消防站选址问题(uan)

城市消防站点选址问题
第二组
组员：郑舟杜洋洋陈建彬张强沈露陈宇银
摘要
随着国家现代化进程的不断推进，必须要有一个与之相适应的现代化城市应急系统和消防布局规划．选址问题是应急系统中重要的长期决策之一，选址的好坏直接影响到服务方式、质量以及服务成本等，从而影响到城市应急能力的有效发挥和资源的合理配置．
本文主要研究城市消防选址的决策问题，包括单目标选址模型和多目标选址模型。

其中问题一，三，四属于单目标选址问题，问题二属于多目标选址问题。

首先我们运用网络图的最短路径算法理论，给出了基于最短路径的选址问题的算法(Floyd算法)，计算出任意两点的最小路径。

问题一：单一消防站选址问题，我们借用P中心模型，求离消防站的点的最大距离的最小值。

先假定应急服务设施点都选在网络图的顶点处，所求的中心点是139点，离消防站的最远距离为10296.1米。

然后考虑了消防站和火灾现场在道路上的的情况，求出了整个网络的一般绝对中心点A(7354.915，4096.364)，离消防站的最远距离为10271.18米.
问题二：多消防站选址问题，我们采用了多目标决策模型，既考虑了离消防站最远距离的最小化，又考虑了消防站离需求点的总加权最小，还考虑了超额覆盖需求区域的总权重最大。

然后用参数规划的目标约束法，把多目标转化成单目标，求出消防站的位置。

为了简化问题，仅考虑消防站和火灾现场在端点的情况。

本题中，假设离消防站的最大距离为5000米，超额覆盖区域的总权重赋值为6，求出消防站的位置分别为点24，98，194，211，253.该模型可以根据不同城市的具体情况赋权值，求出适合不同城市的最佳消防点，易于推广。

问题三：共同时间约束下的消防站数量最少问题，我们首先应用位置集合覆盖模型，结合本题的约束条件（10分钟）算出所需消防站最少个数为2个，其次，建立P中值模型，得出所求点为点24和143。

问题四：不同时间约束下的消防站最少问题，通过集合覆盖模型，结合本题约束条件（一般位置5分钟，重要位置3分钟），算出所需消防站最少个数为5个，其次建立P中值模型，得出所求点为点45，点75，点211，点224，点228.
问题五：分析消防车的速度对到达时间的影响，当速度改变时，考虑到经济效益以及最优化结果，则消防站点的个数相应改变，所以时间随速度以及站点个数的影响。

根据以上分析可以得到对于实际问题得出最优的消防站的选址，解决经济效益和满足实际的救火需求。

关键词：最优选址问题P中心模型P中值模型多目标决策模型
1 问题重述
在城市中消防站的选址对于及时的消灭火警有着特别重要的意义。

考虑某城市内一区域，为简化问题，假定所有火警现场均在下图的道路上。

该区域内三个重点部位的坐标分别为：（5112，4806），（9126，4266），（7434 ，1332）（见下图红点部位，蓝色部分为水域）。

要解决如下问题：
1. 如果该城市只建一个消防站，最佳的地点应该位于什么位置，该消防站到达城市道路上的点的最远距离是多少？
2. 如果该城市建五个消防站，最佳的地点应该位于什么位置。

3. 如果消防车的行驶速度60km/h，要建几个消防站才能使得该城市道路上任何一点发生火警之后，消防车能在10分钟之内到达。

4. 如果消防车的行驶速度60km/h，要建几个消防站才能使得该城市道路上任何一点发生火警之后，消防车能在5分钟之内到达，同时要求到达重点部位的时间不多于3分钟。

5. 分析消防车的行驶速度对消防车到达火警现场的时间的影响。

2 问题分析
2.1 问题一分析
在城市中建立一个消防站点，要求出此消防站点的最佳位置以及该点到到达城市道路上的点的最远距离。

交通条件、自然地理条件、道路状况等因素都会影响消防站点的选址。

为了简化问题，本题我们只考虑行车距离因素的影响。

消防站和火灾现场的地址可以是城市道路上的任何位置，而不仅仅是道路端点。

要使火灾损失达到最小，最重要的是消防队接到火警后能够尽快到达火灾现场，这就要求消防站点到城市中任何火灾现场的“最远距离最小”。

2.2 问题二分析
在多个消防站点选址问题中，宜采用多目标方法，并充分体现公共服务设施的公平性和效率性。

首先要求应急求援设施覆盖所有需求趋于，在考虑具体目标时一是从快速反应或公平性考虑要求消防站服务需求点的最大距离为最小；二是从超额覆盖和备用设施考虑，要求消防站覆盖需求点的总权重最大；三是从消防站的易接近性和使用效率出发，要求消防站服务需求点的总加权距离最小。

2.3 问题三分析
第三问需要求出在相应的时间限制下，为了能使中位选址问题达到最优需要在该城市建立的消防站点个数。

根据消防车的行驶速度60km/h以及反应时间限制10分钟，得出消防站点与相应区域内的点的最大距离应小于
d=60*10/60km=10km, 运用中位点问题模型，采用参数规划的约束法，可以很好的解决该问题。

2.4 问题四分析
第四问在第三问的基础上，进一步将反应时间限制为5分钟，同时增加对重点部位反应时间的限制3分钟，得出消防站距离相应区域内的普通部位和重点部位的最远距离分别为5km和3km。

在问题三模型的基础上，增加以及改变某些
约束条件，便可让问题得到解决。

3 模型假设和符号说明
3.1 模型假设
（1）相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，把城市地图抽象成由点和线组成的无向网络赋权图；
（2）假设消防车在到达火灾点的途中没有障碍，即不考虑路况和其他突发事件的影响，消防车按照其行驶速度匀速行驶直至到达火灾点；
（3）不考虑灾情蔓延速度，即火灾点不会转移和增加
（4）不考虑消防队的反应时间，假设接到火情的瞬间，消防队即出发救火
4 模型的建立与求解
4.1 问题一：单个消防站点选址问题
首先，用Floyd算法求出任意两个结点之间的最短路径；
Floyd算法的基本思想如下：
把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=0。

定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。

把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。

在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

如果消防站点和火灾现场的地点仅仅可以发生在网络图的节点上，则根据“最远距离最小”的选址原则，我们很容易就可以得到在途中第139点设置消防站最合适，10296.1m
L。

=
m
但是实际情况中，更多的消防站点是建设在城市道路上。

此模型中运用的符号说明：
建立如下优化模型：
min m L Z =
..t s i i pq pq pi
i a x b d
s 10000)(307
1-+≥
∑=
(1-1)
)1(10000)(307
1
i i pq pq pq qi i a x d b d s ---+≥∑= (1-2)
ij j i m d s s L ++≥2 (1-3) ij ij ij b d x ≤ (1-4)
以最远距离最小作为目标函数。

约束条件（1-1），（1-2）表示 约束条件（1-3）表示 约束条件（1-4）表示
用Lingo 求解得到： j=139, 147。

（即消防站应建在139, 147交叉路口）
4.2 问题二：多个消防站点选址问题
消防站选址的多目标决策模型表述为:
min ij s Z =1
(1)
max ∑==
307
1
2i i
i
u
Z ω (2)
..t s
5307
1
=∑
=j j y (3)
∑=≥-1
1j i ij
u z
(4)
0≤-j ij y z (5)
∑=≤307
1
j ij
ij ij i
s z d ω
(6)
模型说明如下：
约束条件(4)和(6)式保证设置的消防站数目为p ；
约束条件（5）式保证设置的应急救援设施数目不低于需求区域i 要求的最少设施数q i ,超出的数目（i
J
j ij
q z
-∑∈）即为需求区域i 超覆盖的次数u i ；
目标函数（1）式和约束条件（7）式使设置的应急救援设施服务需求区域的加权最大距离（平均意义上）L 为最小（即p-中心模型），体现公平性；
如果约束条件（7）式改为
,
s z d ij ij ≤ J j I i ∈∈∀, (9)
则目标函数（1）式和约束条件（9）式保证设置的应急救援设施服务需求区域的最大距离L 为最小，体现对应急救援设施快速反应的要求；
目标函数（2）式和约束条件（5）式使超额覆盖最大化，其主要目的是使权重越大的需求区域有更多的应急救援设施为其服务；
目标函数（3）式和约束条件（5）式使设置的应急救援设施服务需求点的加权总距离为最小（即p-中值模型），体现效率性。

上述模型为3个目标的多目标决策模型，多目标准则函数为min[v 1,v 2,v 3]. 本文采用参数规划的目标约束法把多目标转化成单目标，来求解上述选址决策模型。

保留决策问题中的一个目标，其余两个目标被作为约束，通常保留目标v 3，把目标v 1和v 2约束化，根据城市的具体情况，使v 1和 v 2分别约束于a 和b.
模型求解： 对于本题，给离消防站的最大距离的最小值赋值5000m ，给消防站覆盖需求点的总权重赋值为6，写出目标函数和约束条件如下：
min ∑∑∈∈=
I
i J
j ij
ij
i
z d
Z ω
..t s ij
ij ij z d s ≥ (2-1)
∑=≥-307
1
1j i ij
u z
(2-2)
05000
≤-ij ij z s (2-3)
∑=≥1
6i i
i
u
ω (2-4)
0≤-j ij y z (2-5) 模型说明： 约束（2-1）（2-3）表示在要建立五个消防站点 约束（2-2）保证每个点至少被一个消防站所覆盖 约束（2-3）给消防站点设置最小距离
约束（2-4）保证每个重点部位至少被两个消防站覆盖
目标函数1Z 和约束（2-4）使消防站点到火灾现场的加权最大距离最小 用Lingo 求解得到： j=24，98，194，211，253。

（即消防站应建在24，98，194，211，253交叉路口）
4.3 问题三：
在已知消防车运行速度的前提下，我们将时间约束转换成最远距离约束，即最远行车距离为10000m 。

此时我们并不知道要在最远行车距离为10000m 的前提下，需要建设多少个消防站点才能覆盖全部点。

我们以最小消防站点个数为约束条件，建立优化模型：
min ∑
==
307
1
i j
y z
..t s
1307
1
=∑
=j ij z
0≤-j ij y z
10000
≤ij ij z d
用Lingo 软件编程求出在反应时间限制下，在该城市建立的最少消防站为2。

目标为使距离总和最小，所以得到的模型为：
min
∑∑===
3071
307
1
i j ij ij
z d
Z
..t s
2
307
1
=∑
=j j y (3-1)
10000≤ij ij z d (3-2)
≤-j ij y z (3-3)
1307
1
=∑=j ij
z
(3-4 )
模型说明：
约束（3-1）表示在图上建立两个消防站点
约束（3-2）表示Vj 消防站到服务点Vi 的最远距离为10000m 约束（3-3）在Vj 点建立消防站后它才能覆盖该区域内的点
约束（3-4）使p 中心问题得到最优，城市内每个点仅且仅被一个消防站覆盖
用Lingo 求解得到： j=84,143。

（即消防站应建在84和143交叉路口）
4.4 问题四：
首先，把各个部位对时间的约束转化为最远距离约束，即消防站点到其责任区内普通火灾现场的最远距离为5000m ，到三个重点部位火灾的时间约束，仍然转化为最远距离约束。

根据第四问中对普通部位反应时间5分钟及重点部位3分钟的限制，编制算法得到的最少消防站个数为5
m i n ∑
==
307
1
i i y z
s.t.
1307
1
=∑=j ij
z
0≤-j ij y z 5000≤ij ij z d 3000103103≤j j z d 3000123123≤j j z d 3000277277≤j j z d
求解的模型：
min ∑∑===
3071
307
1
i j ij ij
z d
Z
..t s
5307
1
=∑
=j j y
5000≤ij ij z d 3000≤ij ij z d
≤-j ij y z
1307
1
=∑=j ij
z
同样用lingo 求解得出：j=45，75，211，224，228（即消防站应建在第45，75，211，224，228交叉路口）。

4.5 问题五：
根据查阅的资料得到，消防车的速度最小值达到30km/h ，最大速度值可达到110km/h ，如森林消防车的速度一般为30km/h ，机场消防车的速度为
80~110km/h ，针对本题第五问，我们设置城市消防车的速度h km v /40≥，以此为最低值考虑消防车到达火警现场的时间t 的影响。

由物理学公式有：消防车行驶的距离t v s ⋅=，根据国家标准《城市消防规划规划》，消防车从出发到火警现场的时间不超过5分钟，对于某一城市，消防站的辖区面积一定，即可知消防车达到某一现场距离s 是确定的，即得到v 与t 成反比例关系，进而考虑影响速度的因素：
1：道路状况
其中城市道路的弯折度为主要影响因素，记其为h ，查阅资料，h 计算公式：
该两点的直线距离该两点的最小实际距离
辖区内任一点到消防站道路的弯折度=
对于确定的辖区内，设可能发生火灾部位的个数为n, 辖区内任一点到消防站的最小实际距离为),...,2,1(n i s i =,直线距离为
),...,2,1(n i l i =； ),...,2,1(n i l s h i
i
i ==
则该辖区平均道路的弯折度
),...,2,1(1n i n h
h n i i ==∑=，h 为道路的弯折度最终比较量。

h 越大，道路越弯折，平均速度v 越小，s 一定时，消防车到达火警现场的
时间越大。

2：交通拥堵情况，天气情况，驾驶员驾车技术等等都会对会通过速度来影响消防车到达火警现场的时间。

5 模型的分析
本论文针对五个问题，建立了四个模型。

第一问的模型考虑了图上的所有点，而不仅仅是图上的顶点，对应现实问题，相当于考虑了城市街道上的所有住户，而不仅仅是以往问题中的路口上的住户，这样得到的中心点更具有现实意义。

第二问所建立的多目标规划模型，考虑突发事件应急救援设施的选址决策目标时，宜采用多目标方法，并充分体现公共服务设施的公平性和效率性。

比一般的单目标规划模型更加具有灵活性和综合性。

第三问、第四问建立的都是根据消防站点责任区内最大行车距离建立的中位点选址模型，但是此模型要求知道图中最少需要建立的消防站点数目，故先建立了一个以最少站点数位约束目标函数的优化模型，求出需要的最少消防站点数。

这两个模型算法简洁，结果稳定，具有一定可推广性。

6 模型的评价
优点：1.模型本身不存在近似误差，计算误差由Lingo软件和计算机精度决定。

2.适用范围广，该模型适用于诸如医院急救站、巡逻警点等类似公共设施的规划建设，只需将参数或约束条件做相应修改即可。

3. 该模型易于推广普及，仅需一幅城市地图和相应的坐标信息，便可解决一类中位选址问题。

4.算法简单易懂，得到的结果稳定性好
缺点：
1.假设理想化，没有考虑到诸多因素如水源的影响，实际问题可能更加复杂化。

2. 只考虑了将消防站建立在交叉路口的情况，忽略了消防站可建立在路边的情形，所以得到的模型可能不是最优的模型。

7 参考文献
【1】王正东，数学软件与数学实验，北京：科学出版社，2004年
【2】邓佩，苏翔，时间约束下的运输网络最短路径研究，机电产品开发与创新，第19卷第一期：18-20，2006年
【3】韩伟一，王铮，Dijkstra 算法的一个改进，运筹与管理，第十三卷第6期：6-10，2004年
【4】李德宜，李明，数学建模，北京：科学出版社，2009年
【5】谢金星，薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件,北京：清华大学出版社，2005年。