十五届华杯赛试题Microsoft Word 文档 (3)
第十五届“华杯赛”小学组初赛试题
试析生态环境保护与经济发展的关系【摘要】生态环境保护与经济发展密不可分，相互影响。
生态环境保护对经济发展有积极促进作用，保护生态环境能够提高资源利用效率、减少环境治理成本，有利于生态环境的可持续发展。
经济发展对生态环境保护也有一定影响，过度开发可能导致资源枯竭和环境恶化。
生态环境保护和经济发展需要协调发展，政府应采取有效措施加强生态环境管理，企业应担负起社会责任，推动生态环境保护工作，社会也需要积极参与。
只有实现生态环境和经济的良性循环，才能实现可持续发展。
未来，需要更加注重生态环境保护与经济发展的协同促进，实现经济繁荣与生态环境共赢。
【关键词】关键词：生态环境保护、经济发展、影响、协调发展、政府措施、企业责任、社会参与、可持续发展、协同促进1. 引言1.1 定义生态环境保护和经济发展定义生态环境保护和经济发展是现代社会面临的重要课题之一。
生态环境保护是指对自然资源环境进行有效管理和保护，以维护人类生存和发展的基础。
它包括空气、水、土壤等自然资源的保护，以及生物多样性的维护和恢复。
而经济发展则是指一个国家或地区经济总量的增长和经济结构的优化调整，旨在提高人民生活水平，实现国家繁荣和稳定。
生态环境保护和经济发展之间存在着密切的联系和相互作用。
只有在有效保护生态环境的前提下，才能实现可持续的经济增长和社会发展。
经济发展也需要依赖于健康的生态环境，否则经济发展就会遭受自然资源的枯竭和生态环境的恶化而受到限制。
生态环境保护和经济发展是相辅相成、相互促进的关系。
在当前环境问题日益严峻的情况下，加强生态环境保护并促进经济可持续发展已经成为全球共识。
1.2 重要性生态环境保护与经济发展之间的关系是十分重要的。
生态环境是人类生存和发展的基础，没有良好的生态环境，经济发展也将受到威胁。
生态环境的破坏会导致空气污染、水资源短缺、土壤退化等问题，直接威胁到人类的生存和健康。
经济发展是社会进步和人民生活水平提高的重要保障，但过度的经济发展也会带来生态环境问题，如能源消耗过大、污染排放增加等，对生态环境造成破坏。
第十五届“华杯赛”总决赛团体赛(口试)试题答案
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛团体赛(口试)试题解答上半场题1（开场共答1）15++=⨯⨯华杯赛少俊金坛论数上面的算式中, 不同的汉字代表1~9中的不同数字, 当三位数“华杯赛”取得最大值时, 请你写出一种使等式成立的填数法.【答案】97515284613=⨯++⨯ 或97515.164328=⨯++⨯ 【解答】由15++=⨯⨯华杯赛少俊金坛论数可知, 华杯赛被15整除. 要求三位数“华杯赛”取得最大值, 我们从最大的被15整除的3位数进行筛选:990, 975, 960, 945, 930, 915, ……最大的合要求的是975, 而975 ÷ 15 = 65, 也就是++⨯⨯少俊金坛论数=65.容易由1, 2, 3, 4, 6, 8试凑得: 2×8+46+1×3=65. 于是得出合于题目要求的如下填数法,97515284613=⨯++⨯.或试凑1×6+43+2×8=65, 得97515.164328=⨯++⨯图A-57图A-56【解答】 因为正六边形的一个内角为120, 是一个周角的1.3所以, 以正六边形的顶点为圆心、正六边形的边长为半径的圆弧, 等于1厘米. 阴影部分周长可以拼接为2个圆周, 所以是6厘米.题3（必答A1）班级小书架共有12本科普读物.据统计, 数学小组的每个成员恰借阅过其中的两本, 而每本科普读物都恰被3名数学小组的成员借阅过. 问：这个数学小组共有多少人？ 【答案】18人.【解答】 因为小书架共有12本科普读物, 而每本科普读物都恰被3名数学小组的成员借阅过. 所以共被借阅12336⨯=（人次）. 设数学小组共有x 名成员, 由于每个成员恰借阅过其中的两本科普读物, 所以共被借阅2x 人次.因此 236x =,18x =.题4（必答A2）如图A-57, 有一个圆和三个正方形. 中间正方形的顶点在圆上, 圆与最大正方形的交点以及最小正方形的顶点都是所在线段的中点. 最大正方形的面积是12平方厘米, 问: 最小正方形的面积是多少平方厘米？【答案】3平方厘米.【解答】如图A-58, 绕中心O 旋转圆面, 使得点P 重合于E , 于是点Q 重合于F , 点S 重合于G , 点T 重合于H .成右图. 容易看出,图A-59图A-601111112322244IJKL PQST ABCD ABCD S S S S ⎛⎫====⨯= ⎪⎝⎭（平方厘米）. 题5（必答A3）国家规定年满18周岁不超过70周岁的成人才有资格申请机动车驾驶证.小学六年级的学生李明说:“我老爸有汽车驾照, 他的年龄数与生辰月、日数的乘积为2975”, 请问李明的父亲多少岁? 【答案】35.【解答】17535177252975⨯⨯=⨯⨯=, 由于月份数取1~12的自然数, 日期数取1~31的自然数, 所以, 李明父亲要么是25岁, 7月17日生, 要么是35岁, 5月17日生.由于李明已经小学六年级, 他老爸不可能25岁, 所以李明父亲的年龄是35岁.题6（必答A4）如图A-59, D 是BC 边上一点, 且2,BD DC = DP//CA . 三角形APD 的面积为14cm 2, 问三角形ABC 的面积是多少cm 2.【答案】63cm 2.【解答】连结PC , 见图A-60. 因为 DP//CA , 所以14PCD APD S S ∆∆==.又因为2,BD DC = 所以21428PBD S ∆=⨯=( cm 2). 所以281442ABD PBD APD S S S ∆∆∆=+=+=( cm 2).因此,33426322ABC ABD S S ∆∆=⨯=⨯= ( cm 2).题7（必答A5）如果一个自然数既能写成两个连续自然数之和也能写成三个连续自然数之和, 就称为一个“好数”. 请找出2007, 2008, 2009, 2010, 2011图A-62图A-61中的“好数”. 【答案】2007.【解答】 易知：一个数为“好数”, 当且仅当它是一个奇数且能被3整除. 因此, 2007是“好数”, 而2008, 2010不是“好数”, 因为它们不是奇数, 2009, 2011也不是“好数”, 因为它们不能被3整除．事实上, 2007=1003+1004=668+669+670, 符合“好数”的定义. 题8（必答A6）如图A-61, 大正六边形的面积是1平方厘米, 问绿色正六边形的面积是多少平方厘米?【答案】31平方厘米.【解答】由正六边形的性质, 图A-62中阴影跳棋盘部分被分成12个边长相等的正三角形. 而图中未着色的6个三角形都是等腰三角形, 其中一个角为120, 两个底角为30. 腰长等于小正三角形的边长. 因此未着色的三角形的面积等于小正三角形的面积. 正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是正六边形ABCDEF 的31186=. 故正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是31平方厘米. 题9（必答A7）袋里的红球占袋中总球数的167；再往袋里放入40个红球后, 红球占总数的43. 问最后袋里共有多少个球？ 【答案】72个.【解答】设最后袋里共有球x 个, 则根据题设, 有4340167)40(⨯=+⨯-x x , 即图A-63图A-64图A-657(40)16401272.x x x ⨯-+⨯==，题10（必答A8）图A-63中所标出的10个角的度数总和是多少?【答案】1080︒.【解答】图A-64中, 阴影四边形的内角和是360, 这样四边形有5个, 度数和是1800；其中围绕中间的五边形 ABCDE 顶点的10个角度数的和恰是这个五边形外角和360的2倍, 故图中所求的10个内角和是180023601080-⨯=.题11（群答2）将分别写有华、杯、赛、好的四张卡片, 选出其中三张, 字面朝下依次摆在桌子上.甲、乙、丙三人分别猜每张卡片上是什么字, 猜的情况如下：第一张 第二张 第三张 甲 华 杯 赛 乙 华 好 杯 丙赛华好结果是一人全对, 一人全错, 另外一人只对一个. 请指出全猜错的是谁. 【答案】丙.【解答】全对的只能是甲(或乙), 只对一个的是乙（或甲）（因为甲、乙两人第一张猜到同样的结果）, 因此, 全错是丙.题12（群答3）如图A-65, A 是邮局, B , C , D , E , F 是5户人家. 相邻两家的路程如图所标示. 邮递员从邮局出发要给这5户人家送信（每家都有信）, 要求最后把信送到D 户. 问：邮递员走的最短路程是多少米？图A-66图A-68【答案】500米.【解答】100100100100100.A B C F E D −−→−−→−−→−−→−−→题13（共答2）在3×3×3的正方体玻璃支架上有27 个单位立方体空格.每个单位立方体空格中至多放有一个彩球. 要使主视图、俯视图、左视图都如图A-66中所示. 问正方体支架上至少需放多少个彩球？请你放置出来. 【答案】9个. 一种放法如图A-67.题14（必答B1）如图A-68, 在正方形ABCD 中, 正方形AMOP 的面积是8平方厘米, 正方形CNOQ 的面积是24.5平方厘米. 问：正方形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【答案】60.5平方厘米.【解答】因为正方形AMOP 的面积是8平方厘米, 所以对角线AO = 4厘米, 正方形CNOQ 的面积是24.5平方厘米, 所以对角线OC =7厘米. 因此正方形ABCD 的对角线等于 4 + 7 = 11厘米.所以正方形ABCD 的面积=5.6011212=⨯平方厘米.图A-67图A-69图A-70题15 （必答B2）在两个□中分别填入整数, 使得 7⨯□5+⨯□11111= 成立, 请你回答, 两个□中填入的整数之和能等于偶数吗? 试说明理由. 【答案】不能.【解答】设两个□中填入的整数分别为,x y , 若x y +等于偶数, 则,x y 奇偶性相同. 若,x y 同为奇数, 则7,5x y 都为奇数, 75x y +为偶数, 不能等于11111；若,x y 同为偶数, 则7,5x y 都为偶数, 75x y +也为偶数, 也不能等于11111. 综上可知, 两个□中填入的整数之和不能等于偶数.题16（必答B3） 如图A-69, MN 是面积为76平方厘米的梯形ABCD 的中位线. P 是下底BC 上一点. 问:三角形MNP 的面积是多少平方厘米? 【答案】19平方厘米.【解答】设梯形的高为h , 则 1111()()22242M N P h S A D B C A D B C h ∆=⨯+⨯=⨯+1761944ABCD S ===(平方厘米). 题17 （必答B4）一种电子表在10点28分6秒时, 显示的时间如图A-70所示. 那么从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间共有多少秒？【答案】 90秒.【解答】在10点至10点半这段时间内, 要使电子表上六个数字都不相同, 前三个数字显然是1, 0, 2.设时间为10:2a :bc , 其中b 可在3, 4, 5中选择, a , c 可在3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中选择.先确定b , 有3种选法；然后确定a , 有6种选法；最后确定c , 有5种选法. 所以, 从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间一共有3 × 6 × 5 = 90（个）, 也就是图A-72电子表上六个数字都不相同的时间共有90秒.题18（必答B5）如图A-71, E , F , G , H 分别是四边形ABCD 的边AB , BC , CD , DA 的中点. BH 与DE 的交点为M , BG 与 DF 的交点为N . 问?BMDNABCDS S = 【答案】13BMDN ABCD S S =. 【解答】如图A-72, 连接BD , CN , 填入面积,x y , 则由三角形CDF 与BGD 比较可知,13BDN BCD S x y S ∆∆=+=.同理可得,13BDM ABD S S ∆∆=.相加即得13BMDN ABCD S S =. 题19（必答B6）如图A-73, 五行五列共亮着的25个灯.共有5个行开关和5个列开关, 每个开关只同时控制一行或一列的5个灯泡. 规定每次操作都要从中选一列改变状态, 再从中选一行改变状态. 问能否通过有限次操作使得25盏灯都熄灭？【答案】不能.【解答】依题意, 每次操作都对一行、一列进行操作, 则一次操作改变状态灯泡的为10个灯次, 设k 次操作能使得25盏灯都熄灭, 则k 次操作共改变灯泡状态为10k 个灯次, 是个偶数；而若要使得一盏灯由亮到熄灭, 必须改变奇数次状态, 25盏灯都熄灭时改变状态的灯次总数为25个奇数之和, 等于奇数个灯次, 但奇数个灯次不等于偶数个灯图A-74图A-76图A-75次, 所以不能通过有限次操作使得25盏灯都熄灭.题20（必答B7）如图A-74, P 为正六边形ABCDEF 的AB 边上一点. PM//CD 交EF 于M , PN//BC 交CD 于N .红、蓝两个小精灵从N 点同时出发分别沿五边形NPMED 周界和六边形CBAFED 周界匀速行走, 各绕一周后同时回到N 点. 问：蓝精灵的速度是红精灵速度的多少倍?【答案】1.2倍.【解答】 如图A-75, 设正六边形边长为a , 则蓝精灵走一周的路程为6a , 红精灵走一周的路程为5a , 所以蓝精灵速度:是红精灵速度的61.25=倍. 题21（必答B8）将33写成n 个连续自然数之和. 当n 取最大值时, 将写成的和式中的所有“+”号全变为“×”号后, 其乘积等于多少? 【答案】20160.【解答】因为12345672833,++++++=<23456783533.++++++=>所以33不能写成7个或多于7个的连续自然数之和. 因此 6.n ≤而33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, 所以n 得最大值为 6. 又n =6时,87654333+++++=, 从而有20160876543=⨯⨯⨯⨯⨯.下半场题22 （共答3） 将长方形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转90, 边CD 扫过的面积如图A-76中阴影所示. 请用无刻度直尺、圆规为工具在图中画出一个圆, 使它的面积等于图中阴影部分的面积.图A-78图A-77【答案】作法如图A-78所示.【解答】如图A-77, 连接AC , AC 1, 则阴影部分面积S 2222()444AC AD AC AD πππ=-=-2242CD CD ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.阴影部分面积等于以CD 为直径的圆面积. 因此, 得如下作图法：延长C 1B 1交BC 于E , 连接BB 1与AE 交于M , 连接AC 1与D 1B 1交于N , 连接MN 交AB 1于O . 以O 为圆心AO 为半径画圆, 该圆的面积即等于图中阴影部分面积.题23（群答4）1+++=++++振兴中华两岸四地同心在上面的算式中, 不同的汉字代表 0 - 9 中的不同的数字. 若已知“同心=10”, 问：振 + 兴 + 中 + 华 = ？【答案】 27. 【解答】由于1+++=++++振兴中华两岸四地同心,易知振+兴+中+华=两+岸+四+地+10,即（振+兴+中+华）-（两+岸+四+地）=10. ①但振+兴+中+华+两+岸+四+地+1+0=45,所以+（振+兴+中+华）（两+岸+四+地）=44. ② 因此, 由① + ②得振+兴+中+华=10445427.22+== 题24（群答5）给出字谜算式:()()+++2010⨯=华老百年华诞三年-(金坛+翻+番),其中不同的汉字代表0~9中的不同数字, 相同的汉字代表相同数字, 使得等式成立. 请你写出一种使等式成立的填数法.【答案】 ()(291028)50(3746)2010.++⨯-+++=【解答】()20106730(291028)50(3746).=⨯=++⨯-+++【注】常州日报2010年8月1日消息, 金坛市推出“3年翻番计划”, 将规划建设“二城一都”; 华罗庚科技新城和环钱资荡滨湖城, 同时, 全力打造“光伏之都”. 经济总量计划三年翻番.题25（抢答1）现在有11个齿轮如图A-79啮合在一起. 问这样一个齿轮系统能否转动起来？试说明理由.图A-79【答案】 不能.【解答】 齿轮要么逆时针转动, 要么顺时针转动. 一个齿轮不可能同时既逆时针转动又顺时针转动.如图A-80, 将齿轮依次编号, 假设1号轮为主动轮是逆时针转动, 那么2号轮则顺时针转动, 3号轮则逆时针转动, 4号轮则顺时针转动, 依次下去, 奇数号的轮逆时针转动, 偶数号的轮顺时针转动, 所以第11号轮应逆时针转动. 但第11号轮又将传动第1号轮, 于是第1号轮（相当于第12号轮）应顺时针转动. 这样, 第1号轮同时既要逆时针转动, 又要顺时针转动, 这是不可能的！ 所以图A-79中所示的11个齿轮的传动系统是不可能转动起来的！题26（抢答2）将某同学生日的月份数与31的乘积、日数与12的乘积相加, 得到和为376. 问这位同学的生日是几月几号.【答案】4月21日.【解答】设这个同学的生日为x 月y 日, 其中,x y 都是正整数, 112,x ≤≤131.y ≤≤ 且满足关系式3112376x y +=.由于376与12都被4整除, 所以31x 被4整除, 由于31与4互质, 所以x 被4整除, 因此x 只能取4或8或12. 376被3除余1, 12y 被3整除, 所以31x 被3除余1, 而31被3除余1, 所以只能x 被3除余1. 因此 4.x =图A-80而 12376314376124252,y =-⨯=-=所以25221.12y == 即这个同学的生日是 4月21日.题27（抢答3）将半径分别为1cm, 3cm, 5cm 的三个半圆形量角器的圆心重合于O , 直径也重合在一条直线上, 如图A-81所示. 记甲、乙两块阴影截扇形与半圆丙的面积分别为S S S 甲乙丙，，, 求 ::S S S 甲乙丙.【答案】::48:40:1S S S =甲乙丙【解答】因为211.22S ππ=⨯=丙21143.3223S πππ⎡⎤=⨯-=⎢⎥⎣⎦乙22111853.5225S πππ⎡⎤=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦甲所以84::::48:40:15.532S S S πππ==甲乙丙 题28（抢答4）某城市网上挑选机动车号牌编码规则为：号牌后五位必须有两个英文字母（其中字母I 、O 不可用）且最后一位必须为数字. 问：满足规定的编码共有多少个?图A-81图A-82图A-83【答案】3456000个.【解答】根据网上选号规则, 可供挑选的英文字母有26-2=24（个）, 且只能在第一至第四位上的两个位置出现, 而其余两个位置以及第五位则出现数字.两个字母为前4位中占2位, 共6种方法. 每个字母有24种选法, 其余3个位置是数码, 每个数码有10种选法. 所以满足规定的编码共有624241010103456000⨯⨯⨯⨯⨯=（个）.题29（抢答5）机器人在长为16米宽为8米的长方形场地上, 沿图A-82所示的小路按箭头的指向表演行走. 问当机器人从A 处走到B 处时共走了多少米的路程？假设图中相邻的两条平行小路之间的宽度都是1米 (B 点与竖直路段最近的距离也是1米). 【答案】152米.【解答】将横、竖各段路程长度加起来就会得到结果：16 + 8 + 16 + 7 + 15 + 6 + 14 + 5 + 13 + 4 + 12 + 3 + 11 + 2 + 10 + 1 + 9(116)161616178161361522+⨯=+=+⨯=+=（米）. 另法: 如图A-83所示, 将16×8的长方形各边都向外扩充0.5米, 成为一个17×9的长方形. 这样黑粗线成为了宽为1米的平行线的正中平行线, 其中只少了A , B 处两个白色的面积为0.5×1=0.5的小矩形. 所以设想的拖地板的服务员, 拖的地板面积比总面积少拖1平方米, 因此, 机器人走的总路程=17×9-1=152（米）.题30（抢答题6）图A-84为金坛市政区图, 现在用棕、绿、黄、粉四种颜色给该市未涂彩色的四个政区涂色. 如果要求相邻（有公共边界）政区的颜色不同, 则共有多少种涂色方法？图A-84【答案】18种.【解答】分两种情况:（1）直溪镇与指前镇同色.给直溪镇与指前镇染色: 有3种情况; 给朱林镇染色: 2种情况;给薛埠镇染色: 2 种情况. 共计3×2×2=12种.（2）直溪镇与指前镇异色.给直溪镇与指前镇染色: 有6种情况; 给朱林镇染色: 1种情况;给薛埠镇染色: 1 种情况. 共计6×1×1=6种.总计：共有12+6=18种染色方法.题31（抢答7）由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000的自然数, 按照从小到大排列, 2010排在第几个？【答案】第30个.图A-85图A-86【解答】 由数字0、1、2生成的最高位为1的4位数共有3×3×3=27个, 其中大于1000的共有27-1=26个. 由0, 1, 2生成的最高位为2而不大于2010的自然数从小到大只有2000, 2001, 2002, 2010四个. 因此, 由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000且不超过2010的自然数, 总计有26 + 4=30个, 2010是其中最大的, 因此按照从小到大排列, 排在第30个.题32（抢答8）如图A-85, P 为正方形ABCD 内一点, 并且∠APB ＝90°, AC 、BD 交于O ．已知AP =3cm 、BP =5cm.求三角形OBP 的面积． 【答案】2.5 cm 2.【解答】连DP , 并将三角形ADP 绕A 点顺时针旋转90, 到三角形ABM 的位置, 见图A-86. 则AMBP 是直角梯形. 其面积等于(5+3)×3÷2=12, 即凹四边形ABPD 的面积是12. 又正方形ABCD 的面积为 2223534AB =+=. 从而三角形ABD 的面积为17.所以, 三角形PBD =（17－12）=5. 因此, 三角形OBP 的面积 = 2.5 cm 2.题33（共答4）如图A-87, 房间里有一只老鼠, 门外有一只小猫, 立在北墙跟第3块地板砖的右上角点. 整个地面由80块大小相同的正方形地砖铺成, 那么小猫能监控到的范围占整个地板面积的百分之多少?（小猫和老鼠分别看作两个点, 墙的厚度忽略不计）【答案】66.875%.【解答】设地板正方形边长为1, 则这个房间面积为80. 如图A-88,图A-88阴影部分区域为老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围. 这个范围的总面积为(27)52422S +⨯⨯=+= 26.5. 所以小猫能监控到的面积为8026.553.5.-=占房间总面积的53.50.6687566.875%.80== 题34（群众共答）在每个人心里都默记住两个不等于0的数. 算出这两个数和的平方, 其结果记做“共”; 算出这两个数差的平方, 其结果记做“迎”; 再算出这两个数的乘积, 记做“接”. 请用你的“共”, “迎”, “接”来计算式子2?-⎛⎫= ⎪⎝⎭共迎接 请大家一起同声回答！图A-87【答案】16.【解答】设想的两个非0数为,.a b 则222222()()4416.a b a b ab ab ab ⎛⎫-+--⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭共迎接。
2015华赛杯试题及答案
2015华赛杯试题及答案2015华赛杯是一项重要的数学竞赛活动，旨在提高中学生的数学水平和培养他们的综合能力。
以下是2015华赛杯的试题及答案。
第一题：选择题1. 已知函数 f(x) 的定义域为实数集，当 x>0 时，f(x) + 1 = 2x，则f(2015) 的值为：A. 2013B. 2014C. 2015D. 2016答案：B. 2014解析：将 x 替换为 2015，得到 f(2015) + 1 = 2 * 2015，解方程可得f(2015) = 2014。
第二题：填空题2. 若项数为 5 的等差数列的首项为 3，公差为 4，则这个等差数列的和为________。
答案：65解析：根据等差数列和的公式 Sn = (a1 + an) * n / 2，代入已知条件可得 Sn = (3 + (3 + 4 * (5-1))) * 5 / 2 = 65。
第三题：解答题3. 某公司从 2010 年开始连续 5 年进行业绩评比，得分如下：88, 90, 92, 86, 94。
若该公司的年度得分与上一年度得分之差不得超过 8 分，问该公司是否能在任意两个相邻年份之间的得分之差都不超过 8 分的前提下，获得连续 5 年的最高得分。
答案：能解析：根据已知条件可知，相邻两年的得分之差不能超过 8 分。
我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。
定义一个数组 dp[i] 表示到第 i 年为止的最高得分。
首先，初始化 dp[1] = 88，然后逐年计算dp[i]。
根据题目条件，dp[i] 的取值范围为 [dp[i-1]-8, dp[i-1]+8]，即dp[i] = max(min(dp[j]+8, dp[j]-8), 88)，其中 j 取值范围为 1 到 i-1。
计算得到 dp[5] = 94，因此该公司能在任意两个相邻年份之间的得分之差都不超过 8 分的前提下，获得连续 5 年的最高得分为 94。
通过以上三道题目的介绍，我们可以看出2015华赛杯试题的难度较高，需要考生具备扎实的数学基础和解题能力。
华杯赛试题及答案
华杯赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知一个圆的半径为3厘米，那么这个圆的周长是多少厘米？A. 6π厘米B. 9π厘米C. 12π厘米D. 18π厘米答案：B2. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米和3厘米，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？A. 60立方厘米B. 48立方厘米C. 40立方厘米D. 36立方厘米答案：A3. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A, B4. 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的斜边长是多少厘米？A. 5厘米B. 6厘米C. 7厘米D. 8厘米答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 一个数的立方等于它自身乘以它自身再乘以它自身，例如：2的立方是______。
答案：82. 一个数的绝对值是这个数与0的距离，例如：-5的绝对值是______。
答案：53. 如果一个分数的分子和分母相同，那么这个分数的值是______。
答案：14. 一个数的相反数是与它相加等于0的数，例如：-3的相反数是______。
答案：35. 一个数的倒数是1除以这个数，例如：2的倒数是______。
答案：\(\frac{1}{2}\)6. 一个圆的面积公式是π乘以半径的平方，例如：半径为2厘米的圆的面积是______平方厘米。
答案：12π三、解答题（每题25分，共50分）1. 解方程：\(3x + 5 = 14\)答案：首先，将5从等式右边移至左边，得到 \(3x = 14 - 5\)，即 \(3x = 9\)。
然后，将等式两边同时除以3，得到 \(x =\frac{9}{3}\)，所以 \(x = 3\)。
2. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。
答案：设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有 \(c^2 = a^2 + b^2\)。
假设a和b是直角边，c是斜边，那么我们可以通过代数变换证明这一点。
第十五届“华杯赛”初一组初赛试题答案
a b 9 , b c 20 , c a 11.
进而
a 2 b 2 c 2 ab bc ca
1 = [( a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 ] 2 1 = (81 400 121) 301. 2
6. 乘积为 240 的不同的五个整数的平均值最大是 ( (A) 【答案】D. 【解答】假设 240 a b c d e , a b c d e .
{3, 4, 1, 1, 20}小. 故最多有一个负数, 设为 a .
这个负数 a 一定是 1 . 否则, 用 a 乘以最大的整数, 满足五个数都不相同. 现在根据 240 分解的特点, 证明 240 (1) 1 2 3 40 为和最大的分解.
设 a 1, b 1 , 则 240 c d e , c, d , e 1 . 我 们 用 一 个 性 质 ： 如 果
7 千米, 到达对岸 AD 最少要用 13
小时.
图 A-8
【答案】0.4 小时. 【解答】 连接 AC, 见图 A-9. 由勾股定理容易求得 AC=5 千米. 又因为 52 +122 132 , 所以三角形 ACD 是直角 三角形, ACD 90 . 要乘游艇由点 C 出发, 行进速度为每 小时 11
个. 【答案】3. 【解答】若数 a 是奇数, 则
a 1 a 1 a . 2 2
如果 a 是 4 的倍数, 则
a a a 1 1 . 4 4
2 2
2
2
一个偶数如果能表示成两个平方数的差, 则这两个数一定同时为奇数或者偶数. 而两个奇数（偶数）的平方差一定是 4 的倍数, 因为 2002, 2006, 2010 不是 4 的 倍数, 故不能表示成两个平方数的差. 10. 如图 A-8, 某风景区的沿湖公路 AB=3 千米, BC=4 千米, CD=12 千米, AD=13 千米, 其中 AB BC , 图中阴影是草地, 其余是水面. 那么乘游艇由点 C 出发, 行进速度为每小时 11
第十五届“华杯赛”小学组决赛试题C答案
连续的非零自然数之和，就称这个自然数为“好数”，那么不大于 2011 的自然
数中最大的“好数”为
.
【答案】2007.
【解答】设“好数”可以表示为 m ， m 1两个非零自然数的和，也可以表 示为 n ， n 1， n 2个非零自然数的和. 所以 2m 1 3n 3，即
m 3 n 1. 2
五队单循环共比赛 10 场, 则 S 30. 如果有一场踢平, 则总分 S 减少 1 分. 因为
a 11000,
b 4 1111 3100,
c 7 3310,
d 8 3 3 11,
所 以 比 赛 至少 有 3 场平 局 , 至多 有 5 场平 局 . 所以 30 5 S 30 7 , 即 25 20 e 27 . 故 5 e 7 .
且
( 1 1 )( 1 1 ) 1 2 3 4 5 6 78
(
1
1
)1 1 5
2005 2006 2007 2008 2 3 4 12
0.41,
所以小数点后的第 1 个数字是 4.
二、解答下列各题
9. 图 A-21 中有 5 个由 4 个 1×1 的小正方格组成的 不同形状的硬纸板. 问能用这 5 个硬纸板拼成图 A-21 中 4×5 的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由.
由此，甲、两人轮流划数，则最后剩下的两个数一定是①描述的一组, 两数 之差为 55.
所以甲可以采取上述的策略使得最后剩下的两个数之差是 55. 12. 华罗庚爷爷出生于 1910 年 11 月 12 日. 将这些数字排成一个整数, 并且 分解成19101112 116316424 , 请问这两个数 1163 和 16424 中有质数吗? 并说 明理由. 【答案】1163 是质数. 【解答】（1）显然 16424 是大于 2 的偶数, 是合数. （2）如果 1163 是合数, 但不是完全平方数, 则至少有 2 个不同的质因数, 因 为113 1331 1163 , 所以, 如果 1163 有 3 个以上不同的质因数, 必有一个小于 11. 但是显然 2, 3, 5, 7 都不能整除 1163, 11 也不能整除 1163, 因此 1163 仅有 2 个不同的大于 11 的质因数. 大于 11 的质数有:
第15届“华杯赛”小学组初赛试题及答案
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解答（小学组）一、选择题1.如图 A-1 所示, 平行四边形内有两个大小一样的正六边形,那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 ().（A ） 1（B ）2（C ）2 （D ） 52 3 5 12 图 A-1【答案】A.【解答】由图可知, 左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行四边形内正六边形的面积, 因此阴影部分的面积占平行四边形面积的12.2.两条纸带, 较长的一条为23cm, 较短的一条为15cm. 把两条纸带剪下同样长的一段后, 剩下的两条纸带中, 要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍, 那么剪下的长度至少是 () cm.(A) 6（B ）7（C ）8（D ）9【答案】B.【解答】设剪下的长度为 x cm,那么有：23x 2(15x) ,解得 x 7.因此,剪下的长度至少为7 cm.3.两个水池内有金鱼若干条, 数目相同. 亮亮和红红进行捞鱼比赛, 第一个水池内的金鱼被捞完时, 亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是 3:4；捞完第二个水池内的金鱼时, 亮亮比第一次多捞 33 条, 与红红捞到的金鱼数目比是 5:3. 那么每个水池内有金鱼 () 条.(A) 112（B ）168（C ）224（D ）336【答案】B.【解答】解法 1：这是一道工程问题的变形,每个水池内有金鱼33 (553433) 168 （条）.解法 2：可以认为是比例应用题,设亮亮第一次捞到3n条,则红红第一次捞到 4n条, 依题意, 有3n 33 5 , 解得n=24, 因此水池内共有金鱼 7n=168 条.4n 33 34.从12 ,13 ,14 ,15 ,16中去掉两个数, 使得剩下的三个数之和与76最接近, 去掉的两个数是 ( ).（A） 1 , 1（B） 1 , 1（C）1 , 1 （D）1 , 12 5 2 63 5 3 4【答案】D.【解答】通分1 = 210 , 1 = 140 , 1 = 105 , 1 = 84 , 1 = 70 , 6 = 360 .2 4203 4204 4205 4206 4207 420显然, 210+84+70=364 最接近 360.5. 恰有 20 个因数的最小自然数是 ( ).(A) 120（B）240（C）360（D）432【答案】B.【解答】因为 20=2×10=4×5=2×2×5, 因此, 具有 20 个因数的自然数是 3与9 个 2 的乘积, 即:3×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1536; 或者是 3 个 3 与 4个2 的乘积, 即: 3×3×3×2×2×2×2=432; 或者是 3, 5 与 4 个 2 的乘积, 即: 3×5×2×2×2×2=240,因此最小的自然数为240.6.如图 A-2 的大正方形格板是由 81 个 1 平方厘米的小正方形铺成, B, C是两个格点. 若请你在其它的格点中标出一点A,使得△ ABC 的面积恰等于3平方厘米,则这样的 A 点共有() 个.图 A-2（A ）6（B ）5（C ）8（D ）10【答案】C.【解答】从最上面的水平线开始将水平线分别记为第1、第2、…、第10 条水平线, 每条水平线均由左至右判断哪个格点符合题目要求. 以此穷举法可以得到：第 1条水平线上没有格点符合要求, 第 2 条水平线上仅有A 7符合要求. 如图 A-3 所示, 类似可以得到格点A 2 , A 1 , A 6符合要求, 对称地, 可以得到A 5 , A 4 , A 3 , A 8符合要求. 故图 A-3 答案是 C.二、填空题21 2 0.37. 算式7 .的值为0.25 3 1 1.3 0.4 4【答案】1 8 .211 2 2 0.3 5 35 + 2 8 . 【解答】7 = 7 5 = =1 1 3 1 1.3 0.4 9 7 3 210.25 3 4 4 4 108.“低碳生活”从现在做起,从我做起.据测算, 1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳 14 吨. 如果每台空调制冷温度在国家提倡的 26℃基础上调到 27℃, 相应每年减排二氧化碳 21 千克. 某市仅此项减排就相当于 25000 公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按 3 台空调计, 该市家庭约有万户. (保留整数)【答案】556.【解答】25000141000（213）5555555.6.9.从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中, 选出九个数字, 组成一个两位数、一个三位数和一个四位数, 使这三个数的和等于 2010, 那么其中未被选中的数字是.【答案】6.【解答】由于和为 2010 所以四位数首位只能为 1, 设四位数、三位数、两位数分别为1abc,def , gh .设没有被选的数字为x,那么100(a d ) 10(b e g ) (c f h) 1010 .两边同时减去a b c d e f g h, 由于a b c d e f g h 1 x 45,则99(a d) 9(b e g) 966 x .两边都可以被 9 整除, 因此x 6 .事实上, 由去掉 6 以后的 9 个数码 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 可以组成一个两位数,一个三位数, 一个四位数: 78, 540, 1392, 满足 78 + 540 + 1392 = 2010.【说明】1) 另一解法. 设四位数、三位数、两位数分别为1abc ,def , gh ,既然他们的和是2010, 三个整数的个位、十位和百位相加, 一定都有进位, 所以进位的数目至少是 3, 设为k. 已知：所有加数数字之和＝和的数字之和＋9×k＝3＋9k, 由于0 1 2 9 45 , 故有：36 3 9k 45 ,3339k4295,所以 k 4,三个整数1abc,def , gh 的数字和是39k 39,因此没有被选的数字为6.2)可以询问：有多少不同的 {1abc , def,gh } 满足它们的和是 2010 呢？从条件可知： c f h 20或 c f h 10.如果 c f h 20,则 b e g 19,否则 c f h b e g 39,这是不可能的；当 c f h 10时,b e g 9,否则c f h b e 9g 937, 也是不可能的 , 因为a b cdefgh 38.故有c f h 20 (1)9 (2)b e g (3) a d 9 用穷举法, (1)的解是{3,8,9},{4,7,9},{5,7,8};(2)的解是{0,2,7},{0,4,5},{2,3,4}；(2)的解是{0,9},{2,7},{4,5}；8 个数字a, b, c, d , e, f , g , h 所取的数字各不相同, 并且d 0, g 0 故有{3,8,9}, , 有不同的 6 4 2=48 1. c , f , h b, e, g 0, 2, 7 , a , d 4,5 组解；{3,8,9}, , 有不同的 6 4 2=48 2. c , f , h b, e, g 0, 4,5 , a, d 2, 7 组解；有不同的 6 6 1 = 3 6 3. c , f , h 5, 7,8 , b, e, g 2,3, 4 , a , d 0,9 , 组解,即当 c f h 20时共有132组解.类似, （1）和（2）交换, 此时a d 8 ,有 108 组解答.因此, 共有 240 组答案.10. 图 A-4 是一个玩具火车轨道, A 点有个变轨开关,可以连接 B 或者 C.小圈轨道的周长是 1.5米,大圈轨道的周长是 3 米. 开始时, A 连接C, 火车从A 点出发, 按照顺时针方向在轨道上移动, 同时变轨开关每隔 1 分钟变换图 A-4 一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟 10 米, 则火车第 10 次回到A 点时用了分钟.【答案】 2.1.。
第十五届“华杯赛”小学组决赛试题A答案
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 解答（小学组）一、填空题1. 要在10个盒子中放乒乓球, 球的个数彼此不同, 不能少于11, 不能是13, 也不能是5的倍数, 那么至少需要 个乒乓球.【答案】173.【解答】至少需要17323222119181716141211=+++++++++(个).2. 有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒, 一个礼品配一个包装盒, 共有 种不同价格.【答案】19.【解答】任意的搭配共有25种, 其中有价格重复的情况.由于礼品和包装盒的价格分别是公差为3和2的等差数列, 故当礼品和包装盒的价格分别差6时, 会出现价格重复的情况, 共有3×2=6种, 所以不同价格的礼品共有19625=-种.3. 汽车A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车B 、C 从乙站出发与A 相向而行开往甲站, 途中A 与B 相遇20分钟后再与C 相遇. 已知 A 、B 、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km.【答案】425.【解答】设A 与B 出发t 小时后相遇, 两地距离为s , 则s t =+)8090(, s t =++)31)(9060(. 解之得 4255.2170=⨯=s .4. 将21, 31, 41, 51, 61, 71和这6个分数的平均值从小到大排列, 则这个平均数排在第 位.【答案】 5.【解答】先从小到大排列这6个分数: 2131********<<<<<, 因为前三个分数之和比后三个分数之和小, 因此这6个分数的平均值不可能排在它们的中间. 因为416716151413121⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++417151-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==020171>-, 且⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++-⨯7161514131213160715143>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 所以这6个分数的平均值大于14,小于13. 即这6个分数的平均值排在第5位.5. 将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作, 经连续若干次操作后可以变为6的数称为“好数”, 那么不超过2012的“好数”的个数为_______, 这些“好数”的最大公约数是 _______.【答案】223, 3.【解答】 易知, 从1开始, 连续递增的自然数, 经过上述操作最后得到的一位数是从1 到9循环地变化的. 因此, 最后变为6的数一共有2012[2239=个. 因为经过若干次操作后得到的数是6, 故这些数都是3的倍数. 又因为6和15都是这种数, 而（6, 15）= 3, 所以这些数的最大公约数是3.6. 图A-10所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成, 这个立体图形的表面积为 .【答案】32.【解答】从上、下、前、后、左、右看到的这个立体图形的表面的面积分别为 5, 5, 5, 5, 6, 6, 总和为 32 .7. 数字卡片“3”、 “4”、 “5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有 张是卡片“3”.【答案】3.【解答】假设摸出的8张卡片全是数字“3”，则其和为3×8＝24，与实际的和33相差9，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故. 用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2和1. 为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”或卡片“4”换卡片“3”，现在1249+⨯=，因此可用4张卡片“5”和1张卡片“4”换卡片“3”，这样8张卡片的数字之和正好等于33. 所以最多可能有3张是卡片“3”.8. 若将算式201020091200820071871651431211⨯+⨯-+⨯-⨯+⨯-⨯ 的值化为小数, 则小数点后第1个数字是 .【答案】4.【解答】因为)201020091200820071()651431(211⨯-⨯--⨯-⨯-⨯ )651431(21⨯-⨯-<209=45.0=, 且201020091200820071200620051(871651()431211(⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯ 12543121=⨯->41.0>, 所以小数点后的第1个数字是4.二、解答下列各题9. 图A-11中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板拼成图A-11中4×5的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由.【答案】不能.【解答】 假设能拼成4×5的长方形, 如图A-12小方格黑白相间染色. 其中黑格、白格各10个.将五块纸板编号, 如图A-13所示, 除纸板④之外, 其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格, 而④盖住3个黑格或一个黑格. 这样一来, 由4个1×1的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板, 只能盖住9或11个黑格, 与10个黑格不符.10. 长度为L 的一条木棍, 分别用红、蓝、黑线将它等分为8, 12和18段, 在各划分线处将木棍锯开, 问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【答案】28, 72L . 【解答】（1）易知红线与蓝线重合的条数是 31)12,8(=-；红线与黑线重合的条数是 1121)18,8(=-=-；蓝线与黑线重合的条数是 51)18,12(=-；红线、蓝线、黑线都重合的条数是 1121)18,12,8(=-=-.由红线7条, 蓝线11条, 黑线17条确定的位置的个数是271)513(17117=+++-++.① ②③④ ⑤图A-13图A-12因此, 依不同位置的线条锯开一共得到28127=+（段）.（2）最小公倍数72362]9,3,4[2]18,12,8[=⨯=⨯=.因此, 将木棍等分成72段时, 至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两条之间, 并且再短（段数更多）时就做不到了. 所以锯得的木棍最短的一段的长度是72L . 11. 足球队A ，B ，C ，D ，E 进行单循环赛（每两队赛一场）, 每场比赛胜队得3分, 负队得0分, 平局两队各得1分. 若A ，B ，C ，D 总分分别是1, 4, 7, 8, 请问：E 队至多得几分？最少得几分？【答案】7, 5.【解答】 设A ，B ，C ，D ，E 五队的总分分别是a , b , c , d , e , 五队的总分为S , 则e e d c b a S +=++++=20.五队单循环共比赛10场, 则30≤S . 如果有一场踢平, 则总分S 减少1分. 因为00011+++==a ,001311114+++=+++==b ,01337+++==c ,11338+++==d ,所以比赛至少有3场平局, 至多有5场平局. 于是730530-≤≤-S , 即272025≤+≤e .故75≤≤e .事实上, E 胜A, B, 负于C, 与D 踢平时, 7=e ；E 胜A, 负于C, 但与B 、D 踢平时, 5=e .所以E 队至少得5分, 至多得7分.12. 华罗庚爷爷出生于1910年11月12日. 将这些数字排成一个整数, 并且分解成=⨯19101112116316424, 请问这两个数1163和16424中有质数吗? 并说明理由.【答案】1163是质数.【解答】1163是质数, 理由如下:（1）显然16424是大于2的偶数, 是合数.（2）如果1163是合数, 但不是完全平方数, 则至少有2个不同的质因数, 因为31113311163=>, 所以, 如果1163有3个以上不同的质因数, 必有一个小于11. 但是显然2, 3, 5, 7都不能整除1163, 11也不能整除1163, 因此1163仅有2个不同的大于11的质因数. 大于11的质数有:13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, … 既然237116337311147<<⨯=, 1163的两个不同的质因数一定有一个小于37, 另一个大于31. 计算10113131211639239113⨯=<<=⨯；79171343116310035917⨯=<<=⨯；6719127311638934719⨯=<<=⨯；6123140311639434123⨯=<<=⨯；47291363116310733729⨯=<<=⨯.所以1163是质数.三、解答下列各题13. 图A-14中，六边形ABCDEF 的面积是2010平方厘米. 已知△ABC , △BCD , △CDE , △DEF , △EFA , △FAB 的面积都等于335平方厘米, 6个阴影三角形面积之和为670平方厘米. 则六边形111111A B C D E F 的面积是 平方厘米.【答案】670.【解答】 如图A-15, 已知△ABC , △BCD , △CDE , △DEF , △EFA , △FAB 的面积都等于335平方厘米, 它们面积之和为33562010⨯=平方厘米=六边形ABCDEF 的面积.因此,未被盖住的六边形111111A B C D E F 的面积= 重叠部分的面积= (1)(3)(5)(7)(9)(11)S S S S S S +++++.另一方面,在△ABC 中, (1)(3)(2)335S S S +=-,在△BCD 中, (3)(5)(4)335S S S +=-在△CDE 中, (5)(7)(6)335S S S +=-在△DEF 中, (7)(9)(8)335S S S +=-在△EFA 中, (9)(11)(10)335S S S +=-在△FAB 中, (11)(1)(12)335S S S +=-上述6个式子相加, 得()()(1)(3)(5)(7)(9)(11)(2)(4)(6)(8)(10)(12)23355S S S S S S S S S S S S +++++=⨯-+++++ 即()(1)(3)(5)(7)(9)(11)233566701340.S S S S S S +++++=⨯-=所以(1)(3)(5)(7)(9)(11)1340670.2S S S S S S +++++== 因此,六边形111111A B C D E F 的面积=(1)(3)(5)(7)(9)(11)S S S S S S +++++=670 (平方厘米).14. 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除, 求出“虎威”代表的两位数.【答案】11, 12, 15, 24, 36.【解答】两位自然数共有90个, 一个一个地去试算检验它是不是满足条件, 工作量太大, 显然需要开动脑筋, 缩小试算范围.设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a , b . 因为10ab a b =+, 10a b +能被ab 整除意味着10a b +能被a 整除且10a b +能被b 整除. 如果10a b +能被a 整除, 说明b 能被a 整除；如果10a b +能被b 整除, 说明10a 能被b 整除. 这就是说, 数字a , b 同时要满足两个条件：（1）a 整除b , （2）b 整除10a .对满足这两个条件的a , b , 进行试算, 可以缩小试算的范围.若a ＝1, 则10能被b 整除, b 的可能值为1, 2, 5, 这时ab ＝11, 12, 15, 它们符合条件；若a ＝2, 则b 是偶数, 且20能被b 整除, b 的可能值是2, 4. 经检验后知只有ab ＝24满足条件；若a ＝3, 则b 是3的倍数, 且30能被b 整除, b 的可能值是3, 6. 经检验后知只有ab＝36合于要求；若a＝4, 则b是4的倍数, 且40能被b整除, b的可能值是4, 8. 经检验后它们都不合题意.若a＝5, 6, 7, 8, 9, 经过同样的检验后知, 没有符合题意的值.综上所述知：“虎威”代表的两位数11, 12, 15, 24, 36.。
15届华杯初赛小学试卷(答案)
AC
AC
AC
AB
AB
AB
AB
AB
AB
AC
所以用时 2.1×60=126（秒） 。
第十五届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
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初赛试题（小学组）参考答案与解答
一、选择题
1．答案：A 解：由图可知，左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行四边形内正 六边形的面积,因此阴影部分的面积占平行四边形面积的 2．答案：B 解：假设剪下的长度至少为 x cm，那么有： 23x≥2（15 x） ，解得，x≥7. 3．答案：B 解：这是一道工程问题的变形，每个水池内有金鱼 33 ( 4. 答案：D
def , gh .设没有被选的数字为 x ,那么
100(a d ) 10(b e g ) (c f h) 1010
两边同时减去 a b c d e f g ,由于 a b c d e f g h 1 x 45 则 99(a d ) 9(b e g ) 966 x . 两边都可以被 9 整除，因此 x 6 . 10. 答案：126 解：根据条件，在小圈火车行驶一圈用时 1.5 10 0.15 分钟，在大圈火车行驶一圈用时
1 210 = 2 420 1 140 = 3 420 1 105 = 4 420 1 84 = 5 420 1 70 = 6 420 6 360 = 7 420 显然,210+84+70=364 最接近 360.
1 . 2
5 3 ) 168 （条）. 53 43
解：通分
5. 答案：B 解：因为 20=2×10=4×5=2×2×5，因此，具有 20 个因数的自然数是 3 与 9 个 2 的乘积，即:3×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1536;或者是 3 个 3 与 4 个 2 的乘积， 即: 3×3×3×2×2×2×2=432; 或者是 3,5 与 4 个 2 的乘积，即: 3×5×2×2×2 ×2=240,因此最小的为 240.
第十五届“华杯赛”小学组初赛试题答案
第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解答（小学组）一、选择题1. 如图A-1所示, 平行四边形内有两个大小一样的正六边形, 那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 ( ).（A ） 21 （B ）32 （C ）52 （D ）125【答案】A.【解答】由图可知, 左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行四边形内正六边形的面积, 因此阴影部分的面积占平行四边形面积的21.2. 两条纸带, 较长的一条为23cm, 较短的一条为15cm. 把两条纸带剪下同样长的一段后, 剩下的两条纸带中, 要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍, 那么剪下的长度至少是 ( ) cm.(A) 6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】B.【解答】设剪下的长度为x cm, 那么有：)15(223x x -≥-,解得7≥x . 因此, 剪下的长度至少为7 cm.3. 两个水池内有金鱼若干条, 数目相同. 亮亮和红红进行捞鱼比赛, 第一个水池内的金鱼被捞完时, 亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼时, 亮亮比第一次多捞33条, 与红红捞到的金鱼数目比是5:3. 那么每个水池内有金鱼 ( ) 条.(A) 112 （B ）168 （C ）224 （D ）336 【答案】B.【解答】解法1：这是一道工程问题的变形, 每个水池内有金鱼168343355(33=+-+÷（条）. 解法2：可以认为是比例应用题, 设亮亮第一次捞到3n 条, 则红红第一次捞到4n 条, 依题意, 有35334333=-+n n , 解得n =24, 因此水池内共有金鱼7n =168条.4. 从21,31,41,51,61中去掉两个数, 使得剩下的三个数之和与76最接近, 去掉的两个数是 ( ).（A ） 21,51 （B ）21,61 （C ）31,51 （D ）31,41【答案】D. 【解答】通分21=420210, 31=420140, 41=420105, 51=42084, 61=42070, 76=420360. 显然, 210+84+70=364最接近360.5. 恰有20个因数的最小自然数是 ( ).(A) 120 （B ）240 （C ）360 （D ）432 【答案】B.【解答】因为20=2×10=4×5=2×2×5, 因此, 具有20个因数的自然数是3与9个2的乘积, 即:3×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1536; 或者是3个3与4个2的乘积, 即: 3×3×3×2×2×2×2=432; 或者是3, 5与4个2的乘积, 即: 3×5×2×2×2×2=240, 因此最小的自然数为240.6. 如图A-2的大正方形格板是由81个1平方厘米的小正方形铺成, B , C 是两个格点. 若请你在其它的格点中标出一点A , 使得△ABC 的面积恰等于3平方厘米, 则这样的A 点共有 ( ) 个.（A ）6 （B ）5 （C ）8 （D ）10 【答案】C.【解答】 从最上面的水平线开始将水平线分别记为第1、第2、…、第10条水平线, 每条水平线均由左至右判断哪个格点符合题目要求. 以此穷举法可以得到：第1条水平线上没有格点符合要求, 第2条水平线上仅有7A 符合要求. 如图A-3所示, 类似可以得到格点2A ,1A ,6A 符合要求, 对称地, 可以得到5A ,4A ,3A ,8A 符合要求. 故答案是C.二、填空题7. 算式4.03.13.0241325.0721-⨯+⨯+-的值为 .【答案】1218. 【解答】 4.03.13.0241325.0721-⨯+⨯+-=10953434175++=75+32=1218. 8. “低碳生活”从现在做起, 从我做起. 据测算, 1公顷落叶阔叶林每年可吸收二氧化碳14吨. 如果每台空调制冷温度在国家提倡的26℃基础上调到27℃, 相应每年减排二氧化碳21千克. 某市仅此项减排就相当于25000公顷落叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按3台空调计, 该市家庭约有 万户. (保留整数)【答案】556.【解答】 25000⨯14⨯1000÷（21⨯3）≈5555555.6.9. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中, 选出九个数字, 组成一个两位数、一个三位数和一个四位数, 使这三个数的和等于2010, 那么其中未被选中的数字是 .【答案】6.【解答】由于和为2010 所以四位数首位只能为1, 设四位数、三位数、两位数分别为abc 1, ,def gh . 设没有被选的数字为x , 那么100()10()()1010a d b e g c f h +++++++=.两边同时减去h g f e d c b a +++++++, 由于451=+++++++++x h g f e d c b a , 则x g e b d a +=++++966)(9)(99.两边都可以被9整除, 因此6=x .事实上, 由去掉6以后的9个数码0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9可以组成一个两位数, 一个三位数, 一个四位数: 78, 540, 1392, 满足78 + 540 + 1392 = 2010.【说明】1) 另一解法. 设四位数、三位数、两位数分别为abc 1, ,def gh , 既然他们的和是2010, 三个整数的个位、十位和百位相加, 一定都有进位, 所以进位的数目至少是3, 设为k . 已知：所有加数数字之和＝和的数字之和＋9×k ＝3＋9k , 由于012945++++=, 故有： 363945k ≤+<, 33423599k <≤<<, 所以4k =, 三个整数abc 1, ,def gh 的数字和是3939k +=, 因此没有被选的数字为6.2) 可以询问：有多少不同的 {abc 1, ,def gh } 满足它们的和是2010呢？ 从条件可知：20c f h ++=或10c f h ++=. 如果20c f h ++=, 则19b e g ++≠, 否则39c f h b e g +++++=, 这是不可能的；当10c f h ++=时,9b e g ++≠, 否则9937c f h b e g +++++++=, 也是不可能的, 因为38a b cdefgh +++++++=. 故有20 (1)9 (2)9 (3)c f h b e g a d ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩用穷举法, (1)的解是{3,8,9},{4,7,9},{5,7,8};(2)的解是{0,2,7},{0,4,5},{2,3,4}；(2)的解是{0,9},{2,7},{4,5}；8个数字,,,,,,,a b c d e f g h 所取的数字各不相同, 并且0,0d g ≠≠故有1.{},,c f h ={3,8,9}, {}{}{}{},,0,2,7,,4,5b e g a d ==, 有不同的642=48⨯⨯组解； 2.{},,c f h ={3,8,9}, {}{}{}{},,0,4,5,,2,7b e g a d ==, 有不同的642=48⨯⨯组解； 3.{}{}{}{}{}{},,5,7,8,,,2,3,4,,0,9c f h b e g a d ===, 有不同的661=36⨯⨯组解,即当20c f h ++=时共有132组解.类似, （1）和（2）交换, 此时8=+d a ,有108组解答. 因此, 共有240组答案.10. 图A-4是一个玩具火车轨道, A 点有个变轨开关, 可以连接B 或者C . 小圈轨道的周长是1.5米, 大圈轨道的周长是3米. 开始时, A 连接C , 火车从A 点出发, 按照顺时针方向在轨道上移动, 同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟10米, 则火车第10次回到A 点时用了 分钟.【答案】 2.1.【解答】根据条件, 在小圈火车行驶一圈用时15.0105.1=÷分钟, 在大圈火车行驶一圈用时3.0103=÷分钟. 设回到A 点时用时为t 分钟, 这样我们有下表：下面我们给出一个一般的解答.设玩具火车绕小圈轨道m 圈, 绕大圈轨道n 圈, 则玩具火车运动路程是1.53S m n =+, 时间是1.5310m n +. 如果 1.5310m n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦是偶数, 则变轨开关AC 连通, 如果 1.5310m n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦是奇数, 则变轨开关AC 连通. 我们寻找最小的m n +, 使1.5310m n+是偶数. 无妨设 1.5310m n K +=, 或3620m n K +=,这里K 是偶数, 并且有3为约数, 是玩具火车运动的时间, 因此最小的K 是6. 即求m 和n 使240m n +=.当n ＝3, 3010n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 故开始玩具火车绕大圈轨道4圈之后进入小圈, 时间是12 1.210=（分钟）；当n ＝4, m ＝5时, 7.512110+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 912210+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 故玩具火车绕小圈轨道6之后再次进入大圈轨道, 此时1.5310m n +＝1.56342.110⨯+⨯=（分钟）（可以称为一个拟循环）将玩具火车再次进入大圈运行, 运行圈数记为2n . 2n ＝3时,1.5637310⨯+⨯=（分钟）, 玩具火车应当再次进入小圈运行, 运行圈数记为2m , 既然1.57 1.5611010⨯⨯>>, 故玩具火车绕小圈运行7圈后, 应再次进入大圈运行, 此时1.53 1.51337 4.051010m n +⨯+⨯==（分钟）.将玩具火车再次进入大圈运行, 运行圈数记为3n . 既然1.513311 1.51331051010⨯+⨯⨯+⨯>>, 故玩具火车绕大圈运行4圈后, 应再次进入小圈运行, 此时1.53 1.513311 5.251010m n +⨯+⨯==（分钟）, 则玩具火车绕大圈运行5圈后,1.53 1.51831161010m n +⨯+⨯==(分钟). 结论玩具火车第29次回到A 时, 变轨开关AC 连通, 即回到原始状态.。
第15届华杯赛小学组初赛试卷及详解
第15届华杯赛小学组初赛试卷及详解第十五届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）试题答案及详解参考答案：1、A2、B3、B4、D5、B6、C7、508、5569、610、126答案详解：1、每个空白正六边形能分成六个相同的正三角形，所以空白部分总共包含12个这样的正三角形；而整个大平行四边形能分成24个这样的正三角形，所以空白部分占整个平行四边形的一半，那么阴影部分也占整个平行四边形的一半。
所以选A。
2、设剪下的长度为x厘米则可以列出不等式：23-x≥2（15-x），整理得x≥7所以剪下的长度至少是7厘米，选B。
3、两池中鱼的条数相等，亮亮捞到第一个水池里金鱼数目的3/7，捞到第二个水池里金鱼数目的5/8，而第一次比第二次少捞了33条，可以求出每个水池中鱼的条数为：33÷（5/8-3/7）=168（条），所以选B4、这五个分数的总和为1.45，而6/7=0.857…，前者比后者大0.592857…，所以题目即需要从前面五个分数中选出两个，使他们的和最接近0.592857…，比较后可得应选1/3和1/4，选D。
5、20=20=2×10=4×5=2×2×5四种情况下的最小自然数分别为：219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个，为240，选B。
6、选C7、原式=5/7+2/3=29/21，所以m+n=29+21=50.8、5569、根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数倍。
由于xxxx的各位数字之和为3，而0+1+2+…+9=45，所以应该从中去掉6.10、回到A点次数所花总时间到达A点时A点连接位置10.3分C 20.6分C30.9分C41.2分B51.35分B61.5分B 71.65分B81.8分B91.95分B102.1分C所以花2.1分钟，即126秒。