衢州市2019中考数学第一轮总复习讲义：解直角三角形(二)

解直角三角形（二）
课前预习
(2019·嘉兴、舟山)如图，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的
仰角为α度，AC ＝7 米，则树高 BC 为 米(用含α
的代数式表示)．
浙江考情分析
典型例题：
例 1.(2019·乐山)如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上， 则 cos A 的值为(
)
A.
3 3
B.
5 5
C. 2 3
3 D. 2 5
5
变式：
1.(2019·兰州)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则 cos A ＝(
)
A.
5
2 B. 1 2
C. 2 5
5
D. 5 5
2.(2019·庆阳)在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足|cos A － 2 |－tan B )2＝0，则∠C 的大小是(
)
A ． 45°
B ． 60°
C ． 75°
D ．105°
例 2.(2019·武威) 如图①所示，将直尺摆放在三角尺 ABC 上， 使直尺与三角尺的边分别交于点 D ，E ，F ，G ，量得∠CGD ＝42°.
(1)求∠CEF 的度数； (2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角尺的顶点 B ，
交 AC 边于点 H ，如图②所示，点 H ，B 在直尺上的读数分别 为 4,13.4，求 BC 的长(结果保留两位小数)．(参考数据：sin 42° ≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
变式：
3 1.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，cos A ＝ ，则 BC 的 4
长是
.
2.如图，已知在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AE ⊥CD ，AE 分别与 CD ，CB 相交于点 H ，E ，AH ＝2CH .
(1)求 sin B 的值；
(2)如果 CD ＝ 5，求 BE 的值．
例 3.(2019·天水)2019 年 4 月 25 日 14 时 11 分，尼泊尔发生 8.1 级地震，震源深度 20 千米．中国救援队火速赶往灾区救 援，探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象．在废墟一 侧某面上选两探测点 A ，B ，AB 相距 2 米，探测线与该面的 夹角分别是 30°和 45°(如图)．试确定生命所在点 C 与探测面 的距离．(参考数据 2≈1.41， 3≈1.73)
变式：
1.河堤横断面如图所示，堤高BC＝6 米，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AB 的长为( )
A．12 米B．4 3米C．5 3米D．6 3米
2.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE，CF 固定电线杆．拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6 米处安置测角仪AB，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪AB 的高
为1.5 米，求拉线CE 的长．(结果保留根号)
随堂巩固 1．(2019·温州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC
＝3，则 cos A 的值是( )
A. 3 4
B. 4 3
C. 3 5
D. 4 5
2．(2019·丽水)如图，点 A 为∠α边上的任意一点，作 AC ⊥ BC 于点 C ，CD ⊥AB 于点 D ，下列用线段比表示 cos α的 值，错误的是( )
A.
B D BC
B. BC
C. AD AC
D. CD
3．(2019·衢州、丽水)如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比)，坝高 BC ＝3 m ，则坡面 AB 的长度是(
)
A ．9 m
B ．6 m
C ．6 3 m
D ．3
3 m
4．(2019·宁波)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距
离为9 m，则旗杆AB 的高度是(结果保留根号)．
5．(2019·宁波)如图，从A 地到B 地的公路需经过C 地，图中AC＝10 千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°.因城市规划的需要，将在A，B 两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB 的长；(2)
问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin 25°≈
0.42，cos 25°≈0.91，sin 37°≈0.60，tan 37°≈
0.75)
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题
1．对于不为零的两个实数m，n，我们定义：m⊗n＝
()
()
m n m n
n
m n
m
-
⎧
⎪
⎨
-<
⎪⎩
…
，那么函数y＝x⊗3的图象大致是
（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形EFGH，设AB＝a，BC＝b，若AH＝1，则（）
A．a2＝4b﹣4 B．a2＝4b+4 C．a＝2b﹣1 D．a＝2b+1
3．已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a-b=0，a-b+c>0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）
A.abc > 0
B.c < 3a
C.4a > c
D.a+b+c > 0
4．抛物线y＝x2向下平移一个单位，向左平移两个单位，得到的抛物线关系式为（）
A．y＝x2+4x+3 B．y＝x2+2x﹣1 C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣4x+3
5．如图，三角形OAB和三角形BCD是等腰直角三角形，点B、D在x轴上，∠ABO＝∠CDB＝90°，点A 在双曲线y=上，若△OAC 的面积为，则k的值为（）
A. B.- C.﹣9 D.﹣12
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（O，m）（2，m）（m＞0），与x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0．则下列结论：①若点（）是函数图象上一点，则y＞0；②若点是函数图象上一点，则y＞0；③（a+c）2＜b2．其中正确的是（）
A.①
B.①②
C.①③
D.②③
7．一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：
①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；
②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；
③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．
下列选项中，描述准确的是（）
A.①②正确，③错误
B.①③正确，②错误
C.②③正确，①错误
D.①②③都正确
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③
4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
9．计算2|＝（）
A． 1 B．1﹣C．﹣1 D．3
10．下列二次根式中是最简二次根式的是（）
A B C D
11．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
12．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）
A．141°B．144°C．147°D．150°
二、填空题
13．如图，△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，随机地向△ABC中内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是_____．
14．已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，∠A比∠C的2倍小30°，则∠C的度数是______
15x的取值范围是_____．
16．一组数据2，2，3，4，4的方差是_____．
17．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C＇处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC F 的周长之和是____________．
18．启明中学周末有20人去万达看电影，20张票分别为A区第6排1号到20号，分票采取随机抽取的办法，小亮第一个抽取，他抽取的座位号是10号，接着小颖从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小亮邻座的概率是______．
三、解答题
19．已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？
20．如图，等边△ABC中，P是AB上一点，过点P作PD⊥AC于点D，作PE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接ME，MD．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段BE，AD与AB的数量关系，并加以证明；
(3)求证：MD＝ME．
21．3x＝12，0.2y＝12，0.1z＝0，
∴对虾400亩，大黄鱼600亩，蛏子0亩；养植对虾的劳动力是12人，养殖大黄鱼的劳动力是12人，养殖蛏子的劳动力是0人．
【点睛】
（1）解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解；
（2）利用函数的单调性来解决实际问题．
22．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（
b
a
k
+，ka b
+）（其中k为常数，且
k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．
（1）点P（﹣3，4）的“2关联点”P′的坐标是_______________;
（2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为（3，9），请直接
．．写出k的值及点P的坐标；
（3）如图，点Q的坐标为（0，2 ），点A
在函数(0)
y x
x
=-<的图象上运动，且点A是点B
的“﹣关联点”，求线段BQ的最小值．
23．（1
）计算：
1
1
3tan30(1
2
-
︒
⎛⎫
--++
⎪
⎝⎭
（2）先化简，再求值
2
2
1122
121
x x x x
x x x x
---
⎛⎫
-÷
⎪
+++
⎝⎭
，其中，x满足x2﹣x＝1．
24．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+k的图象与反比例函数y=-
4
x
的图象交于点A（-4，n）和点B．
（1）求k的值和点B的坐标；
（2）若P是x轴上一点，且AP=AB，直接写出点P的坐标．
25．“足球运球”是中考体育必考项目之一兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．
（1）本次一共抽取了几名九年级学生？
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是几度？
（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？
【参考答案】***
一、选择题
13．1 4
14．70°15．x≥﹣1 16．8 17．6
18．
2 19
三、解答题
19．k＝8或10
【解析】
【分析】
因为方程有两个实根，所以△＞0，从而用k的式子表示方程的解，根据△ABC是等腰三角形，分AB＝
AC ，BC ＝AC ，两种情况讨论，得出k 的值． 【详解】
∵△＝[﹣(2k+2)]2﹣4(k 2+2k)＝4k 2+8k+4﹣4k 2﹣8k=4>0，
∴x ＝
()222
k --+⎡⎤⎣⎦，
∴x 1＝k+2，x 2＝k ，
设AB ＝k+2，BC ＝k ，显然AB≠BC， 而△ABC 的第三边长AC 为10，
(1)若AB ＝AC ，则k+2＝10，得k ＝8，即k ＝8时，△ABC 为等腰三角形； (2)若BC ＝AC ，则k ＝10，即k ＝10时．△ABC 为等腰三角形． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，公式法，解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解k 的值，从而证得△ABC 为等腰三角形． 20．(1)见解析；(2)AD+BE ＝1
2
AB ，理由见解析；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据题目要求，依据垂线和中点的概念作图即可得；
（2）由△ABC 是等边三角形知∠A=∠B=60°．结合PD ⊥AC ，PE ⊥BC 得∠APD=∠BPE=30°，据此知AD=
12AP ，AD=12AP ，再根据AD+BE=1
2
（AP+BP ）可得答案； （3）取BC 中点F ，连接MF ．知MF=12AC ，MF ∥1
2
AC ．据此得∠MFB=∠ACB=∠A=∠MFE=60°．从而知AM=
12AB ，AB=AC ，MF=MA ．根据EF+BE=12BC 得AD+BE=1
2
AB ．据此知EF=AD ．即可证△MAD ≌△MFE 得出答案． 【详解】
(1)补全图形如图：
(2)线段BE ，AD 与AB 的数量关系是：AD+BE ＝1
2
AB ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝60°． ∵PD ⊥AC ，PE ⊥BC ， ∴∠APD ＝∠BPE ＝30°， ∴AD ＝
12AP ，AD ＝1
2
AP ．
∴AD+BE ＝
12(AP+BP)＝1
2
AB ； (3)取BC 中点F ，连接MF ． ∴MF ＝
12AC ．MF ∥1
2
AC ， ∴∠MFB ＝∠ACB ＝60°， ∴∠A ＝∠MFE ＝60°， ∵AM ＝
1
2AB ，AB ＝AC ， ∴MF ＝MA ， ∵EF+BE ＝1
2BC ， ∴AD+BE ＝
1
2
AB ， ∴EF ＝AD ，
∴△MAD ≌△MFE(SAS)， ∴MD ＝ME ． 【点睛】
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形和直角三角形的性质、中位线定理及全等三角形的判定与性质等知识点． 21．无
22．（1）(-1,-2)； （2）3k =， P(1,6)或P(2,3)；（3）BQ
【解析】 【分析】
（1）根据题中的新定义求出点P （-3，4）的“2关联点”P′的坐标即可； （2）根据题中的新定义求出a 与b 的关系式即可； （3）设点B 的坐标为（m ，n ），从而表示出点A 的坐标（
m+n ），由点A
在函数
(0)y x x
=-
<的图象上可得到m 、n 之间的关系
m ．然后将BQ 2
用m 的代数式表示，根据二次函数的最值性，求出BQ 最小值． 【详解】 （1）∵x=-3+
4
2
=-1，y=2×（-3）+4=-2， ∴P′（-1，-2）；
（2）设P （a ，b ），则P′（b
a k
+
，ka+b ） ∴39
b a k ka b ⎧
+⎪⎨⎪+⎩＝＝， ∴k=3， ∴3a+b=9． ∵a 、b 为正整数
∴P′（1，6）、（2，3）； （3）设点B 的坐标为（m ，n ），
∵点A 是点B
∴点A 的坐标为（
，m+n ），
∵点A 在函数0)y x =<的图象上，
∴（
（m+n ），且0．
整理得：（
）2
=8．
∵
0，
∴
．
∴m ．
∴点B 的坐标为（m ，m ）． 过点B 作BH ⊥OQ ，垂足为H ，如图所示．
∵点Q 的坐标为（0，2），
∴QH 2
=（m ）2
=（m ）2
，BH 2
=m 2
． ∴BQ 2=BH 2+QH 2
=m 2+（m ）2
=3m 2m+4
=3（2+43
∵3＞0，
∴当BQ 2最小，即BQ 2 =4
3
．
∴． 【点睛】
本题考查了反比例图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识，考查了新定义下的阅读理解能力，有一定的综合性．
23．（1
）1-+（2）1
2
. 【解析】 【分析】
（1）按顺序先分别进行负整数指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值、零指数幂的运算、二次根式的化简，然后再按运算顺序进行计算即可；
（2）括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后由x 2
﹣x ＝1，得x 2
＝x+1，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】
（1
）1
013tan30(12-︒⎛⎫--+- ⎪⎝⎭
＝（﹣2
）﹣3×
3
＝（﹣2
＝﹣
（2）2
21122121x x x x
x x x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭
＝
()()()()()()
2
1111121x x x x x x x x x -+--++-
＝()()()
2
11121x x x x x x +-+-
＝
2
1
2x x +， ∵x 2﹣x ＝1， ∴x 2＝x+1， ∴原式＝
12
. 【点睛】
本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
24．（1）点B 的坐标是（1，-4）．（2）点P 的是坐标（3，0）或（-11，0）． 【解析】 【分析】
（1）将点A 的坐标带入反比例函数解析式中，求出n 值，再将A 点的坐标带入一次函数解析式中即可求出k 值，联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设出点P 的坐标为（m ，0）．根据两点间的距离公式表示出线段AP 和AB 的长度，根据AP=AB 得出关于m 的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】
解：（1）把A （-4，n ）代入4
y x
=-中， 得：n=-
4
4
-=1，
把A （-4，1）代入y=-x+k 中， 得：1=-（-4）+k ，解得：k=-3．
解方程组34.y x y x =--⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，得{41.x y =-=或{
14.x y ==-．
∴点B 的坐标是（1，-4）． （2）设点P 的坐标为（m ，0）．
则：
， ∵AP=AB
，
∴
m 2+8m-33=0， 解得：m 1=-11，m 2=3．
答：点P 的是坐标（3，0）或（-11，0）． 【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组；（2）找出关于m 的一元二次方程．本题属于基础题，难道不大，解决该题型题目时，结合数量关系找出方程（或方程组）是关键． 25．（1）40；（2）补图见解析；（3）117；（4）30人 【解析】 【分析】
（1）先根据B 等级人数及其百分比求得总人数； （2）求出C 组人数即可补全图形；
（3）总人数减去其他等级人数求得C 等级人数，继而用360°乘以C 等级人数所占比例即可得； （4）总人数乘以样本中A 等级人数所占比例可得． 【详解】
解：（1）总人数为18÷45%＝40人， 故答案为40．
（2）C 等级人数为40
﹣（4+18+5）＝13人， 补全条形图如下：
（3）则C 对应的扇形的圆心角是360°×13
40
＝117°， 故答案为：117；
（4）估计足球运球测试成绩达到A 级的学生有300×13
40
＝30人． 【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分
比大小．
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题
1．如果解关于x的分式方程
2
1
22
m x
x x
-=
--
时出现增根，那么m的值为
A．-2 B．2 C．4 D．-4
2．如图，在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，S△ABC=4，则S△ADE=（）
A.1
B.2
C.3
D.4
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a
1
2 >；④
b＞1，其中正确的结论个数是（）
A.1个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
4．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（）
A．
4.5
1
1
2
y x
y x
=+
⎧
⎪
⎨
=+
⎪⎩
B．
4.5
1
1
2
y x
y x
=+
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
C．
4.5
1
1
2
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=+
⎪⎩
D．
4.5
1
1
2
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
5．在一次数学测试后，随机抽取八(1)班5名学生的成绩(单位：分)如下：80,98，98,83,91，关于这组数据的说法错误
．．的是( )
A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56
6．在数列3、12、30、60……中，请你观察数列的排列规律，则第5个数是( )
A．75 B．90 C．105 D．120
7．一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（）
A．前一组数据的中位数是200
B．前一组数据的众数是200
C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200
D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去200
8．用简便方法计算，将98×102变形正确的是（ ） A ．98×102＝1002
+22
B ．98×102＝（100﹣2）2
C ．98×102＝1002﹣22
D ．98×102＝（100+2）2
9．如图，反比例函数y=
k
x
的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k 的值为（ ）
A ．6-
B ．5-
C ．4-
D ．3-
10．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出两个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ） A ．
16
B ．
14
C ．
13
D ．
12
11．抛物线y ＝（x+3）2﹣4的对称轴为（ ） A ．直线x ＝3
B ．直线x ＝﹣3
C ．直线x ＝4
D ．直线x ＝﹣4
12．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠DAB=60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为（ ）
A B ．C ．D ．二、填空题 13．如图，直线y ＝
1
5x ﹣1与x ，y 轴交于B 、A ，点M 为双曲线y k x
=上的一点，若△MAB 为等腰直角三角形，则k ＝_____．
14．已知关于x 的不等式2x+m ＞3的解如图所示，则m 的值为_____．
15．为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位
置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为2.0米，树的底部与平面镜的水平距离为8.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.6米，则树的高度约为________米．（注：反射角等于入射角）
16．如图，二次函数y=ax 2
+bx+c(a≠0)的图象与轴相交于点A 、B ，若其对称轴为直线x=2，则OB –OA 的值为_______．
17．命题“若a ＝b ，则a 3＝b 3．”是真命题．它的逆命题“若a 3＝b 3，则a ＝b”是_____（填真或假）命题．
18．如图，在三角板ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝6，将三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，当起始位置时的点B 恰好落在边A 1B 1上时，A 1B 的长为___．
三、解答题
19．吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y ＝25
45
x x --+的图象和性质进行了如下探究，请帮
他把探究过程补充完整
（1）该函数的自变量x 的取值范围是 ． （2）列表：
＝ ，＝ ．（3）描点、连线
在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x 为横坐标，y 为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：
（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：
①；
②．
20．如图，点A、B、C、D依次在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，已知BE∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）填空：若AD＝7，AB＝2.5，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，菱形BFCE的面积是．
21．某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：
y＝
20(05) 10100(520) x x
x x
⎧
⎨
+<
⎩
剟
…
（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？
（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？
22．如图，工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形；（厚度不计）
（1）当长方体底面面积为12平方分米时，裁掉的正方形边长为______分米；
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，且将容器的外表面进行防锈处理，其侧面处理费用为0.5元/平方分米，底面处理费用为2元/平方分米；求：裁掉的正方形边长为多大时，防锈处理总费用最低，最低为多少？
23．已知点A(﹣1，4)在反比例函数y＝k
x
的图象上，B(﹣4，n)在正比例函数y＝
1
2
x的图象上
(1)写出反比例函数y＝k
x
的解析式；
(2)求出点B的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠OCD＝90°，点D在第一象限，OC ＝6，DC＝4，反比例函数的图象经过OD的中点A．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．
25．为了庆祝“五四”青年节，我市某中学举行了书法比赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩（满分为100分），并制作成图表如下
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）这次随机抽查了名学生；表中的数m＝，n＝；
（2）请在图中补全频数分布直方图；
（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是；
（4）全校共有600名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？
【参考答案】***
一、选择题
13．4
14．5
15．4
16．4
17．真
18．
三、解答题
19．（1）一切实数（2）-
12，-52 （3）见解析（4）该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x ＝2对称
【解析】
【分析】
（1）分式的分母不等于零；
（2）把自变量的值代入即可求解；
（3）根据题意描点、连线即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【详解】
（1）由y ＝2545
x x --+知，x 2﹣4x+5≠0，所以变量x 的取值范围是一切实数． 故答案为：一切实数；
（2）m ＝251(1)452-=--++，n ＝25531252
-=--+， 故答案为：-12，-52
； （3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：
（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x ＝2对称．
故答案为：该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x ＝2对称
【点睛】
本题综合考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
20．（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
(1)证明△ABE ≌△DCF ，继而得到BE ＝CF ，再结合BE//CF 即可解决问题．
(2)利用全等三角形的性质证明AB ＝CD ，由菱形的性质求出EF 的长，即可解决问题．
【详解】
(1)∵BE ∥CF ，
∴∠EBC ＝∠FCB ，
∴∠EBA ＝∠FCD ，
在△ABE 和△DCF 中，
A D EBA FCD AE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△DCF(AAS)，
∴BE ＝CF ，
又∵BE//CF ，
∴四边形BFCE 是平行四边形；
(2)连接EF 交BC 于O ，如图所示：
∵△ABE ≌△DCF ，
∴AB ＝CD ，
∵AD ＝7，AB ＝DC ＝2.5，
∴BC ＝AD ﹣AB ﹣DC ＝2，
∵四边形BFCE 是菱形，∠EBD ＝60°，EF ⊥BC ，OB ＝
12BC ＝1，OE ＝OF ， ∴△CBE 是等边三角形，∠BEO ＝30°，
∴BE=BC ＝2，
∴OE =
∴EF ＝
∴菱形BFCE 的面积＝
12BC×EF＝12
故答案为：
【点睛】
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21．（1）小华第12天生产的帽子数量为220顶；（2）当x ＝14时，w 有最大值，最大值为576元；（3）第15天每顶帽子至少应提价0.2元．
【解析】
【分析】
（1）把220y =代入10100y x =+，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p 与x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W 与x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
（3）根据（2）得出115m +=，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a 与利润w 的关系式，再根据题意列出不等式求解即可
【详解】
解：（1）若20220x =，则11x =，与05x ≤≤不符，
∴10100220x +=，
解得:12x =，
故第12天生产了220顶帽子；
（2）由图象得，
当010x ≤≤时， 5.2P =；
当1020x ≤＜时，设0p kx b k =+≠（），
把105.2206.2（，）,(，）代入上式，得
10 5.220 6.2k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得，0.14.2k b =⎧⎨=⎩
， ∴0.1 4.2p x =+
①05x ≤≤时，(8)20(8 5.2)56w y p x x =-=-=
当5x =时，w 有最大值为280w =（元）
②510x ≤＜时，(8)1010085.2)28280w y p x x =-=
+⨯=+（）（﹣，当10x =时，w 有最大值，最大值为560（元）；
③1020x ≤＜时，2
(8)1010080.1 4.2[]28380w y p x x x x =-=
+=--+++（）（） 当14x =时，w 有最大值，最大值为576（元）．
综上，当14x =时，w 有最大值，最大值为576元．
（3）由（2）小题可知，14115m m =+=，，设第15天提价a 元，由题意得 (8)1010080.1 4.22502.[]3w y a p x a x a ==+-=++-++（）（）（）
∴250
2.3)57649a +-≥（ ∴0.2a ≥
答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元．
【点睛】
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
22．（1）裁掉的正方形的边长为2dm ；（2）裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．
【解析】
【分析】
(1)由设裁掉的正方形的边长为xdm ，用x 的代数式表示长方体底面的长与宽，再根据矩形的面积公式列出方程，可求得答案；
(2)由条件“制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍“列出不等式，可求得x 的取值范围，用x 可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．
【详解】
(1)设裁掉的正方形的边长为xdm ，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x 2
-8x+12=0，
解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉的正方形的边长为2dm ；
(2)设总费用为y 元，
则y=2(10-2x)(6-2x )+0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]
=4x 2-60x+192
=4(x-7.5)2-33，
又∵12-2x≤5(8-2x)，
∴x≤3.5，
∵a=4＞0，
∴当x ＜7.5时，y 随x 的增大而减小，
∴当x=3.5时，y 取得最小值，最小值为31，
答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，矩形的面积计算，列代数式．正确列代数式和找出等量关系列方程，求二次函数的最值的方法是本题的关键．
23．(1)
4
y
x
=；(2)点B的坐标为：(﹣4，﹣2)．
【解析】【分析】
(1)把A(﹣1，4)代入反比例函数y＝k
x
即可求解；
(2) 把B(﹣4，n)代入正比例函数y＝1
2
x即可求解.
【详解】
解：(1)∵点A(﹣1，4)在反比例函数y＝k
x
的图象上，
∴k＝(﹣1)×4＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为：
4
y
x =．
(2)∵B(﹣4，n)在正比例函数y＝1
2
x的图象上，
∴1
2
×(-4)=n，
∴n＝﹣2，
即点B的坐标为：(﹣4，﹣2)．
【点睛】
本题考查的是反比例函数和正比例函数，熟练掌握两者是解题的关键.
24．（1）
6
y
x
=；（2）13
3
=-+
y x.
【解析】
【分析】
（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得．【详解】
解：（1）∵∠OCD＝90°，点D在第一象限，OC＝6，DC＝4，∴D（6，4），
∵OD的中点为点A，
∴A（3，2）；
设反比例函数解析式为
k
y
x =，
那么k＝3×2＝6，
∴该反比例函数的解析式为
6
y
x =；
（2）在
6
y
x
=中，当x＝6时，y＝1，
则点B（6，1），
设直线AB解析式为y＝mx+n，（m≠0）,代入A,B坐标得,
则
32 61 m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
1
3
3
m
n
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线AB解析式为y＝﹣1
3
x+3．
【点睛】
本题主要考查用待定系数法求反比例函数解析式，中等难度,解题的关键是掌握待定系数法求解析式的方法．
25．（1）200；90，0.3；（2）补图见解析；（3）54°；（4）240人
【解析】
【分析】
（1）根据60≤x＜70的频数及其频率求得总人数，进而计算可得m、n的值；
（2）根据（1）的结果，可以补全直方图；
（3）用360°乘以样本中分数段60≤x＜70的频率即可得；
（4）总人数乘以样本中成绩80≤x＜100范围内的学生人数所占比例．
【详解】
解：（1）本次调查的总人数为30÷0.15＝200人，
则m＝200×0.45＝90，n＝60÷200＝0.3，
故答案为：200、90、0.3；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是360°×0.15＝54°，
故答案为：54°；
（4）600×6020
200
+
＝240，
答：估计该校成绩不低于80分的学生有240人．
【点睛】
本题考查条形统计图、图表等知识．结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．。