2018-2019学年河南省信阳市息县一中高一下学期第七次阶段性考试数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年河南省信阳市息县一中高一下学期第七次阶
段性考试数学（文）试题
一、单选题 1．23sin()6
π
-
的值是 ( )
A ．
12 B ．12
-
C ．
2
D ．【答案】A
【解析】试题分析：231
sin()sin(4)sin 6662
ππππ-=-+==，选A. 【考点】诱导公式.
2．下列说法正确的个数为（ ） ①若a r
，b r
是两个单位向量，则a b =r
r
；
②若a b r r ∥，b c r r ∥，则a c r r P ；
③a r 与任何一向量平行，则0a =r
；
④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r
.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】利用单位向量，向量平行，向量的数量积公式直接求解. 【详解】
在①中，若a r ，b r 是两个单位向量，则||||a b =r r
，故①错误；
在②中，若若a b r r
∥，b c r
r
∥，则当0b =r
r 时，//a c r r
不一定成立，故②错误； 在③中，a r 与任何一向量平行，由零向量平行于所有向量，得0a =r
，故③正确;
在④中，由向量得数量积不满足结合律，得()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r
不成立，故④错误.
故选：A 【点睛】
本题考查了向量的相关知识点，考查了学生概念理解，综合分析的能力，属于基础题. 3．下列四个结论中，正确的是（ ） A ．函数tan 4y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
是奇函数
B ．函数sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期是π C ．函数tan y x =在(,)-∞+∞上是增函数 D ．函数cos y x =在区间72,2()4k k k ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣
⎦
Z 上是增函数 【答案】D
【解析】运用奇函数的定义，可判断A ；运用周期性的定义，计算()()2
f x f x π
+
=，
即可判断B ；由正切函数的单调性，可判断C ；由余弦函数的单调增区间，可判断D. 【详解】
对于A ，由于()tan ()4f x x f x π⎛
⎫
-=-+≠- ⎪⎝
⎭
，则不为奇函数，故A 错； 对于B ，由
()|sin[2()]||sin[(2)]||sin(2)|()22333
f x x x x f x πππππ
π+=++=++=+=，则最小正
周期是
2
π
，故B 错; 对于C ，函数tan y x =在(,),22
k k k Z π
π
ππ-
+∈上是增函数，故C 错; 对于D ，函数cos y x =在区间[]2,22()k k k ππππ++∈Z 上是增函数，故D 正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查了正弦、余弦、正切函数的性质，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ） A ．
1
5
B ．
25
C ．
825
D ．
925
【答案】B
【解析】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件的总数为2
5
10n C ==，
甲被选中包含的基本事件的个数11
144m C C ==，所以甲被选中的概率25
m p n =
=，故
【考点】古典概型及其概率的计算．
5．已知角α的终边经过点(3,4)--，则（ ） A ．4sin 5
α= B ．3cos 5
α=
C ．4tan 3
α=
D ．3tan 4
α=-
【答案】C
【解析】由任意角三角函数的定义即得解. 【详解】
设角α的终边所在圆的半径为r,由题意得，9165r =
+=，所以
434sin ,cos ,tan 553
y x y r r x ααα=
=-==-== 故选：C 【点睛】
本题考查了任意角三角函数的定义，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
6．函数()tan 2f x x x =-在区间,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】可分析得函数f (x )为奇函数，图像关于原点对称，排除A ,C ；再当2
x π
→
时，
tan ,()x f x →+∞→+∞，故排除D ，即可得解.
函数()tan 2f x x x =-定义域,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
关于原点对称，且
()tan()2tan 2()f x x x x x f x -=-+=-+=-
则f (x )为奇函数，图像关于原点对称，排除A ,C 当2
x π
→
时，tan ,()x f x →+∞→+∞，故排除D
故选：B 【点睛】
本题考查了借助函数性质判断函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.
7．已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31y
x =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：
则实数m =（ ） A ．0.8 B ．0.6
C ．1.6
D ．1.8
【答案】D
【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844
m m y +++==+，
线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514
m
+=⨯-，
解得：8.1=m . 本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（ ）
A ．8-
B ．4-
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数32,0
,0x x y x x ⎧>=⎨≤⎩
的
值，从而计算得解. 【详解】
执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数32,0
,0x x y x x ⎧>=⎨≤⎩
的值，
由于20x =-<，可得2
(2)4y =-=，则输出的y 等于4，故选C. 【点睛】
该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有读取程序框图的输出的结果，在解题的过程中，需要明确框图的功能，从而求得结果.
9．已知()1,3a =v ，(),2b x =v ，()1,2c =-v
，若()
a b c +⊥v v v ，则x ＝（ ）
A ．9-
B ．9
C ．11-
D ．11
【答案】B
【解析】利用题中所给的条件，求得(1,5)a b x +=+v
v 然后利用()0a b c +⋅=r r r ，根据向
量数量积公式求得x 所满足的等量关系式，求得结果. 【详解】
因为(1,3),(,2),(1,2)a b x c ===-v v v ，所以(1,5)a b x +=+v
v ，
因为()a b c +⊥r r r ，所以()0a b c +⋅=r r r
，
即(1)(1)250x +-+⨯=，解得9x =，故选B. 【点睛】
该题考查的是有关向量垂直的条件，涉及到的知识点有向量的加法运算法则，向量垂直的条件，向量数量积的坐标公式，正确使用公式是解题的关键.
10．若向量，满足，则 A ．0 B ．m
C ．
D ．
【答案】A 【解析】由两边平方，化简即可得结果.
【详解】 向量，满足
，
，
，
．
故选A ． 【点睛】
本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.
11．已知向量222,2a x x b x x ⎫⎫==⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭
v v ，()f x a b =⋅v v ，要
得到函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向左平移3
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移6
π
个单位 D ．向右平移
6
π
个单位 【答案】C
【解析】分析：首先求解()f x 的解析式，然后结合三角函数的平移性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：
()22222sin cos sin 2f x a b x x x x x x x =⋅===v
v ，
而sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， 据此可知：要得到函数23y sin x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，只需将()f x 的图象向左平移
6
π
个单
位.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，三角函数图象的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．下列四个函数中，图象可能是如图的是（ ）
A ．sin sin 2y x x =+
B ．sin sin 2y x x =-
C ．sin sin 3y x x =+
D ．sin 2sin3y x x =+
【答案】D
【解析】分别画出各个选项对应的函数图像，逐个与题中所给的图像对照，得出结果. 【详解】
函数sin sin 2y x x =+的图形为：
，
函数sin sin 2y x x =-的图像为：
，
函数sin sin 3y x x =+的图像为：
，
函数sin 2sin3y x x =+的图像为：
，
将选项与题中所给的图像逐个对照，得出D 项满足条件， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关函数图像的选择和判断问题，在解题的过程中，可以应用几何画板将函数图像一一作出，与所给的图像对照得出结果，但是在考场上是不可能应用几何画板的，所以可以借助于同一个周期上零点的个数来得到.
二、填空题
13．(
)sin 20cos10cos200sin 190︒
︒
︒
︒
--=________.
【答案】
12
. 【解析】利用诱导公式：
()cos(18020)co )cos200sin 190sin(19s20,0o o o o ︒︒=-=-+=-，
sin(18010)sin10o o o =-+=，再利用和角公式即得解.
【详解】
利用诱导公式：(
)cos(18020)co )cos200sin 190
sin(19s20,0o
o
o
o
︒
︒
=-=-+=-，
sin(18010)sin10o o o =-+=，
故：
()1sin 20cos10cos 200sin 190sin 20cos10cos 20sin10sin 302
o o o ︒︒︒︒︒︒-===
+- 故答案为：12
【点睛】
本题考查了诱导公式，和角公式的应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.
14．由下面的茎叶图可知，甲组数据的众数和乙组数据的极差分别是________.
【答案】21，43.
【解析】根据众数、极差的定义，观察茎叶图中的数据可得解. 【详解】
根据众数的定义可知甲组数据的众数是21；从茎叶图中可以发现，乙组数据中的最大值是52，最小值是9，所以极差为52-9=43. 故答案为：21，43 【点睛】
本题考查了茎叶图、以及众数、极差的定义，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.
15．在半径为2的圆O 内任取一点F ，则点P 到圆心O 的距离大于1的概率为________. 【答案】
3
4
. 【解析】由题意画出图形，分别求出大圆面积与小圆面积，由测度比是面积比得到答案. 【详解】 如图，
大圆的半径为2，小圆半径为1，在大圆O 内任取一点P ，则点P 到圆心O 的距离大于
1的概率为222
213
24
P πππ⋅-⋅==⋅. 故答案为: 34
【点睛】
本题考查了几何概型的应用，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于基础题. 16．已知向量(2,1)a =r
，(1,)b m =-r
，若a r
与b r
夹角为钝角，则m 的取值范围是________.（用区间表示） 【答案】11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U . 【解析】化已知问题为两向量的数量积为负，且向量不共线，解不等式组可得. 【详解】
向量(2,1)a =r ，(1,)b m =-r ，若a r 与b r 夹角为钝角,则0,a b ⋅<r
r 且a r 与b r 不反向共线，
故：1
2(1)10,2
m m ⨯-+⋅<-
≠ 解得：2,m <且12
m ≠-
故答案为：11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭U
【点睛】
本题考查了向量的数量积在研究向量夹角中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
三、解答题 17．已知12sin 13θ=-
，θ是第三象限角，求cos 6πθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值；
【解析】由平方关系得出cos θ，再利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】
由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ==-
511212cos cos cos sin sin 66621321326πππθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭【点睛】
本题主要考查了利用平方关系，两角和的余弦公式化简求值，属于基础题.
18．己知平面上三个向量a r ，b r ，c r
，其中a =r
.
（1）若||1b =r
，且a b r r
∥，求b r
的坐标； （2
）若||c =
r
(23)()a c a c -⊥+r r r r ，求a r 与c r
的夹角.
【答案】（1
）1,22⎛ ⎝⎭
或1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）4π. 【解析】（1
）设()b a λλλ===r r
，由||1b =r ，求出12
λ=±，由此能求出
b r ；
（2）设a r 与c r
的夹角为θ
，由||c =
r
(23)()a c a c -⊥+r r r r ，求出2a c ⋅=r r
，从
而cos θ=，即得解. 【详解】
（1）∵平面上三个向量a r
，b r
，c r
，a =r
，//a b r
r ， ∴
设()b a λλλ===r
r
， ∵||1b =r
，
1=，解得12
λ=±
，
∴11,222b a ⎛== ⎝⎭r r
或11,222b a ⎛=-=-- ⎝⎭
r r . （2）设a r 与c r
的夹角为θ，
∵||c =
r
(23)()a c a c -⊥+r r r r
，
∴22(23)()230a c a c a a c c -⋅+=-⋅-=r r r r r r r r
， ∵24a =r ，22c =r
，∴2a c ⋅=r r
，
∴cos ||||2
a c a c θ⋅===
r r
r r ，∴4πθ=， ∴a r 与c r
的夹角为
4
π
.
【点睛】
本题考查了向量的综合运算，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
19．当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活.一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中随机抽取n 名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图： 组数 分组（单位：岁）
频数 频率 1
[20,25)
5
0.05
2
[25,30)
20 0.20
3
[30,35)
a 0.35
4 [35,40) 30 b
5 [40,45]
10 0.10 合计 n
1.00
（1）求出表中a ，b ，n 的值，并补全频率分布直方图；
（2）媒体记者为了做好调查工作，决定在第2，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名市民进行问卷调查，再从这6名1民中随机抽取2名接受电视采访，求第2组至少有一名接受电视采访的概率.
【答案】（1）100n =，35a =，0.3b =，直方图见解析；（2）0.6.
【解析】（1）根据频率分布表中频数和频率的比例关系，即可求解得到a ，b ，n ；
（2）分别求出第2，4，5组中用分层抽样的方法得到的人数，利用古典概型计算即得解. 【详解】
（1）由题意及频率分布表可知：50.05100n =÷=， 所以10003535a =⨯=，30
0.3100
b =
=. 补全频率分布直方图，如图所示.
（2）第2，4，5组总人数为420301060++=，
故第2组应抽人数为20
6260⨯
=，记为1，2， 第4组应抽人数为30
6360⨯=，记为a ，b ，c ， 第5组应抽人数为10
6160
⨯=，记为m . 从这6名市民中随机抽取两名的所有的基本事件有：
(,)m a ，(,)m b ，(,)m c ，(,1)m ，(,2)m ，(,)a b ，(,)a c ，(,1)a ，(,2)a ，(,)b c ，(,1)b ，
(,2)b ，(,1)c ，(,2)c ，(1,2)，共15个，
符合条件第2组至少有一名接受电视采访的基本事件有9个， 故第2组至少有一名接受电视采访概率为宝贝9
0.615
p ==. 【点睛】
本题考查了统计与概率综合，考查了频率分布表，频率分布直方图，分层抽样，古典概型等知识点，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.
20．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所花费的时同，为此进行了6次试验，收集数据如下：
零件数x （个） 1 2 3 4 5
6 加工时间y （小时） 3.5
5
6
7.5
9
11
（1）在给定的坐标系中画出散点图，并指出两个变量是正相关还是负相关； （2）求回归直线方程；
（3）试预测加工7个零件所花费的时间？
附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，……，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
()()
()1
1
2
2
2
1
1
ˆn
n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y
y x y
nx y
b
x x x
nx ====---⋅==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-. 【答案】（1）见解析；（2）51
ˆ 1.935
y
x =+；（3）预测加工7个零件时所花费的时间为12.1小时.
【解析】（1）在给定的坐标系中画出散点图，根据点的分布判断正相关； （2）计算,x y ，求出回归系数，写出回归直线方程. 【详解】
（1）在给定的坐标系中画出散点图如图所示：
根据点的分布是从左向右上的，如这两个变量是正相关. （2）计算1
(123456) 3.56
x =
⨯+++++=， 1
(3.5567.5911)76
y =⨯+++++=r ，
6
1
1 3.5253647.559611172.5i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
6
2222221
12345691i
i x
==+++++=∑，
∴2
17256 3.5751
ˆ916 3.535b
-⨯⨯==-⨯， 51
ˆ7 3.5 1.935
a
=-⨯=， ∴回归直线方程为51ˆ 1.935y x =+；
（3）当7x =时，51
ˆ7 1.912.135y
=⨯+=， 预测加工7个零件时所花费的时间为12.1小时. 【点睛】
本题考查了回归直线方程，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于中档题. 21．一只口袋有形状大小质地都相同的4只小球，这4只小球上分别标记着数字
1,2,3,4.
甲乙丙三名学生约定：
（i ）每个不放回地随机摸取一个球； （ii ）按照甲乙丙的次序一次摸取； （iii ）谁摸取的球的数字对打，谁就获胜.
用有序数组(),,a b c 表示这个试验的基本事件，例如：()1,4,3表示在一次试验中，甲摸取的是数字1，乙摸取的是数字4，丙摸取的是数字3；()3,1,2表示在一次实验中，甲摸取的是数3，乙摸取的是数字1，丙摸取的是数字2. （Ⅰ）列出基本事件，并指出基本事件的总数； （Ⅱ）求甲获胜的概率；
（Ⅲ）写出乙获胜的概率，并指出甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关？
【答案】（1）24（2）1
3P =（3）乙获胜的概率为13
；甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关
【解析】（Ⅰ）该问题相当于从4个数字中找出3个数字的有序数组共有多少，按照一定的顺序写出即可；
（Ⅱ）认真读题，判断甲获胜对应的基本事件都有哪些，之后应用公式求得结果； （Ⅲ）分析题意，得到乙获胜的概率，从而求得丙获胜的概率，可以发现与顺序无关. 【详解】
（Ⅰ）基本事件为：
()()()1,2,3,1,2,4,1,3,2, ()()()1,3,4,1,4,21,4,3， ()()()2,1,3,2,1,4,2,3,1, ()()()2,3,4,2,4,12,4,3， ()()()3,1,2,3,1,4,3,2,1, ()()()3,2,4,3,4,13,4,2， ()()()4,1,2,4,1,3,4,2,1, ()()()4,2,3,4,3,14,3,2.
基本事件的总数是24.
（Ⅱ）事件“甲获胜”所包含的基本事件为：
()()()()3,1,23,2,14,1,24,1,3 ()()()()4,2,14,2,34,3,14,3,2.
甲获胜的概率为：81243P ==； （Ⅲ）乙获胜的概率为1
3
；甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关.
【点睛】
该题考查的是有关随机事件的概率问题，涉及到的知识点有基本事件一一列举，找出满足条件的基本事件，分析问题和解决问题的能力，注意对基础知识要牢固掌握. 22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,cos )A x ，(1sin ,cos )B x x +，且
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，A ，B ，C 三点满足1133OC DA OB =+u u u r u u u r u u u r .
（1）求证：A ，B ，C 三点共线；
（2）若函数2
1()2||3f x OA OC m AB m ⎛⎫=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r 的最小值为143，求实数m 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1m =-
或m =
. 【解析】（1）利用向量共线定理证明AC AB u u u r u u u r
∥即可； （2）数量积运算以及二次函数的单调性，即可得出. 【详解】
证明：（1）∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，
(1,cos )A x ，(1sin ,cos )B x x +，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
A ，
B ，
C 三点满足2133
OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r
.
∴2111()3333
AC OC OA OA OB OA OB OA AB =-=+-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
∴AC AB u u u r u u u r ∥.
又AC u u u r ，AB u u u r
有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线.
解：（2）∵(1,cos )OA x =u u u r ，(1sin ,cos )OB x x =+u u u r ，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， ∴2121
(1,cos )(1sin ,cos )3333
OC OA OB x x x =+=++u u u r u u u r u u u r
11sin ,cos 3x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
， ∴2
11sin cos 3
OA OC x x ⋅=++u u u r u u u r
，||sin AB x ==u u u r ，
∴函数2
1()2||3f x OA OC m AB m ⎛⎫=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r
22111sin cos 2sin 33x x m x m ⎛
⎫=+++++ ⎪⎝
⎭，
即222()12sin cos 3f x m x x m ⎛
⎫=++
++ ⎪⎝⎭
222sin 2sin 22=x m x m ⎛
⎫-++++ ⎪⎝
⎭
2
21219sin 2339x m m m ⎡⎤⎛
⎫=--++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦.
∵0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，∴sin (0,1]x ∈. ①当121
3
m+≤，即1
6
m ≤时，当sin 1x =时， 22min 2514
()1222333
f x m m m m =-++++=++=，
解得3m =-或1m =，又1
6
m ≤时，∴3m =-.
②当1132
m +>，即1
6m >时，当sin 0x =时，
2min 14()23
f x m =+=
，解得m =
又16m >
，
∴3
m =，
∴综上所述，m 的值为1m =-或3
m =. 【点睛】
本题考查了向量与函数综合，考查了学生综合分析、转化与划归、数学运算的能力，属于较难题.。