大学教案—线性规划

前言 线性规划概述
授课类型 授课时间
教材分析： 本章主要介绍了线性规划的基本概念。
课堂讲授 第 1 周第 1 节
教学目的与要求： 要求学生掌握线性规划的作用和意义。
重点与难点： 重点：线性规划的基本概念 难点：常见线性规划问题
教学内容与过程（设想、方法、手段）
启发式教学、课堂精讲、讲练结合
思考题、讨论题、作业：
B3 三个城市，三个城市的粮食需求量分别为 17、18 和 15 万吨．农场到各城市的运 价如下表
运价表
单位：元/万吨
城市 农场
运价 B1
B2
B3
A1
50
60
70
A2
60
110
160
问：应如何调运，可使总运费最省？试建立该问题的数学模型． 分析 此问题有两个供应方 A1 和 A 2 ，三个需求方 B1 ， B2 ， B3 ，假设这五者 组成一个封闭系统，两个供应者的粮食只能提供给这三个需求方，同时三个需求方 的粮食也只能从这两个供应者处获得． 要建立该问题数学模型，必须首先从问题出发． 该题问“应如何调运，使总运费最省”． “应如何调运”指从农场 A1 分别向三个城市运多少万吨粮食(三个量)，从农场 A 2 分别向三个城市运多少万吨粮食(三个量)，共计 6 个量． 上述 6 个量是可以变化的，在计算前是未知的，是有待决策的，称其为决策变 量．在建立数学模型时应首先将其设出．为便于区分供应方和需求方，将其设为双 下标变量． 设：从农场 A i (i 1,2) 运往城市 B j ( j 1,2,3) 的调运量为 x i j (i 1,2; j 1,2,3) 万 吨．
数学系教师教案纸 课后分析
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《线性规划》 课程教案讲稿
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授课题目（教学章节或主题）：
第一章 线性规划数学模型的建立
授课类型 授课时间
课堂讲授 第 周第 节
教材分析：
本章通过例题说明线性规划数学模型的形式、三要素及建立数学模型的方法．
教学目的与要求：
通过本章学习，使学生理解线性规划数学模型的概念及一般表示形式；掌握线性规划数学模 型的三要素；掌握建立线性规划数学模型的步骤和方法；能熟练的建立一些问题的线性规划数学 模型；理解线性规划数学模型解的含义．
三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点
1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标； 2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是 只做定性分析． 数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等) 表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型． 同时应注意全局的相对性，即对于车间，企业是全局；但对于集团公司， 企业是局部，集团公司才是全局．
思考题、讨论题、作业：
参考资料（含参考书、文献等）：
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教学内容与步骤
备注
本章通过例题说明线性规划数学模型的形式、三要素及建立数学模型 的方法．
一、建立线性规划数学模型的例
例1 供求平衡状态下的运输问题 有两个农场 A1 和 A2 ，产粮量分别为 23 万吨和 27 万吨，要将粮食运往 B1 ，B2 ，
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教学内容与步骤
备注
显然，应有无穷多种调运方案．每个调运方案都对应着一个总运费． 方案 1 对应的总运费为：
150 13 60 9 70 16 60 5110 6160 3930(元)；
方案 2 对应的总运费为：
150 12 60 10 70 16 60 6110 5160 3890(元)．
分析可行解的情况．
由于方程组中无矛盾方程，且有效方程的个数(4 个)少于未知量的个数(6 个)，方 程组有无穷多个解，进一步满足非负条件的解也有无穷多个，即可行解有无穷多个，
每个可行解对应着一个调运方案(可执行方案)．如：
x11 1

x12
13
解
x13

x
21

9 16

重点与难点： 重点：线性规划数学模型的建立 难点：建立线性规划数学模型
教学内容与过程（设想、方法、手段）启发式教学、课堂精讲、讲练结合
1、 供求平衡条件下的运输问题模型的建立； 2、 线性规划数学模型的三要素； 3、 建立线性规划数学模型的步骤； 4、 线性规划问题解的概念（可行解、可行解集、最优解、最优值）； 5、 线性规划的概念； 6、 线性规划数学模型的一般形式．
x
22

5
x23 6
对应
方案 1 A1 A2
B1
B2
B3
1
13
9
23
16
5
6
27
17
18
15
x11 1

x12
12
解
x13

x
21

10 16

x
22

6
x23 5
对应
方案 2 A1 A2
B1
B2
B3
1
12
10
23
16
6
5
27
17
18
15
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=
23
A2
x21 x22 x23
=
27
需求方：调入量恰好等于需求量
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教学内容与步骤
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备注
需求方 B1 B2 B3
调入量 x11 x21 x12 x22 x13 x23
恰好等于 = = =
需求量 17 18 15
于是，所设决策变量同时满足以上五个方程，且由于 x i j 为调运量，必须非负．
决策变量、约束条件、目标函数分别构成了线性规划数学模型的三大要素．即
决策变量
线性规划数学模型三要
素约束条件

数量约束 非负约束
目标函数
三、建立线性规划数学模型的步骤
建立实际问题线性规划数学模型的过程，实际是“翻译”的过程，即将实际问 题翻译成数学表达式的过程．通常先用文字将实际问题表示出来，再将文字转化为 数学表达式．具体步骤如下：
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教学内容与过程
四、线性规划方法解决的两类问题
1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省； 2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多．
五、线性规划可解决以下几方面的问题
１、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运 费最省；
2、生产组织问题：产资值源一一定定，，如如何何安安排排生生
上述所设的6个决策变量(调运量)应满足一定要求，这些要求就应从供求平
衡开始．
由于供求平衡，供应方和需求方均恰好得到满足，即：两个供应方的粮食恰好 全部运出，三个需求方所需要的粮食也恰好全部得到满足，下面通过列表将文字语 言转化为数学表达式．
供应方：调出量恰好等于产粮量
供应方
调出量
恰好等于
产粮量
A1
x11 x12 x13

x21

x22

x23

27
x11 x21 17

x12

x22
18

x13

x23
15
x i j 0 (i 1,2 ; j 1,2,3)
并使 S 50x11 60x12 70x13 60x21 110x22 160x23 最小．
x11 x12 x13 23

x21

x22

x23

27
所以
x
i
j
(i
1,2;jFra bibliotek1,2,3)
应满足：
x11

x12

x21 x22
17 18

x13

x23
15
x i j 0 (i 1,2 ; j 1,2,3)
称上述条件为约束条件，满足约束条件的解称为可行解．
即该题有无穷多个调运方案，不同调运方案对应不同运费，该问题要从无穷多 个调运方案中找出一个使总运费最省的方案，即使总运费函数
S 50x11 60x12 70x13 60x21 110x22 160x23 取得最小值的一组变量 x i j (i 1,2; j 1,2,3) 的取值．
渭南师范学院 数学系讲稿
~ 2012
2013 学年 第 二 学期
教研室
计算数学
课程名称
线性规划
授课对象
数专升本 12 级
授课教师
路玉麟
职称
讲师
教材名称 《线性规划》•武汉大学出版社•张干宗
2013 年 3 月 10 日
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《线性规划》 课程教案讲稿
授课题目（教学章节或主题）：
产，使产值 (或利润)最高 产，使成本最低
3、配料问题：如何搭配各种原料，既符合质量(营养)要求，又使成本 最低；
4、投资问题：资金一定，投向谁、投多少、期限多长，使若干年后本 利和最高；
5、库存问题：在仓库容量有限情况下，如何确定库存物资的品种、数 量、期限，使库存效益最佳；
6、合理播种问题：在土地资源有限的情况下，种什么、种多少，使效 益最高；
参考资料（含参考书、文献等）：
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教学内容与过程
课后分析
前言
线性规划的英文全称为：Linear Programming，可简称为 LP．
一、线性规划所属学科
线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支．


线性规划
规划论 运筹学 对策论
静态规划 整非数线规性划规划

0 1规划

多目标规划
动态规划
决策论
排队论
图论
存储论
模型论


二、线性规划发展简史
三十年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问 题．1947 年美国数学家丹捷格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为 线性规划奠定了理论基础．五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题 的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、 商业等各个领域．
调运表
调运量 城市
产粮量
B1
B2
B3
(可供应量)
农场
A1
x 11
x12
x13
23
A2 需求量
x 21
x 22
x 23
27
17
18
15
供求平衡
在这五个部门组成的封闭系统中，所有供应方的可供应量之和(23+27=50)为整个 系统的可供应量，整个系统中所有城市粮食需求量之和(17+18+15=50)构成系统的总 需求量．由于该系统的总供应量和总需求量都是 50，相等，故在调运表最后一个单 元格中填写“供求平衡”．此问题即为供求平衡状态下的运输问题．
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教学内容与步骤
备注
注意，此时的 x i j 既表示从农场 A i 发往城市 B j 的发出量，同时也表示城市 B j 从 农场 A i 处的接收量．
如 x13 表示从农场 A1 运往城市 B3 的粮食量，同时表示城市 B3 从农场 A1 处的接
收量． 为方便讨论问题，运输问题通常先列出如下调运表．
综上，该问题数学模型列写如下：
解 设：由农场 A i (i 1,2) 运往城市 B j ( j 1,2,3) 的调运量为
x i j (i 1,2; j 1,2,3) 万吨．则该问题的数学模型为：
求一组变量 x i j (i 1,2; j 1,2,3) 的值，使其满足：
x11 x12 x13 23
……
六、用线性规划方法解决实际问题的步骤
1、提出问题，收集资料； 2、建立线性规划数学模型； 3、用线性规划方法解模型； 4、给出最优决策方案．
七、讲授内容
1、建模； 2、用图解法解线性规划问题； 3、用计算机软件解线性规划模型； 4、写最优决策方案．
八、考试方式：
课后分析
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教学内容与过程
1、设决策变量——根据题目的“问题”，设决策变量； 2、列写约束条件——根据题目要求(字面或隐含)列出约束条件，约束条件中通 常包含非负限制． 3、写目标函数，并注明求最大或最小．通常目标函数要求在题目的问中提出．
四、线性规划问题解的概念
1、可行解：满足约束条件的解称为线性规划问题的可行解． 2、可行解集：全体可行解组成的集合． 3、最优解：使目标函数实现最优的可行解． 4、最优值：最优解对应的目标函数值． 由上述分析知，线性规划问题最终就是要求最优解和最优值，该过程称作解线 性规划问题的过程，或求线性规划问题的解的过程． 通常人们靠经验、靠想象求最优解，如上述例 1，人们通常从当今的最低运费开 始设计，直至满足所有需求方的需求，具体操作如下：
所有线性规划数学模型都要求一组变量的值，称该组变量为决策变量；该组决 策变量都要满足一组条件，称该组条件为约束条件．一般，约束条件由两部分组成： 一部分为非负约束，剩下部分为数量约束；通常，满足约束条件的解若存在有无穷 多个，我们最终不是求这无穷多个解分别是什么，而要寻求一个目标．这个目标由 函数表示，称为目标函数，线性规划问题最终要使目标函数取得最大值或最小值．
此问题充分体现了全局观念．需求方不能仅考虑自己运费是否最低，而必须从 整个封闭系统总运费最低的角度出发，做到局部利益服从整体利益．
该题属第一类问题，即任务一定，如何安排，使人、财、物最省． 通过例 1 对线性规划数学模型有关问题作如下归纳．
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数学系教师教案纸
教学内容与步骤
备注
二、线性规划数学模型的三要素