2018高三 理科数学(一)教师版含答案

高三独家卷
高三理科数学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2
{|320}A x x x =+-≤，2{|log (21)0}B x x =-≤，则A B =（ ）
A ．2|13x x ⎧
⎫-≤≤
⎨⎬⎩
⎭ B ．2|13x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
C ．{|11}x x -≤≤
D ．1
2|23x x ⎧⎫<≤
⎨⎬⎩⎭
【答案】D
2．已知复数z 满足(34i)34i z +=-，z 为z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
【答案】A
3．如图，当输出4y =时，输入的x 可以是（ ）
A ．2018
B ．2017
C ．2016
D ．2014
【答案】B 4．已知x 为锐角，cos 3sin a x
x
-=，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,2]- B ．(1,3) C ．(1,2] D ．(1,2)
【答案】C
5．如图，把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为10的正方形托盘
ABCD 内，已知硬币平放在托盘上且没有任何部分在托盘外，则该硬币完全落在托盘内部1111A B C D 内的概率为（ ）
101
1
1
1
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
A ．18
B ．916
C ．4
π D ．
1516
【答案】B
6．24(1)(1)x x x ++-的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．3- B ．2- C ．1 D ．4
【答案】B
7．已知正项数列{}n a 满足221120n n n n a a a a ++--=，设1
2
1
log n n a b a +=，则数列{}n b 的前n 项此
卷
只
装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
和为（ ） A ．n B ．
(1)
2
n n - C ．
(1)
2
n n + D ．
(1)(2)
2
n n ++
【答案】C
8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ）
A ．62
B ．63
C ．8
D ．9
【答案】D
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a a n ++=+，则20172017
S
=（ ）
A ．1009
B ．1008
C ．2
D ．1
【答案】A
10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()(12)f x f x =-，当[0,6]x ∈时，
6()log (1)f x x =+，若()1([0,2020])f a a =∈，则a 的最大值是（ ）
A ．2018
B ．2010
C ．2020
D ．2011
【答案】D
11．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛
物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111AF BF
+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ） A ．18 B ．30 C ．32 D ．36
【答案】C
12．已知1a >，方程1
e 02
x x a +-=与ln 20x x a +-=的根分别为1x ，2x ，则221212
2x x x x ++的取值范围为（ ）
A ．(1,)+∞
B ．(0,)+∞
C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】A
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知(1,)m =a ，1=b ，7+=a b ，且向量a ，b 的夹角是60︒，则m =________． 【答案】3±
14．已知实数x ，y 满足1
2103x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+≤⎩
，则3z x y =+的最大值是________．
【答案】7
15．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴
的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，
2AF ，2BF 分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF △的周长为16，则1
b
a +的最大值为________． 【答案】
43
16．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，已知2AC =，26PB =，则当PA AB +最大时，三棱锥P ABC -的表面积为________．
【答案】432156
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且
3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=．
（1）求角A 的大小；
（2）若3a =，12
B π
=
，求ABC △的面积． 【解析】（1）由3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=及正弦定理得，
sin (sin cos cos sin )A A C A C +3sin cos B A =-，
即sin sin()A A C +3sin cos B A =-， 又sin()sin 0A C B +=>，所以tan 3A =-，
又(0,)A ∈π，所以23A π
=
． （2）由（1）知23A π=，又12B π=，易求得4
C π
=，
在ABC △中，由正弦定理得3
2sin sin 123
b
=
ππ，所以622b -=． 所以ABC △的面积为1
sin 2
S ab C =16223332224--=⨯⨯⨯=．
18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点M 为11A C 的中点，点N 为1AB 上一动点．
（1）是否存在一点N ，使得线段MN ∥平面11BB C C ？若存在，指出点N 的位置，若不存在，请说明理由．
（2）若点N 为1AB 的中点且CM MN ⊥，求二面角M CN A --的正弦值．
【解析】（1）存在点N ，且N 为1AB 的中点． 证明如下：
如图，连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11A C ，1A B 的中点， 所以MN 为11A BC △的一条中位线，MN BC ∥，
又MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以MN ∥平面11BB C C ．
（2）设1AA a =，则2
2
1CM a =+，22
414a MN +=+28
4
a +=， 222
20
544
a a CN +=+=，
由CM MN ⊥，得222CM MN CN +=，解得2a =．
由题意以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立如图所示的空间直
角坐标系，可得(0,0,0)A ，(0,2,0)C ，21,0,2N ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，
(0,1,2)M ， 故21,0,2AN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)AC =，21,2,2CN ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝
⎭，(0,1,2)CM =-． 设(,,)x y z =m 为平面ANC 的一个法向量，则
0,0,AC AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得20,2
0,y x z =⎧⎪
⎨+
=⎪⎩ 令1x =-，得平面ANC 的一个法向量(1,0,2)=-m ， 同理可得平面MNC 的一个法向量为(3,2,2)=n ， 故二面角M CN A --的余弦值为cos ,315
<>=
⋅m n 5
15=-．
故二面角M CN A --的正弦值为2
5255
11515⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭
．
19．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为
14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，1
3
． （1）求甲、乙两人付费相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．
【解析】（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为111
1424
--=，
乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为111
1333
--=，
设“甲、乙两人付费相同”为事件A ，则1111()4343P A =⨯+⨯111
233
+⨯=，
所以甲、乙两人付费相同的概率是1
3
．
（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18．
111
(6)4312
P X ==⨯=，
11(9)43P X ==⨯111
436
+⨯=，
111(12)432P X ==⨯+1111
3433⨯+⨯=，
111(15)432P X ==⨯+11
34⨯=，
111
(18)236
P X ==⨯=．
因此X 的分布列如下：
所以X 的数学期望()69126E X =⨯+⨯121534+⨯+⨯1864
+⨯=．
20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221(0)x y a b a
b +=>>
A ，F
分别为椭圆的上顶点和右焦点，AOF △的面积为1
2
，直线AF 与椭圆交于另一个点B ，
线段AB 的中点为P ． （1）求直线OP 的斜率；
（2）设平行于OP 的直线l 与椭圆交于不同的两点C ，D ，且与直线AF 交于点Q ，求
证：存在常数λ，使得QC QD QA QB λ⋅=⋅．
【解析】（1），所以2a =即222a b =，2222c a b b =-=， 所以(0,)A c ，(,0)F c ，所以211
22
c =，所以1c =，所以椭圆的方程为2212x y +=．
直线AF 的方程为1y x =-+，联立2
21,
21,
x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
消去y 得2340x x -=，所以43x =或0x =，
所以41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得线段AB 的中点21,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
所以直线OP 的斜率为1
132
203
-=-．
（2）由（1）知，直线AF 的方程为1y x =-+，直线OP 的斜率为
1
2
，设直线l 的方程为1
(0)2
y x t t =
+≠． 联立1,21,y x t y x ⎧
=+⎪⎨⎪=-+⎩得22,3
21.3t x t y -⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩所以点Q 的坐标为2221,33t t -+⎛⎫ ⎪⎝⎭． 所以2222,33t t QA --⎛⎫= ⎪⎝⎭，2222,3
3t t QB ++⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭． 所以28
(1)9
QA QB t ⋅=-．
联立2
21,21,
2
x y y x t ⎧+=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩消去y 得22322202x tx t ++-=，
由已知得2
4(32)0t ∆=->，又0t ≠，得6,00,22t ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1112y x t =
+，221
2
y x t =+， 1243
t
x x +=-，212443t x x -=．
所以112221,33t t QC x y -+⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭112211,323t t x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，
222211,323t t QD x x --⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
，
故
12222233t t QC QD x x --⎛
⎫⎛⎫⋅=++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭1211112323t t x x --⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12
12555()46t x x x x -=++25(1)9t -+=25445544363t t t --⨯-⨯25(1)9t -+2
58(1)49
t =⨯-．
所以54QC QD QA QB ⋅=⋅．所以存在常数5
4
λ=，使得QC QD QA QB λ⋅=⋅．
21．已知函数e ()x
f x x
=，()ln 1g x x =+．
（1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：3()()x f x g x >．
【解析】（1）由题易知2
(1)e '()x
x f x x -=，
当(,0)(0,1)x ∈-∞或时，'()0f x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >， 所以()f x 的单调递减区间为(,0)(0,1)-∞，，单调递增区间为(1,)+∞．
（2）g()x 的定义域为(0,)+∞，要证3
()()x f x g x >，即证3
e ln 1x x x x +>．
由（1）可知()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()(1)e f x f ≥=． 设3ln 1()x h x x +=
，0x >，因为4
23ln '()x
h x x
--=， 当23
(0,e )x -∈时，'()0h x >，当23
(e ,)x -∈+∞时，'()0h x <，
所以()h x 在23(0,e )-
上单调递增，在23
(e ,)-
+∞上单调递减，所以2
2
3
e ()(e )3
h x h -
≤=，
而2
e e 3
>，所以3()()x f x g x >．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
：1232x t y ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 3ρθπ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的极坐标为3,2π⎛⎫
⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB +的值．
【解析】（1）把4sin 3ρθπ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
展开得2sin ρθθ=+，
两边同乘ρ
得22sin cos ρρθθ=+①．
将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①即得曲线C
的直角坐标方程为
2220x y y +--=②．
（2
）将1,232x t y t ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
代入②式，得230t ++=，
易知点M 的直角坐标为(0,3)．
设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t
，12t t +=- 则由参数t
的几何意义即得12MA MB t t +=+= 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()1f x x x m =-+-．
（1）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；
（2）若不等式()21f x m ≥-对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）当3m =时，原不等式可化为135x x -+-≥．
若1x ≤，则135x x -+-≥，即425x -≥，解得12
x ≤-；
若13x <<，则原不等式等价于25≥，不成立； 若3x ≥，则135x x -+-≥，解得92
x ≥
．
综上所述，原不等式的解集为：19|22x x x ⎧
⎫≤-≥⎨⎬⎩
⎭或．
（2）由不等式的性质可知()1f x x x m =-+-1m ≥-， 所以要使不等式()21f x m ≥-恒成立，则121m m -≥-， 所以112m m -≤-或121m m -≥-，解得23
m ≤
， 所以实数m 的取值范围是2|3m m ⎧
⎫≤
⎨⎬⎩
⎭
． 【海南省2018届高三阶段性测试（二模）理数试题用稿】。