2004年高考试题湖南卷数学试题(文史类)
2004年高考全国卷(4)文科数学
2004年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅳ）文科数学(甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,3,5}M =，{1,4,5}N =，则()U MC N =A ．{5}B ．{0,3}C ．{0,2,3,5}D ．{0,1,3,4,5} 2．函数)(2R x e y x ∈=的反函数为A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45角，则此三棱柱的体积为 A ．26 B ．6 C ．66 D ．36 4．函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于A ．1B ．2C ．3D ．45．为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度 6．等差数列}{n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．2207．已知函数14log y x =与y kx =的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则kA ．41-B ．41C ．21- D ．218．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 A ．210种 B ．420种 C ．630种 D ．840种 10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于A ．3-B ．2-C ．1- D．11．已知球的表面积为20π，球面上有,,A B C 三点.如果AB AC BC ===， 则球心到平面ABC 的距离为A ．1B ．2C ．3D ．2 12．ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边.如果,,a b c 成等差数列，30B ∠=，ABC ∆的面积为23，那么b =A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期为3π，则A = . 15．向量a 、b 满足()(2)4a b a b -+=-，且2a =，4b =，则a 与b 夹角的余弦值等于 .16．设y x ,满足约束条件：10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且sin 4α=，求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等比数列，26a =，5162a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明2211n n n S S S ++⋅≤. 19．（本小题满分12分）已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且.21l l ⊥（Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积. 20．（本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学得300分的概率； （Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率. 21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，8AB =，AD =侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60. （Ⅰ）求四棱锥P ABCD -的体积； （Ⅱ）证明PA BD ⊥. 22．（本小题满分14分）双曲线22221x ya b-=（1a >，0b >），的焦点距为2c ，直线l 过点(,0)a 和(0,)b ，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥.求双曲线的离ABCDP心率e 的取值范围.2004年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 B C A D D B A D B C A B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．28 14．23 15．21- 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=当α为第二象限角，且415sin =α时 41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α18．（本小题主要考查等比数列的概念、前n 项和公式等基础知识，考查学生综合运用基础知识进行运算的能力.满分12分.解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=a 1q, a 5=a 1q 4. a 1q=6, 依题意，得方程组a 1q 4=162. 解此方程组，得a 1=2, q=3. 故数列{a n }的通项公式为a n =2·3n －1.（II ） .1331)31(2-=--=n n n S.1,113231332313231)33(3212122222122222212≤⋅=+⋅-+⋅-≤+⋅-++-=⋅++++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n S S S S S S 即19．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.满分12分. 解：y ′=2x +1.直线l 1的方程为y=3x －3.设直线l 2过曲线y=x 2+x －2上 的点B （b, b 2+b －2）,则l 2的方程为y=(2b+1)x －b 2－2因为l 1⊥l 2，则有2b+1=.32,31-=-b所以直线l 2的方程为.92231--=x y（II ）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=92231,33x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,61y x 所以直线l 1和l 2的交点的坐标为).25,61(-l 1、l 2与x 轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(-. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521=-⨯⨯=S20．本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件)3,2,1(=i A i ，则 P （A 1）=0.8，P （A 2）=0.7，P （A 3）=0.6. （Ⅰ）这名同学得300分的概率 P 1=P （A 12A A 3）+P （1A A 2A 3）=P （A 1）P （2A ）P （A 3）+P （1A ）P （A 2）P （A 3） =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228.（Ⅱ）这名同学至少得300分的概率P 2=P 1+P （A 1A 2A 3）=0.228+P （A 1）P （A 2）P （A 3） =0.228+0.8×0.7×0.6 =0.564.21．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分.解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD. 作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ，所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯（Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=⋅ 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.能过计算可得EO=3，AE=23， 又知AD=43，AB=8， 得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.22．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分.解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是 .525≤≤e。
2004年高考数学(湖北卷文史类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科类）（湖北卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设{}|,{|6,}A x x k N B x x x Q ==∈≤∈，则AB 等于（ ）A ．{1,4}B ．{1,6}C ．{4,6}D ．{1,4,6}2．已知点M 1（6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ）A ．23-B ．32-C ．41 D ．4 3．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（ ）A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f4．两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x、三、四象限，则一定有（ ） A ．010><<b a 且 B ．01>>b a 且 C ．010<<<b a 且 D ．01<>b a 且6．四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 （ ）A ．271B ．161 C ．91 D ．81 7．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅ （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有（ ）A ．最大值45B ．最小值45 C ．最大值1D ．最小值19．已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（ ）A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列10．若,111ba <<则下列结论中不．正确的是 （ ）A ．a b b a log log >B ．2|log log |>+a b b aC ．1)(log 2<a bD ．|log log ||log ||log |a b a b b a b a +>+11．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（ ）A ．120B ．240C ．360D ．72012．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．tan2010°的值为 .14．已知1332()nx x -+的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是 .（以数字作答）15．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= . 16．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意B x A x ∉∈有, ②A B ⇔=B A③A B ⇔AB④AB ⇔存在B x A x ∉∈使得,其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知226sin sin cos 2cos 0,[,),sin(2)23ππαααααπα+-=∈+求的值.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，C1B与CB1交于点F.（I）求证：A1C⊥平BDC1；（II）求二面角B—EF—C的大小（结果用反三角函数值表示）.如图，在Rt△ABC中，已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时 的值最大？并求出这个最大值.直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.已知c bx x x g b x x f c b ++=+=>->2)()(,0,1的图象与函数函数的图象相切. （Ⅰ）求b 与c 的关系式（用c 表示b ）；（Ⅱ）设函数),()()()(+∞-∞=在x g x f x F 内有极值点，求c 的取值范围.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科类）（湖北卷）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D 9．C 10．D 11．B 12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．3314．35 15．192 16．④ 17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等基础知识和基本运算技能，满分12分.解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或 由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+= 代入上式得将32tan -=α..3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222即为所求+-=-+--⨯+-+--=+πα解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos πα≠≠a..32tan .0tan ),,2(.0)1tan 2)(2tan 3(.02tan tan 62下同解法一又即-=∴<∴∈=-+=-+ααππααααα18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）∵A 1A ⊥底面ABCD ，则AC 是A 1C 在底面ABCD 的射影. ∵AC ⊥BD.∴A 1C ⊥BD.同理A 1C ⊥DC 1,又BD ∩DC 1=D, ∴A 1C ⊥平面BDC 1.（Ⅱ）取EF 的中点H ，连结BH 、CH ，...,22的平面角是二面角同理C EF B BHC EF CH EF BH BF BE --∠∴⊥⊥∴==又E 、F 分别是AC 、B 1C 的中点，.31arccos .31arccos )31arccos(31464621)46()46(2cos ,,.4623.22222----=-=∠∴-=⨯⨯-+=⋅-+=∠∆===∆∆∴ππ的大小为故二面角得由余弦定理中于是在故是两个全等的正三角形与C EF B BHC CHBH BC CH BH BHC BCH BF CH BH CEF BEF解法二：（Ⅰ）以点C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0). D(1,0,0),B(0,1,0),A 1(1,1,1),C 1(0,0,1),D 1(1,0,1).,,.011,011).1,0,1(),0,1,1(),,1,1,1(11111111111BDC C A D DC BD DC CA BD CA DC CA CA DC BD CA 平面又即⊥∴=⋂⊥⊥=+-=⋅=-=⋅∴-=-==∴（Ⅱ）同（I ）可证，BD 1⊥平面AB 1C..31arccos .31331,cos ),1,1,1(),1,1,1(.,1111111111---=⨯=>=<∴--=---=><π的大小为故二面角的平面角补角的大小就是所求二面角则C EF B D A D A D A19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AQ CQ AB AP BP AQ AP AC AB AC AB -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一 22222()12cos .AP AQ AP AC AB AQ AB AC a AP AC AB APa AP AB AC a PQ BCa a θ=⋅-⋅-⋅+⋅=--⋅+⋅=-+⋅-=-+⋅=-+.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||,||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x y c x y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设.0,,)(0,1cos .cos .cos .cos 2222其最大值为最大时方向相同与即故当a a CQ BP a by cx abycx ⋅==+-=⋅∴=-∴-==θθθθθ 20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得1221222,22.2k x x kx x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）. 则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .566).)(2,2(566566.066252的右焦点为直径的圆经过双曲线使得以可知舍去或解得C AB k k k k k +-=--∉-=+-==-+ 21．本小题考查概率的基础知识以及运用概率知识解决 实际问题的能力，满分12分. 解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为 1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97.方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.22．本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. 解：（Ⅰ）依题意，令.21,12),()(bx b x x g x f -==+'='故得 .21,0,1.4)1(),221()21(2c b c b c b b g b f +-=∴>->=+-=- 得由于 （Ⅱ）.43)(.)(2)()()(22223c b bx x x F bc x c b bx x x g x f x F +++='++++==:)(,0)(,0).3(4)(1216.043,0)(022222的变化如下且有一个实根则若则即令x F x x F c b c b b c b bx x x F '='=∆-=+-=∆=+++='于是0x x =不是函数)(x F 的极值点.)()(,0)(,02121x F x x x x x F '<='>∆且有两个不相等的实根则若的变化如下：由此，)(,)(21x F x x x F x x 是函数的极大值点是函数==的极小值点. 综上所述，当且仅当0∆>时，函数()F x 在()-∞+∞，上有极值点．由()2430b c ∆=->得b <b >1b =-+1∴-+1-+>解之得07c <<-或7c >+故所求c 的取值范围是(()07743-++∞，，．。
2004年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(文史类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么柱体(棱柱、圆柱)的体积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） h V S =柱体如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） h 表示柱体的高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{1,2,3,4,5,6},{|26},P Q x R x ==∈≤≤那么下列结论正确的是 （ ）A ．PQ P = B ．P Q 包含Q C ．P Q Q = D ． P Q 真包含于P2． 不等式21≥-xx 的解集为（ ）A ． )0,1[-B ． ),1[+∞-C ． ]1,(--∞D ． ),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（ ）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件4．若平面向量b 与向量)2,1(-=的夹角是o180，且53||=，则=b （ ）A ． )6,3(-B ． )6,3(-C ． )3,6(-D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。
2004年普通高等学校招生全国统一考试(湖南).doc
2004年普通高等学校招生全国统一考试(湖南)第一卷(三部分，共115分)第一节(共5小题：每小题1．5分，满分7 5分)听下面5段对话．每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个迭项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置．听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下二小题．每段对话仅读一遍．例: How much is the shill?A. ￡19.15.B. ￡9.15.C. ￡9.18.1. What do we learn about the man?A. He slept well on the plane.B. He had a long trip.C. He had a meeting.2. Why will the woman stay home in the evening?A. To wait for a call.B. To watch a ball game on TV.C. To have dinner with a Mend.3. What gift will the woman probably get for Mary?A. A school bag.B. A record.C. A theatre ticket.4. What does the man mainly do in his spare time~A, Learn a language.B. Do some spot's.C. Play the piano.5. What did the woman like doing when she was young?A. Riding a bicycle with friends.B. Travelling the country.C. Reading alone.第二节(共15小题；每小题1-5分，满分22、5什)吓下面5段对话．每段对话后有几个小题，从题中所给的A、B、c三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置．听每段对话前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟：听完后，名小题将给出5秒钟的作答时间．每段对话读两遍．听下面一段材料，回答第6和第7题．6. Where does the conversation take place?A. In a hotelB. At a booking office.C. At a friend's house.7. What will the man probably do in a few days?A. Fly to another country.B. Come to the same hotel.C. Drive here to visit friends.听下面一段材料，回答第8和第10题．8. What did the man worry about at the begiraing of the conversation?A. He might not find everything be wanted.B. He might not have enough money with him.C. He might not be able to catty the shopping.9, How much should the man pay?A. $ 5.B. $ 75.C. $ 75.0510. What did the woman do in the end?A. She charged the mail a little less.B. She asked the man to pay her later.听下面一段材料，回答第11和第13题．C, She made a mistake in adding up die cost.11. Where are the speakers?A. In a classroom.B. In a theatre.C. In an office.12. Why does the man plan to leave early?A. He is gthng on vacation.B. He is going to a performance.C. He is going to the post office.13. What does the woman offer to do?A. Clean the office.B. Pick up the man's son.C. Finish the man's work.听下面一段材料，回答第14和第17题．14. How does the woman feel at the beginning of the conversation?A. Angry.B. Surprised.C. Sad.15. What size bag does the woman want?A. A 24-inch bag,B. A 29-inch bag.C. A 32-inch bag.16. When will the woman leave for Mexico?A. On Thursday.B. On Friday.C. On Saturday.17. Where does the man work?A. At a mail order company.B. At an international travel service.C. At the airport information desk.听下面一段材料，回答第18和第20题．I8. Why did the woman not go to college?A. She didn't pass the exam.B. She wasn't interested in college.C. She couldn't afford college education.19. What job does the woman say she did?A. She was a bus conductorB. She was a shop assistant.C. She was a housekeeper20, What did the woman think of her friend's college life?A. It was busy.B. It was wonderful.C. It was dull.第二部分：英语知识运用(共两节，满分45分)第一节单项填空(共15小题：每小题1分，满分15分)从所给A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，井在答题卡上将该项涂黑．21. Playing tricks on others is _____ we should never do.A. anythingB. somethingC. everythingD. nothing22. ---- ______ for the glass!---- It's OK. I'm wearing shoes.A. Look outB. Walk outC. Go outD. get out23. I work in a business _________ almost everyone is waiting for a great chance.A. howB. whichC. whereD. that24. I think Father would like to know ____ I've been up to so far, so I decide to send him a quick note.A. whichB. whyC. whatD. how25. Turn on the television or open a magazine and you ______ advertisements showing happy familiesA. will often seeB. often seeC. are often seeingD. have often seen26. For a long time they walked without saying ______ word. Jim was the first to break _____ silenceA. the; aB. a; theC. a; 不填D. the; 不填27. Everyone was on time for the meeting _____ Chris, who's usually ten minutes late for everything.A. butB. onlyC. evenD. yet28. ---- Excuse mc, but I want to use your computer to type a report.---- You ______ have my computer if you don't take care of it.A. shan'tB. might notC. needn'tD. shouldn't29. That doesn't sound very frightening, Paul, I've seen _____. What did you like most about the film?A. betterB. worseC. bestD. worst30. He accidentally _____he had quarreled with his wife and that he hadn't been home for a couple of weeks.A. let outB. took careC. made sure D, made out31. ---- I hear Jane has gone to the Holy Island for her holiday.---- Ob, how nice! Do you know when she ______ ?A. was leavingB. had leftC. has leftD. leg32. You can't wear a blue jacket _____ that shirt — it'll look terrible.A. onB. aboveC. upD. over33. You were silly not ____ you car.A. to lockB. to have lockedC. lockingD. having locked34. They've _____ us $150,000 for the house. Shall we take it?A. providedB. Supplied C, shown D. offered35. -- Now, where is my purse?-- _____! We'll be late for the picnic,A. Take your rimeB. Don't worryC. Come onD. Take it easy第二节：完形填空（共20小题；每小题l.5分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从36－55各题所给的四个选项(A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
2004年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷文科数学试题及解答
2004年普通高等学校招生湖南卷文史类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的1．函数的定义域为（）A．B．C．D．2．设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（）A．B．C．D．3．设是函数f(x)=的反函数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．4．如果双曲线上一点P到右焦点的距离为, 那么点P到右准线的距离是（）A．B．13 C．5 D．5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法7．若f(x)=-x2+2ax与在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（）A．B．C．（0，1）D．8．已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（）A．B．C．16，0 D．4，09．若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 （ ）10．从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为 （ ）A ．56B ．52C ．48D ．4011．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ） A ．4200元~4400元 B ．4400元~4600元C ．4600元~4800元D ．4800元~5000元12．设集合U={(x ,y)|x ∈R,y ∈R}, A={(x ,y)|2x -y+m>0}, B={(x ,y)|x +y-n ≤0},那么点P （2，3）的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题 共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．过点P （－1，2）且与曲线y=3x 2-4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是__________. 14．的展开式中的常数项为___________(用数字作答)15．F 1，F 2是椭圆C ：的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________.16．若直线y=2a 与函数y=|a x -1|(a >0,且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_______.xyoA xyo Dxyo Cxyo B三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤.17．（本小题满分12分）18．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.O t x y D A C 1 C 2 B20．（本小题满分12分）已知数列{a n }是首项为a 且公比q 不等于1的等比数列，S n是其前n 项的和，a 1,2a 7,3a 4 成等差数列.（I ）证明 12S 3,S 6,S 12-S 6成等比数列； （II ）求和T n =a 1+2a 4+3a 7+…+n a 3n-2. 21．（本小题满分12分）如图，已知曲线C 1：y=x 3(x ≥0)与曲线C 2:y=－2x 3+3x (x ≥0)交于O ，A,直线x =t(0<t<1)与曲线C 1,C 2分别交于B ，D.（Ⅰ）写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系式S=f(t); （Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.22．（本小题满分14分）如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点（I ）设点P 分有向线段所成的比为，证明:（II ）设直线AB 的方程是x -2y+12=0，过A,B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.2004年普通高等学校招生湖南卷文史类类数学试题参考答案1.D2.D3.C4.A5.C6.B7.D8.D9.A 10.C 11.B 12.A 13．2x －y+4=0 14．84 15．2 16．17．（本小题满分12分）解：由于是18．（Ⅰ）证法一 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD.因为所以 、、共面.又PB 平面EAC ，所以PB//平面EAC. 证法二 同证法一得PA ⊥平面ABCD.连结BD ，设BD AC=O ，则O 为BD 的中点. 连结OE ，因为E 是PD 的中点，所以PB//OE.又PB 平面EAC ，OE 平面EAC ，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD. 知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角的平面角.又E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，所以19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.由题设条件有由①、③得代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0.①② ③解得（舍去）.将分别代入③、②可得即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是（Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为20．（Ⅰ）证明由成等差数列，得，即变形得所以（舍去）.由得所以12S3，S6，S12－S6成等比数列.（Ⅱ）解：即①①×得：所以21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.即（Ⅱ）令解得当从而在区间上是增函数；当从而在区间上是减函数.所以当时，有最大值为22．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为代入抛物线方程得①设A、B两点的坐标分别是、、x2是方程①的两根.所以由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而.所以（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.由得所以抛物线在点A处切线的斜率为设圆C的方程是则解之得所以圆C的方程是即。
2004年高考全国卷(2)文科数学
2004年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅱ）文科数学适用：四川、吉林、黑龙江、云南等地一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合MN =A ．{|2}x x <-B ．{|3}x x >C ．{|12}x x -<< D.{|23}x x << 2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是 A ．)0(51≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51≠+=x xy D ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点(1,1)-处的切线方程为A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y 4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为 A ．1)1(22=++y x B ．122=+y x C ．1)1(22=++y x D ．1)1(22=-+y x 5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是A ．6π-B ．6πC ．12π- D ．12π6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 A ．75 B ．60 C ．45 D ．30 7．函数x e y -=的图象A ．与x e y =的图象关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称 8．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x9．已知向量a 、b 满足：1a =，2b =，2a b -=，则a b +=A ．1B ．2C ．5D ．6 10．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为A ．31B ．33C ．32D ．3611．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 12．在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有A ．56个B ．57个C ．58个D ．60个 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．已知a 为实数，10)(a x +展开式中7x 的系数是15-，则=a .14．设y x ,满足约束条件：021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心的原点的椭圆与双曲线22221x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a ，29a =，521a =.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n a n b 2=，求数列}{n b 的前n 项和n S . 18．（本小题满分12分） 已知锐角三角形中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=. （Ⅰ）求证B A tan 2tan =； （Ⅱ）设3AB =，求AB 边上的高. 19．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支. 求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，1AC =，CB =侧棱11AA =，侧面11AA B B 的两条对角线交点为D ，11B C 的中点为M . （Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面1B BD 与面CBD 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围. 22．（本小题满分14分）给定抛物线C ：24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. （Ⅰ）设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；（Ⅱ）设FB AF λ=，若[4,9]λ∈，求l 在y 轴上截距的变化范围.ABC DMA 1B 1C 12004年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题 C A B C A C D B D B B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．21- 14．5 15．1222=+y x 16．②④ 三、解答题17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，依题意得方程组⎩⎨⎧=+=+,214,911d a d a 解得.4,51==d a所以}{n a 的通项公式为.14+=n a n（Ⅱ）由,21414+=+=n n n b n a 得所以}{n b 是首项512=b ，公式42=q 的等比数列.于是得}{n b 的前n 项和 .15)12(3212)12(24445-⨯=--⨯=n n n S 18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，满分12分.（Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A.2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =（Ⅱ）解：ππ<+<B A 2，,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ，.62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD. 则AB=AD+DB=.622tan tan +=+CDB CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 .7148354815=+C C C C故有一组恰有两支弱队的概率为.76711=-解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523=+C C C C C C（Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 21481533482523=+C C C C C C 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为.2120．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=.2 ∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B. ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3又BB 1=1，A 1B=2. ∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点， ∴CD=21A 1B=1，CD=CC 1，又DM=21AC 1=22，DM=C 1M.∴△CDM ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°，即CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平在BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM.（Ⅱ）设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ，则FG//CD ，FG=21CD. ∴FG=21，FG ⊥BD. 由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D 知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形. 于是B 1G ⊥BD ，B 1G=.23∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角， 又 B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+（2)22=23， ∴ .332123223)21()23(2cos 221212211-=⋅⋅-+=⋅-+=∠FGC B F B FG G B GF B即所求二面角的大小为.33arccos-π 解法二：如图，以C 为原点建立坐标系.（Ⅰ）B （2，0，0），B 1（2，1，0），A 1（0，1，1）， D （)21,21,22，M （22，1，0），),21,21,0(),1,1,2(),21,21,22(1-=--==DM A 则,0,01=⋅=⋅A ∴CD ⊥A 1B ，CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM. （Ⅱ）设BD 中点为G ，连结B 1G ，则 G （41,41,423），22(-=、21、21），),41,43,42(1--=B .,.,0111面角等于所求的二面角的平与又θB BD CD G B BD B ∴⊥⊥∴=⋅∴.33||||cos 11-=⋅=∴G B CD θ 所以所求的二面角等于.33arccos-π 21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数)(x f 的导数 .1)(2-+-='a ax x x f 令0)(='x f ，解得),1(,)1,1(,)1,()(,211,),1()(,211.11+∞---∞>>-+∞≤≤--==a a x f a a x f a a a x x 在内为减函数在上为增函数在函数时即当不合题意上是增函数在函数时即当或为增函数.依题意应有 当.0)(,),6(,0)(,)4,1(>'+∞∈<'∈x f x x f x 时当时 所以 .614≤-≤a 解得.75≤≤a 所以a 的取值范围是[5，7].22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。
2004年高考湖南卷理科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生湖南卷理工农医类数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1．复数4)11(i+的值是 （ ）A ．i 4B ．－i 4C ．4D ．－42．如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离 是（ ）A ．513B ．13C ．5D ．135 3．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 24．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 （ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点。
公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②。
则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 （ ） A ．分层抽样法，系统抽样法 B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法6．设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程 x x f =)(解的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 7．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是（ ）A ．4)11)((≥++ba b a B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||8．数列{}=+++∈=+=→++)(lim *,,56,51,21111n n x n n n n a a a N n a a a a 则中（ ）A ．52 B ．72 C ．41 D ．254 9．设集合}0|),{(},02|),{(},,|),{(≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x U ，那么点P （2，3）⋂∈A （U C B ）的充要条件是（ ）A ．5,1<->n mB ．5,1<-<n mC ．5,1>->n mD ．5,1>-<n m10．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）A ．56B ．52C ．48D ．4011．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。
2004年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(文史类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么柱体(棱柱、圆柱)的体积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） h V S =柱体如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） h 表示柱体的高一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{1,2,3,4,5,6},{|26},P Q x R x ==∈≤≤那么下列结论正确的是 （ ）A ．P Q P =IB ．P Q I 包含QC ．P Q Q =UD ． P Q I 真包含于P 2． 不等式21≥-xx 的解集为（ ）A ． )0,1[-B ． ),1[+∞-C ． ]1,(--∞D ． ),0(]1,(+∞--∞Y 3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（ ）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件4．若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是o180，且53||=，则= （ ）A ． )6,3(-B ． )6,3(-C ． )3,6(-D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。
湖南高考理数自主命题2004-2012(含解析)
2004年普通高等学校招生湖南卷理工农医类数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1．复数4)11(i+的值是 （ ）A ．i 4B ．－i 4C ．4D ．－42．如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离 是（ ）A ．513B ．13C ．5D ．135 3．设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 24．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 （ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点。
公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②。
则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 （ ） A ．分层抽样法，系统抽样法 B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法6．设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 7．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是（ ）A ．4)11)((≥++ba b a B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a22222+≥++D ．b a b a -≥-||8．数列{}=+++∈=+=→++)(lim *,,56,51,21111n nx n n n n a a a N n a a a a 则中（ ）A ．52 B ．72 C ．41 D ．254 9．设集合}0|),{(},02|),{(},,|),{(≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x U ，那么点P （2，3）⋂∈A （U C B ）的充要条件是（ ）A ．5,1<->n mB ．5,1<-<n mC ．5,1>->n mD ．5,1>-<n m10．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）A ．56B ．52C ．48D ．4011．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。
2004年高考试题湖南卷数学试题(理工类)
2004年高考试题湖南卷数学试题（理工类）数学（理工农医类）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项最符合题目要求的。
（1）复数41(1)t +的值是（A ）4t （B ）4t - （C ）4 （D ）4- （2）如果双曲线2211312xy-=上点P，那么点P 到右准线的距离是（A ）135（B ）13 （C ）5 （D ）513（3）设1()fx -是函数2()lo g (1)f x x =+的反函数，若11[1()][1()]8f a f b --++=，则()f a b -的值是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2log 3（4）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点且当棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的度数为（A ）90 （B ）60 （C ）45 （D ）30（5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②。
则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 （A ）分层抽样法，系统抽样法 （B ）分层抽样法，简单随机抽样法 （C ）系统抽样法，分层抽样法 （D ）简单随机抽样法，分层抽样法（6） 设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++=⎨>⎩…若(4)(0),(2)2f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （7）设0,0a b >>，则以下不等式中不恒成立的是 （A ）11()()4a b ab++… （B ）3322a b ab +…（C ）22222a b a b +++… （D（8）数列{}n a 中，*11116,,N 55n n n a a a n ++=+=∈，则120lim ()n n a a a →++⋅⋅⋅+=（A ）25（B ）27（C ）14（D ）425（9）设集合{(,)|R,y R}U x y x =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)B x y x y n =+-0}…，那么点(2,3)()U P A C B ∈ 的充要条件是（A ）1,5m n >-< （B ）1,5m n <-< （C ）1,5m n >-> （D ）1,5m n <->（10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为 （A ）56 （B ）52 （C ）48 （D ）40（11）农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。
2004年高考湖南卷(理科数学)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(湖南卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．复数4)11(i+的值是A ．i 4B ．4i -C ．4D ．4-2．如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离等于13，那么点P 到右准线的距离是A ．513B ．13C ．5D ．1353．设1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，若11[1()][1()]8f a f b --++=，则()f a b +的值为A ．1B ．2C ．3D ．3log 2 4．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为A ．90B ．60C ．45D ．30 5．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法6．设函数20()20x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩,若(4)(0)f f -=，(2)2f -=则关于x 的方程)fx x =解的个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．设0a >，0b >，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 A ．4)11)((≥++ba b a B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a b a -≥-||8．数列{}n a 中，115a =，1165n n n a a +++=，*n N ∈，则12lim()n x n a a a →+++=A ．52B ．72C ．41D ．2549．设集合{(,),}U x y x R y R =∈∈，{(,)20}A x y x y m =-+>，{(,)B x y x y n =+- 0}≤，那么点(2,3)P ()U A C B ∈的充要条件是A ．1m >-，5n <B ．1m <-，5n <C ．1m >-，5n >D ．1m <-，5n >10．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为A ．56B ．52C ．48D ．4011．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元)，预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元.根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于 A ．4200元4400元 B ．4400元4600元 C ．4600元4800元 D ．4800元5000元12．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，()()f x g x '+()()0f x g x '>且(3)0g -=，则不等式0)()(<x g x f 的解集是A ．(3,0)(3,)-+∞B ．(3,0)(0,3)-C ．(,3)(3,)-∞-+∞D ．(,3)(0,3)-∞-二、填空题：本大题 共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b +的最大值是 . 14．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1ξ=表示结果中有正面向上，0ξ=表示结果中没有正面向上，则E ξ= .15．若nxx x )1(3+的展开式中的常数项为84，则n = . 16．设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1,2,i = 3,），使1FP ，2FP ，3FP ，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 .三、解答题：本大题 共6小题，共74分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知1sin(2)sin(2)444ππαα+⋅-=，(,)42ππα∈，求22sin tan cot 1ααα+--的值.18．（本小题满分12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92.（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 19．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=，PA AC a ==，PB =PD =,点E 在PD 上，且:2:1PE ED =.（Ⅰ）证明PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF //平面AEC ？证明你的结论.20．（本小题满分12分） 已知函数2()ax f x x e =，其中0a ≤，e 为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0,1]上的最大值. 21．（本小题满分12分）如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)P m (0m >)作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.（Ⅰ）设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明：()QP QA QB λ⊥+； （Ⅱ）设直线AB 的方程是2120x y -+=， 过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共 同的切线，求圆C 的方程.PABCDE22．（本小题满分14分）如图，直线1l ：1y kx k =+-（0k ≠，12k ≠±），与2l ：1122y x =+相交于点P .直线1l 与x 轴交于点1P ，过点1P 作x 轴的垂线交直线2l 于点1Q ，过点1Q 作y 轴的垂线交直线1l 于点2P ，过点2P 作x 轴的垂线交直线2l 于点2Q ，…，这样一直作下去，可得到一系列点1P 、1Q 、2P 、2Q ，…，点n P （1,2,3,n =）的横坐标构成数列{}n x .（Ⅰ）证明*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+；（Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅲ）比较5||4||22122+PP k PP n 与的大小.1l2l2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学参考答案（文史类 湖南卷）1.D2.A3.B4.C5.B6.C7.B8.C9.A 10.C 11.B 12.D13．4 14．0.75 15．9 16．]101,0()0,101[⋃-17．解：由)24cos()24sin()24sin()24sin(απαπαπαπ+⋅+=-⋅+,414cos 21)42sin(21==+=ααπ得 .214cos =α 又.125),2,4(παππα=∈所以于是 ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222-+-=-+-=--+.325)3223()65cot 265(cos )2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα18．解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅.92)()(,121))(1()(,41))(1()(.92)(,121)(,41)(C P A P C P B P B P A P C A P C B P A P 即 由①、③得)(891)(C P B P -= 代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0.解得 91132)(或=C P （舍去）.将 32)(=C P 分别代入 ③、② 可得 .41)(,31)(==B P A P即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.32,41,31（Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则 .653143321))(1))((1))((1(1)(1)(=⋅⋅-=----=-=C P B P A P D P D P故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.6519．（Ⅰ）证明 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB.① ②③同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD. （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ， 由PA ⊥平面ABCD.知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ， 则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以.3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒===从而 ,33tan ==GH EG θ .30︒=θ （Ⅲ）解法一 以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为 ).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A -).31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以 ).0,21,23(),31,32,0(a a AC a a AE == ).,21,23(),,0,0(a a a a -==).,21,23(a a a -=设点F 是棱PC 上的点，,10),,21,23(<<-==λλλλλ其中a a a PC PF 则 ),21,23(),21,23(λλλa a a a a a -+-=+=)).1(),1(21),1(23(λλλ-+-=a a a 令 21λλ+= 得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-.311,341,1.31)1(,3221)1(21,23)1(2322112211λλλλλλλλλλλλλλ即a a a a a a a 解得 .23,21,2121=-==λλλ 即 21=λ时，.2321+-= 亦即，F 是PC 的中点时，、、共面.又 BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC. 解法二 当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC ，证明如下，证法一 取PE 的中点M ，连结FM ，则FM//CE. ①由 ,21ED PE EM == 知E 是MD 的中点.连结BM 、BD ，设BD ⋂AC=O ，则O 为BD 的中点. 所以 BM//OE. ②由①、②知，平面BFM//平面AEC. 又 BF ⊂平面BFM ，所以BF//平面AEC. 证法二因为 )(2121++=+=.2123)(23)(212321AC AE AD AE AC AD AD DE CD AD -=-+-+=++=所以 BF 、AE 、AC 共面.又 BF ⊄平面ABC ，从而BF//平面AEC.20．解：（Ⅰ）.)2()(ax e ax x x f +='（i ）当a=0时，令 .0,0)(=='x x f 得若),0()(,0)(,0+∞>'>在从而则x f x f x 上单调递增； 若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减.（ii ）当a<0时，令.20,0)2(,0)(ax x ax x x f -===+='或故得若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减；若)2,0()(,0)(,20a x f x f a x ->'-<<在从而则上单调递增；若,2a x ->),2()(,0)(+∞-<'ax f x f 在从而则上单调递减.（Ⅱ）（i ）当a=0时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.1)1(=f（ii ）当02<<-a 时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是a e f =)1(.（iii ）当2-≤a 时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.4)2(22ea a f =-21．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得.0442=--m kx x ①设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根. 所以 .421m x x -=由点P （0，m ）分有向线段AB 所成的比为λ，得.,012121x xx x -==++λλλ即又点Q 是点P 关于原点的对称点，故点Q 的坐标是（0，－m ），从而)2,0(m =.).)1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x λλλλλ-+--=+-+=- ])1([2)(21m y y m λλλ-+-=-⋅221212122212144)(2])1(44[2x mx x x x m n x x x x x x m +⋅+=++⋅+= .0444)(2221=+-⋅+=x mm x x m 所以 ).(λ-⊥（Ⅱ）由 ⎩⎨⎧==+-,4,01222y x y x 得点A 、B 的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.由 y x =2 得 ,21,412x y x y ='=所以抛物线 y x 42=在点A 处切线的斜率为 36='=x y 设圆C 的方程是,)()(222r b y a x =-+-则⎪⎩⎪⎨⎧-++=-+--=--.)4()4()9()6(,3192222b a b a b a b 解之得 .2125)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a所以圆C 的方程是 ,2125)223()23(22=-++y x即 .07223322=+-++y x y x22．（Ⅰ）证明：设点P n 的坐标是),(n n y x ，由已知条件得点Q n 、P n+1的坐标分别是：).2121,(),2121,(1+++n n n n x x x x由P n+1在直线l 1上，得 .121211k kx x n n -+=++所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 .*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+ （Ⅱ）解：由题设知 ,011,1111≠-=--=kx k x 又由（Ⅰ）知)1(2111-=-+n n x kx ， 所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k21的等比数列.从而 .*,)21(21,)21(111N n kx k k x n n n n ∈⨯-=⨯-=--即（Ⅲ）解：由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）.所以 ,)21(2)21(8)11(2)1(2||2222222-+⨯=--++-=n n n n n kk k kx x PP .945])10()111[(45||42222212+=+-+--=+k kk PP k （i ）当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||4212+PP k >1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|021222+<=+⨯<<<PP k PP PP kn n 故所以（ii ）当)21,0()0,21(,21||0⋃-∈<<k k 即时，5||4212+PP k <1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|21222+>=+⨯>>PP k PP PP kn n 故所以。
11---2004年湖南省高考数学卷(理科)
2004年高考试题湖南卷数学(理)试题一.选择题(1)复数4)11(i+的值是(A) 4i (B) –4i (C)4 (D)—4(2)如果双曲线121322y x -=1上一点P 到右焦点的距离等于13,那么点P 到右准线的距离是 (A)513 (B) 13 (C)5 (D)135 (3)设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b fa f,则f(a —b)的值为(A) 1 (B)2 (C)3 (D)3log 2(4) 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 A 90 B 60 C 45 D 30(5)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①：在丙地区中有20个特大型销焦点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（A ）分层抽样，系统抽样法 （B ）分层抽样法，简单随机抽样法 （C ）系统抽样法，分层抽样法 （D ）简随机抽样法，分层抽样法（6）设函数⎩⎨⎧≤++〉=,0,.0,2)(2x c bx x x x f 若f(--4)=f(0),f(--2)=--2,则关于x 的方程xx f =)(的解的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （7）设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （A ）)11)((ba b a ++≥4 （B ）33b a +≥22ab（C ）222++b a ≥b a 22+ （D ）b a -≥b a -（8）数列{}n a 中，,,56,51111*++∈=+=N n a a a n n n 则)(211lim n n a a a +++→Λ= （A ）52 （B ）72 （C ）41 （D ）254（9）设集合n y x y x B m y x y x A R y R x y x U -+=〉+-=∈∈=,{(},02),{(},,),{(≤0},那么点P(2,3) 的充要条件是(A)m ＞—1 ,n ＜5 (B) m ＜--1 ,n ＜5(C) m ＞—1 ,n ＞5 (D) m ＜--1 ,n ＞5(10) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为 (A)56 (B) 52 (C)48 (D)40(12)设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是(A) (--3,0)(13)已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量)1,3(-=b ,则b a -2的最大值是 . (14)同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上, ξ=0表示结果中没有正面向上,则Eξ= .(15)若n xx x )1(3+的展开式中的常数项为84,则n= .(16)设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点),3,2,1(1Λ=i P 使Λ,321FP FP FP 组成公差为d 的等差数列,则d 的取值范围为 . 三.解答题: 本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) 已知),2,4(,41)24sin()24sin(ππππ∈=-⋅+a a a 求1cot tan sin 22--+a a a 的值.(19) (本小题满分12分)如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中,,2,,60a PD PB a AC PA ABC ====︒=∠点E 在PD 上,且PE:ED= 2: 1. (Ⅰ)证明 PA ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小:(Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.(20)(本小题满分12分)已知函数,)(2axe x xf =其中a≤0,e 为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.(21)(本小题满分12分)如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
2007年湖南高考数学试卷和答案(文史类)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式2x x >的解集是（ ） A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．(0)(1)-∞+∞，，2．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+ B ．EF OF OE =- C ．EF OF OE =-+D ．EF OF OE =--3．设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122-B ．2122-C ．10122-D ．11122-5．在(1)nx +（n ∈N*）的二次展开式中，若只有3x 的系数最大，则n =（ ） A ．8B ．9C ．10D ．116．如图1，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A ．48M B ．49M C ．50M D ．51MABC 1A 1C1D1BDEF8．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）AB ．12CD．210．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j =，{123}i j k ∈、，，，，），都有m i n m i n j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为(11)，且与直线4x y -=相切的圆的方程是．12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =π3C =，则A =．13．若0a >，2349a =，则14log a =． 14．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅，（1）b 的取值范围是；水位（M ）图2（2）若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是．15．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是；设E F ，分别是该正方体的棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求： （I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训工程的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率． 18．（本小题满分12分） 如图3，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30． （I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B AC P --的大小．19．（本小题满分13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C的坐标是(10)，． （I ）证明CA ，CB 为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．ABCQ αβ P20．（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，．（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项． 21．（本小题满分13分） 已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=． （I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则AO =3sin 302OH AO ==． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO == 于是在Rt BOH △中，tan 2BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=．不妨设2AC =，则AO =1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，AB CQαβ POHQ所以BO AO == 则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(0A ，(001)C ，，．所以(3AB =，，(0AC =-，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z =+=⎪⎩，取1x =，得1n =．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，．所以1212cos ||||5n n n nθ===． 故二面角B AC P --的大小为arccos19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(2，(2，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是224x y -=．解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有2222244(2)(2)(2)1x y x y y x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N*．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N*，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a-⨯+-项即可） 21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=，且2104x x <-≤．于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11 / 11 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．。
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2004年高考试题湖南卷数学试题（文史类）
数学（文史类）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项最符合题目要求的. （1）函数1lg(1)y x
=-
的定义域是
（A ）{}|0x x < （B ）{}|1x x > （C ）{}|01x x << （D ）{}|0,1x x x <>或 （2）设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则a 、b 满足 （A ）1a b += （B ）1a b -= （C ）0a b += （D ）0a b -=
（3）设1
()f x -是函数()f x =
（A ）1()21f x x --… （B ）1
()21f x x -+… （C ）1()21f
x x --… （D ）1
()21f
x x -+…
（4）如果双曲线2
2
113
12
x
y
-
=上点P ，那么点P 到右准线的距离
是 （A ）
135
（B ）13 （C ）5 （D ）
513
（5）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点且当棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的度数为
（A ）90 （B ）60 （C ）45 （D ）30
（6）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
（A ）分层抽样法，系统抽样法 （B ）分层抽样法，简单随机抽样法 （C ）系统抽样法，分层抽样法 （D ）简单随机抽样法，分层抽样法
（7）若2
()2f x x ax =-+与()1
a g x x =
+在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是
（A ）(1,0)(0,1)- （B ）(1,0)(0,1]- （C ）(0,1) （D ）(0,1]
（8）已知向量(cos ,sin )θθ=a ，向量1)=-b ，则|2|a b -的最大值、最小值分别是
（A
）0 （B
）4, （C ）16，0 （D ） 4，0 （9）若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x 的图象是
（10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为 （A ）56 （B ）52 （C ）48 （D ）40
（11）农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5内，农民的工资性收入将以每年6%的增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于
（A ）4200元~4400元 （B ）4400元~4600元 （C ）4600元~4800元 （D ）4800元~5000元
（12）设集合{(,)|R}U x y x =∈、{(,)|20}A x y x y m =-+>、{(,)B x y x y n =+-0}… 那么点(2,3)()U P A C B ∈ 的充要条件是
（A ）1,5m n >-< （B ）1,5m n <-< （C ）1,5m n >-> （D ）1,5m n <->
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
（13）过(1,2)P -且与曲线2
342y x x =-+在点(1,1)M 处的切线平行的直线方程是 .
（14）2
9
1()x x
+
的展开式中的常数项为 .（用数字作答）
（15）F 1、F 2是椭圆2
2
:
18
4
x
y
C +
=的焦点，在C 满足12PF PF ⊥的点P 的个数是 .
（16）若直线2y a =与函数2
|1|(0,1)y a a a =->≠且的图象有两个公共点，则a 的取值
范围是 .
三、解答题：共大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
已知tan()24
π
α+=，求2
1
2sin cos cos ααα
+的值.
（18）（本小题满分12分）
如图，在底面是菱形的四棱锥P A B C D -中，60,,ABC PA AC a ∠=== PB =
PD =
点E 是PD 的中点.
（Ⅰ）证明PA ABCD ⊥平面， //;
P B E A C 平面 （Ⅱ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值.
（19）（本小题满分12分）
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14
，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件
不是一等品的概率为
112
，甲、乙两台机床加工的零件是一等品的概率为29
.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的的概率. （20）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是首项为a 且公比q 不等于1的等比数列，
n S 是其前n 项和，111,2,3,a a a 成等差数列.
（Ⅰ）证明3612612,,S S S S -成等比数列； （Ⅱ）求和1423223n n T a a a na -=+++⋅⋅⋅+. （21）（本小题满分12分）
如图，已知曲线21:(0)C y x x =…与曲线3
2:23(0)C y x x x =-+…
线(01)x t t =<<与曲线1C 、2C 分别相交于点B 、D .
（Ⅰ）写出四边形A B O D 的面积S 与t 的函数关系()S f t =（Ⅱ）讨论()f t 的单调性，并求()f t 的最大值.
B C
A D E
P
（22）（本小题满分14分）
如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.
（Ⅰ）设点P
分有向线段AB
所成的比为λ，证明()Q P Q A Q B λ⊥- ；
（Ⅱ）设直线AB 是方程是2120x y -+=，过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处共同的切线，求圆C 的方程.。