深圳育才中学(初中)七年级数学上册期末压轴题汇编

深圳育才中学（初中）七年级数学上册期末压轴题汇编
一、七年级上册数学压轴题
1．已知：AOD 160∠=︒，OB 、OM 、ON ，是AOD ∠ 内的射线．
（1）如图 1，若 OM 平分 AOB ∠， ON 平分BOD ∠．当射线OB 绕点O 在AOD ∠ 内旋转时，MON ∠= 度．
（2）OC 也是AOD ∠内的射线，如图2，若BOC 20∠=︒ ，OM 平分AOC ∠，ON 平分
BOD ∠，当射线OB 绕点O 在AOC ∠内旋转时，求MON ∠的大小．
（3）在（2）的条件下，当射线OB 从边OA 开始绕O 点以每秒2︒的速度逆时针旋转t
秒，如图3，若AOM DON 23∠∠=：：
，求t 的值． 2．已知多项式622437x y x y x ---，次数是b ，4a 与b 互为相反数，在数轴上，点A 表示a ，点B 表示数b ．
(1)a= ，b= ；
(2)若小蚂蚁甲从点A 处以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B 处以4个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O 处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t 秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t ．(写出解答过程)
(3)若小蚂蚁甲和乙约好分别从A ，B 两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s 时一起重新回到原出发点A 和B ，设小蚂蚁们出发t(s)时的速度为v(mm/s)，v 与t 之间的关系如下图，(其中s 表示时间单位秒，mm 表示路程单位毫米) t （s ） 0＜t≤2 2＜t≤5 5＜t≤16 v （mm/s ）
10
16
8
①当t 为1时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是 ．
②当2＜t≤5时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是 ．(用含有t 的代数式表示)
3．已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别为1-，0，3，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ．
（1）如果点P 到点M 、点N 的距离相等，那么x 的值是______．
（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点M 、点N 的距离之和是8？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点P 以每分钟1个单位长度的速度从点O 向右运动，同时另一点Q 从点N 以每分钟2个单位长度的速度向左运动．设t 分钟时点P 和点Q 到点M 的距离相等，则t 的值为______．（直接写出答案）
4．已知，A ，B 在数轴上对应的数分用a ，b 表示，且()2
20100a b -++=，数轴上动点P 对应的数用x 表示.
(1)在数轴上标出A 、B 的位置，并直接写出A 、B 之间的距离； (2)写出x a x b -+-的最小值；
(3)已知点C 在点B 的右侧且BC ＝9，当数轴上有点P 满足PB ＝2PC 时， ①求P 点对应的数x 的值；
②数轴上另一动点Q 从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点Q 能移动到与①中的点P 重合的位置吗？若都不能，请直接回答.若能，请直接指出，第几次移动可以重合。

5．如图，一个电子跳蚤从数轴上的表示数a 的点出发，我们把“向右运动两个单位或向左运动一个单位”作为一次操作，如：当3a =时，则一次操作后跳蚤可能的位置有两个，所表示的数分别是2和5．
（1）若0a =，则两次操作后跳蚤所在的位置表示的数可能是多少？ （2）若3a =，且跳蚤向右运动了20次，向左运动了n 次． ①它最后的位置所表示的数是多少？（用含n 的代数式表示） ②若它最后的位置所表示的数为10，求n 的值．
（3）若10a =-，跳蚤共进行了若干次操作，其中有50次是向左运动，且最后的位置所表示的数为260，求操作的次数．
6．阅读理解：定义：A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是它到点B 的时距离的n （n 为大于1的常数）倍，则称点C 是（A ，B ）的n 倍点，且当C 是（A ，B ）的n 倍点或（B ，A ）的n 倍点时，我们也称C 是A 和B 两点的n 倍点．例如，在图1中，点C 是（A ，B ）的2倍点，但点C 不是（B ，A ）的2倍点．
（1）特值尝试．
①若2n =，图1中，点________是（D ，C ）的2倍点．（填A 或B ）
②若3n =，如图2，M ，N 为数轴上两个点，点M 表示的数是2-，点N 表示的数是4，数________表示的点是（M ，N ）的3倍点．
（2）周密思考：
图2中，一动点P 从N 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动t 秒，若P 恰好是M 和N 两点的n 倍点，求所有符合条件的t 的值．（用含n 的式子表示） （3）拓展应用：
数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的M 和N 两点的所有n 倍点P 均处于点N 的“可视距离”内，请直接写出n 的取值范围．（不必写出解答过程） 7．（背景知识）
数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了一些重要的规律：若数轴上点A ，B 表示的数分别为a ，b ，则A ，B 两点之间的距离| AB a b =-∣，线段AB 的中点表示的数为
2
a b
+． （问题情境）
如图，数轴上点A 表示的数为2-，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒1个单位的速度向右匀速运动．设运动时间为()(0)t s t >．
（综合运用） （1）填空：
①A ，B 两点间的距离AB =______，线段AB 的中点表示的数为________．
②用含t 的代数式表示：(s)t 后，点P 表示的数为_______，点Q 表示的数为_______． （2）求当t 为何值时，P ，Q 两点相遇，并写出相遇点表示的数． （3）求当t 为何值时，1
2
PQ AB =
． （4）若M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出线段MN 的长．
8．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．
例如；如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[,]A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距高是2，那么点D 就不是[,]A B 的美好点，但点D 是[,]B A 的美好点．
如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2．
（1）点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是[,]M N 美好点的是________；写出
[,]N M 美好点H 所表示的数是___________．
（2）现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？
9．如图，在数轴上点A 表示的数是－3，点B 在点A 的右侧，且到点A 的距离是18；点C 在点A 与点B 之间，且到点B 的距离是到点A 距离的2倍． （1）点B 表示的数是；点C 表示的数是；
（2）若点P 从点A 出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点B 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，当P 运动到C 点时，点Q 与点B 的距离是多少？
（3）在（2）的条件下，若点P 与点C 之间的距离表示为PC ，点Q 与点B 之间的距离表示为QB ．在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB ＝4？若存在，请求出此时点P 表示的数；若不存在，请说明理由．
10．（概念提出）
数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n （n ≥1），则称这个点是另外两点的n 阶伴侣点．如图，O 是点A 、B 的1阶伴侣点；O 是点A 、C 的2阶伴侣点；O 也是点B 、C 的2阶伴侣点．
（初步思考）
（1）如图，C 是点A 、B 的 阶伴侣点；
（2）若数轴上两点M 、N 分别表示－1和4，则M 、N 的3
2
阶伴侣点所表示的数为 ；
（深入探索）
（3）若数轴上A 、B 、C 三点表示的数分别为a 、b 、c ，且点C 是点A 、B 的n 阶伴侣点，请直接用含a 、b 、n 的代数式表示c ．
11．如图1，在AOB ∠内部作射线OC ，OD ，OC 在OD 左侧，且2AOB COD ∠=∠．
（1）图1中，若160,AOB OE ∠=︒平分,AOC OF ∠平分BOD ∠，则EOF ∠=______︒； （2）如图2，OE 平分AOD ∠，探究BOD ∠与COE ∠之间的数量关系，并证明； （3）设COD m ∠=︒，过点O 作射线OE ，使OC 为AOE ∠的平分线，再作COD ∠的角平分线OF ，若3EOC EOF ∠=∠，画出相应的图形并求AOE ∠的度数（用含m 的式子表示）． 12．如图，已知∠AOB =120°，射线OP 从OA 位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB 旋转；与此同时，射线OQ 以每秒6°的速度，从OB 位置出发逆时针向射线OA 旋转，到达射线OA 后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ 返回并与射线OP 重合时，两条射线同时停止运动. 设旋转时间为t 秒．
（1）当t =2时，求∠POQ 的度数； （2）当∠POQ =40°时，求t 的值；
（3）在旋转过程中，是否存在t 的值，使得∠POQ =1
2∠AOQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
13．已知150AOB ∠=︒，OC 为AOB ∠内部的一条射线，60BOC ∠=︒．
（1）如图1，若OE 平分AOB ∠，OD 为BOC ∠内部的一条射线，1
2
COD BOD ∠=∠，求
DOE ∠的度数；
（2）如图2，若射线OE 绕着O 点从OA 开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB 结束、OF 绕着O 点从OB 开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA 结束，运动时间t 秒，当EOC FOC ∠=∠时，求t 的值．
14．如图①，直线AB ､CD 相交于点O ，射线OE CD ⊥，垂足为点O ，过点O 作射线OF 使130BOF ∠=︒．
（1）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图②，OE 在BOF ∠的内部，当OE 平分BOF ∠时，OC 是否平分AOF ∠，请说明理由；
（2）将图①中的直线CD 绕点O 逆时针旋转至图③，OD 在AOF ∠的内部，探究AOE ∠与DOF ∠之间的数量关系，并说明理由；
（3）若20BOE ∠=︒，将图①中的直线CD 绕点O 按每秒5°的速度逆时针旋转α度
()0180a ︒<<︒设旋转的时间为t 秒，当AOC ∠与EOF ∠互余时，求t 的值．
15．已知()()32
162025a x x b x -++++是关于x 的二次二项式，A ，B 是数轴上两点，且
A ，
B 对应的数分别为a ，b ．
（1）求线段AB 的中点C 所对应的数；
（2）如图，在数轴上方从点C 出发引出射线CD ，CE ，CF ，CG ，且CF 平分∠ACD ，CG 平分∠BCE ，试猜想∠DCE 与∠FCG 之间是否存在确定的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，已知∠DCE =20°，∠ACE =30°，当∠DCE 绕着点C 以2°
/秒的速度逆时针旋转t 秒(065t <<)时，∠ACF 和∠BCG 中的一个角的度数恰好是另一个角度数的两倍，求t 的值
16．如图，点O 在直线AB 上，90COD ∠=︒．
（1）如图①，当COD ∠的一边射线OC 在直线AB 上（即OC 与OA 重合），另一边射线OD 在直线AB 上方时，OF 是BOD ∠的平分线，则COF ∠的度数为_______．
（2）在图①的基础上，将COD ∠绕着点O 顺时针方向旋转（旋转角度小于360︒），OE 是AOC ∠的平分线，OF 是BOD ∠的平分线，试探究EOF ∠的大小．
①如图②，当COD ∠的两边射线OC 、OD 都在直线AB 的上方时，求EOF ∠的度数． 小红、小英对该问题进行了讨论：
小红：先求出AOC ∠与BOD ∠的和，从而求出EOC ∠与FOD ∠的和，就能求出EOF ∠的度数．
小英：可设AOC ∠为x 度，用含x 的代数式表示EOC ∠、FOD ∠的度数，也能求出EOF ∠的度数．请你根据她们的讨论内容，求出EOF ∠的度数．
②如图③，当COD ∠的一边射线OC 在直线AB 的上方，另一边射线OD 在直线AB 的下方时，小红和小英认为也能求出EOF ∠的度数．你同意她们的看法吗?若同意，请求出EOF ∠的度数；若不同意，请说明理由．
③如图④，当COD ∠的两边射线OC 、OD 都在直线AB 的下方时，能否求出EOF ∠的度数?若不能求出，请说明理由；若能求出，请直接写出EOF ∠的度数．
17．如图1，射线OC 在AOB ∠的内部，图中共有3个角：AOB ∠、AOC ∠、BOC ∠，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB ∠的“定分线”． （1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若MPN a ∠=，且射线PQ 是MPN ∠的“定分线”，则MPQ ∠=________(用含a 的代数式表示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若MPN ∠=48°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ 与PN 成90°时停止旋转，旋转的时间为t 秒；同时射线PM 绕点P 以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ 同时停止．当PQ 是MPN ∠的“定分线”时，求t 的值．
18．综合与探究：射线OC 是AOB ∠内部的一条射线，若1
2
C A BO O C ∠=∠，则我们称射线
OC 是射线OA 的伴随线．例如，如图1，60AOB ∠=︒，20AOC COD BOD ∠=∠=∠=︒，
则1
2AOC BOC ∠=∠，称射线OC 是射线OA 的伴随线；同时，由于12
BOD AOD ∠=∠，称
射线OD 是射线OB 的伴随线．
完成下列任务：
（1）如图2，150AOB ∠=︒，射线OM 是射线OA 的伴随线，则AOM ∠= ︒，若AOB ∠的度数是x ，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线，则NOC ∠的度数
是 ．（用含x 的代数式表示）
（2）如图3，如180AOB ∠=︒，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒6︒的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒10︒的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t （秒），使得COD ∠的度数是20︒，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；
②当t 为多少秒时，射线OC ，OD ，OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请直接写出结果．
19．以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使∠BOC ＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O 处，即∠DOE ＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE 的一边OE 放在射线OA 上，则∠COD ＝ ； （2）如图2，将直角三角板DOE 绕点O 顺时针转动到某个位置，若OE 恰好平分∠AOC ，则∠COD ＝ ；
（3）将直角三角板DOE 绕点O 顺时针转动（OD 与OB 重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD ＝1
3
∠AOE ，求此时∠BOD 的度数．
20．如图，点A 、D 和线段CB 都在数轴上，点A 、C 、B 、D 起始位置所表示的数分别为1-、0、2、14：线段CB 沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度移动，移动时间为t 秒．
（1）当0t =时，AC 的长为______，当2t =秒时，AC 的长为_____． （2）用含有t 的代数式表示AC 的长为______．
（3）当t =_____秒时，5AC BD -=，当t =______秒时，17AC BD +=．
（4）若点A 与线段CB 同时出发沿数轴的正方向移动，点A 的速度为每秒3个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻是的2AC BD =，若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、七年级上册数学压轴题
1．（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】
（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠MO
解析：（1）80；（2）70°；（3）26
【分析】
（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可；
（2）依据OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，即可得到∠MOC=1
2
∠AOC，
∠BON=1
2
∠BOD，再根据∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC进行计算即可；
（3）依据∠AOM=1
2（10°+2t+20°），∠DON=1
2
（160°-10°-2t），∠AOM：∠DON=2：3，
即可得到3（30°+2t）=2（150°-2t），进而得出t的值．
【详解】
解：（1）∵∠AOD=160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠MOB=1
2∠AOB，∠BON=1
2
∠BOD，
∴∠MON=∠MOB+∠BON=1
2∠AOB+1
2
∠BOD=1
2
（∠AOB+∠BOD）=1
2
∠AOD=80°，
故答案为：80；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=1
2∠AOC，∠BON=1
2
∠BOD，
∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC
=1 2∠AOC+1
2
∠BOD-∠BOC
=1
2
（∠AOC+∠BOD）-∠BOC
=1
2
×180-20
=70°；
（3）∵∠AOM=1
2（2t+20°），∠DON=1
2
（160°-2t），
又∠AOM：∠DON=2：3，
∴3（20°+2t）=2（160°-2t）
解得，t=26．
答：t为26秒．
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义和角的计算，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，解决本题的关键是理解动点运动情况．
2．（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）①30mm；②32t-14
【分析】
（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；
（2）分两种情况讨论：①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤
解析：（1）-2，8；（2）6
7
秒或10秒；（3）①30mm；②32t-14
【分析】
（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；
（2）分两种情况讨论：①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t；②甲向左运动，乙向右运动，即t＞2时，此时OA=2+3t，OB=4t-8；
（3）①令t=1，根据题意列出算式计算即可；
②先得出小蚂蚁甲和乙爬行的路程及各自爬行的返程的路程，则可求得小蚂蚁甲与乙之间的距离．
【详解】
解：（1）∵多项式4x6y2-3x2y-x-7，次数是b，
∴b=8；
∵4a与b互为相反数，
∴4a+8=0，
∴a=-2．
故答案为：-2，8；
（2）分两种情况讨论：
①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t；
∵OA=OB，
∴2+3t=8-4t，
解得：t=6
7
；
②甲向左运动，乙向右运动，即t＞2时，此时OA=2+3t，OB=4t-8；
∵OA=OB，
∴2+3t=4t-8，
解得：t=10；
∴甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t为6
7
秒或10秒；
（3）①当t为1时，
小蚂蚁甲与乙之间的距离是：8+10×1-（-2-10×1）=30mm；
②∵小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行，
∴小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于：
10×2+16×3+8×11=156（mm），
∵原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，
∴小蚂蚁甲和乙返程的路程都等于78mm，
∴甲乙之间的距离为：8-（-2）+10×2×2+16×（t-2）×2=32t-14．
故答案为：32t-14．
【点睛】
本题考查了一元一次方程在数轴上两点之间的距离问题中的应用，具有方程思想并会分类
讨论是解题的关键．
3．（1）1 （2）存在，或 （3）或
【分析】
（1）根据两点间的距离列方程求解即可；
（2）分两种情况求解即可；
（3）分点P 和点Q 相遇时和点Q 运动到点M 的左侧时两种情况
解析：（1）1 （2）存在，3x =-或5x = （3）1t =或5t =
【分析】
（1）根据两点间的距离列方程求解即可；
（2）分两种情况求解即可；
（3）分点P 和点Q 相遇时和点Q 运动到点M 的左侧时两种情况求解．
【详解】
解：（1）由题意得
3-x=x-(-1)，
解得
x=1；
（2）存在，
∵MN=3-(-1)=4，
∴点P 不可能在M 、N 之间．
当点P 在点M 的左侧时，
(-1-x)+(3-x)=8，
解得
x=-3；
当点P 在点N 的右侧时，
x-(-1)+(x-3)=8，
解得
x=5；
∴3x =-或5x =；
（3）当点P 和点Q 相遇时，
t+2t=3，
解得
t=1；
当点Q 运动到点M 的左侧时，
t+1=2t-4，
解得
t=5；
∴1t =或5t =．
【点睛】
此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，分类讨论得出是解题关键．4．（1）A、B位置见解析，AB=30；（2）30；（3）①8或-4；②能，第8次【分析】
（1）求出a、b的值，在数轴表示即可，求出AB的距离；
（2）|x-20|+|x+10|的最小值，就是数轴上
解析：（1）A、B位置见解析，AB=30；（2）30；（3）①8或-4；②能，第8次
【分析】
（1）求出a、b的值，在数轴表示即可，求出AB的距离；
（2）|x-20|+|x+10|的最小值，就是数轴上表示20的点，与表示-10的点之间的距离；（3）①求出c的值，设出点P对应的数，用距离列方程求解即可；
②点Q移动时，每一次对应的数分别列举出来，发现规律，得出结论．
【详解】
解：（1）|a-20|+（b+10）2=0，解得：a=20，b=-10；
∴AB=20-（-10）=30；
（2）|x-a|+|x-b|=|x-20|+|x+10|，
当x位于点A与点B之间时，即，-10≤x≤20时，|x-20|+|x+10|的值最小，最小值为
AB=30，
答：|x-20|+|x+10|的最小值为30；
（3）①点C在点B的右侧且|BC|=9，因此点C所表示的数为-1，
设点P表示的数为x，
|x+10|=2|x+1|，解得x=8或x=-4；
②点Q每次移动对应在数轴上的数，
第1次：-1，第3次：-3，第5次：-5，……
第2次：2，第4次：4，第6次：6，……
因此点Q能移动到与①中的点P重合的位置，与8重合时，移动第8次，不可能与-4重合，
答：点Q能移动到与①中的点P重合的位置，移动的次数为8次．
【点睛】
本题考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点之间距离的计算方法，是解决问题的关键．
5．（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次
【分析】
（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②令①中代数式的值为10，求
解析：（1）-2或1或4；（2）①43-n；②33；（3）210次
【分析】
（1）先得出一次操作后所可能表示的数，再得出第二次操作后的数；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②令①中代数式的值为10，求出n值即可；
（3）设跳蚤向右运动了m次，根据题意列出方程，解出m值，再加上50即可．【详解】
解：（1）∵a=0，
则一次操作后表示的数为-1或2，
则两次操作后表示的数为-2或1或4；
（2）①由题意可得：
a=3时，向右运动了20次，向左运动了n次，
∴最后表示的数为：3+20×2-n=43-n；
②令43-n=10，
则n=33；
（3）设跳蚤向右运动了m次，
根据题意可得：
-10-50+2m=260，
则m=160，
∴操作次数为50+160=210．
【点睛】
本题考查了数轴，一元一次方程，解题的关键是要理解“一次操作”的意义．6．（1）①B ；②或7；（2）或或；（3）
【分析】
（1）①直接根据新定义的概念即可得出答案；
②根据新定义的概念列绝对值方程求解即可得出答案；
（2）设点P所表示的数为，再根据新定义的概念列方程求
解析：（1）①B ；②5
2
或7；（2）
3
1n
+
或
3
1
n
n
+
或
3
1
n
n-
；（3）
5
4
n≥
【分析】
（1）①直接根据新定义的概念即可得出答案；
②根据新定义的概念列绝对值方程求解即可得出答案；
（2）设点P所表示的数为42t
-，再根据新定义的概念列方程求解即可；
（3）分
3
1
t
n
=
+
，
3
1
n
t
n
=
+
，
3
1
n
t
n
=
-
三种情况分别表示出PN的值，再根据PN的范围列不
等式组求解即可．
【详解】
（1）①由数轴可知，
点A表示的数为1
-，点B表示的数为2，点C表示的数为1，点D表示的数为0，
1AD ∴=，2AC =，
12
AD AC ∴=， 数点A 不是【D ，C 】的2倍点，
2BD ∴=，1BC =，
2BD BC ∴=，
∴点B 是【D ，C 】的2倍点，
故答案为：B ．
②若点C 是点【M ，N 】的3倍点，
3CM CN ∴=，
设点C 表示的数为x ，
|2|CM x ∴=+，|4|CN x =-，
|2|3|4|x x ∴+=-，
即23(4)x x +=-或23(4)x x +=--，
解得7x =或52x =
， ∴数52
或7表示的点是【M ，N 】的3倍点． （2）设点P 所表示的数为42t -，
点P 是M ，N 两点的n 倍点，
∴当点P 是【M ，N 】的n 倍点时，
PM nPN =，
|422|2t n t ∴-+=⨯，
622t nt ∴-=或262t nt -=， 解得31t n =+或31t n
=-， 1n >，
31t n
∴=+， 当点P 是【N ，M 】的n 倍点时，，
PN nPM =，2|422|t n t =⨯-+，
2(62)t n t ∴=⨯-或2(26)t n t =-，解得31n t n =
+或31n t n =-， ∴符合条件的t 的值为31n +或31n n +或31
n n -． （3）2PN t =， 当31t n =
+时，61PN n =+， 当31n t n =+时，61n PN n
=+，
当31n t n =-时，61
n PN n =-， 点P 均在点N 的可视点距离之内，
30PN ∴≤
630
1630163011
n n n n n n ⎧≤⎪+⎪⎪≤⎪∴+⎨⎪≤⎪-⎪⎪>⎩，解得54n ≥， n ∴的取值范围是54
n ≥． 【点睛】
本题考查了n 倍点的概念，解题的关键是掌握n 倍点的两种不同情况．
7．（1）①10，3；②−2＋4t ，8+t ；（2）t ＝，相遇点表示的数为；（3）t ＝5或；（4）线段的长不发生变化，MN=5
【分析】
（1）①根据A ，B 两点之间的距离，线段的中点表示的数为，即可得到答 解析：（1）①10，3；②−2＋4t ，8+t ；（2）t ＝
103，相遇点表示的数为343；（3）t ＝5或53；（4）线段MN 的长不发生变化，MN =5 【分析】
（1）①根据A ，B 两点之间的距离| AB a b =-∣，线段AB 的中点表示的数为2
a b +，即可得到答案；②根据题意直接表示出P ，Q 所对应的数，即可；
（2）当P 、Q 两点相遇时，P 、Q 表示的数相等列方程，得到t 的值，进而得到 P 、Q 相遇的点所对应的数；
（3）由t 秒后，点P 表示的数−2＋4t ，点Q 表示的数为8+t ，于是得到PQ 的表达式，结合12
PQ AB =，列方程即可得到结论； （4）由点M 表示的数为
2(24)2t -+-+，点N 表示的数为8(24)2
t +-+，即可得到结论． 【详解】 解：（1）①A 、B 两点间的距离AB ＝|−2−8|＝10，线段AB 的中点表示的数为：2832
-+=， 故答案是：10，3；
②由题意可得，(s)t 后，点P 表示的数为：−2＋4t ，点Q 表示的数为：8+t ，
故答是：−2＋4t ，8+t ；
（2）∵当P 、Q 两点相遇时，P 、Q 表示的数相等
∴−2＋4t ＝8+t ，
解得：t ＝
103， ∴当t ＝103
时，P 、Q 相遇， 此时，8+t ＝8＋1034=33
， ∴相遇点表示的数为
343； （3）∵t 秒后， PQ ＝|（−2＋4t ）−（8+t ）|＝|3t −10|， ∵12
PQ AB =＝12×10＝5， ∴|3t −10|＝5，
解得：t ＝5或53
， ∴当t ＝5或53，12PQ AB =； （4）∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，
∴点M 表示的数为
2(24)222t t -+-+=-+， 点N 表示的数为 8(24)322
t t +-+=+， ∴MN ＝()223255t t -+-+=-=，
即：线段MN 的长不发生变化，MN =5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键 ． 8．（1）G ，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】
（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E ，F ，G 到点M ，N 的距离，只有点G 符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离
解析：（1）G ，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】
（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E ，F ，G 到点M ，N 的距离，只有点G 符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N 的距离是到点M 的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P 点的位置，进而可确定t 的值．
【详解】
解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E ，F ，G 到点M ，N 的距离，只有点
G符合条件，
故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．
故答案是：-4或-16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点睛】
本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
9．（1）15，3；（2）3；（3）存在，1或
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求点表示的数；根据线段的倍分关系可求点表示的数；
（2）算出点P运动到点C的时间即可求解；
（3）分点在点左侧时，点
解析：（1）15，3；（2）3；（3）存在，1或11 3
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可求点B表示的数；根据线段的倍分关系可求点C表示的数；（2）算出点P运动到点C的时间即可求解；
（3）分点P在点C左侧时，点P在点C右侧时两种情况讨论即可求解．
【详解】
解：（1）点B表示的数是31815
-+=；点C表示的数是
1
3183
3
-+⨯=．
故答案为：15，3；
（2）当P 运动到C 点时，3[3(3)]42
t =--÷=s ，
则，点Q 与点B 的距离是：3232⨯=； （3）假设存在，
当点P 在点C 左侧时，64PC t =-，2QB t =，
4PC QB +=，
6424t t ∴-+=，
解得1t =．
此时点P 表示的数是1；
当点P 在点C 右侧时，46PC t =-，2QB t =，
4PC QB +=，
4624t t ∴-+=， 解得53
t =． 此时点P 表示的数是113
． 综上所述，在运动过程中存在4PC QB +=，此时点P 表示的数为1或
113． 【点睛】
考查了数轴、两点间的距离，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
10．（1）3；（2）－11，1，2，14；（3）当n ＝1时，c ＝，当n ＞1时，点C 在点A 、B 之间且靠近点B 时，c ＝a ＋ (b －a)；点C 在点A 、B 之间且靠近点A 时，c ＝a ＋ (b －a)；点C 在点A 、B 之
解析：（1）3；（2）－11，1，2，14；（3）当n ＝1时，c ＝
2a b +，当n ＞1时，点C 在点A 、B 之间且靠近点B 时，c ＝a ＋
1n n + (b －a )；点C 在点A 、B 之间且靠近点A 时，c ＝a ＋11n + (b －a )；点C 在点A 、B 之外且靠近点B 时，c ＝a ＋1
n n - (b －a )；点C 在点A 、B 之外且靠近点A 时，c ＝a －
11n - (b －a )． 【分析】
初步思考：（1）可根据n 阶伴侣点的概念判断即可；
（2）根据n 阶伴侣点的概念分类讨论即可；
深入探究：（3）根据n 阶伴侣点的概念分类讨论即可．
【详解】
解：（1）∵O 是点A 、B 的1阶伴侣点；O 是点A 、C 的2阶伴侣点；O 也是点B 、C 的2阶伴侣点，
∴OA =OB ,OC =2OA ,OC =2OB ，
∴AC =3BC ，
∴C 是点A 、B 的3阶伴侣点；
故答案是：3
（2）设表示的数为x ,由题意有： ①|x+1|=23
|x-4|， 解得，x=1或x=-11，
②|x -4|=23
|x +1|， 解得，x=2或x=14，
综上所述，M 、N 的32
阶伴侣点所表示的数为－11，1，2，14； （3）①当n ＝1时，c ＝2
a b +． ②当n ＞1时，无论a ＞b 或a ＜b ，均有下列四种情况：
点C 在点A 、B 之间且靠近点B 时，c ＝a ＋
1n n + (b －a )； 点C 在点A 、B 之间且靠近点A 时，c ＝a ＋
11n + (b －a )； 点C 在点A 、B 之外且靠近点B 时，c ＝a ＋
1n n - (b －a )； 点C 在点A 、B 之外且靠近点A 时，c ＝a －
11
n - (b －a )． 【点睛】
本题主要考查新定义“n 阶伴侣点”， 解题的关键是灵活运用所学知识，结合分类讨论思想解决问题． 11．（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论； （3）根据角
解析：（1）120；（2）2BOD AOE ∠=∠，见解析；（3）见解析，34m ︒或32
m ︒ 【分析】
（1）根据角平分线的性质得到11,22
AOE COE AOC DOF BOF BOD ∠=∠=∠∠=∠=∠，再
结合已知条件即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；
（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．
【详解】
解：（1）∵160AOB ∠=︒，2AOB COD ∠=∠，
∴80COD ∠=︒，
∴80AOC BOD ∠+∠=︒ ，
∵OE 平分,AOC OF ∠平分BOD ∠， ∴11,22
AOE COE AOC DOF BOF BOD ∠=∠=∠∠=∠=∠， ∴1()402
COE DOF AOC BOD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴120EOF COE FOD COD ∠=∠+∠+∠=︒，
故答案为：120；
（2）2BOD AOE ∠=∠．
证明：∵OE 平分AOD ∠，
∴2AOD EOD ∠=∠，
∵COD CO EOD E ，
∴EOD COD COE ∠=∠-∠．
∴(22)2AOD COD COE COD COE ∠=∠-∠=∠-∠．
∵2AOB COD ∠=∠，
∴2AOD AOB COE ∠=∠-∠．
∵BOD AOB AOD ∠=∠-∠，
∴22()BOD AOB AOB COE COE ∠=∠-∠-∠=∠，
∴BOD 2COE ∠=∠；
（3）如图1，当OE 在OF 的左侧时，
∵OF 平分COD ∠， ∴12
COF COD ∠=∠，COD m ∠=︒， ∴12
COF m ∠=︒， ∵COF COE EOF ∠=∠+∠，3COE EOF ∠=∠， ∴142
COF EOF m ∠=∠=︒， ∴18
EOF m ∠=︒， ∴338
COE EOF m ∠=∠=︒． ∵OC 为AOE ∠的平分线，
∴2AOE COE ∠=∠．。