半导体物理：3.2 能带

二、能带中电子的排布
晶体中的一个电子只能处在某个能带中的 某一能级上。
排布原则： 1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理
问：原子形成晶体时，电子如何排布呢？
1.孤立原子的一个能级形成晶体分裂成由 N条能级组成的能 带
能带的宽度 E～eV N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV
表示了不同的共有化运动状态。
k的取值和范围
设晶体在a1、a2、a3方向各有N
1、N
2、N
个原胞，
3
由周期性边界条件
k (r ) k (r N1a1 )
k
(r )
k
(r
N
2a2
)
k (r ) k (r N 3a3 )
k (r N1a1) k (r )
k
(r
N 1a1
)
意义。当波矢增加一个倒格矢
K
h
，平面波ei
(
k
K
h
)r
也满足上式。
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加
k
(r
)
a(k
K h )ei(k Kh )r
eikr
a(k Kh )eiKhr
h
h
设uk
(r )
a(k Kh )eiKhr
h
k
(r )
eikr
uk
(r )
(b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一 布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。
(c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带
(强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。
例：克朗尼格-朋奈模型
下面我们通过一个最简单的一维周期场------克朗尼格- 朋奈（Kroning-Penney）模型来说明 晶体中电子的能量特点。
布洛赫25岁师从海森堡， 书中证明其定理（哈密 顿量具有平移对称性， 引入平移算符平移算符 对易）
---布洛赫定理
可以证明布洛赫波函数具有如下形式：
k
r
eikr
uk
r
u r k
u k
r
Rn
一维下
k
(
x)
uk
(
x)eikx
uk (x) uk (x na)
其中n为整数，a为晶格常数。 Ψk(x)就称为布洛赫波函数。
绝缘体 金属 半金属 半导体 半导体
—— 晶体中的电子
满带 —— 电子占据了一个能带中所有的状态 空带 —— 没有任何电子占据（填充）的能带 导带 —— 一个能带中所有的状态并没有都被电子占满
即不满带，或说最下面的一个空带 价带 —— 导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带 禁带 —— 两个能带之间，不允许存在的能级宽度，
也称为带隙
可以看出平面波 eikr能满足上式。因此矢量 k具有波矢的
意义。当波矢增加一个倒格矢
K
h
，平面波ei
(
k
K
h
)r
也满足上式。
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加
k
(r
)
a(k
K h )ei(k Kh )r
eikr
a(k Kh )eiKhr
h
h
设uk
(r )
d 2 k
d2x
2m 2
E
U ( x) k
0
即可得到 uk ( x )满足的方程
d 2uk
d2x
2ik duk dx
2m 2
E U(x) k2
uk
0
利用波函数应满足的有限、单值、连续等物理 （自然）条件，进行一些必要的推导和简化， 最后可以得出下式
maU 0b
2
sin a
a
cos(a)
ny 2
Ly
其中
kz
nz 2
Lz
n n
x y
0,1,2
nz
由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每个能带中 共有N个能级，
------由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子， 所以每个能带可以容纳2N个电子。
－实际上也即每个初基晶胞恰好给每个能带贡献一个独立 的k值
——-- 各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没 有允许的能级
第四章 能带理论
第一步简化 —— 绝热近似：离子实质量比电子大，离子 运动速度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上
第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法，多电子 问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及 其它电子的平均场中运动
第三步简化 —— 所有离子势场和其它电子的平均场是周 期性势场
由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄；外层电子的能带较宽。
3.从 E ~ k 曲线还可以 看出： n 值越大，
相应的能带越宽。
k
n
2 Na
n
2 L
(n 0,1,2,)
由于晶体点阵常数 a 越小，相应于 k 值越大。
E
E7
3 2 a aa
布洛赫波函数不是动量算符的本征态意味着布洛赫电子没 有确定的动量，即电子在晶体中运动会不断地和晶格相互 作用，交换动量。
5)实际计算表明：对应一个波矢，一个 k 值通常对应的
不是一个本征值，而是一系列的本征值，即：
----即本征值构成能带结构
利用以上特点，可以画出在波矢空间近自由电子的能带。
E
3.通常只需分析外层电子
－若每个初基晶胞中含有一个一 价原子那么能带可被电子填满一 半 －若每个原子能贡献两个价电子， 那么能带刚好填满；初基晶胞中 若含有两个一价原子，能带也刚 好填满
第二允
许能带 B
禁带
第一允 A 许能带
-
a
B Eg
A
k
a
N个允许波矢
能量
如果除了一个或两个能带是几乎空着或几乎充满以外，其余所 有能带全部充满，则晶体就是半导体或半金属。
的周期 性函数，表明晶体中该电子出现的几率是周期性变 化的。这说明电子不局限于某一个原子，而具有从一个原子 “自由”运动到其它晶胞对应点的可能性，称之为电子在晶 体中的共有化运动。 布洛赫函数的平面波因子描述晶体中电子的共有化运动，而 周期函数的因子描述电子在原胞中运动，这取决于原胞中电 子的势场。
讨论：
1）布洛赫波函数Ψk(x)与自由电子波函数Ψ(x)形式相似，
都表示了波长是 k 2 / 、沿k方向传播的平面波；
但晶体中电子是周期性调制振幅uk(x)，而自由电子是恒定
振幅A；
2）自由电子|Ψ(x)Ψ(x)* |＝A2，即自由电子在空间等几 率
出 现，也就是作自由运动；而晶体中的电子
|Ψk(x)Ψk(x)* |＝ | uk(x)uk(x)* |，是与晶格同周期
3） 下面讨论本征值的特点
可以证明
k(r)
k
Kh(r
)
k(r) kKh(r)
K h 是倒格矢。
k 态和k K h 态
是同一电子态，即在倒格子空间具有周期性，而同
一电子态对应同一个能量，故
E(k) E(k K h ) 必须把波矢 k 的值限制在一个倒格子原胞区间内，即
第一布里渊区。
4）布洛赫波函数中波矢 k 也是一个量子数，不同的 k
U(x)
U0
b
x
0 ca
图 1 克朗尼格 - 朋奈模型
在 0 < x < a 一个周期的区域中，电子的势能为
0 U( x) U0
(0 x c) (c x a)
按照布洛赫定理，波函数应有以下形式
k ( x) ei k xuk ( x)
式中
uk ( x) uk ( x na)
将波函数 k ( x ) 代入薛定谔方程
3π a
2π a
π a
O
π 2π 3π aa a
E6
E5
允许带
E4
禁带
E3
允许带
E2
E1 允许带
k
(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。
—— 一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围 和布里渊区的对应关系
能带ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号
k的范围
k的长度
布里渊区
第一布里渊区
第二布里渊区
第三布里渊区
(b) 电子能带的三种图示法
胞数目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波
矢点的分布是准连续的。一个波矢对应的体积为：
b1 ( b2 b3 ) Ω* (2π)3 (2π)3 N1 N 2 N 3 N N Ω VC
一个波矢代表点对应的体积为：
(2π)3 VC
电子的波矢密度为： Vc
( 2 π) 3
自由电子的动量 k
2.一般填充规律： 孤立原子的内层电子能级一般都是填满的，在形成 固体时，其相应的能带也填满了电子。
孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也可能 未填满电子。若原来填满电子的，在形成固体时， 其相应的能带也填满电子。
若原来未填满电子的，在形成固体时，其相应的能 带也未填满电子。
若孤立原子中较高的电子能级上没有电子，在形成固 体时，其相应的能带上也没有电子。
晶体中的电子在晶格周期性的等效势场中运动
波动方程
[
2
2m
2
V(r)]
E
晶格周期性势场 V (r ) V (r Rn )
一、布洛赫电子特点
不管周期势场具体形式，周期势场运动的电子其波函数 必然满足布洛赫定理，上式的解必有下面的形式
(r
Rn
)
eik
Rn
(r
)
一个电子的波函数在不同格 点的对应点上只差相位因子，
e i k r N1 a1
uk
(r )
ei
k
N1
a1
ei
k
r
uk
(r
)
k (r )
eikN ja j
1
k l1b1 l 2 b2 l 3 b3
N1
N2
N3
aj
bi 2
bj
ki
2π
bi ,( 2
ij
i
,
1,2,3)
Ni 2
li
Ni 2
,(i
1,2,3)
在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原
则上式化为
uk (r Rn ) uk (r )
E
E7
3 2 a aa
E6
0
a
2 a
3 EEEEE41325 k
a
E ~ k 曲线的表达图式
2.
maU 0b
2
sin
a
a
cos(a) cos(ka)
E ~ k 曲线与 a 有关、与 U0b 乘积有关。 乘积 U0b 反映了势垒的强弱。
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。
f(E)
maU 0b
2
sin
a
a
cos(a) cos(ka）
E
1.由图看出，在允许取的 E
值（暂且称为能级）之间，
有一些不允许取的 E值（称
为能隙）
图中 为“许可的能量”， 称为能带*。
两个相邻能带之 间的能量区域称 为禁带。
晶体中电子的能量 只能取能带中的数 值，而不能取禁带 中的数值。
E6
0
a
2 a
EEEEE41325
3 k
a
E ~ k 曲线的表达图式
因此，晶体点阵常数 a 越小，能带的宽度就越大。有
的能带甚至可能出现重叠的现象。
二.能带中态和能填充的电子的数目
因一个布里渊区对应一个能带，只要知道一 个布里渊区内有多少个允许的k值就可以了。
三维立方体下
kx
nx 2
Lx
ky
cos(ka）
式中
2mE
maU 0b
2
sin a
a
cos(a)
cos(ka）
2mE
k 2 是电子波的波矢。
电子的能量 E 应满足的方程,也是电子能量 E与波矢 k 之 间的关系式。
左边是能量E 的一个较复杂的函数，记作 f(E)；
右边是波矢 k 的函数。由于 cos ka 1
所以使 f ( E ) 1 的 E 值都不满足方程。
kr
h a(k Kh )eiKhr
a(k Kh )ei(kKh )r
h
(r ) kKn
h
a(k Kn Kh )ei(kKn K h )r
h
a(k Kl )ei(kKl )r
令K n K h K l
l
(r) k
可以看出平面波 eikr能满足上式。因此矢量 k具有波矢的
a(k Kh )eiKhr
h
k
(r )
eikr
uk
(r )
则上式化为
uk (r Rn ) uk (r )
可以证明
k
(r )
k
Kn
(r )
证明：根据布洛赫定理
k
(r
)
e ik r
uk
(r ),
uk (r )
a(k Kh )eiKhr
k
(r
)
ei