5月重庆市长寿区川维片区中考数学模拟试卷含答案解析

重庆市长寿区川维片区中考数学模拟试卷(5月份)
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）下列说法，你认为正确的是（）
A．0的倒数是0 B．3﹣1=﹣3 C．π是有理数D．是有理数
2．（4分）有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（4分）下列计算正确的是（）
A．﹣5x﹣2x=﹣3x B．（a+3）2=a2+9 C．（﹣a3）2=a5D．a2p÷a﹣p=a3p 4．（4分）下列命题中，真命题的个数有（）
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
④内错角相等，两直线平行．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（4分）估计2﹣2的值介于下列哪两个整数之间（）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
6．（4分）同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（）
A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x=﹣4，或x=2 C．x=﹣4 D．x=2
7．（4分）已知△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC边上一点，连接AF交DE于点G．下列结论一定正确的是（）
A．=B．=C．=D．=
8．（4分）设x＜0，x﹣=，则代数式的值（）
A．1 B．C．D．
9．（4分）在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB最大，则x=（）
A．3 B．0 C．4 D．
10．（4分）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有（）个“•”．
A．90 B．91 C．110 D．111
11．（4分）如图，已知点A是反比例函数y=的图象在第一象限上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC使点C落在第二象限，且边BC交x轴于点D，若△ACD与△ABD的面积之比为1：2，则点C的坐标为（）
A．（﹣3，2）B．（﹣5，） C．（﹣6，） D．（﹣3，2）
12．（4分）已知关于x的方程﹣=1的解为负数，且关于x、y的二元一次方程组的解之和为正数，则下列各数都满足上述条件a的值的是（）
A．，2，5 B．0，3，5 C．3，4，5 D．4，5，6
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）请你算一算：如果每人每天节约1粒大米，全国13亿人口一天就能节约千克大米！（结果用科学记数法表示，已知1克大米约52粒）14．（4分）计算：2﹣1﹣=
15．（4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度为米．
16．（4分）春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为．
17．（4分）A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶．甲车先出发40分钟后，乙车才出发．途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有千米．
18．（4分）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC=72°，点F在AB上，满足DE=DF，则∠CEF的度数为．
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
19．（8分）如图，已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是CB延长线上一点，且∠DEC=∠DCE，F是AC上一点且DF∥BC，若∠A=60°．求证：EB=AD．
20．（8分）某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
四．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）
21．（10分）（1）解不等式组：
（2）化简：（﹣2）•．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函双y=（m≠0）的阳象交于点c（n，3），与x轴、y轴分别交于点A、B，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，若tan∠CAM=，OA=2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点D是反比例函数图象在第三象限部分上的一点，且到x轴的距离是3，连接AD、BD，求△ABD的面积．
23．（10分）为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，康福特公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．（1）康福特公司每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；
（2）市政府经过招标，决定年内采购并安装康福特公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健
身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元，A型健身器材最多可购买多少套？
24．（10分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A 方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）
（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD 交于F，连BF．当0＜t＜6时：
①求∠AFC的度数；
②求的值；
（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．
25．（10分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另
一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
重庆市长寿区川维片区中考数学模拟试卷(5月份)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）下列说法，你认为正确的是（）
A．0的倒数是0 B．3﹣1=﹣3 C．π是有理数D．是有理数
【解答】解：A、0没有倒数，错误；
B、，错误；
C、π是无理数，错误；
D、=3是有理数，正确；
故选：D．
2．（4分）有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：C．
3．（4分）下列计算正确的是（）
A．﹣5x﹣2x=﹣3x B．（a+3）2=a2+9 C．（﹣a3）2=a5D．a2p÷a﹣p=a3p
【解答】解：A、﹣5x﹣2x=﹣7x，故此选项错误；
B、（a+3）2=a2+6a+9，故此选项错误；
C、（﹣a3）2=a6，故此选项错误；
D、a2p÷a﹣p=a3p，正确．
故选：D．
4．（4分）下列命题中，真命题的个数有（）
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
④内错角相等，两直线平行．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是真命题．
②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是真命题．
③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补是假命题．
④内错角相等，两直线平行是真命题．
故选：B．
5．（4分）估计2﹣2的值介于下列哪两个整数之间（）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【解答】解：∵3＜＜3.5，
∴2＜﹣1＜2.5，
∴4＜2﹣2＜5，
即2﹣2在4和5之间，
故选：C．
6．（4分）同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（）
A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x=﹣4，或x=2 C．x=﹣4 D．x=2
【解答】解：由题意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2﹣9=0，
（x+2）（x+4）≠0，x+1=3或﹣3，
x≠﹣2且x≠﹣4，x=2或x=﹣4，
∴x=2，故选D．
7．（4分）已知△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC边上一点，连接AF交DE于点G．下列结论一定正确的是（）
A．=B．=C．=D．=
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADG∽△ABF，
△AEG∽△ACF，
∴，
∴，
故选：C．
8．（4分）设x＜0，x﹣=，则代数式的值（）
A．1 B．C．D．
【解答】解：∵x﹣=，
∴（x）2=5，
∴x2+=7，
∴（x+）2=x2+2+=9，
∵x＜0，
∴x+=﹣3，
∴x2+1=﹣3x，
∴x4+1=7x2，
∵（x2+）2=x4+2+，
∴x4+=47，
∴x8+1=47x4，
∵x3+=（x+）（x2﹣1+），
∴x3+=﹣18，
∴x6+1=﹣18x3，
∴原式=
=
=
=
=
故选：B．
9．（4分）在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB最大，则x=（）
A．3 B．0 C．4 D．
【解答】解：如图，以AB为弦作圆C与x轴相切，切点为P．
在x轴上选取一个异于点P的任一点，例如P'点，连接AP、BP、AP′、BP′，则必有∠1=∠2＞∠3．
故此时∠APB最大．
连接CP，则CP⊥x轴，所以C点横坐标与P点横坐标相等．设点C（x，y）．
∵CP=CA=CB，
∴y2=x2+（y﹣4）2=（x﹣3）2+（y﹣8）2，
由y2=x2+（y﹣4）2，得8y=x2+16 ①，
由y2=（x﹣3）2+（y﹣8）2，得x2﹣6x+73﹣16y=0 ②，
①代入②，整理得x2+6x﹣41=0，
解得x1=5﹣3，x2=﹣5﹣3（不合题意舍去）．
故选：D．
10．（4分）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有（）个“•”．
A．90 B．91 C．110 D．111
【解答】解：由图形可知：
n=1时，“•”的个数为：1×2+1=3，
n=2时，“•”的个数为：2×3+1=7，
n=3时，“•”的个数为：3×4+1=13，
n=4时，“•”的个数为：4×5+1=21，
所以n=n时，“•”的个数为：n（n+1）+1，
n=10时，“•”的个数为：10×11+1=111．
故选：D．
11．（4分）如图，已知点A是反比例函数y=的图象在第一象限上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC使点C落在第二象限，且边BC交x轴于点D，若△ACD与△ABD的面积之比为1：2，则点C的坐标为
（ ）
A ．（﹣3，2）
B ．（﹣5，）
C ．（﹣6，）
D ．（﹣3，2）
【解答】解：如图，作CM ⊥OD 于M ，AE ⊥OD 于E ，作DF ⊥AB 于F ，连接CO ，
根据题意得：AO=BO
∵S △ACD ：S △ADB =1：2
∴CD ：DB=1：2即DB=2CD
∵△ABC 为等边三角形且AO=BO
∴∠CBA=60°，CO ⊥AB 且DF ⊥AB
∴DF ∥CO ∴
∴DF=CO ，BF=BO ，即FO=BO
∵∠CBA=60°，CO ⊥AB
∴CO=BO ∴DF=BO
∵∠DOF=∠AOE ，∠DFO=∠AEO=90°
∴△DFO ∽△AOE
∴
∴AE=2OE
∵点A是反比例函数y=的图象在第一象限上的动点
∴AE×OE=2
∴AE=2，OE=1
∵∠COM+∠AOE=90°，∠AOE+∠EAO=90°
∴∠COM=∠EAO，且∠CMO=∠AEO=90°
∴△COM∽△AOE
∴CM=，MO=6
且M在第二象限
∴M（﹣6，）
故选：C．
12．（4分）已知关于x的方程﹣=1的解为负数，且关于x、y的二元一次方程组的解之和为正数，则下列各数都满足上述条件a的值的是（）
A．，2，5 B．0，3，5 C．3，4，5 D．4，5，6
【解答】解：﹣=1，
去分母得：a﹣3=x+3，（a≠3），
x=a﹣6，
由题意得a﹣6＜0，
a＜6且a≠3，
，
①+②得：5x=5a+15，
x=a+3③，
把③代入①得：2（a+3）﹣y=7，
y=2a﹣1，
∴x+y=a+3+2a﹣1=3a+2＞0，
∴a＞﹣，
则a的取值为：﹣＜a＜6，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）请你算一算：如果每人每天节约1粒大米，全国13亿人口一天就能节约 2.5×104千克大米！（结果用科学记数法表示，已知1克大米约52粒）【解答】解：1 300 000 000÷52÷1 000（千克）=25 000（千克）=2.5×104（千克）．
故填2.5×104．
14．（4分）计算：2﹣1﹣=﹣2
【解答】解：原式=﹣3=﹣2，
故答案为：﹣2
15．（4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度为6+29米．
【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：
则GH=DE=15米，EG=DH，
∵梯坎坡度i=1：，
∴BH：CH=1：，
设BH=x米，则CH=x米，
在Rt△BCH中，BC=12米，
由勾股定理得：x2+（x）2=122，
解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，
∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），
∵∠α=45°，
∴∠EAG=90°﹣45°=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴AG=EG=6+20（米），
∴AB=AG+BG=6+20+9=（6+29）m．
故答案为：6+29．
16．（4分）春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为23.4．
【解答】解：将这5天的人数从小到大排列为21.9、22.4、23.4、24.9、25.4，
所以这五天游客数量的中位数为23.4，
故答案为：23.4．
17．（4分）A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶．甲车先出发40分钟后，乙车才出发．途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有90千米．
【解答】解：由题意可得，
甲车的速度为：30÷=45千米/时，
甲车从A地到B地用的时间为：240÷45=5（小时），
乙车刚开始的速度为：[45×2﹣10]÷（2﹣）=60千米/时，
∴乙车发生故障之后的速度为：60﹣10=50千米/时，
设乙车发生故障时，乙车已经行驶了a小时，
60a+50×（）=240，
解得，a=，
∴乙车修好时，甲车行驶的时间为：=小时，
∴乙车修好时，甲车距B地还有：45×（5）=90千米，
故答案为：90．
18．（4分）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC=72°，点F在AB上，满足DE=DF，则∠CEF的度数为54°或144°．
【解答】解：如图，当点F在BD上时，
∵Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，
∴DC=AB=DB，
∴∠CDB=180°﹣2∠B，
∵DE=DF，
∴△DEF中，∠DFE=（180°﹣∠EDF）
=（180°﹣∠EDC﹣∠CDB）
=（108°﹣∠CDB）
=54°﹣∠CDB
=54°﹣（180°﹣2∠B）
=∠B﹣36°，
∵∠CEF是△AEF的外角，
∴∠CEF=∠A+∠AFE
=90°﹣∠B+∠B﹣36°
=54°，
当点F'在AD上时，由DF=DE=DF'，可得∠FEF'=90°，∴∠CEF'=∠CEF+∠FEF'=54°+90°=144°，
故答案为：54°或144°．
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
19．（8分）如图，已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是CB延长线上一点，且∠DEC=∠DCE，F是AC上一点且DF∥BC，若∠A=60°．求证：EB=AD．
【解答】证明：∵DF∥BC，
∵∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，
∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，
∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，
∴AD=DF，
∵∠DEC=∠DCE，
∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，
在△DBE和△CFD中，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD．
20．（8分）某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统
计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有200人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
【解答】解：（1）∵A是36°，
∴A占36°÷360=10%，
∵A的人数为20人，
∴这次被调查的学生共有：20÷10%=200（人），
故答案为：200；
（2）如图，C有：200﹣20﹣80﹣40=60（人），
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况，
∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为：=．
四．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）
21．（10分）（1）解不等式组：
（2）化简：（﹣2）•．
【解答】解：（1）解不等式＜1，得：x＜5，
解不等式2x+16＞14，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜5；
（2）原式=（﹣）•
=•
=．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函双y=（m≠0）的阳象交于点c（n，3），与x轴、y轴分别交于点A、B，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，若tan∠CAM=，OA=2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）点D是反比例函数图象在第三象限部分上的一点，且到x轴的距离是3，连接AD、BD，求△ABD的面积．
【解答】解：（1）∵在直角△ACM中，tan∠CAM==，CM=3，
∴AM=4，
∴OM=AM﹣OA=4﹣2=2．
∴n=2，
则C的坐标是（2，3）．
把（2，3）代入y=得m=6．
则反比例函数的解析式是y=；
根据题意得，
解得，
则一次函数的解析式是y=x+；
（2）在y=中令y=﹣3，则x=﹣2．
则D的坐标是（﹣2，﹣3）．
AD=3，
=×3×2=3．
则S
△ABD
23．（10分）为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费
提供给社区，经考察，康福特公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．（1）康福特公司每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；
（2）市政府经过招标，决定年内采购并安装康福特公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元，A型健身器材最多可购买多少套？
【解答】解：（1）依题意得：2.5（1﹣n）2=1.6，
则（1﹣n）2=0.64，
所以1﹣n=±0.8，
所以n1=0.2=20%，n2=1.8（不合题意，舍去）．
答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%；
（2）设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，
依题意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，
整理，得1.6m+96﹣1.2m≤1.2，
解得m≤40，
即A型健身器材最多可购买40套．
24．（10分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A 方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）
（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD
交于F，连BF．当0＜t＜6时：
①求∠AFC的度数；
②求的值；
（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．
【解答】解：（1）如图1，
由题可得BD=CE=t．
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．
在△BDC和△CEA中，
，
∴△BDC≌△CEA，
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，
∴∠AFC=120°；
②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，
∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA，
∴△FAG是等边三角形，
∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠GAF=∠BAC，
∴∠GAB=∠FAC．
在△AGB和△AFC中，
，
∴△AGB≌△AFC，
∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，
∴∠BGF=60°．
设AF=x，FC=y，
则有FG=AF=x，BG=CF=y．
在Rt△BHG中，
BH=BG•sin∠BGH=BG•sin60°=y，
GH=BG•cos∠BGH=BG•cos60°=y，
∴FH=FG﹣GH=x﹣y．
在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2
=（y）2+（x﹣y）2=x2﹣xy+y2．
∴==1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，
由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6．
∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=BE•cosB=BE=6﹣t，
∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，
∴DN=EC．
∵△DEM是等边三角形，
∴DE=EM，∠DEM=60°．
∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，
∴∠NDE=∠MEC．
在△DNE和△ECM中，
，
∴△DNE≌△ECM，
∴∠DNE=∠ECM=90°，
∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．
当t=3时，E在点B，D在AB的中点，
此时CM=EN=CD=BC•sinB=6×=3；
当t=6时，E在点C，D在点A，
此时点M在点C．
∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．
25．（10分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明
理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，
任意一个“极数”都是99的倍数，
理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x 是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），
∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99（100﹣10y﹣x），
∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，
∴100﹣10y﹣x是整数，
∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，
即：任意一个“极数”都是99的倍数；
（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴m=99（100﹣10y﹣x），
∵m是四位数，
∴m=99（100﹣10y﹣x）是四位数，
即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，
∵D（m）==3（100﹣10y﹣x），
∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303
∵D（m）完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，
∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，
∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．
五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），
∴m=﹣1，
∴直线l的解析式为y=x﹣1，
∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），
∴n=×4﹣1=2，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；
（2）令y=0，则x﹣1=0，
解得x=，
∴点A的坐标为（，0），
∴OA=，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB===，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，
∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，
∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），
∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，
∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，
∴当t=2时，p有最大值；
（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，
①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，
解得x=，
②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，
∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，
解得x=﹣，
综上所述，点A1的横坐标为或﹣．。