《全等三角形》 知识清单

《全等三角形》知识清单
一、全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边
叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，如果经过平移、旋转、
翻转等变换后，它们能够完全重合，那么这两个三角形就是全等三角形，点 A 与点 A' 是对应顶点，边 AB 与边 A'B' 是对应边，角 A 与角
A' 是对应角。

二、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应边相等
如果三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'，那么 AB ＝ A'B'，BC ＝
B'C'，AC ＝ A'C'。

2、全等三角形的对应角相等
同样地，如果三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'，那么角 A ＝角 A'，角 B ＝角 B'，角 C ＝角 C'。

3、全等三角形的周长相等、面积相等
因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也相等。

而由于对
应边和对应高都相等，所以面积也相等。

三、全等三角形的判定
1、 SSS（边边边）
三边对应相等的两个三角形全等。

例如，如果在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，AB ＝ A'B'，BC ＝
B'C'，AC ＝ A'C'，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'。

2、 SAS（边角边）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，AB ＝ A'B'，角 B ＝角 B'，BC ＝ B'C'，则三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'。

3、 ASA（角边角）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，角 A ＝角 A'，AB ＝
A'B'，角 B ＝角 B'，那么这两个三角形全等。

4、 AAS（角角边）
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

倘若在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，角 A ＝角 A'，角 B ＝角
B'，BC ＝ B'C'，那么可以得出这两个三角形全等。

5、 HL（斜边、直角边）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

在直角三角形 ABC 和直角三角形 A'B'C' 中，如果斜边 AC ＝斜边A'C'，直角边 BC ＝直角边 B'C'，那么这两个直角三角形全等。

四、全等三角形的证明思路
1、已知两边
（1）找夹角，用（SAS）判定。

（2）找第三边，用（SSS）判定。

2、已知一边一角
（1）边为角的对边时，找任意一角，用（AAS）判定。

（2）边为角的邻边时
找夹角的另一边，用（SAS）判定。

找夹边的另一角，用（ASA）判定。

找边的对角，用（AAS）判定。

3、已知两角
（1）找两角的夹边，用（ASA）判定。

（2）找任意一边，用（AAS）判定。

五、全等三角形的常见模型
1、手拉手模型
两个顶角相等且共顶点的等腰三角形所组成的图形。

通过证明全等
三角形，可以得出一些线段和角的关系。

2、一线三等角模型
一条直线上有三个相等的角，通过构造全等三角形来解决问题。

3、倍长中线法
遇到中线时，将中线延长一倍，构造全等三角形。

4、截长补短法
在证明线段的和差关系时，通过在较长的线段上截取一段等于较短
的线段，或者将较短的线段延长使之等于较长的线段，从而构造全等
三角形。

六、全等三角形的实际应用
全等三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量无法直接到达的
两点之间的距离、设计桥梁的结构、确定物体的位置等。

例如，要测量池塘两端 A、B 的距离，可以在池塘外找一点 C，连
接 AC 并延长至 D，使 CD ＝ AC；连接 BC 并延长至 E，使 CE ＝ CB。

连接 DE，测量出 DE 的长度，就等于 AB 的长度，这是因为三角形ABC 和三角形 DEC 全等（SAS）。

又如，在建筑设计中，工程师们会利用全等三角形的原理来确保建
筑物的结构稳定和对称。

总之，全等三角形是初中数学中非常重要的一个知识点，它不仅是解决几何问题的重要工具，也在实际生活中有很多的应用。

通过对全等三角形的学习，我们可以提高逻辑思维能力和解决问题的能力。