数的计算 同步训练(含答案)
三角函数的计算基础题知识点1用计算器求非特殊角的三角函数值1.用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的是(A)A.sin24＝B.24sin＝C.2ndF sin24＝D.sin242ndF＝2.计算sin20°－cos20°的值是(精确到0.000 1)(C)A.－0.597 6B.0.597 6C.－0.597 7D.0.597 73.用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是(C)A.tan26°<cos27°<sin28°B.tan26°<sin28°<cos27°C.sin28°<tan26°<cos27°D.cos27°<sin28°<tan26°4.下列式子错误的是(D)A.cos40°＝sin50°B.tan15°•tan75°＝1C.sin225°＋cos225°＝1D.sin60°＝2sin30°5.用科学计算器计算：31＋3tan56°≈10.02(结果精确到0.01).6.用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)：(1)cos63°17′；解：原式≈0.45.(2)tan27.35°；解：原式≈0.52.(3)sin39°57′6″；解：原式≈0.64.(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解：原式≈－0.78.知识点2用计算器求非特殊锐角的度数7.已知4cosα＝0.975 4，那么锐角α的度数约为(B)A.15°27′B.75°53′10″C.12°44′6″D.42°17′31″8.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝5，c ＝13，用计算器求∠A 约等于(D )A.14°38′B.65°22′C.67°23′D.22°37′知识点3 三角函数的实际应用9.小明家在某小区买了一套住房，该小区楼房均为平顶式，南北朝向，楼高统一为16米(五层)，小明在冬至正午测得南楼落在北楼上的影子有3.5米高，且已知两楼相距有20米，请你帮小明求此时太阳光与水平线的夹角度数(结果精确到1°).解：∵tanα＝16－3.520＝0.625， ∴α≈32°.∴此时太阳光与水平线的夹角约为32°.10.(教材P 14练习T 4变式)如图，已知墙高AB 为6.5米，将一长为6米的梯子CD 斜靠在墙面，梯子与地面所成的角∠BCD ＝55°，此时梯子的顶端与墙顶的距离AD 为多少米(结果精确到0.1米)?解：在Rt △BCD 中，∵∠DBC ＝90°，∠BCD ＝55°，CD ＝6米，∴BD ＝CD ·sin ∠BCD ＝6×sin 55°≈6×0.82＝4.92(米).∴AD ＝AB －BD ≈6.5－4.92＝1.58≈1.6(米).答：梯子的顶端与墙顶的距离AD 约为1.6米.中档题11.(2018·淄博)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米.在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是(A )A.2ndF sin 0·15＝B.sin 0·152ndF ＝C.2ndF cos 0·15＝D.tan 0·152ndF ＝12.要使式子sinα－0.4有意义，则α可以取下列数值中的(D )A.17°B.19°C.21°D.24°13.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为14.1cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ).14.(教材P 15习题T 4变式)如图，甲、乙两建筑物相距120 m ，甲建筑物高50 m ，乙建筑物高75 m ，求俯角α和仰角β的大小.解：∵AB ＝50，CD ＝75，BD ＝120，∴DE ＝50，CE ＝CD －DE ＝75－50＝25，AE ＝120.∴tanα＝ED AE ＝50120≈0.416 67， tanβ＝CE AE ＝25120≈0.208 33. ∴α≈22.6°，β≈11.8°.答：俯角α约为22.6°，仰角β约为11.8°.15.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，他乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.26米，他乘电梯会有碰头危险吗？(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)解：由题意可知AC ∥BD ，∴∠CAB ＝∠ABD ＝27°.过点C 作CE ⊥AC 交AB 于点E .∵在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CE AC， ∴CE ＝AC ·tan ∠CAE ＝4×tan 27°≈4×0.51＝2.04.∵2.04＞1.78，∴小敏乘此电梯不会有碰头危险.∵2.04＜2.26，∴姚明乘此电梯会有碰头危险.综合题16.施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行.如图，现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB ＝4米，斜面距离BC ＝4.25米，斜坡总长DE ＝85米.(1)求坡角∠D 的度数(结果精确到1°)；(2)若这段斜坡用厚度为17 cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶(参考数据：cos 20°≈0.94，sin 20°≈0.34，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95)?解：(1)∵cosD ＝cos ∠ABC ＝AB BC ＝44.25≈0.94，∴∠D ≈20°. (2)EF ＝DE ·sinD ＝85×sin 20°≈85×0.34＝28.9(米)，∴共需铺台阶28.9×100÷17＝170(级).。
高一数学必修一5.7《三角函数的应用》同步练习
高一数学必修一《三角函数的应用》同步练习一、选择题：1、已知某人的血压满足函数关系式f （t ）=24sin160πt+110，其中f （t ）为血压（mmHg ），t 为时间（min ），则此人每分钟心跳次数为（ ） A. 80 B. 100 C. 90 D. 752、如图所示，某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P 自最低点A 点起，经过t min 后，点P 的高度ππ40sin 5062h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（单位：m ），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续( )min ．A. 4B. 10C. 9D. 63、已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( ) A ．()()222πf x xx=-B ．()cos πf x x x =+C ．()sin f x x x =D ．()2cos 1f x x x =+-4、某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为( )A ．75米B ．85米C ．100米D ．110米5、如图所示，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d 米(在水面下则d 为负数)，则d(米)与时间t(秒)之间满足关系式：d ＝Asin(ωt＋φ)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，－π2<φ<π2.当P 点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k ＝5.则其中正确是（ ）A. ①②④B. ①③④C. ①②③D.①②③④6、已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y （米）可看作是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f （t ），经长期观测，y=f （t ）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b 的图象，下表是某日各时的浪高数据：t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米232132232322则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( ) A ．y=1πcos 26t+1B ．y=1πcos 26t+32C ．y=2cos π6t+32D ．y=12cos6πt+32二、填空题：7、设偶函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωφωφ=+>><<的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML=90°，1KL =，则16f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 .8、如图所示，一个半径为10 m 的摩天轮，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针方向转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处（∠POA=30°）时开始计时． 在摩天轮转动一圈内，约有 时间此人相对于地面的高度不小于17m ．9、如图，一个大风车的半径为8m ，每12min 旋转一周，最低点离地面2m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离()h m 与()min t 时间之间的函数关系式是 .10、如图，某公园摩天轮的半径为40 m ，点O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处．已知在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度f （t ）=Asin （ωt+φ）+h ，则2022 min 时点P 距离地面的高度为 m.11、已知点P 是单位圆上的一个质点，它从初始位置P 0（12，）开始，按逆时针方向以角速度1rad/s 做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于运动时间t （单位：s ）的函数关系式为 .12、某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f （x ）=Asin （ωx+ϕ）+B π(00)2A ωϕ>><，，的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f （x ）的解析式为 . 三、解答题：13、如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为2°(若β很小时，可取sin β≈β)，试估算该气球的高BC 的值约为多大。
同步练习 三角函数(三)含答案
同步练习 三角函数（三）学校： 姓名： 班级：一、选择题1. sin 27cos63cos27sin63︒︒+︒︒=（ ）A.1B.1-C.22 D.22- 2. tan15tan30tan15tan30++等于（ ）A.12B.C.D.1 3. 函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．1B ． 2C ．3D ．2 4.若3sin 5α=，α是第二象限的角，则tan 2α的值为 （ ） A. 247 B. 247- C. 724 D. 724- 5.若1tan 4tan θθ+=,则sin 2θ=（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．126. 函数f （x ）=xx cos 2sin 的最小正周期是 （ ） A. 2π B. π C. 12π D. 4π 7. 己知5sin cos 3cos 3sin =-+αααα，则αααcos sin sin 2-的值是 （ ） A. 52 B.52- C.－2 D.2 8. 设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3二、填空题 9. =+++)47tan 13tan 1(347tan 13tan10. 已知锐角∆ABC 中，tanB=2，tanC=3,则角A=三、解答题11. 已知3cos 4α=-，2sin 3β=，α是第三象限角，π(π)2β∈，． （Ⅰ）求sin 2α的值； （Ⅱ）求cos(2)αβ+的值．12. 已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（Ⅰ）求f(x)最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[0,]2π上的最大值和最小值.同步练习 三角函数（三） 答案1. A2. D3. B4. B5. D6. A7. A8. A9. 23 10. 4π 11. 解：（Ⅰ）因为α是第三象限角，3cos 4α=-，所以27sin 1cos 4αα=--=-， 所以7337sin 22sin cos 2()()448ααα==⨯-⨯-=． ………………… 4分 （Ⅱ）因为π(π)2β∈，，2sin 3β=，所以25cos 1sin 3ββ=--=-， 291cos22cos 121168αα=-=⨯-=， 15372567cos(2)cos2cos sin 2sin ()838324αβαβαβ++=-=--⨯=-．…… 10分 12.（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值为12+，最小值为0解：（Ⅰ）()f x ∴的最小正周期22T ππ== （Ⅱ）()()max min 12,0f x f x ∴==。
三角函数同步练习
.Word 资料三角函数同步练习第I 卷（选择题）1.要得到函数y=sin2x 的图象，只需将函数y=sin （2x ﹣）的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度2.sin cos y x a x =+中有一条对称轴是53x π=，则 ()sin cos g x a x x =+最大值为（ ） A.33 B.23 C.33D.233.函数()cos f x x =的一个单调递增区间是（ ） （A ）(0)2π, （B ）(,)22ππ-（C ）(0)-π， （D ）(0,)π4.函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（ ）（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z （C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z5.函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度6.为了得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，可以将函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度答案第2页，总20页7.角θ的终边过点P （﹣1，2），则sin θ=（ ） A ． B ．C ．﹣D ．﹣8.已知2π＜α＜π，3sin2α=2cos α，则cos （α﹣π）等于（ ） A ．32 B ．46 C ．322 D ．6239.函数f （x ）=sin （2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f （x ）在[0，]上的最小值为（ ） A ．﹣B．﹣C ．D ．10.在直径为4cm 的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（ ） A ．cm B ．cm C ．cm D ．cm11.化简sin600°的值是（ ） A ．0.5 B ．﹣0.5 C ．D ．12.已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．f （x ）=43sin （23x+6π） B ．f （x ）=54sin （54x+51） C ．f （x ）=54sin （65x+6π） D ．f （x ）=54sin （32x ﹣51）.Word 资料第II 卷（非选择题）13.已知tan α=4，则的值为 ．14.设α、β，且sin αcos （α+β）=sin β，则tan β的最小值是 ．15.已知扇形的半径为2，圆心角是弧度，则该扇形的面积是 ．16.sin20°cos10°+cos20°sin10°= ．17.函数f （x ）=Asin （ωx+φ），（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示 （1）求此函数的解析式； （2）求函数f （x ）在区间上的最大值和最小值．18.某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： ωx+φ 0 π 2π xAsin （ωx+φ） 05﹣5（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f （x ）的解析式； （2）将y=f （x ）的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象．若关于x 的方程g （x ）﹣（2m+1）=0在[0，]上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．19.已知cos α=﹣，α为第三象限角．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin （α+），tan2α的值．20.设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π．答案第4页，总20页（Ⅰ）求ω．（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间． 21.已知函数的图象经过三点，在区间内有唯一的最小值．（Ⅰ）求出函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）的解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）在R 上的单调递增区间和对称中心坐标． 22. 已知tan （）=3+．（Ⅰ）求tana 的值； （Ⅱ）求cos 2（π﹣a ）+sin （）cos （+a ）+2sin 2（a ﹣π）的值．.Word资料试卷答案1.B2.B3.C4.A5.C6.A7.B ．8.C9.A10.B11.D12.B13.14.15.16.17.【解答】解：（1）由图象可得A=，由=﹣﹣（﹣）=可得周期T=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵，∴又0＜φ＜π，∴，故，可得，答案第6页，总20页∴此函数的解析式为：；（2）∵，∴，∴f （x ）在即x=0时取得最大值， f （x ）在即时取得最小值．18.【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣，数据补全如下表：ωx+φ 0π2πxAsin （ωx+φ） 050 ﹣50 且函数表达式为f （x ）=5sin （2x ﹣）． （2）通过平移，g （x ）=5sin （2x+），方程g （x ）﹣（2m+1）=0可看成函数g （x ），x ∈[0，]和函数y=2m+1的图象有两个交点，当x ∈[0，]时，2x+∈[，]，为使横线y=2m+1与函数g （x ）有两个交点，只需≤2m+1＜5，解得≤m ＜2．19.【解答】解：（1）∵，α为第三象限角，∴，∴．（2）由（1）得.Word 资料，．20.解：（Ⅰ）2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++sin 2cos 222sin(2)24x x x πωωω=++=++ 依题意得2223ππω=，故ω=32. （Ⅱ）依题意得: 5()2sin 3()22sin(3)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈略21.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数的周期T=2（﹣）=1，∴ω==2π，又由题意当x=时，y=0， ∴Asin （2π×+ϕ）=0即sin （+ϕ）=0结合0＜ϕ＜可解得ϕ=，再由题意当x=0时，y=， ∴Asin =，∴A=∴；（Ⅱ）由2k π﹣≤2πx+≤2k π+可解得k ﹣≤x ≤k+∴函数的单调递增区间为[k ﹣，k+]（k ∈Z ）答案第8页，总20页当2πx+=k π时，f （x ）=0，解得x=﹣，∴函数的对称中心为【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及单调性和对称性，属中档题． 22.【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得=3+2，∴tan α=．…（Ⅱ）原式=cos 2α+（﹣cos α）（﹣sin α）+2sin 2α ====．….Word 资料试卷答案1.B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】把函数y=sin2x 的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x ﹣）=sin （2x ﹣）的图象，把平移过程逆过来可得结论． 【解答】解：把函数y=sin2x 的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x ﹣）=sin （2x﹣） 的图象，故要得到函数y=sin2x 的函数图象，可将函数y=sin （2x ﹣）的图象向左至少平移个单位即可，故选：B ．【点评】本题主要考查函数 y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题． 2.B方法一；2sin cos 1y x a x a =+=+ 当53x π=时，231122y a a =-+=+平方得：223311424a a a -+=+ 求得33a =- 2313a +=方法二：因为对称轴为53π 所以可知此时的导函数值为0 'cos sin y x a x =-555'cos sin 0333y a πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以132= 所以3a = 2231a +=注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为0 3.C【知识点】三角函数的图像与性质答案第10页，总20页【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在.是减函数，在是增函数，故答案为：C4.A5.C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω，由五点法作图求出ω的值，可得f （x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=﹣2，2sinφ=，∴sinφ=，结合|φ|＜，可得φ=．再根据五点法作图可得ω×+=π，求得ω=2，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin （2x+）=2cos2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6.A【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．【点评】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．7.B【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinθ的值．【解答】解：由题意可得，x=﹣1，y=2，r=|OP|=，∴sinθ===，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．8.C【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．分析：由条件求得sinα和cosα的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，.∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．9.A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及φ的范围得到，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．【点评】本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了三角函数值域的求法，是中档题．10.B【考点】弧长公式．【专题】三角函数的求值．【分析】，再利用弧长公式l=αr即可得出．【解答】解：=（弧度）．∴36°的圆心角所对的弧长==cm．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式l=αr，属于基础题．11.D【考点】诱导公式的作用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式可求得sin600°的值．【解答】解：sin600°=sin=sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．故选D．【点评】本题考查诱导公式sin（2kπ+α）=sinα及sin（π+α）=﹣sinα的应用，属于基础题．12.B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．分析：函数的图象的顶点坐标求出A的范围，由周期求出ω的范围，根据f（2π）＜0，结合所给的选项得出结论．解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得0＜A＜1，T=＞2π，求得0＜ω＜1．再根据f（2π）＜0，结合所给的选项，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象特征，属于基础题．13..【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由于已知tanα=4，利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简为，从而求得结果．【解答】解：由于已知tanα=4，则====，故答案为．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．14.【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得2tan2α•tanβ+tanβ﹣tanα=0，再根据△=1﹣8tan2β≥0，求得tanβ的最小值．【解答】解：∵sinαcos（α+β）=sinβ=sin[（α+β）﹣α]，∴sinαcos（α+β）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα，化简可得tan（α+β）=2tanα，即=2tanα，∴2tan2α•tanβ﹣tanα+tanβ=0，∴△=1﹣8tan2β≥0，解得﹣≤tanβ≤，∵β∈（，π），∴﹣≤tanβ＜0，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15.【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=×2=根据扇形的面积公式可得S==故答案为：【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键．16.【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．17.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图象可得A值，由周期公式可得ω，代点结合角的范围可得φ，可得解析式；（2）由和三角函数的最值可得．【解答】解：（1）由图象可得A=，由=﹣﹣（﹣）=可得周期T=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵，∴又0＜φ＜π，∴，故，可得，∴此函数的解析式为：；（2）∵，∴，.∴f（x）在即x=0时取得最大值，f（x）在即时取得最小值．【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的最值，属中档题．18.【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据五点法进行求解即可．（2）根据函数平移关系求出函数g（x）的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣，数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）通过平移，g（x）=5sin（2x+），方程g（x）﹣（2m+1）=0可看成函数g（x），x∈[0，]和函数y=2m+1的图象有两个交点，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，为使横线y=2m+1与函数g（x）有两个交点，只需≤2m+1＜5，解得≤m＜2．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点法以及函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键．19.【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，从而求得tanα的值．（2）由（1）利用两角和的正弦公式求得sin （α+）的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：（1）∵，α为第三象限角，∴，∴．（2）由（1）得，．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于中档题． 20.解：（Ⅰ）2222()(sin cos )2cos sin cos sin 212cos 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=++=++++sin 2cos 222)24x x x πωωω=++=++ 依题意得2223ππω=，故ω=32. （Ⅱ）依题意得: 5()23()22)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈.略21.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数的周期T，进而可得ω，代点可得ϕ和A，可得解析式；（Ⅱ）解2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+可得函数的单调递增区间，解2πx+=kπ可得函数的对称中心．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数的周期T=2（﹣）=1，∴ω==2π，又由题意当x=时，y=0，∴Asin（2π×+ϕ）=0即sin（+ϕ）=0结合0＜ϕ＜可解得ϕ=，再由题意当x=0时，y=，∴Asin=，∴A=∴；（Ⅱ）由2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+可解得k﹣≤x≤k+∴函数的单调递增区间为[k﹣，k+]（k∈Z）当2πx+=kπ时，f（x）=0，解得x=﹣，∴函数的对称中心为【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及单调性和对称性，属中档题．22.【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由两角和的正切函数公式化简已知，整理即可求值．（Ⅱ）利用诱导公式及同角三角函数关系式的应用，结合（Ⅰ）的结论即可求值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得=3+2，∴tanα=．…（Ⅱ）原式=cos2α+（﹣cosα）（﹣sinα）+2sin2α====．…【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，诱导公式及同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于基础题．。
北师大版九年级数学下册第一章【同步练习】《三角函数的计算》
《三角函数的计算》同步练习A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.662. 下面四个数中，最大的是（）A．53-B．sin88°C．tan46°D．512-3. 利用计算器求tan45°时，依次按键则计算器上显示的结果是（）A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．14. 用计算器求sin50°的值，按键顺序是（）5. 用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（）A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.666. 在△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′7. 用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（）A．cotαB．tanαC．cosαD．sinα8. 用科学记算器计算，下面结果不正确的是（）A．175=1419857B19C．sin35°=0.573576436D．若tanα=12，则α=25°56′50″9. Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（）A．30°B．37°C．38°D．39°10. 用科学记算器算得① 293=24389；②58；③sin35°≈0.573576436；④若tan a=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（）◆选择题A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④11. 计算cos80°-sin80°的值大约为（ ）A ．0.8111B ．-0.8111C ．0.811212. 已知sinA=0.1782，则锐角A 的度数大约为（ ）A ．8°B ．9°C ．10° 13. 如果tan α=0.213，那么锐角α的度数大约为（ ）A ．8°B ．10°C ．12°14. 已知sin α=12，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A ．AC10NB ．SHIETC ．MODED ．SHIFT15.四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（ ）A ．0.8857B ．0.8856C ．0.8852D ．0.88512. 用科学计算器计算：3sin 56°≈ ．（精确到0.01）3. 用科学计算器计算：8cos31°354. 如果cosA=0.8888，则∠A≈_________（精确到1″）5. 用科学计算器比较大小：287 tan 87°．（1）sin47°；（2）sin12°30′；（3）cos25°18′；（4）tan44°59′59″；（5）sin18°+cos55°-tan59°2. 已知∠A 为锐角，求满足下列条件的∠A 度数．（1）sinA =0.9816；（2）tanA =0.1890．3. 用计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）。
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题(附答案)
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题（附答案）一、解答题1．（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°．2．计算tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°的值．3．（1）计算：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°；（参考公式：sinα=sin(180°−α)）（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根，求2√2bcos260°−√2的S值．4．如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G H AG=AH．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AG=2EG=1．①求sin∠BAE；②求▱ABCD的面积．5．如图在Rt△ABC中∠ACB=90°D是BC上一点过点C作CE⊥AD垂足为E．连接BE并延长交AC于点F．(1)求证：CD2=ED⋅AD；(2)若D为BC的中点ACBC =23求sin∠CEF的值．6．如图一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A其正下方水平面上的点记作点B) 小李站在附近的水平地面上他想知道自己到古塔的水平距离便利用无人机进行测量但由于某些原因无人机无法直接飞到塔顶进行测量因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°点A B C O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处再调整飞行方向继续匀速飞行8秒到达塔顶已知无人机的速度为5米/秒∠AOC=75°求小李到古塔的水平距离即BC的长．7．在综合实践课中小明同学利用无人机测量小山AB的高度．如图CD是小明同学无人机飞到小山AB的右上方时测得山顶A的俯角为37°,AP=10米测得小明同学头顶C的俯角为53.5°,PC=80米．已知小明的身高CD为1.8米求小山AB的高度．（已知AB,CD分别与水平线BD垂直且在同一平面内参考数据：sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75sin53.5°≈0.80cos53.5°≈0.59tan53.5°≈1.35）8．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间小刚站在雕像前自C处测得雕像顶A的仰角为53°小强站凤栖堂门前的台阶上自D处测得雕像顶A的仰角为45°此时两人的水平距离EC为0.45m已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．9．如图甲、乙两艘货轮同时从A港出发分别向B D两港运送物资最后到达A港正东方向的C港装运新的物资甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：√2≈1.41√3≈1.73√6≈2.45）(1)求B C两港之间的距离；(2)若甲货轮的速度为20海里/小时乙货轮的速度为30海里/小时（停靠B D两港的时间相同）哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．10．冬季是滑雪的最佳时节亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图其中的两条初级滑雪道的线路为：①A→B→C→D；②A→E→D．点A是雪道起点点D是雪道终点点B、C、E是三个休息区．经勘测点B在点A的南偏东30°方向1800米处点C 在点B的正南方向2000米处点D在C的西南方向点E在点A的西南方向1300米处点E在点D的正北方向．（参考数据：√2≈1.414√3≈1.732）(1)求CD的长度；（精确到1米）(2)小外一家周末去亚布力滑雪小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D．11．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时将细线一端固定在量角器圆心O处另一端系小重物G测量时使支杆OM、量角器90∘刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①）绕点O转动量角器使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②）此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等请写出这两个角相等的证明过程．(2)拓展应用：公园高台上有一凉亭为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④）同学们经过讨论决定先在水平地面上选取观测点E、F E、F、H在同一直线上分别测得点P的仰角a=45∘、β=30∘测得E、F间的距离2米点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH的长（结果保留根号）12．如图Rt△ABO中∠ABO=90°AB=2反比例函数y=−8x的图象经过点A．(1)求点A的坐标．(2)直线CD垂直平分AO交AO于点C交y轴于点D交x轴于点E求线段OE的长．13．随着南海局势的升级中国政府决定在黄岩岛填海造陆修建机场设立雷达塔．某日在雷达塔A 处侦测到东北方向上的点B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域且以30 海里/时的速度往正南方向航行我方与其进行多次无线电沟通无果后这艘渔船行驶了1 小时10 分到达点A 南偏东53°方向的C 处与此同时我方立即通知（通知时间忽略不计）与A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截其中海警船位于与A 相距100 海里的D 处．(1)求AC的距离和点D 到直线BC的距离；(2)若海警船航行速度为40 海里/时可侦测半径为25 海里当海警船航行1 小时时是否可以侦测到菲律宾渔船为什么？（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）14．综合实践活动中某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物AB和CD的高因为这两栋建筑物高度相同于是这个小组设计出一种简捷的方案如图所示：（1）把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上调整位置使直角尺的两边EM EN所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部A和C；（2）用皮尺度量BE和DE的长度；（3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A B C D E M N均在同一平面内．测得BE=9m DE=36m．请求出这两栋建筑的高度．15．图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的底座下方是台阶台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面DE的坡度i=1:√3坡面DE的长为2.4m．(1)计算坡面DE的铅直高度；(2)如图3 为了测量纪念碑的高度亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高1.64m的测角仪GH测得纪念碑碑身顶端A的仰角是35°继续向纪念碑前进8.1m到达点K处此时测得纪念碑顶端45°求纪念碑的实际高度AC．（结果精确到0.01参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）16．如图1是超市的手推车如图2是其侧面示意图已知前后车轮半径均为5cm两个车轮的圆心的连线AB与地面平行测得支架AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°CD=50cm．(1)求扶手前端D 到地面的距离；(2)手推车内装有简易宝宝椅 EF 为小坐板 打开后 椅子的支点H 到点C 的距离为10cm DF =20cm EF∥AB ∠EHD =45° 求坐板EF 的宽度．（本题答案均保留根号） 17．千厮门大桥是重庆最具特色的斜拉桥之一 也是重庆的“网红打卡地”之一 某校数学兴趣小组的同学们欲测量千厮门大桥桥塔的高度 如图2 他们在桥下水平地面上架设测角仪CM （测角仪垂直于地面放置） 此时测得桥塔最高点A 的∠ACE =30∘ 然后将测角仪沿MB 向前水平移动132米达到点N 处 并测得桥塔最高点A 的∠ADE =45∘ 测角仪高度CM =DN =1.6米．（点M N B 在同一水平线上 AB ⊥BM ）（结果保留整数 参考数据：√2≈1.41 √3≈1.73）(1)求桥塔的高度AB 约为多少米？(2)如图3 在（1）的条件下 小语同学在洪崖洞的某地Q 处测得千厮门大桥桥塔最高点A 的∠AQG =30∘ 最低点B 的∠BQG =60∘ 则小语同学所在地Q 与AB 的水平距离约为多少米？ 18．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.9945 sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.0018 sin29°+sin 261°≈0.482+0.872=0.9873 sin37°+sin 253°≈0.602+0.802=1.0000 sin 245°+sin 245=(√22)2+(√22)2=1．据此 嘉嘉猜想：对于任意锐角α β 若α+β=90° 均有sin 2α+sin 2β=1．(1)当α=30°β=60°时验证sin2α+sin2β=1是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立请结合如图所示Rt△ABC给予证明其中∠A所对的边为a∠B所对的边为b斜边为c；若不成立请举出一个反例；(3)利用上面的证明方法直接写出tanα与sinαcosα之间的关系．19．阅读与思考阅读下列材料并解决后面的问题．在锐角△ABC中∠A∠B∠C的对边分别是a b c过C作CE⊥AB于E（如图1）则sinB=CEa sinA=CEb即CE=asinB CE=bsinA于是asinB=bsinA即bsinB=asinA．同理有csinC =asinAcsinC=bsinB所以asinA=bsinB=csinC．即：在一个锐角三角形中各边和它所对角的正弦的比相等．运用上述结论和有关定理在锐角三角形中已知三个元素（至少有一条边）就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料完成下列各题：(1)如图1 在△ABC中∠A=60°∠C=45°BC=30则AB=______；(2)如图2 一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向距离灯塔50海里的A处它沿正北方向航行一段时间后到达位于灯塔北偏东45°方向上的B处此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）(3)在（2）的条件下试求75°的正弦值．（结果保留根号）20．如图1 正方形ABCD中P是边AD上任意一点Q是对角线AC上的点且满足∠PBQ=45°．(1)①求证：△PDB∽△QCB；②DPCQ=；(2)如图2 矩形ABCD中AB=12AD=5P、Q分别是边AD和对角线AC上的点∠PBQ=∠ACB DP=3求CQ的长；(3)如图3 菱形ABCD中DH⊥BA交BA的延长线于点H．若DC=5对角线AC=6P、Q分别是线段DH和AC上的点tan∠PBQ=34PH=85求CQ的长．参考答案：1．解：（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°=(sin230°+cos230°)+2sin60°+tan45°−tan60°=1+2×√32+1−√3=2+√3−√3=2；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°=√(1−tan60°)2−√3=√(1−√3)2−√3=√3−1−√3=−1．2．解：tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°＝（tan1°•tan89°）（tan2°•tan88°）…（tan44°•tan46°）•tan45°＝1．3．（1）解：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin2150°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin230°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2 =2×(12)2−6×(√3)2×4×[1−(12)2]2×1+4×(√22)214×√32=−107√348；（2）解：∵a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根∴(x+3)(x−1)=0解得a=−3b=1或b=−3a=1当a=−3b=1时则2√2bcos260°−√2=12×(−3)+√2 14×1−√2=−26+20√231；当b=−3a=1时则2√2bcos260°−√2=12×1+√2 14×(−3)−√2=−26+4√223；4．（1）证明：∠AE⊥BC AF⊥CD∠∠AEB＝∠AFD＝90°∠∠BAG＝90°−∠ABE∠DAH＝90°−∠ADF ∠四边形ABCD是平行四边形∠∠ABE＝∠ADF∠∠BAG＝∠DAH∠AG＝AH∠∠AGH＝∠AHG∠∠AGB＝∠AHD∠在△ABG 和△ADH 中{∠AGB ＝∠AHD∠BAG ＝∠DAH AG =AH∠△ABG≌△ADH∠AB ＝AD∠▱ABCD 是菱形；（2）①解：∠AD∥BC∠△ADG ∽△EBG∠AD BE =AG EG∠AG =2,GE =1∠AD BE =AG EG =2∠在菱形ABCD 中 AB =AD∠BE AB =12 ∠AE ⊥BC∠sin∠BAE =BE AB =12； ②∠sin∠BAE =12∠∠BAE =30°∠cos∠BAE =cos30°=AE AB =√32∠AB =2√3=BC∠S ▱ABCD =BC ×AE =2√3×3=6√3．5．（1）证明：∵ CE ⊥AD ∠ACB =90°∴∠CED =∠ACB =90°∵∠CDE +∠DCE =90°,∠DCE +∠ACE =90°∴∠ACE =∠CDE∴△CDE∽△ADC∴CD AD =DE CD∴ CD 2=ED ⋅AD ；（2）解：∵D为BC的中点∴BD=CD∵CD2=ED⋅AD∴BD2=ED⋅AD∴BDAD =DEBD∵∠ADB=∠ADB∴△ABD∽△BED∴∠ABD=∠BED∴∠AEF=∠BED=∠ABD ∵∠AEF+∠CEF=90°∴sin∠CEF=cos∠ABD∵∠ACB=90°ACBC =23设AC=2k,BC=3k∴AB=√AC2+BC2=√13k∴cos∠ABD=BCAB =√13k=3√1313∴sin∠CEF=3√1313．6．解：过点O作OD⊥BC交BC的延长线于点D过点O作OE⊥AB垂足为E如图所示：由题意得：AO=8×5=40米OC=4×5=20米OE=BD OE∥BD∴∠EOC=∠OCD=45°∵∠AOC=75°∴∠AOE=∠AOC−∠EOC=30°在Rt△OCD中CD=OC⋅cos45°=20×√22=10√2米在Rt△AOE中OE=AO⋅cos30°=40×√32=20√3米∴OE=BD=20√3米∴BC=BD−CD=20√3−10√2米∴小李到古塔的水平距离即BC的长为20√3−10√2米．7．解：如图过点C作CE⊥AB于点E过点P作PF⊥CE于点F过点A作AG⊥PF于点G则四边形BECD和四边形AEFG都是矩形∴AE=FG BE=CD.在Rt△APG中由题意知∠PAG=37°,AP=10米∠PG=sin∠PAG⋅AP=sin37°×10≈0.60×10=6（米）在Rt△PCF中由题意知∠PCF=53.5°,PC=80米∠PF=sin∠PCF⋅PC=sin53.5°×80≈0.80×80=64（米）∴AB=AE+BE=FG+CD=PF−PG+CD=64−6+1.8=59.8（米）．答：小山AB的高度约为59.8米．8．（1）解：∠凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∠DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∠由题意得四边形NFDE是矩形∠FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∠FD=MF=(x−0.15)m∠NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∠tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．9．（1）解：过点C作CM⊥AB于点M∠甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港∠∠ADC=90°∠DAC=∠DCA=45°AD=40海里∠AD=CD=40海里∠AC=√AD2+DC2=40√2海里∠乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．∠∠CAM=∠ABN=30°∠CBN=90°−15°=75°∠∠ABC=∠CBN−∠ABN=45°在Rt△ACM中∠CAM=30°∴CM=12AC=40√2×12=20√2（海里）AM=AC⋅cos30°=20√6（海里）在Rt△BCM中∠ABC=45°∴CB=CMsin45°=40（海里）BM=CM=20√2海里∴B C两港之间的距离约为40海里；（2）解：乙货轮先到达C港理由如下：∠甲货轮航行的路程=AD+DC=40+40=80（海里）∠甲货轮航行的时间=8020=4（小时）∠乙货轮航行的路程=AB+BC=20√6+20√2+40（海里）∠乙货轮航行的时间=20√6+20√2+4030=2√6+2√2+43≈3.91（小时）∵3.91<4∴乙货轮先到达C港．10．（1）解：过B作BL⊥DE于L交AN于N过作EK⊥AN于K过C作CM⊥DE于M∵点E在点A的西南方向∴∠EAK=45°∴△AEK是等腰直角三角形∴EK=AK=√22AE=√22×1300≈919.38（米）∵∠BAN=30°∠ANB=90°∴BN=12AB=12×1800=900（米）∵DE∥BC CM⊥DE BL⊥DE EK⊥AN NL⊥DE ∴四边形ELNK BCML是矩形∴BC=BL NL=EK EL=KN ML=BC∵BL=NB+NL=900+919.38=1819.38（米）∴MC=1819.38米∵∠MCD=45°∴△MCD是等腰直角三角形∴CD=√2MC≈2573（米）；（2）解：滑雪道线路①全程=AB+BC+CD=1800+2000+2572.6=6372.6（米）∴小外滑行的时间是6572.6÷5≈1274.5（秒）≈21.2（分钟）∵小外途经的每个休息区都各休息了5分钟∴小外在滑雪道线路①共用时21.2+5×2=31.2（分钟）∵AN=√3NB≈1558.8（米）∴NK=AN−AK=1558.8−919.38=639.42（米）∴EL=KN=639.42米∴ME=ML+EL=2000+639.42=2639.42（米）∵△CDM是等腰直角三角形∴MD=MC=1819.9米∴滑雪道线路②全程=AE+ME+MD=1300+2639.42+1819.9=5759.32（米）∴小外的爸爸滑行的时间是5759.32÷3≈1919.8（秒）≈32.0（分钟）∵小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟∴小外先到达终点D．11．解：（1）目标P的仰角是图②中的∠POC目标P的仰角与图②中的∠NOG相等证明∵∠COG=90∘∠AON=90∘∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON；（2）解：由题意可得O1O2=2O1E=O2F=DH=1.5米由图可得tanβ=PDO2D tanα=PDO1D∴O2D=PDtanβO1D=PDtanα∵O1O2=O2D−O1D=2∴2=PDtanβ−PDtanα∴PD=2tanαtanβtanα−tanβ∴PH=PD+DH=2tan45∘tan30∘tan45∘−tan30∘+1.5=(52+√3)米．故PH的值为(52+√3)米．12．（1）解：∵AB=2∴点A的横坐标为−2∵A点在反比例函数y=−8x的图象上∴y=−8−2=4∴A(−2,4)．（2）解：∵A(−2,4)∠AB=2BO=4∠AO=√22+42=2√5∠CD垂直平分AO∠OC=12AO=√5CD⊥AO∠∠DOE=90°∠∠1+∠3=90°=∠2+∠3∠∠1=∠2∠sin∠1=sin∠2∠OC OE =ABOA即：√5OE=2√5解得：OE=5．13．（1）解：作DE⊥BC于E AF⊥BC于F=35设AF=x海里由题意得BC=30×76∠∠BAF=45°,∠ACF=53°x∠BF=AF=x，FC=AF÷tan53°=34x=35∠x+34解得x=20x=15∠34∠AC=√AF2+CF2=25∠CD=AD−AC=75∠DE=CD⋅sin∠ECD=CD⋅sin53°=60答：AC的距离为25海里点D到直线BC的距离为60海里；（2）能理由如下：设1小时后海警船到达点G菲律宾渔船到达点H则DG=40CH=30由（1）知CE=CD⋅cos53°=45∠HE=CE−CH=15GE=DE−DG=20由勾股定理得：GH=√HE2+GE2=25故可以侦测到菲律宾渔船．14．解：如图由题意得AB⊥BD CD⊥BD∴∠BEA+∠BAE=90°∠ECD+∠DEC=90°∵∠MEN=90°∴∠BEA+∠DEC=90°∴∠BAE=∠DEC∴tan∠BAE=tan∠DEC即BEAB =CDED设AB=CD=x可得9x =x36解得x=18经检验x=18是原方程的解答：两栋楼的高度为18m．15．（1）解：如图所示：过点D作DH⊥FE于点H∠i=DHEH =√3∠设DH=xm EH=√3xm∠∠DHE=90°,DE=2.4m∠DH2+HE2=DE2∠x2+(√3x)2=2.42解得：x=±1.2（负值舍去）∠CF=DH=1.2m∠坡面DE的铅直高度为1.2m；（2）设AM=ym∠∠AMI=90°,∠AIM=45°∠∠MAI=45°∠∠MAI=∠AIM∠MI=AM=ym∠∠AHM=35°，∠AMH=90°∠tan35°=AMMH≈0.700∠yMH∠MH≈y0.7∠MH−MI=8.1−y=8.1∠y0.7∠y=18.9∠AM=18.9m∠AF=AM+MF=18.9+1.64=20.54(m)∠AC=AF−CF=20.54−1.2=19.34(m)．∠纪念碑的实际高度AC为19.34m．16．（1）解：如图2 过C作CM⊥AB垂足为M又过D作DN⊥AB垂足为N过C作CG⊥DN垂足为G则∠DCG=60°．则四边形CMNG为矩形CM=NG∵AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°∴∠A=∠B=30°AC=30cm．则在Rt△AMC中CM=12∵在Rt△CGD中sin∠DCG=DGCD=50cmCD=25√3(cm)．∴DG=CD⋅sin∠DCG=50⋅sin60°=50×√32又GN=CM=30cm前后车轮半径均为5cm∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5=25√3+30+5=(35+25√3)(cm)；（2）解：∵EF∥CG∥AB∴∠EFH=∠DCG=60°∵CD=50cm椅子的支点H到点C的距离为10cm DF=20cm∴FH=20cm如图2 过E作EQ⊥FH垂足为Q设FQ=x在Rt△EQF中∠EFH=60°∴EF=2FQ=2x EQ=√3x在Rt△EQH中∠EHD=45°∴HQ=EQ=√3x∵HQ+FQ=FH=20cm∴√3x+x=20解得x=10√3−10．∴EF=2(10√3−10)=20√3−20(cm)．答：坐板EF的宽度为(20√3−20)cm．17．（1）解：如图所示延长CD交AB于点F由题意得：CD=MN=132DF=BN∠AFD=90°CM=DN=BF=1.6设DF=x则CF=x+132在Rt△ADF中∠ADF=45°∴AF=x在Rt△ACF中∠ACE=30°tan30°=AFCF =xx+132≈0.58∴x≈182经检验x≈182是原方程的解且符合题意∴AB=AF+BF=182+1.6≈184米∴桥塔的高度约为184米（2）解：延长QG交AB于点M由题意可知QM⊥AB AB=184∵∠AQG=30°∠BQG=60°∠A=60°∠B=30°设AM=y则BM=184−ytan∠A=tan60°=QMAM≈1.73tan∠B=tan30°=QMBM≈0.58tan30°tan60°=AMBM=y184−y=0.581.73解得：y≈46.2∴QM=AM·tan60°=46.2×√3=80故Q处与AB的水平距离约为80米18．（1）解：∠sin30°=12sin60°=√32∠sin2α+sin2β=(12)2+(√32)2=1结论成立；（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac sinβ=bc且a2+b2=c2∠sin2α+sin2β=(ac )2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1故结论成立；（3）解：tanα=sinαcosα理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac cosα=bctanα=ab∠tanα=acbc=sinαcosα∠tanα=sinαcosα．19．（1）解：由题意可知：asinA =bsinB=csinC∠∠A=60°∠C=45°BC=30∠BC sin60°=ABsin45°即√32=√22∠AB=10√6故答案为：10√6．（2）解：如图：由题意可知∠APE=60°，∠BPF=45°AB∥EF AP=50海里asinA =bsinB=csinC∠∠A=∠APE=60°，∠B=∠BPF=45°∠BP sin60°=APsin45°即√32=√22∠BP=25√6∠B处与灯塔的距离为25√6海里故答案为：25√6．（3）解：如图：由题可知PA=50海里PC⊥AB∠∠EPC=∠FPC=90°∠∠APE=60°∠BPF=45°∠∠APC=30°∠bPC=45°∠∠APB=∠APC+∠BPC=75°在Rt△APC中AC=12PA=25海里PC=√32PA=25√3海里在Rt△BPC中BC=PC=25√3海里∠AB=AC+BC=(25+25√3)海里由前面定理可知：ABsin∠APB =PAsin∠B则25+25√3sin75°=50sin45°∠sin75°=25+25√350×√22=√2+√64∠75°的正弦值√2+√64．20．（1）解：①∵四边形ABCD为正方形BD AC是对角线∴∠PDB=∠QCB=∠DBC=45°∴∠QBC+∠DBQ=45°∵∠PBQ=45°∴∠PBD+∠DBQ=45°∴∠QBC=∠PBD∴△PDB∽△QCB；②∵四边形ABCD为正方形∴BC=DC∠BCD=90°∴BD=√BC2+DC2=√2BC∵△PDB∽△QCB∴DPCQ =BDBC=√2BCBC=√2；故答案为：√2；（2）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC OA=OD∠DAB=90°∴∠ACB=∠OAD=∠ODA=∠OBC∵∠PBQ=∠ACB∴∠PBQ=∠OBC∴∠PBD+∠DBQ=∠QBC+∠DBQ∴∠PBD=∠QBC ∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AB=12AD=5∴BD=√AB2+AD2=13∵BC=AD=5DP=3∴QC3=513∴QC=1513；（3）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为菱形AC BD是对角线∴AC⊥BD∴AO=OC=12AC=3∴BO=√BC2−OC2=√52−32=4∴tan∠DBC=OCOB =34∵tan∠PBQ=34∴∠DBC=∠PBQ∴∠DBQ+∠PBD=∠DBQ+∠QBC ∴∠PBD=∠QBC∵DH⊥BH AC⊥BD∴∠DBC+∠ACB=90°∵四边形ABCD为菱形BD是对角线∴∠ABD=∠CBD∴∠HDB=∠ACB∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AC=6∴OC=OA=12AC=3∵AB=BC=DC=5∴OB=OD=4即BD=8∵12AC⋅BD=AB⋅DH∴5DH=12×6×8∴DH=245∵PH=85∴DP=DH−PH=245−85=165∴165QC=85∴QC=2．。
必修4第一章三角函数同步练习及答案
第一章 三角函数§1.1 任意角和弧度制一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( )(A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π(B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍. *10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ *14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.§.任意角的三角函数一.选择题1.函数y =|sin |sin x x +cos |cos |x x +|tan |tan x x的值域是 ( )(A){-1，1} (B){-1，1，3} (C) {-1，3} (D){1，3} 2.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( )(A) 25 (B) -25 (C) 25或 -25 (D) 不确定3.设A 是第三象限角，且|sin2A |= -sin 2A ,则2A是 ( ) (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定5.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形*6.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则2θ的终边在 ( )(A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上 二.填空题 7.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第 象限的角;8.求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133π= ;9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 ;*10.设M =sin θ+cos θ, -1<M <1,则角θ是第 象限角. 三.解答题11.求函数y =lg(2cos x的定义域。
【同步练习】必修四 1.2.1 任意角的三角函数-高一数学人教版(必修4)(解析版)
第一章 三角函数1.2.1 任意角的三角函数一、选择题1．已知sin α+cos α=–15，α∈（0，π），则tan α的值为A ．–43或–34B ．–43C ．–34D ．34【答案】C【解析】∵sin α+cos α=–15，α∈（0，π），∴α为钝角，结合sin 2α+cos 2α=1，∴sin α=35，cos α=–45，则tan α=sin cos αα=–34，故选C ． 2．若点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，则sin α的值为A ．12-B ．12C ．3D 3 【答案】C【解析】因为点5π5πsin cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，在角α的终边上，即点132⎛- ⎝⎭，在角α的终边上，则3sin α=，故选C ．3．若角α的终边过点P （3，–4），则cos α等于A ．35B ．34-C ．45-D ．45【答案】A【解析】∵角α的终边过点P （3，–4），∴r =5，∴cos α=35，故选A ．4．如果角θ的终边经过点（3，–4），那么sin θ的值是A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】D【解析】∵角θ的终边经过点（3，–4），∴x =3，y =–4，r 22x y +，∴sin θ=y r=–45，故选D ．5．若sinαtanα<0，且costanαα<0，则角α是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】∵sinαtanα<0，可知α是第二或第三象限角，又costanαα<0，可知α是第三或第四象限角．∴角α是第三象限角．故选C．6．已知点P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，则x的值为A．5 B．–5 C．4 D．–4 【答案】D【解析】∵P（x，3）是角θ终边上一点，且cosθ=–45，∴cosθ=29x+=–45，∴x=–4．故选D．7．若点P（sinα，tanα）在第三象限，则角α是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】∵点P（sinα，tanα）在第三象限，∴sinα<0，tanα<0．∴角α是第四象限角．故选D．8．如果角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），则sinα的值等于A．12B．–12C．–3D．–3【答案】B【解析】角α的终边过点（2sin60°，–2cos60°），即（31-，），由任意角的三角函数的定义可知：sinα=()()221 231=-+-．故选B．9．若角120°的终边上有一点（–4，a），则a的值是A．43B．43-C．43±D．310．已知4sin5α=，并且P（–1，m）是α终边上一点，那么tanα的值等于A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A 【解析】∵4sin5α=，并且P （–1，m ）是α45=，∴m =43，那么tan α=1m-= –m =–43，故选A ． 11．已知sin α<0，且tan α>0，则α的终边所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵sin α<0，∴α的终边在第三、第四象限或在y 轴负半轴上，∵tan α>0，∴α的终边在第一或第三象限，取交集可得，α的终边所在的象限是第三象限角．故选C ． 12．若角α终边经过点P （sin2π2πcos 33，），则sin α=A ．12BC ．12-D ． 【答案】C【解析】∵角α终边经过点P （sin 2π2πcos 33，），即点P ，–12），∴x ，y =–12，r =|OP |=1，则sin α=y r=y =–12，故选C ．13．已知角α的终边过点12P ⎛ ⎝⎭，，则sin α=A ．12B C D ． 【答案】C【解析】由题意可得，x =12，y ，r =|OP |=1，∴sin α=y r，故选C ．14．已知角α的终点经过点（–3，4），则–cos α=A ．35B ．–35C ．45D ．–45【答案】A【解析】∵角α的终点经过点（–3，4），∴x =–3，y =4，r =|OP |=5，则–cos α=–35x r =，故选A ． 二、填空题15．若角α的终边与单位圆交于P （–35，45），则sin α=45；cos α=___________；tan α=___________．【答案】45；35-；43- 【解析】∵角α的终边与单位圆交于P （–35，45），|OP |=223455⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1，∴由任意角的三角函数的定义可知：sin α=44515=，同理可得cos α=35-；tan α=445335=--；故答案为：45；35-；43-．16．已知23cos 4a x a-=-，x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是__________．17．已知角α的终边经过点P （–2，4），则sin α–cos α的值等于__________．35【解析】∵角α的终边经过点P （–2，4），∴x =–2，y =4，r =|OP 5，∴sin α=25y r =，cos α=xr= 5，则sin α–cos α3535． 18．适合条件|sin α|=–sin α的角α是__________．【答案】[2k π–π，2k π]，k ∈Z【解析】∵|sin α|=–sin α，∴–sin α≥0，∴sin α≤0，由正弦曲线可以得到α∈[2k π–π，2k π]，k ∈Z ，故答案为：[2k π–π，2k π]，k ∈Z ．19．若角α的终边经过点（–1，–2），则tan α=___________．【答案】2【解析】∵角α的终边经过点（–1，–2），∴由三角函数定义得tan α=21--=2．故答案为：2． 20．已知角θ的终边经过点P （x ，2），且1cos 3θ=，则x =___________．2 【解析】∵角θ的终边经过点P （x ，2），且21cos 34x θ==+，解得x 22．21．若sinθ<0，cosθ>0，则θ在第___________象限．【答案】四【解析】由sinθ<0，可知θ为第三、第四象限角或终边在y轴负半轴上的角．由cosθ<0，可知θ为第一、第四象限角或终边在x轴正半轴上的角．取交集可得，θ在第四象限．故答案为：四．三、解答题22．已知点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，求sinα，cosα，tanα．【解析】因为点P（3m，–2m）（m<0）在角α的终边上，所以x=3m，y=–2m，r=–13m，sinα=21313yr==，cosα=31313xr=-=-，tanα=32yx=-．23．确定下列各式的符号：（1）sin 103°·cos 220°；（2）cos 6°·tan 6.24．已知角α的终边在直线y=2x上，分别求出sinα，cosα及tanα的值．【解析】当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上任意取一点P（1，2），则x=1，y=2，r=|OP5，∴sinα=255yr==cosα=55xr=，tanα=yx=2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上任意取一点P（–1，–2），则x=–1，y=–2，r=|OP|=5，∴sinα=yr=5=25，cosα=xr=5=5，tanα=yx=2．25．已知角α的终边上一点P （m ）（m ≠0），且sin α=4，求cos α，tan α的值．【解析】设P （x ，y ）．由题设知x=y=m ，所以r 2=|OP|2=（2+m 2（O 为原点），，所以sin α=mr =4，所以=，3+m 2=8，解得当r=，x=所以cos =，tan当m=r=，x=y=所以cos =，tan26．已知角α终边上一点P （m ，1），cos α=–13．（1）求实数m 的值； （2）求tan α的值．【解析】（1）角α终边上一点P （m ，1），∴x =m ，y =1，r =|OP∴cos α=–13，解得m =．（2）由（1）可知tan α=1m。
《三角函数的计算》同步练习3
三角函数的计算1．计算：(1)2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°；(2)2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°； (3);45tan 2160cos 30sin 45cos ︒+︒︒-︒ (4)︒-︒︒-+︒-︒45tan 60tan 45sin 22460tan 460tan 2． 2．填空： (1)在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝21，则 cos B ＝________； (2)已知α为锐角，且cos(90°－α)＝21，则α＝________； (3)若1)10(tan 3=︒+α，则锐角α＝________．3．选择题：(1)在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠AC ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A(2)若0°＜θ＜90°，且|sin 2θ－41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan θ的值等于（ ） A ．3 B ．33 C ．21 D ．23 4．已知α为锐角，当α-tan 11无意义时，求sin(α＋15°)＋cos (α－15°)的值． 5．等腰三角形的底边长为20，面积为33100上，求这个三角形各角的大小． 6．如图，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，利用此图求tan 75°的值．7．如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方点P处，此时飞机离地面的高度PO＝450 m，且A，B，O三点在一条直线上，测得∠α＝30°，∠β＝45°，求大桥AB 的长(结果精确到0.01 m)．8．(1)比较sin 30°，sin 45°，sin 60°的大小及cos 30°，cos 45°，cos 60°的大小；(2)你能找出什么规律吗？参考答案1．(1)263-； (2) 0； (3) 212-； (4) 321-． 2．(1) 21； (2) 30°； (3) 20°． 3．(1) D ； (2) B ．4．3．5．30°，30°，120°．6．32+． 提示：设k CD 3=，BD ＝3k ． 7．桥长约 329.42 m ．8．(1) sin 30°＜sin 45°＜sin 60°，cos 60°＜cos 45°＜cos 30°；(2) 当 0°＜α＜90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小．。
《三角函数的应用同步练习 》同步练习(附答案) 2022年北师大版
1.如图,一枚运载火箭从地面O 处发射,当火箭到达A点时,从地面C处的雷达站测得AC的距离是6km,仰角是43,1s后,火箭到达B点,此时测得BC的距离是6.13km,仰角为45.54,这枚火箭从A点到B点的平均速度是多少?(精确到0.01km s )2．如图1—62所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，自A处经半小时到达B处，在A处看见小岛C在船的北偏东60°的方向上，在B处看见小岛C在船的北偏东30°的方向上，以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，那么这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?3.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象,废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米,探测线与地面的夹角分别是30和60(如图),试确定生命所在点C的深度.(结果精确到0.1米,参考数据:2 1.41≈,3 1.73≈)4．如图1—63所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A处向北偏西60°的AC方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)OABCA BCD3060均会受到影响：(1)B处是否会受到台风的影响?清说明理由；(2)为防止卸货过程受到台风影响，船上人员应在多少小时内卸完货物?(精确到0.1小时，3≈1.732)5．如图l—64所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．MB=400米，假设不改变方向，那么输水路线是否会穿过居民区?(参考数据：3≈1.732)6．如图1—65所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经C地沿折线A —C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，那么隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1 km,参考数据：2≈1.41，3≈1.73)7.气象台发布的卫星云图显示,代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东45方向的B点生成,测得1006OB km =.台风中心从点B 以40km h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处.因受气旋影响,台风中心从点C 开始以30km h 的速度向北偏西60O 为原点建立如下图的直角坐标系．(1)台风中心生成点B 的坐标为 ,台风中心转折点C 的坐标为 ；(结果保存根号)(2)距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A )位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？参考答案1. 解:在Rt BCO ∆中,sin OB BCO BC∠=∴sin 6.13sin45.54 4.375OB BC BCO =⋅∠=⨯≈ 在Rt ACO ∆中,sin OA ACO AC∠=∴sin 6sin43 4.092OA AC ACO =⋅∠=⨯≈∴ 4.375 4.0920.28AB OB OA =-=-≈ 答:这枚火箭从A 点到B 点的平均速度是0.28km s .2．提示：不会进入危险区．3. 解:过C 作CD AB ⊥于点D∵探测线与地面的夹角为30和60∴30CAD ∠=,60CBD ∠=在Rt ACD ∆中,tan CD CAD AD∠=∴3tan tan30CD CD AD CD CAD ===∠ 在Rt BCD ∆中,tan CD CBD BD∠=∴33tan60CD BD ==又∵3AD BD AB -==333CD -= 解得333 1.73 2.62CD ⨯==≈∴生命所在点C 的深度约为2.6米．4．解：(1)如图1—66所示，过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △ABD 中，BD=12AB ＝160海里＜200海里，所以B 处会受到台风的影响． (2)以B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ．由(1)可知BD ＝160海里，又BE ＝200海里，那么DE=120海里，所以AE ＝3120)海里．设卸货时间为t ，那么t1603120-≈3.9(小时)，所以在3.9小时内卸完货才不会受台风影响．5．解：如图1—67所示，过A 作AP ⊥MN 于点P ，由题意可知∠ABP=∠PAB=45°，因为MB ＝400米，所以MP －BP=MB ＝400米，所以AP ．1tan 30－AP ·1tan 45=400，3－AP=400，31)≈546.4米＞500米，所以输水路线不会穿过居民区． 6．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △CDA 中，∠A ＝30°，AC ＝10km ，∴CD＝12AC ＝5 km ，AD ＝ACcos 30°＝3．在Rt △BDC 中，∠B=45°，∴BD ＝CD=5km ，BC=sin 45CD =＝2，∴AB ＝AD ＋35)km ，∴AC ＋BC －AB ＝10＋235)＝5＋235＋5×1.4l －5×1.73＝3.4(km)．即隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走约3.4 km ．7. 解(1003,1003)- (1003,2001003)-A BD /y kmx kmO4560C(2)过点C 作CD OA ⊥于点D ,那么1003CD =,30ACD ∠= 在Rt ACD ∆中,cos CD ACD AC ∠=∴1003200cos cos30CD AC ACD ===∠∵20020630-=,6511+=∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．能力提升1.以下各式能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.x 2+1 B.x 2+2x-1 C.x 2+x+1 D.x 2+4x+42.假设x 为任意实数,那么多项式x-1-x 2的值( )3.以下多项式中,不能用公式法因式分解的是( ) A.-x 2+16y 2B.81(a 2+b 2-2ab )-(a+b )2C.m 2-mn+n 2 D.-x 2-y 24.因式分解:(a+b )(a+b+6)+9= .5.因式分解:4+12(x-y )+9(x-y )2= . 6.当x= 时,多项式-x 2+2x-1有最大值 . 7.利用因式分解计算: 1012+101×198+992的值.8.先因式分解,再求值:(a 2+b 2)2-4a 2b 2,其中a=3.5,b=1.5.9.a ,b ,c 为△ABC 的三条边长,且b 2+2ab=c 2+2ac ,试判断△ABC 的形状.创新应用10.观察思考: 1×2×3×4+1=25=52,2×3×4×5+1=121=112,3×4×5×6+1=361=192,4×5×6×7+1=841=292,…………从以上几个等式中,你能得出什么结论?能证明吗?答案：能力提升1.D2.B3.D4.(a+b+3)25.(3x-3y+2)26.107.解:原式=1012+2×101×99+992=(101+99)2=2021年=40 000.8.解:(a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2,当a=3.5,b=1.5时,原式=(3.5+1.5)2×(3.5-1.5)2=25×4=100.9.解法一:∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2-c2+2ab-2ac=0,∴(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,(b-c)(b+c+2a)=0.∵a,b,c为三角形的三边长,∴b+c+2a>0.∴b-c=0,即b=c.∴△ABC为等腰三角形.解法二:∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2+2ab+a2=c2+2ac+a2,∴(a+b)2=(a+c)2.∵a,b,c为三角形的三边长,∴a+b=a+c.∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.创新应用10.分析:仔细观察,寻找规律是关键.等式左边是四个连续自然数的积与1的和,等式右边是一个完全平方数,因此结论是四个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数.解:结论:四个连续自然数的积与1的和是一个整数的完全平方数.证明:设最小的自然数是n,那么这四个自然数的积与1的和可以表示为n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)·(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+ 1=(n2+3n+1)2.。
《三角函数的有关计算同步练习 》同步练习(附答案) 2022年北师大版
一、选择题1．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝5，c ＝17，用科学计算器求∠A 约等于 ( ) ° B ．17°6′ C ．17°16′°2．一个直角三角形有两条边长分别为3，4，那么较小的锐角约为 ( )A ．37°B ．4l °C ．37°或41°D ．以上答案均不对3．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,那么tan B 的值是〔 〕A ．34B ．43C ．35D ．454．在Rt ABC ∆中，90C ∠=，13AC AB =， 那么cos A 等于〔 〕 A ．223 B ．13 C ．22 D ．245．如图，正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的点D '处，那么tan BAD '∠等于〔 〕A ．1B ．2C ．22D ．22 二、填空题6．计算tan 46°≈ ．(精确到0.01)7．在ABC ∆中，90C ∠=假设tan B =2，1a =，那么b = ．8．在Rt ABC ∆中，3BC =，3AC =，90C ∠=，那么A ∠= ．9．在ABC ∆中，90C ∠=，tan 2A =，那么sin cos A A += ．10．在Rt ABC ∆中，90C ∠=，4sin 5A =，20BC =，那么ABC ∆的面积为 ． 三、解答题11．在等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=，10AC =，D 是AC 上一点，假设1tan 5DBC ∠=，求AD 的长．〔9分〕12．如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45，如果梯子的底端O固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60，求此保管室的宽度AB的长．〔10分〕13．如图l—48所示，一测量员站在岸边的A处，刚好正对河岸另一边B处的一棵大树，这位测量员沿河岸向右走了50 m到达C处，在C处测得∠ACB＝38°，求河的宽度．(精确到0.01 m，tan 38°≈0.7813)14．如图1—49所示，两建筑物的水平距离为24 m，从A点测得D点的俯角为60°，测得C点的仰角为40°，求这两座建筑物的高．(3≈1.732，ta n 40°≈0.8391，精确到0.01 m)15．如图1—50所示，一个能张开54°的圆规，假设两脚长均为15 cm，那么该圆规所画的圆中最大的直径是多少?(sin 27°≈0.4540，精确到0.01 cm)16．如图l—51所示的是一辆自行车的侧面示意图．车轮直径为65 cm，车架中AC的长为42 cm，座杆AE的长为18 cm，点E，A，C在同一条直线上，后轴轴心B与中轴轴心C所在直线BC与地面平行，∠C＝73°，求车座E到地面的距离EF．(结果精确到l cm，参考数据：sin 73°≈0.96，cos 73°≈0.29，tan 73°≈3.27)参考答案1.A2.B3.B 4．B5．C[提示：设较小的锐角为a，假设3，4为两条直角边，那么tana=34＝0.75．假设斜边为4，先求另一直角边为7，那么tan a=73.] 6．1.04[提示：用科学计算器求．]°11.AD=812.由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形．∵cos45°==，∴；而cos60°==，∴BO=．∴AB=AO+BO==．13．解：河的宽度AB＝ACtan C＝50×tan 38°≈50×≈39.07(m)．14．解：作AE⊥CD于E，那么AE=BD＝24m，在Rt△AED中，tan∠DAE＝DEAE，∴DE=AEtan60°≈24×≈41.57(m)，∴AB＝DE≈41.57 m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝CEAE,∴CE＝AEtan40°≈24×≈20.14(m)，∴CD＝CE＋DE≈20.14＋41.57＝61.71(m)，∴甲建筑物的高AB约为41.57 m，乙建筑物的高CD约为61.7l m．15．解：作AD⊥BC于D，那么∠BAD＝27°，∴BD＝ABsin 27°＝15×sin 27°≈15×0.4540＝6.81(cm)，∴BC＝2BD≈2×6.81=13.62(cm)，∴直径＝2BC≈2×13.62＝27.24(cm)．即该圆规所画的圆中最大的直径约是27.24 cm．16．解：在Rt△EDC中，CE＝AE＋AC＝18＋42＝60(cm)．∵sin C＝DECE，∴DE＝CEsin C＝60×sin73°≈60×0.96=57.6(cm)．又∵DF＝12×65＝32.5(cm)，∴EF＝DE＋DF≈≈90(cm)．即车座E到地面的距离EF约为90 cm．能力提升1.以下各式能用完全平方公式进行因式分解的是()A.x2+1B.x2+2x-1C.x2+x+1D.x2+4x+42.假设x为任意实数,那么多项式x-1-x2的值()3.以下多项式中,不能用公式法因式分解的是()A.-x2+16y2B.81(a2+b2-2ab)-(a+b)2C.m2-mn+n2D.-x2-y24.因式分解:(a+b)(a+b+6)+9=.5.因式分解:4+12(x-y)+9(x-y)2=.6.当x=时,多项式-x2+2x-1有最大值.7.利用因式分解计算:1012+101×198+992的值.8.先因式分解,再求值:(a2+b2)2-4a2b2,其中a=3.5,b=1.5.9.a,b,c为△ABC的三条边长,且b2+2ab=c2+2ac,试判断△ABC的形状.创新应用10.观察思考:1×2×3×4+1=25=52,2×3×4×5+1=121=112,3×4×5×6+1=361=192,4×5×6×7+1=841=292,…………从以上几个等式中,你能得出什么结论?能证明吗?答案：能力提升1.D2.B3.D4.(a+b+3)25.(3x-3y+2)26.107.解:原式=1012+2×101×99+992=(101+99)2=2021年=40 000.8.解:(a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2,当a=3.5,b=1.5时,原式=(3.5+1.5)2×(3.5-1.5)2=25×4=100.9.解法一:∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2-c2+2ab-2ac=0,∴(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,(b-c)(b+c+2a)=0.∵a,b,c为三角形的三边长,∴b+c+2a>0.∴b-c=0,即b=c.∴△ABC为等腰三角形.解法二:∵b2+2ab=c2+2ac,∴b2+2ab+a2=c2+2ac+a2,∴(a+b)2=(a+c)2.∵a,b,c为三角形的三边长,∴a+b=a+c.∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.创新应用10.分析:仔细观察,寻找规律是关键.等式左边是四个连续自然数的积与1的和,等式右边是一个完全平方数,因此结论是四个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数.解:结论:四个连续自然数的积与1的和是一个整数的完全平方数.证明:设最小的自然数是n,那么这四个自然数的积与1的和可以表示为n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)·(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+ 1=(n2+3n+1)2.。
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三角函数同步练习第I 卷（选择题）1.要得到函数y=sin2x 的图象，只需将函数y=sin （2x ﹣）的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度2.sin cos y x a x =+中有一条对称轴是53x π=，则 ()sin cos g x a x x =+最大值为（ ） A.333 B.233 C.332D.2323.函数()cos f x x =的一个单调递增区间是（ ） （A ）(0)2π, （B ）(,)22ππ-（C ）(0)-π， （D ）(0,)π4.函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（ ）（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z （C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z5.函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度6.为了得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，可以将函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度7.角θ的终边过点P （﹣1，2），则sinθ=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣8.已知2π＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos （α﹣π）等于（ ） A ．32 B ．46 C ．322 D ．623 9.函数f （x ）=sin （2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f （x ）在[0，]上的最小值为（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．10.在直径为4cm 的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（ ） A ．cm B ．cm C ．cm D ．cm11.化简sin600°的值是（ ） A ．0.5 B ．﹣0.5C ．D ．12.已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．f （x ）=43sin （23x+6π） B ．f （x ）=54sin （54x+51） C ．f （x ）=54sin （65x+6π） D ．f （x ）=54sin （32x ﹣51）第II卷（非选择题）13.已知tanα=4，则的值为．14.设α、β，且sinαcos（α+β）=sinβ，则tanβ的最小值是．15.已知扇形的半径为2，圆心角是弧度，则该扇形的面积是．16.sin20°cos10°+cos20°sin10°=．17.函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示（1）求此函数的解析式；（2）求函数f（x ）在区间上的最大值和最小值．18.某同学用“五点法”画函数f（x ）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若关于x的方程g（x）﹣（2m+1）=0在[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．19.已知cosα=﹣，α为第三象限角．（1）求sinα，tanα的值；（2）求sin（α+），tan2α的值．20.设函数22()(sin cos)2cos(0)f x x x xωωωω=++>的最小正周期为23π．（Ⅰ）求ω．（Ⅱ）若函数()y g x=的图像是由()y f x=的图像向右平移2π个单位长度得到，求()y g x=的单调增区间．21.已知函数的图象经过三点，在区间内有唯一的最小值．（Ⅰ）求出函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在R上的单调递增区间和对称中心坐标．22.已知tan（）=3+．（Ⅰ）求tana的值；（Ⅱ）求cos2（π﹣a）+sin（）cos（+a）+2sin2（a﹣π）的值．试卷答案1.B2.B3.C4.A5.C6.A7.B．8.C9.A10.B11.D12.B13.14.15.16.17.【解答】解：（1）由图象可得A=，由=﹣﹣（﹣）=可得周期T=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵，∴又0＜φ＜π，∴，故，可得，∴此函数的解析式为：；（2）∵，∴，∴f（x）在即x=0时取得最大值，f（x）在即时取得最小值．18.【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣，数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）通过平移，g（x）=5sin（2x+），方程g（x）﹣（2m+1）=0可看成函数g（x），x∈[0，]和函数y=2m+1的图象有两个交点，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，为使横线y=2m+1与函数g（x）有两个交点，只需≤2m+1＜5，解得≤m＜2．19.【解答】解：（1）∵，α为第三象限角，∴，∴．（2）由（1）得，．20.解：（Ⅰ）2222()(sin cos)2cos sin cos sin212cos2f x x x x x x x xωωωωωωω=++=++++sin2cos222sin(2)24x x xπωωω=++=++依题意得2223ππω=，故ω=32.（Ⅱ）依题意得:5()2sin3()22sin(3)2244g x x xπππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦由5232()242k x k k Zπππππ--+∈≤≤解得227()34312k x k k Zππππ++∈≤≤故()y g x=的单调增区间为:227[,]()34312k k k Zππππ++∈略21.【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数的周期T=2（﹣）=1，∴ω==2π，又由题意当x=时，y=0，∴Asin（2π×+ϕ）=0即sin（+ϕ）=0结合0＜ϕ＜可解得ϕ=，再由题意当x=0时，y=，∴Asin=，∴A=∴；（Ⅱ）由2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+可解得k﹣≤x≤k+∴函数的单调递增区间为[k﹣，k+]（k∈Z）当2πx+=kπ时，f（x）=0，解得x=﹣，∴函数的对称中心为【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及单调性和对称性，属中档题．22.【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得=3+2，∴tanα=．…（Ⅱ）原式=cos2α+（﹣cosα）（﹣sinα）+2sin2α====．…试卷答案1.B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】把函数y=sin2x 的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x ﹣）=sin （2x ﹣）的图象，把平移过程逆过来可得结论． 【解答】解：把函数y=sin2x 的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x ﹣）=sin （2x﹣） 的图象，故要得到函数y=sin2x 的函数图象，可将函数y=sin （2x ﹣）的图象向左至少平移个单位即可， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数 y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题． 2.B方法一；2sin cos 1y x a x a =+=+ 当53x π=时，231122y a a =-+=+平方得：223311424a a a -+=+ 求得33a =- 2313a +=方法二：因为对称轴为53π 所以可知此时的导函数值为0 'cos sin y x a x =-555'cos sin 0333y a πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以132= 所以3a = 2231a +=注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为0 3.C【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C4.A5.C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出ω，由五点法作图求出ω的值，可得f （x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=﹣2，2sinφ=，∴sinφ=，结合|φ|＜，可得φ=．再根据五点法作图可得ω×+=π，求得ω=2，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin （2x+）=2cos2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6.A【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．【点评】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．7.B【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinθ的值．【解答】解：由题意可得，x=﹣1，y=2，r=|OP|=，∴sinθ===，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．8.C【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．分析：由条件求得sinα 和cosα 的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．9.A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及φ的范围得到，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．【点评】本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了三角函数值域的求法，是中档题．10.B【考点】弧长公式．【专题】三角函数的求值．【分析】，再利用弧长公式l=αr即可得出．【解答】解： =（弧度）．∴36°的圆心角所对的弧长==cm．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式l=αr，属于基础题．11.D【考点】诱导公式的作用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式可求得sin600°的值．【解答】解：sin600°=sin=sin240°=sin=﹣sin60°=﹣．故选D．【点评】本题考查诱导公式sin（2kπ+α）=sinα及sin（π+α）=﹣sinα的应用，属于基础题．12.B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．分析：函数的图象的顶点坐标求出A的范围，由周期求出ω 的范围，根据f（2π）＜0，结合所给的选项得出结论．解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得0＜A＜1，T=＞2π，求得0＜ω＜1．再根据f（2π）＜0，结合所给的选项，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象特征，属于基础题．13.【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由于已知tanα=4，利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简为，从而求得结果．【解答】解：由于已知tanα=4，则====，故答案为．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．14.【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】方程思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得 2tan2α•tanβ+tanβ﹣tanα=0，再根据△=1﹣8tan2β≥0，求得tanβ的最小值．【解答】解：∵sinαcos（α+β）=sinβ=sin[（α+β）﹣α]，∴sinαcos（α+β）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα，化简可得 tan（α+β）=2tanα，即=2tanα，∴2tan2α•tanβ﹣tanα+tanβ=0，∴△=1﹣8tan2β≥0，解得﹣≤tanβ≤，∵β∈（，π），∴﹣≤tanβ＜0，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15.【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l=αr=×2=根据扇形的面积公式可得S==故答案为：【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键．16.【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．17.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图象可得A值，由周期公式可得ω，代点结合角的范围可得φ，可得解析式；（2）由和三角函数的最值可得．【解答】解：（1）由图象可得A=，由=﹣﹣（﹣）=可得周期T=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵，∴又0＜φ＜π，∴，故，可得，∴此函数的解析式为：；（2）∵，∴，∴f（x）在即x=0时取得最大值，f（x）在即时取得最小值．【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的最值，属中档题．18.【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据五点法进行求解即可．（2）根据函数平移关系求出函数g（x）的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣，数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）通过平移，g（x）=5sin（2x+），方程g（x）﹣（2m+1）=0可看成函数g（x），x∈[0，]和函数y=2m+1的图象有两个交点，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，为使横线y=2m+1与函数g（x）有两个交点，只需≤2m+1＜5，解得≤m ＜2．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点法以及函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键．19.【考点】二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，从而求得tanα的值．（2）由（1）利用两角和的正弦公式求得sin （α+）的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：（1）∵，α为第三象限角，∴，∴．（2）由（1）得，．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．20.解：（Ⅰ）2222()(sin cos)2cos sin cos sin212cos2f x x x x x x x xωωωωωωω=++=++++sin2cos222)24x x xπωωω=++=++依题意得2223ππω=，故ω=32.（Ⅱ）依题意得:5()23()22)2244g x x xπππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦由5232()242k x k k Zπππππ--+∈≤≤解得227()34312k x k k Zππππ++∈≤≤故()y g x=的单调增区间为:227[,]()34312k k k Zππππ++∈略21.【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数的周期T，进而可得ω，代点可得ϕ和A，可得解析式；（Ⅱ）解2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+可得函数的单调递增区间，解2πx+=kπ可得函数的对称中心．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数的周期T=2（﹣）=1，∴ω==2π，又由题意当x=时，y=0，∴Asin（2π×+ϕ）=0即sin（+ϕ）=0结合0＜ϕ＜可解得ϕ=，再由题意当x=0时，y=，∴Asin=，∴A=∴；（Ⅱ）由2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+可解得k﹣≤x≤k+∴函数的单调递增区间为[k﹣，k+]（k∈Z）当2πx+=kπ时，f（x）=0，解得x=﹣，∴函数的对称中心为【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及单调性和对称性，属中档题．22.【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由两角和的正切函数公式化简已知，整理即可求值．（Ⅱ）利用诱导公式及同角三角函数关系式的应用，结合（Ⅰ）的结论即可求值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得=3+2，∴tanα=．…（Ⅱ）原式=cos2α+（﹣cosα）（﹣sinα）+2sin2α====．…【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，诱导公式及同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于基础题．。