人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 期末复习测试基础卷试题

人教版高三数学第二学期立体几何多选题单元 期末复习测试基础卷试题
一、立体几何多选题
1．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）
A ．AM 与D
B ''10 B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B
C
D ''''-的截面面积为92
C ．四面体A C B
D ''的内切球的表面积为
3
π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使
MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||
AM D B AM D B AM D B ''
⋅''<>=
''为
AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，
22215
43
x y =
++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】
A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，
10
cos ,10||||58
AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=
==''⨯，故正确.
B ：若N 为C
C '的中点，连接MN ，则有//MN A
D '，如下图示，
∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''=
===32
2
， ∴梯形的面积为132932222
S =
⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，
∴118
848323
V =-⨯⨯⨯=
，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323
S π
=⨯⨯⨯⨯=，
∴若其内切圆半径为r ，则有1
8833
3r ⨯⋅=
，即33
r =，所以内切球的表面积为2443
r π
π=
.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且
MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，
构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22
A M C '-
，若(,,0)P x y ，则232
(,,0),(0,22,2),(,,2)22
AM AC AP x y '=-
=-=-，
∴15
cos ||||512
AM AC MAC AM AC '⋅'∠=
=='⨯
222cos ||||
43
AP AC PAC AP AC x y '
⋅'∠=
='++⨯22215
5
43
x y =
++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.
故选：AB 【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.
2．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S S
S ⋅=； B ．3
3
3
3
A B C D S S S S <++；
C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222
111sin sin sin 1αβγ++=；
D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则
22cos α+2222cos cos 1βγ+=．
【答案】ACD 【分析】
由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误.
【详解】
由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，
则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．
对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又1
2
A S BC O D '=
⋅，1
2
BCO
S BC O O '=
⋅， 2
22211
24
D
S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
所以2
A BCO
D S S
S ⋅=，故A 正确．
对B ：当1a b c ===时，333
18
B C D S S S ===
，则333
38B C D S S S ++=，
而3
3
32288A S ⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭
，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．
设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，AM =
(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =
所以2
2
2
222
222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM AB
AM AC
AM AD
αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⋅⋅⋅⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
2222
2
2
1x y z AM
AM
AM
=
+
+
=，所以D 正确．
对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，
由D 有222
222cos cos cos 1αβγ++=，
由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.
【点睛】
关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.
3．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0
60,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）
A ．BC FM ⊥
B ．A
C 与平面MOF 3C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°
D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB
【答案】AD 【分析】
证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；
利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ； 【详解】
由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，
所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；
因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为
1
2
，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作
//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF
与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A
，所以
23BC =，则1
3,12
OF BC OM =
==，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面
MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确； 故选：AD.
【点睛】
方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
4．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）
A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形
B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4
π C ．当1PM =时，截面的面积为52
D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD 【分析】
点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】
A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，
由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以
DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角
形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；
若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，
在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；
B 选项中，因为截面总与P
C 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABC
D 所成的锐角为定值，
不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故
MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC
中，MN =2，2，故在直角三角形MNQ 中，2
cos 2
NQ MNC MN ∠=
=
，故4
MNC π
∠=
，故B 正确；
C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PM
PE EPM
=
=∠，故E 为PD 的中点，同理，F
是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1
222
EF BD =
=G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1
//,2
GH BD GH BD =
，有//,22GH EF GH EF ==EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中
4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面
PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以
PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:
依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()
2
2
321h =-=，
面积是
1
22122⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确；
D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，211
24
M BCD P BCD P ABCD V V V V ---==
=，故剩余部分13
4
P ABCD V V -=
，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.
5．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥
B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A D
C 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立
D ．四棱锥1A BCD
E -体积最大值为24
【答案】CD 【分析】
利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为24
. 【详解】
如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ， 则45CDF ∠=︒，22DF =
，故212254222222
CF =+-⨯⨯=，
故222DC DF CF ≠+即2
CFD π
∠≠
．
若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，
因为1
AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE
平面BCDE DE =，
1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，
因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故12
2
A F =， 又四边形BCDE 的面积为13211122
⨯-⨯⨯=， 故此时体积为1322
3224
⨯
⨯=
，故D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，
则1//,2IM CD IM CD =
，而1
//,2
BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，
故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确． 故选：CD.
【点睛】
本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.
6．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形 B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直 D ．四边形1BFD E 面积的最大值为2 【答案】BD 【分析】
由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,且最大值为2,可判断D 正确. 【详解】 如图所示,
对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E 平面11ABB A BE =,平面1BFD E
平
面111CC D D D F =,
所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误; 对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥, 又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D , 当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时, 有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D , 又因为EF ⊂平面1BFD E ,
所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;
对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD , 当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值, 此时1212S D E BE =⋅=,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】
本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.
7．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．
A ．棱的高与底边长的比为
22
B ．侧棱与底面所成的角为4
π C ．棱锥的高与底面边长的比为2 D ．侧棱与底面所成的角为
3
π 【答案】AB 【分析】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h =
=得254
h a
=，然后可得侧面积为2
4
2108a a
+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后
求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h =
=，即254h a
= 所以其侧面积为222224
4
215410842244a a a h a a a
⋅⋅+=+=+令()24
2108f a a a =+，则()23
3
21084f a a a
⨯'=- 令()2
3
3
210840f a a a
⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减
当()
32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增
所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =
所以棱锥的高与底面边长的比为
2
，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4
SAO π
∠=，故B 正确，D 错误
故选：AB 【点睛】
本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.
8．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）
A ．11A C ⊥平面11B
B D D B ．1BD ⊥平面1ACB
C ．1B
D 与底面11BCC B 2 D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条 【答案】ABD 【分析】
由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ． 【详解】
对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，
1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥， 由于四边形1111D C B A 为正方形，则11
11AC B D ⊥， 1
111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；
对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，
1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，
因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，
1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ， 1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥，
1AC
B C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确；
对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且11
1112
tan 2
C D C BD BC ∠=
=，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，
()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，
设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221
cos ,21DA m DA m DA m
y z ⋅<>=
=
=
⋅++， 1122
111cos ,2
21CB m z
CB m CB m
y z ⋅+<>=
=
=⋅⋅++， 整理可得2222
3
41
y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-
由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =± 因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理；
二是利用面面垂直的性质定理；
三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；
另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．
9．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）
A ．0MN EF ⋅=
B ．ME NE =
C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3
D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】
证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积1
2
S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可. 【详解】
对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF
BB '⊥，
BD BB B '⋂=，
所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，
因此0MN EF ⋅=，故A 正确．
对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，
平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以
//MF EN ，
同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．
对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积1
2
S MN EF =
⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小， 此时2MN EF ==，即面积S 的最小值为1；
当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最
大，
此时3MN =，即面积S 的最大值为
6， 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6，故C 不正确． 对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积
1112123346
M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=
⋅=⨯⨯=△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，
则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积
21122
ABCD A B C D V V ''''-==正方体，
所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将
四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体
ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.
10．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为
2，则（ ）
A ．BF ⊥平面EAB
B ．该二十四等边体的体积为
203
C ．该二十四等边体外接球的表面积为8π
D ．PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为22
【答案】BCD 【分析】
A 用反证法判断；
B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；
C 先找到球心与半径，再
计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断． 【详解】
解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，
90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾， 所以A 错；
对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，
则该二十四等边体的体积为3
112028111323
-⋅⋅⋅⋅⋅=，
所以B 对；
对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ， 即为该二十四等边体外接球的球心， 其半径为2R =
248R ππ=，所以C 对；
对于D，因为PN在平面EBFN内射影为NS，所以PN与平面EBFN所成角即为PNS
∠，
其正弦值为
2
2
PS
PN
==，所以D对．
故选：BCD．
【点睛】
本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。