四川省成都六校高一数学上学期期中考试试题

四川省成都六校2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题
（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

） 1．已知集合，1,2,3}{=A 则满足A B A =⋃的非空集合B 的个数是 A ．1 B ． 2 C ． 7 D ．8 2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为 A ． 1+=x y B ． 3
x y -= C ． x
y 1
=
D ． x x y = 3．函数32)1(2
++-=mx x m y 是偶函数，则)3()2()1(f f f 、、--的大小关系是
A ．)1()2()3(->->f f f
B ．)1()2()3(-<-<f f f
C ．)1()3()2(-<<-f f f
D ．)2()3()1(-<<-f f f 4．设)(x f 为奇函数且在)0,(-∞内是增函数，0)2(=-f ，则0)(>x xf 的解集为 A ．),2()0,2(+∞⋃- B ．)2,0()2,(⋃--∞ C ．),2()2,(+∞⋃--∞ D ．)2,0()0,2(⋃-
5．已知⎩⎨⎧≤>=03
0log )(2x x x x f x ，则)]41
([f f 的值是
A ．
91 B ．9 C ．9- D ．9
1
- 6．已知M b
a
==52，且
21
2=+b
a ，则M 的值是 A ．20 B ．52 C ．52± D ．400 7．已知幂函数)()(3
22
Z ∈=--m x x f m m 为偶函数，且在),0(+∞上是单调递减函数，则m
的值为
A ． 0、1、2
B ． 0、2
C ． 1、2
D ． 1
A B C D
8．已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 则b a x g x
+=)(的图像是
9．已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )
1(4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是
A ． )1,0(
B ． )31,0(
C ． )31
,71[ D ． )3
1,71( 10．定义区间],[],(),[),(b a b a b a b a 、、、的长度均为a b d -=，
用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]32.3=，[]33.2-=-，记{}[]x x x -=，设[]{}
1)(,)(-=⋅=x x g x x x f ，若用d 表示不等式)()(x g x f <解集区间的长度，则当30≤≤x 时有 A ． 1=d B ． 2=d C ． 3=d D ． 4=d
二、填空题（本题有5个小题，每小题5分，共25分。

） 11．函数x
x x f -+
+=
21
1)(的定义域是 。

12．函数a x y +=的图象关于直线2=x 对称，则a = 。

13．已知幂函数)(x f y =图象过点)2,2(，则)9(f = 。

14．函数)3(log )(2
2a ax x x f +-=在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 15．已知下列四个命题：①函数x
x f 2)(=满足：对任意2121x x R x x ≠∈且、都有
)]()([21)2(
2121x f x f x x f +<+；②函数1
221)(),1(log )(2
2-+=++=x x g x x x f 不都是奇函数；③若函数)(x f 满足)1()1(+-=-x f x f ，且2)1(=f ，则2)7(-=f ；④设1x 、2x 是关于x 的方程)10(log ≠>=a a k x a 且的两根，则121=x x ，其中正确命
题的序号是 。

三、解答题（本题共6小题，共75分，解答需写出文字说明过程及步骤。

） 16．（本题共12分）设}022|{2
=++=ax x x A ，}023|{2
=+++=a x x x B ，
{2}A B =I 。

（1）求a 的值及B A 、；
（2）设全集I A B =U ，求 (∁I A )U (∁I B )； （3）写出(∁I A )U (∁I B )的所有子集。

17．（本题共12分）
（1）计算32
3log 39)641(5932log 4log 55-
--+- （2）解方程：3)96(log 3=-x
18．（本题共12分）设)(x f 为定义在R 上的偶函数，当1-≤x 时，b x x f +=)(，且)(x f 的图象经过点)0,2(-，又在)(x f y =的图象中，有一部分是顶点为(0,2)，且过)1,1(-的一段抛物线。

（1）试求出)(x f 的表达式； （2）求出)(x f 值域；
19．（本题共12分）有一小型自来水厂，蓄水池中已有水450吨，水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池向居民小区供水，x 小时内供水总量为x 2080吨。

现在开始向池中注水并同时向居民小区供水，问： （1）多少小时后蓄水池中的水量最少？ （2）如果蓄水池中存水量少于150吨时，就会出现供水紧张，那么有几个小时供水紧张？
20． （本题共13分）已知函数)(x f 在R 上满足)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，,0)(>x f 2)1(=f 。

（1）求)0(f 、)3(f 的值； （2）判定)(x f 的单调性； （3）若1
(4)(62)6x
x f a f +-++>对任意x 恒成立，求实数a 的取值范围。

21．（本题共14分）已知函数)10(2
2
log )(≠>+-=a a x x x f a 且。

（1）求)(x f 的定义域； （2）判定)(x f 的奇偶性；
（3）是否存在实数a ，使得)(x f 的定义域为],[n m 时，值域为]1log ,1[log ++m n a a ？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

成都市“六校联考”高2014级第一学期期中试题
数 学 参 考 答 案
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

）：C D B C A B D A C A 二、填空题（本题有5个小题，每小题5分，共25分。

）
11. )2()21(∞+⋃-，，
12. -2 13. 3 14. (-4,4] 15. ①，③，④
三、解答题（本题共6小题，共75分，解答需写出文字说明过程及步骤。

）
16．解：（1）50228}2{-=∴=++∴=⋂a a B A Θ………………………………..3分
}2,5{},2,2
1{-==∴B A ……………………………………………………..6分
（2）∴-=}2,21,5{I Θ(∁I A )⋃(∁I B )= }2
1,5{-。

……………………………...9分
（3）由（2）知(∁I A )⋃(∁I B )的所有子集有：}2
1,5{},5{},2
1{,--∅。

………..12分
17．解：（1）原式=3
235
3236439log 2log 2log 52---+- 2
334322log 52log 5---+-=
21-= (6)
（2）由27log 3)96(log 33==-x
可得：2796=-x
2=∴x
经检验2=x 符合题意。

……………………………………………… …12分
18．解：（1）)0,2()(-的图象经过点x f Θ220=+-=∴b b 即……………… ….2分
为偶函数又时，当)(2)(1x f x x f x Θ+=-≤∴
2)()(1+-=-=≥∴x x f x f x 时，当………………………………………….4分
2)(11-2
+=<<ax x f x 时，依题意设当 12)1(12
-=∴+-=a a 则
2)(11-2
+-=<<∴x x f x 时，当………………………………………………7分
综上⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-<<+--≤+=1211-212
)(2
x x x x x x x f (8)
分
（2）]1,(2)(1-∞∈+=-≤x x f x 时，当
]2,1(2)(112
∈+-=<<-x x f x 时，
当 ]1,(2)(1-∞∈+-=≥x x f x 时，当
]2,()(:-∞∈x f 综上所述………………………………………………..12分
19．解：吨，则有为小时后蓄水池中的水量设y x
x x x x y 516080450208080450-+=-+= )0(≥x ………………2分
（1）)0(50)55(162
≥+-=x x y 50555min ===y x x 时，即则当
吨。

少为小时后蓄水池中水量最505∴ (6)
分
（2）2
5
325150516080450<<<-+x x x 可得由……………………….9分
104
5
44544545=-<<Θx 即 故有10小时供水紧张。

………….…….12分
20．解：（1）)0()0()00(,0f f f y x +=+==可得由已知：令 0)0(=∴f 6
)1()2()3(,422)1()1()2(2)1(=+==+=+==f f f f f f f 可得由 (3)
分
（2） 0)(,0,,12122121>->-<∈x x f x x x x R x x 且则且任取 又∵)()()()(111212x f x x x f x f x f -+-=-
0)()()()(121112>-=-+-=x x f x f x f x x f
)()(21x f x f <即 上的增函数为R x f )(∴。

…………………7分
（3）1
(4)(62
)6x
x f a f +-++>恒成立
由已知及（1）即为)3()264(1
f a f x x
>++-+恒成立
为增函数)(x f Θ
恒成立恒成立，即a a x x x x >+⨯+>++-∴+322432641 (10)
分
2)12(3224)(2++=+⨯+=x x x x g 令
33)(02≤∴>∴>a x g x Θ ]3,(-∞的取值范围是即a 。

(13)
分
21．解：（1）2202
2
>-<>+-x x x x 或可得由 ),2()2,()(+∞⋃--∞∴的定义域为x f 。

(3)
分
（2）)(2
2
log 22log 22log )(x f x x x x x x x f a a a
-=+--=-+=+---=-Θ
在定义域上为奇函数)(x f ∴。

(7)
分
（3），假设存在这样的实数a
n m m m m n m a
a <<+-+<22
2
log 1log 有意义可知和及则由 10log log 1log 1log <<∴<+<+a m n m n a a a a 即又
令上递增在则],[,2
4
122n m t x x x t +-=+-=
上递减在上递减在而],[)(],[log n m x f n m t y a ∴=。

⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+-=+=+-=∴1log 22log )(1log 2
2log )(n n n n f m m m m f a a a a ……………………………………….
10分
的转化为关于的两个实根，于是问题是方程即x x x x n m a a
1log 2
2
log ,+=+- 的方程上有两个不同的实数解在),2(02)12(2
+∞=+-+x a ax 。

则有令,2)12()(2
+-+=x a ax x g
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧>=>-->--=∆08)2(2
21
208)12(2a g a a a a ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧><-<+>⇒06122232223a a a a 或 2
2
230-<
<∴a 10<<a 又 符合题意故存在这样的实数)2
2
23,0(-∈a 。

(14)
分。