龙贝格+实验报告
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
龙贝格算法-数值分析-实验报告
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一、任务综述于分析
1.1 任务
1、 根据所掌握龙贝格算法，独立编写程序，实现具体问题的求解等； 2、 自己设计一个多项式，根据设定的代数多项式进行测试，调式程序； 3、 对所设计的程序解决实际问题并分析，撰写分析报告
1.2 分析
1、 首先先明确什么是龙贝格算法，了解他的基本原理，画出流程图，编写程序代码。 2、 自己设计一个多项式，对他利用龙贝格算法求出他的积分。并与真实值比较，检测程序是否有错误。 并进一步修改完善程序。可以多试几个多项式，来判断程序的正确性。 3、 任务三实际上是求平面曲线长的问题。利用弧长微分公式可求得结果。
四、测试 ................................................................................................................................................. 8
主要参考资料
《数值分析简明教程》 《数值分析课程设计》
王能超 陈越、童若锋
高等教育出版社 浙江大学出版社
教研室签字： 年 月 日
院签字： 年 月 日
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目录
目录 ......................................................................................................................................................... 3 一、任务综述于分析 ............................................................................................................................. 4
河北工业大学数值分析实验三实验四实验报告
数值分析实验报告指导老师：宛艳萍姓名：班级：学号：实验三 复化辛卜生法，龙贝格法1.实验名称：复化辛卜生法，龙贝格法2.实验目的1）通过实际计算体会各种方法的精确度。
2）会编写用复化辛卜生、龙贝格算法求定积分的程序。
3.算法描述1）用复化辛卜生法计算积分 dxx I ⎰+=12)1/(1算法：复化辛卜生公式为S n =h/6∑∑+-=+++)]()2/(4)([11k k kn k x f h x f xf ,计算过程为：1．令,/)(n a b h -= ),2/(1h a f s +=;02=s2．对1,,2,1-=n k计算),2/(11h kh a f s s +++=)(22kh a f s s ++=3．))(24)((6/21b f s s a f h s +++= 。
2）龙贝格算法计算dxxI ⎰+=102)1/(156e ε=-算法)((12/12∑-=++=n k k n n n x f h T T ;/)(n a b h n -= n k h k x )2/1(2/1+=+)(3/122n n n n T T T S -+= )_(15/122n n n n S S S C +=)(63/122n n n n C C C R -+=用事后估计法控制精度2|5e -6n n R R -< 。
4.源程序：1）/* 用复化辛卜生公式求积分 */ #include "stdio.h" float fx(float x){double f;f=1.0/(1.0+x*x); return f; } double fs(int n){double a=0.0,b=1.0,h,s,s1,s2=0; int i;h=(b-a)/n; s1=fx(a+h/2); for(i=1;i<n;i++){s1=s1+fx(a+i*h+h/2); s2=s2+fx(a+i*h);}s=(h/6.0)*(fx(a)+fx(b)+4*s1+2*s2);return s;}void main(){printf("实验三复化辛卜生法计算机112 耿向飞学号：112434\n");printf("s(2)=%lf\ns(4)=%lf\ns(8)= %lf",fs(2),fs(4),fs(8));}2）/* 龙贝格法 */#include "stdio.h"#include "math.h"#define E 2.71828182//被积函数f(x)double fx(double x){double f;f=1/(1+x*x);return f;}//梯形公式求tndouble tx(int n){double s3=0.0,h,t,b=1.0,a=0.0;int i;h=(b-a)/n;for(i=1;i<n;i++)s3=s3+fx(i*h);t=(h/2)*(fx(a)+fx(b)+2*s3);return t;} double s(int n){double s;s=tx(2*n)+(1.0/3.0)*(tx(2*n)-tx(n ));return s;}double c(int n){double c;c=s(2*n)+(1.0/15.0)*(s(2*n)-s(n)) ;return c;}double r(int n){double r;r=c(2*n)+(1.0/63.0)*(c(2*n)-c(n)) ;return r;}void main(){double rr,pp;int n=1;rr=r(n);pp=r(2*n)-r(n);printf("实验三龙贝格法计算机112 耿向飞学号：112434\n");printf("结果为：%.15lf 误差小于等于： %.15lf",rr,pp);}5.运行结果1）复化辛卜生公式2）龙贝格算法6.对算法的理解与分析：复化辛卜生公式和龙贝格算法适用于求数值积分，而且都能提高计算积分的精度龙贝格算法其实是在复化辛卜生公式递推的基础之上生成的一种精度高，而且收敛速度也较快的一种算法。
实验报告7—数值积分
标题：积分方程的数值积分计算1.实验描述：数值积分最突出的优点是它可以计算无法解析求解的积分问题。
根据节点的选择方法可将数值积分分为常见的：组合梯形公式法、组合辛普生公式法、龙贝格积分法、自适应积分法、高斯—勒让德积分法。
本实验利用5种方法计算同一积分，通过误差分析比较各种方法的优缺点。
2.实验内容：计算320sin(4)x x e dx -⎰，并进行误差分析。
具体内容如下： 1.用组合梯形公式10M =计算。
2.用组合辛普生公式5M =计算。
3.用龙贝格积分计算，本次实验中采用4阶公式(4,4)R 计算。
4.用自适应积分方法计算，本次实验中起始容差：0=0.00001ζ。
5.用5点高斯—勒让德积分计算。
通过误差分析比较各种方法的优缺点。
3.实验原理及分析：数值积分的目的是：通过在有限采样点上计算()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
设01...M a x x x b =<<<=，若有：()[][]ba f x dx Q f E f =+⎰，其中[]Q f 形如：0[]()Mk k k Q f w f x ==∑，则称[]Q f 为面积公式，[]E f 为截断误差，0{}M k k x =为面积节点，0{}M k k w =为权。
根据节点{}k x 的选择方法可将积分方法分为：组合梯形公式法、组合辛普生公式法、龙贝格积分法、自适应积分法、高斯—勒让德积分法。
下面着重介绍5种方法的原理：①组合梯形公式法及误差分析：设等距节点k x a kh =+，0,1,...,k M =将区间划分为宽度为b a h M-=的M 个子区间，M 个子区间的组合梯形积分公式有3种等价表示方法： 11(,)(()())2Mk k k h T f h f x f x -==+∑011(,)=(2...2)2M M h T f h f f f f -++++ 11(,)(()())()2M k k h T f h f a f b h f x -==++∑ ②组合辛普生公式法误差分析：设等距节点k x a kh =+，0,1,...,2k M =将区间分为2M 个宽度为2b a h M-=的子区间,2M 个子区间的组合辛普生积分公式也有3种等价表示方法：222121(,)(()4()())3Mk k k k h S f h f x f x f x --==++∑ 012322212(,)(424...24)3M M M h S f h f f f f f f f --=+++++++ 12211124 (,)(()())()()333M Mk k k k h h h S f h f a f b f x f x --===+++∑∑ ③龙贝格积分法及误差分析：龙贝格积分法是利用理查森外推法来提高精度的，下面给出一般公式：4(,1)(1,1)(,)41K K R J K R J K R J K ----=- 其中J K ≥ (,0)()R J T J =,为梯形公式；(,1)()R J S J =,为辛普生公式；(,2)()R J B J =，为布尔公式。
龙贝格(Romberg)算法的应用实验报告
Lab4 龙贝格（Romberg）算法的应用下面图1中的塑料雨蓬材料是由图2中所示的长方形平板塑料材料压制而成。
图1 图2已知图1的横截面曲线形状满足函数，则给定了雨蓬的长度后，要求需要平板原材料的长度。
函数接口定义：double Integral(double a, double b, double (*f)(double x, double y, double z), double TOL, double l, double t)在接口定义中：a、b分别为定积分的上、下界，f是积分核函数，其中x是积分哑元，y、z是本题目定义的特殊参数，分别对应中的l和t；TOL是要求积分达到的精度；l和t传入裁判输入的参数l和t的值。
另注意：的单位是厘米，输出的长度值要求以米为单位。
裁判程序样例如下：#include<stdio.h>#include<math.h>double f0( double x, double l, double t ){ /* 弧长积分的核函数*/return sqrt(1.0+l*l*t*t*cos(t*x)*cos(t*x));}double Integral(double a, double b, double (*f)(double x, double y, double z), double TOL, double l, double t);int main(){double a=0.0, b, TOL=0.005, l, t;while (scanf("%lf %lf %lf", &l, &b, &t) != EOF)printf("%.2f\n", Integral(a, b, f0, TOL, l, t));return 0;}裁判输入样例：2 100 1标准输出样例：1.68实验报告：1.求解步骤参照书上的龙贝格求积算法2.步骤①利用k=0;h=b-a;T[0][0]=(h/2)*(f(a,l,t)+f(b,l,t));求解T0(0)3.求解T0(0)到T0(k)的值由公式h=b−an 及h=b−a2k可得n=2k其中h为步长，n为二分次数又由递推公式：T2n=12T n+ℎ2∑f(xk+12)n−1k=0得T2k+1=12T2k+b−a2k+1∑f[a+b−a2k+1(2i−1)]2k−1i=1，k=0,1,2,3~其中xk+12= a+ℎ2(2i−1)。
计算方法 实验报告 拉格朗日 龙贝格 龙格库塔
主界面：
/*lagrange.c*/
float real_value(float x) /*由被插值函数计算真实值*/
c=getchar();
if(c=='N'||c=='n') break;
}
}
/*romberg.c*/
double function(double x) /*被积函数*/
{
return 4.0/(1+(x)*(x));
}
double t(double a,double b,int m) /*计算T1*/
实验二（龙贝格公式）
§公式
§算法描述
§流程图
§运行结果
§结果分析：Romberg积分法是在积分步长逐步折半的过程中，用低精度求积公式的组合得到更高精度求积公式的一种方法，它算法简单，且收敛加速效果极其显著。
实验三（四阶龙格库塔）
§公式
k1=h*f(xn,yn);
k2=h*f(xn+h/2,yn+k1/2);
T1=t(a,b,0);
T2=T1/2.0+t(a,b,1);
S1=(4*T2-T1)/3.0;
T1=T2;
T2=T1/2.0+t(a,b,2);
S2=(4*T2-T1)/3.0;
C1=(16*S2-S1)/15.0;
T1=T2;
T2=T1/2.0+t(a,b,3);
S1=S2;
S2=(4*T2-T1)/3.0;
数值分析实验报告2
实验报告一、实验名称复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分。
二、实验目的及要求1. 掌握复合梯形求积计算积分、复合辛普森求积计算积分、龙贝格求积计算积分和自适应辛普森积分的基本思路和步骤.2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境计算机，MATLAB 软件 四、实验内容1.用不同数值方法计算积分94ln 10-=⎰xdx x 。
（1）取不同的步长h 。
分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确指比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善。
（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。
（3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10-4。
五、算法描述及实验步骤1.复合梯形公式将区间[a,b]划分为n 等份，分点x k =a+ah,h=(b-a)/h,k=0,1,...,n ，在每个子区间[x k ,x k +1](k=0,1,...,n-1)上采用梯形公式（1.1），得)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰（1.1） )]()(2)([2)]()([211110b f x f b f hx f x f h T n k k k n k k n ++=+=∑∑-=+-= （1.2）),(),(12)(''2b a f h a b f R n ∈--=ηη （1.3）其中Tn 称为复合梯形公式，Rn 为复合梯形公式的余项。
2.复合辛普森求积公式将区间[a,b]划分为n 等份，在每个子区间[x k ,x k +1](k=0,1,...,n-1)上采用辛普森公式（1.4），得)]()2(4)([6b f ba f a f ab S +++-=（1.4）)]()(2)(4)([6)]()()([611102/112/11b f x f x f b f hx f x f x f h S n k k n k k k k n k k n +++=++=∑∑∑-=-=+++-= （1.5） ),(),()2(180)()4(4b a f h a b f R n ∈-=ηη （1.6）其中Sn 称为复合辛普森求积公式，Rn 为复合辛普森求积公式的余项。
数值分析龙贝格实验报告
实验三 龙贝格方法【实验类型】 验证性【实验学时】 2学时【实验内容】1.理解龙贝格方法的基本思路2.用龙贝格方法设计算法，编程求解一个数值积分的问题。
【实验前的预备知识】1．计算机基础知识2．熟悉编程基本思想3．熟悉常见数学函数；【实验方法或步骤】龙贝格方法的基本思路龙贝格方法是在积分区间逐次二分的过程中，通过对梯形之值进行加速处理，从而获得高精度的积分值。
1． 龙贝格方法的算法步骤1 准备初值()f a 和()f b ，用梯形计算公式计算出积分近似值()()12b a T f a f b -=+⎡⎤⎣⎦ 步骤2 按区间逐次分半计算梯形公式的积分近似值令2i b a h -=，0,1,2,...i =计算12102122n n n i i h T T f x -+=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，2i n = 步骤3 按下面的公式积分梯形公式：()223n n n n T T S T -=+辛普生公式：()2215n n n n S S C S -=+龙贝格公式：()2263n n n n C C R C -=+步骤4 精度控制 当2n n R R ε-<，（ε为精度）时，终止计算，并取2n R 为近似值否则将步长折半，转步骤2。
[实验程序]#include<iostream.h>#include<math.h># define Precision 0.00001//积分精度要求# define e 2.71828183#define MAXRepeat 10 //最大允许重复double function(double x)//被积函数{double s;s=2*pow(e,-x)/sqrt(3.1415926);return s;}double Romberg(double a,double b,double f(double x)){int m,n,k;double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q;h=b-a;y[0]=h*(f(a)+f(b))/2.0;//计算T`1`(h)=1/2(b-a)(f(a)+f(b)); m=1;n=1;ep=Precision+1;while((ep>=Precision)&&(m<MAXRepeat)){p=0.0;for(k=0;k<n;k++){xk=a+(k+0.5)*h; // n-1p=p+f(xk); //计算∑f(xk+h/2),T} // k=0p=(y[0]+h*p)/2.0; //T`m`(h/2),变步长梯形求积公式s=1.0;for(k=1;k<=m;k++){s=4.0*s;// pow(4,m)q=(s*p-y[k-1])/(s-1.0);//[pow(4,m)T`m`(h/2)-T`m`(h)]/[pow(4,m)-1 ],2m阶牛顿柯斯特公式，即龙贝格公式y[k-1]=p;p=q;}ep=fabs(q-y[m-1]);//前后两步计算结果比较求精度m=m+1;y[m-1]=q;n=n+n; // 2 4 8 16h=h/2.0;//二倍分割区间}return q;}main(){double a,b,Result;cout<<"请输入积分下限:"<<endl;cin>>a;cout<<"请输入积分上限:"<<endl;cin>>b;Result=Romberg( a, b, function);cout<<"龙贝格积分结果："<<Result<<endl; return 0;}。
微分方程数值解法实验报告-Runge-Kutta格式、三阶Admas
《微分方程数值解法》课程实验报告1 实验内容要求：用经典三级三阶R-K 格式求解微分方程初值问题，并给出误差分析。
2算法描述先用C 的方法写出一个算法动态库,里面封装龙格库塔算法函数采用迭代原理，用递归实现,生成并模块化导出dll,lib 文件,两个文件中均包含了该函数偏移地址,在在源文件中隐式链接该库里的龙格库塔函数,从而得出结果.3 实验数据与实验结果 ⎩⎨⎧=-+-==1|1'0x y x y y1.0)1,0(=∈h x4 程序代码清单：Win32动态库Algorithm.dll 代码: #include <stdio.h> #include <math.h>#define e 2.718281828459045double x[11]={0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0}; double y[12]={1.0,0}; int x1=0,x2=1; int count=1;void RungeKutta(double h){ double K1,K2,K3; double ExactSolution; double Error; if(count==12){ return; } K1=-y[count-1]+x[count-1]+1; K2=-(y[count-1]+h*K1/3)+(x[count-1]+h*K1/3)+1; K3=-(y[count-1]+2*h*K2/3)+(x[count-1]+2*h/3)+1; y[count]=y[count-1]+h*(K1+3*K3)/4; ExactSolution=x[count-1]+pow(e,-x[count-1]); Error=y[count-1]-ExactSolution; printf("%lf %lf %lf %lf\n",x[count-1],ExactSolution,y[count-1],Error);count++; RungeKutta(h); }模块化导出文件Algorithm.def代码:LIBRARY AlgorithmEXPORTSRungeKutta @1入口函数实现功能代码:#include <stdio.h>#pragma comment(lib,"../lib/Algorithm.lib")int main(){double h;printf("用三级三阶龙贝格库塔方法解微分方程y'=x-y+1,x属于区间(0,1)\n");printf("请输入系数h的值:\n");scanf("%lf",&h);printf("-----------------------------------------------------\nx 精确解 R-k解yn 误差:\n");RungeKutta(h);return 0;}5:运行结果:1 实验内容要求：用三阶Admas 预报修正格式求解差分方程初边值问题。
龙贝格+实验报告
实验三 龙贝格求积分一、 实验目的用算法实现龙贝积分运算，求解I=∫01X 3/2dx 的积分二、 实验原理三、 算法设计与程序流程图算法设计：(先假定所求积分二分最大次数次数为20)1、 先求T[k][0]2、 再由公式).,2,1(141144)(1)1(1)( =---=-+-k T T T k m m k m m mk m 求T[i][j]3、 在求出的同时比较T[k][k]与T[k-1][k-1]的大小，如果二者之差的绝对值小于1e-5，就停止求T[k][k]；此时的k 就是所求的二分次数，而此时的T[k][k]就是最终的结果4、 打印出所有的T[i][j]；程序流程图：NYN 开始N=20,a=0,b=1求T[0][0]K=0T[k][0] = 0.5*T[k-1][0] + h*s;m=0K++,h=h/2;n=2k-1;s=0m=m+1s+=(*f)(a+(2*m-1)*h);k=Nm<=n 求T[i][j],k=0NNY四、 源程序#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#define a 0 //区间下限#define b 1 //区间上限#define N 20 //最大加速次数double f(double x){return(pow(x,1.5));}void main(){double h=b-a;int i,j,k,m,n;double T[N][N],s; T[0][0]=h*((*f)(a)+(*f)(b))/2.0; for(k = 1;k<N;k++){h = (b-a) * pow(0.5,k);n = (int)pow(2,k-1);s=0.0;for(m=1;m<=n;m++){s+=(*f)(a+(2*m-1)*h);K++输出 T[k][m]=pow(4,m)/(pow(4,m)-1)*T[k][m-1]-1/(pow(4,m)-1)*T[k-1][m-1] m++ m=0m<=k fabs(T[k][k]-T[k-1][k-1])<1e-5结束}T[k][0] = 0.5*T[k-1][0] + h*s;}for(k=1;k<N;k++){for(m=1;m<=k;m++){T[k][m]=pow(4,m)/(pow(4,m)-1)*T[k][m-1]-1/(pow(4,m)-1)*T[k-1][m-1];}if(fabs(T[k][k]-T[k-1][k-1])<1e-5){break;}}printf("R=%.6lf\n",T[k][k]);printf("k=%d \n",k);printf("T:\n");for(i = 0;i<=k;i++){for(j = 0;j<=i;j++)printf("%.6lf ",T[i][j]);printf("\n");}}五、程序运行六、结果分析如上所示的结果与课本中求得的结果完全一样，表明程序编写正确，且符合要求，事实上，只要再将所求值的精度设置得更小，则所求的结果将更加准确，最终将无限接近于标准值，由上表也可以看出用龙贝格积分法求函数的积分值在精度比较低的情况下就能求到很准确的值！。
龙贝格实验报告
龙贝格实验报告龙贝格实验报告龙贝格实验是一项经典的心理学实验，旨在探究人类对于延迟满足的选择行为。
实验的设计非常简单，但却能揭示出人类的心理特点和决策模式。
本文将对龙贝格实验进行介绍，并探讨实验结果对于我们日常生活中的决策行为的启示。
龙贝格实验最早由德国心理学家沃尔夫冈·龙贝格于1971年提出，他将实验对象置于一个选择情境中。
在这个情境中，实验对象需要在两个选项之间进行选择，一方面是能够立即获得一定的奖励，另一方面是需要等待一段时间才能获得更大的奖励。
实验对象可以根据自己的意愿选择不同的选项。
实验结果显示，大多数人更倾向于选择立即获得的小额奖励，而不是等待更长时间以获得更大的奖励。
这种行为模式被称为“即时满足偏好”。
这一结果揭示了人类的一种心理特点：我们更倾向于追求即时的满足感，而忽视了长期利益。
那么，为什么人们会有这种即时满足偏好呢？心理学家提出了一些解释。
首先，人们往往更容易预测和评估即时奖励，而对于未来的奖励往往难以准确评估。
这导致了人们对于即时奖励的价值更加敏感，而对于未来奖励的价值更加模糊。
其次，人们对于即时奖励的需求更加迫切，因为它们能够立即满足我们的欲望和需求，而未来奖励则需要等待和付出更多的努力。
然而，即时满足偏好并不总是明智的选择。
在现实生活中，我们常常需要做出一系列决策，这些决策涉及到长期利益和短期满足之间的权衡。
例如，我们是否应该立即购买心仪已久的商品，还是将钱储蓄起来以应对未来的不确定性？我们是否应该立即享受美食，还是节制自己以保持健康的身体？这些决策都需要我们权衡即时满足和长期利益之间的关系。
为了克服即时满足偏好的影响，我们可以采取一些策略。
首先，我们可以通过增强对未来奖励的预期和评估来提高对其价值的认识。
这意味着我们需要更加清晰地设定未来奖励的目标，并了解其对我们个人发展和幸福的重要性。
其次，我们可以通过设定明确的规划和目标来引导自己的行为。
例如，我们可以设定一个长期的储蓄计划，以确保我们能够在未来获得更大的回报。
实验报告-龙贝格算法
ans =
0.9207 0.9398 0.9445 0.9457 0.9460 0.9461 0.9461 0 0 0 0 0 0
0 0.9461 0.9461 0.9461 0.9461 0.9461 0.9461 0 0 0 0 0 0
0 0 0.9461 0.9461 0.9461 0.9461 0.9461 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.9461 0.9461 0.9461 0.9461 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
（2） 、计算从 f(x) = 4/(1+x^2)0 到 1 的积分的结果为： >> f=inline('4/(1+x^2)','x')
f=
Inline function: f(x) = 4/(1+x^2)
2. 解决问题： （1）计算 sin(x)/x 从 10^(-100)到 1 的积分： >> f=inline('sin(x)/x','x')
f=
Inline function: f(x) = sin(x)/x
>> romberg(f,10^(-100),1,5*10^(-7)) 答案 0.94608
0 0 3.1421 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 0 0 0 0 0 0 0
0 另一种代码：
0
0
0
计算从 f(x) = 4/(1+x^2)0 到 1 的积分的结果为：
龙贝格算法报告
龙贝格算法报告 中国地质大学姓名：马立华 班号：121112 学号：20111000536 （一）、龙贝格算法的推导工程的形成。
()()baI f f x dx =⎰n 等份，分点1、梯形公式是将区间[,a b ⎤⎦ 有为kx =a+kh ，h=b a n- ，k=0，1,2,3....在每个小区间上采用梯形公式为110[()()]2n i i i h T f x f x -+==+∑.通过计算复合梯形公式的余项为. (梯形公式是把大区间分成一些小区间，通过梯形面积近似曲边提醒的体积)2、梯形公式的递推法，复合梯形公式在区间[,a b ⎤⎦ 上，共有n 等份，则共有n+1个分点，将求积区间在二分一次，则分点增加至2n+1个，由梯形公式()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∑-=1122n k k n b f x f a f h T 得式()∑-=++=121222n k k n nx f h T T 求出n T 2；（梯形公式是通过增加区间每一次都是将上一次区间加倍）3,外推技巧：由1,2，可以看出梯形公式收敛地速度较慢，并且精确地阶数较低由余项得 h=b a n -，。
（外推技巧是通过将梯形公式的递推法得到的公式进行加减乘除法提高其精确度。
） 定理四 设](),f x c a b ∞⎡∈⎣，则有2462123()........l l T h I h h h h αααα=++++++ （1）其中2"()12n b a R h f η-=-]2''(),,12n b a I T h f a b ηη-⎡-=-∈⎣3201x x dx+⎰系数l α（l=1,2,3....）与h 无关。
通过定理四 则有24212().......() (24162)l l h h h h T I ααα=+++++。
（2），通过（1）（2）得46124(/2)()() (3)T h T h S h I h h ββ-==+++发现我们只是通过简单地加减法，就将误差的阶数提高了两阶。
龙贝格数值积分报告(MATLAB)
目录设计总说明 (1)关键词 (1)绪论 (2)第1章课程设计正文 (3)1.1 需求分析 (3)1.2 界面设计 (3)1.3 功能实现 (4)1.4系统算法和程序代码的实现 (5)第2章总结 (7)参考文献 (8)设计总说明学习了《数值分析》和相关开发软件课程并能够熟练掌握各种算法的原理及其求解方法和特点；1、独立进行面向对象软件的分析、设计及在计算机中进行编写代码和调试工作。
培养自己独立进行面向对象软件的分析、面向对象软件的设计及面向对象软件的实现与测试的能力；2、通过课题的理论设计和在计算机中实验调试代码，加深对数值分析知识的理解，培养软件开发的实践技能，提高分析解决具体问题的能力；3、充分利用面向对象程序设计，用精要的语句设计程序，培养独立创新能力；4、熟练运用MATLAB7开发界面美观、清晰，简单，好学，好用的计算软件；说明书中一般包括任务的提出、方案论证、设计与计算说明、试验调试及结果的分析、结束语等内容。
要求理论依据充分，数据准确，公式推导及计算结果正确。
涉及到计算机软件：学生要独立完成一个软件或较大软件中的一个模块，要有足够的工作量；要写出相关的设计文件；能够进行计算机演示和给出运行结果。
在此软件中，我们运用龙贝格方法进行积分。
此外，只需要在编辑框中输入上下限和含x的被积函数，点击计算按钮，得到计算结果。
关键词：MATLAB 数值分析龙贝格积分绪论数值分析是计算数学的一个主要部分，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
数值分析一个很强的特点就是面向计算机，要根据计算机特点提供切实可行的有效算法。
因此，本次课程设计是在学习了《数值分析》和相关开发软件课程之后，为了能掌握数值分析的基本概念，结合实际的操作和设计，巩固课堂教学内容，使自己能掌握数值分析的基本概念、原理和技术，将理论与实际相结合，应用现有的数据建模工具和数值分析理论，规范、科学地完成一个小型可视化软件的设计与实现，把理论课与实验课所学内容做一综合，通过实际项目的设计、开发，培养学生独立进行计算软件的建模、在计算机中进行计算、设计、通过相关软件开发系统，并在此基础上强化学生的实践意识、提高其实际动手能力和创新能力。
龙贝格积分实验报告
二、Romberg 积分法1.变步长Romberg 积分法的原理复化求积方法对于提高精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要事先估计出部长。
若步长过大，则精度难于保证；若步长过小，则计算量又不会太大。
而用复化公式的截断误差来估计步长，其结果是步长往往过小，而且''()f x 和(4)()f x 在区间[,]a b 上的上界M 的估计是较为困难的。
在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半（也就是把步长二等分），直到达到某种精度为止，这种方法就是Romberg 积分法的思想。
在步长的逐步分半过程中，要解决两个问题： 1. 在计算出N T 后，如何计算2N T ,即导出2N T 和N T 之间的递推公式； 2. 在计算出N T 后，如何估计其误差，即算法的终止的准则是什么。
首先推导梯形值的递推公式，在计算N T 时，需要计算1N +个点处的函数值在计算出NT 后，在计算2N T 时，需将每个子区间再做二等分，共新增N 个节点。
为了避免重复计算，计算2N T 时，将已计算的1N +个点的数值保留下来，只计算新增N 个节点处的值。
为此，把2N T 表示成两部分之和，即由此得到梯形值递推公式 因此由复化梯形公式的截断误差有若''()f x 变化不大时，即''''12()()f f ηη≈，则有式（2）表明，用2N T 作为定积分I 的近似值，其误差大致为21()3N N T T -，因此其终止条件为其中ε是预先给定的精度。
2.Romberg 积分公式将上述方法不断推广下去，可以得到一个求积分的序列，而且这个序列很快收敛到所求的定积分。
记(0)N N T T =，将区间N 等分的梯形值。
(1)N N T S =，将区间N 等分的Simpson (2)N N T C =，将区间N 等分的Cotes 。
(3)N N T R =，将区间N 等分的Romberg 。
数值计算方法龙贝格积分报告
姓名 班级 学号【实验目的】：1通过本实验加深对“龙贝格公式”的认识2通过c++编写程序求解下列积分（E=1E-6）746824.02659330.0sin 11212≈≈⎰⎰-dx e dx xxx 、、3预期达到题中结果4注意实验给出的程序有两个子程序为：f f1使用时只需该程序名即可。
【实验题目】：复合求积公式计算定积分【实验原理及理论基础】：用梯形公式得到的积分近似值n T 2的误差是)(312n n T T -，因此，人们希望用这个误差作为对n T 2的一种补偿，则得到求积公式n n n n n baT T T T T dx x f 3134)(31)(222-=-+≈⎰的代数精度会有所提高。
通过直接验证可知n n n T T S 31342-=梯形公式二分前后的两个积分值n T 与n T 2按如上公式做线性组合其结果正好是抛物线公式得到的积分值n S同理可得到科茨公式积分值n Cn n n S S C 15115162-=和龙贝格公式n n n C C R 63163642-=计算⋅⋅⋅421,,T T T()()()[]312411212212212)(2)()(x f x f ab T T x f ab T T b f a f a b T +-+=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=【实验内容】：龙贝格求积的计算步奏如下： （1）计算)(a f ，)(b f ，算出1T ； （2）把[a,b]2等分，计算⎪⎭⎫⎝⎛+2b a f ，算出2T 与1S ； （3）把[a,b]4等分，计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4a b a f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+43a b a f ，算出4T 、2S 与1C ； （4）把[a,b]8等分，计算7,5,3,1,8=⎪⎭⎫⎝⎛-+i a b ia f ，算出8T 、4S 、2C 与1R ；（5）把[a,b]16等分，计算15,,5,3,1,8⋅⋅⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-+i a b ia f ，算出16T 、8S 、4C 与2R ，继续重复进行，直到ε<-n n R R 2（允许误差）时停止运算，2R 就是所求积分值。
龙贝格算法-数值分析-实验报告
主要参考资料
《数值分析简明教程》 《数值分析课程设计》
王能超 陈越、童若锋
高等教育出版社 浙江大学出版社
教研室签字： 年 月 日
院签字： 年 月 日
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目录
目录 ......................................................................................................................................................... 3 一、任务综述于分析 ............................................................................................................................. 4
3 / 13
一、任务综述于分析
1.1 任务
1、 根据所掌握龙贝格算法，独立编写程序，实现具体问题的求解等； 2、 自己设计一个多项式，根据设定的代数多项式进行测试，调式程序； 3、 对所设计的程序解决实际问题并分析，撰写分析报告
1.2 分析
1、 首先先明确什么是龙贝格算法，了解他的基本原理，画出流程图，编写程序代码。 2、 自己设计一个多项式，对他利用龙贝格算法求出他的积分。并与真实值比较，检测程序是否有错误。 并进一步修改完善程序。可以多试几个多项式，来判断程序的正确性。 3、 任务三实际上是求平面曲线长的问题。利用弧长微分公式可求得结果。
)
(2)
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直接验证易知 (3) 这就是说，用梯形法二分前后两个积分值 法的积分值 。 与 按式(3)做线性组合，结果得到辛普生
romberg龙贝格算法实验报告
Romberg龙贝格算法实验报告课程实验报告课程名称：专业班级：CS1306班学号：U20**14967姓名：段沛云指导教师：报告日期：计算机科学与技术学院目录1 实验目的 .. 13 算法设计与流程框图 .. 76 结果分析 .. 71 实验目的掌握Romberg公式的用法，适用范围及精度，熟悉Romberg算法的流程，并能够设计算法计算积分31得到结果并输出，Romberg龙贝格算法实验报告。
1x2 实验原理1 取k=0,h=b-a,求T0=数)。
2 求梯形值T03.1 先求T3.2再由公式T 求T 4-14-13.3 在求出的同时比较T与T的大小，如果二者之差的绝对值小于1e-5，就停止求T；此时的k就是所求的二分次数，而此时的T就是最终的结果3.4 打印出所有的T；程序流程图4 源程序#inlude #inlude #inlude #inlude int main{float f{float ;=1x;return ; }float a,b,e,h,s,k,x,T1=0,T2=0,S1=0,S2=0,C1=0,C2=0,R1=0,R2=0;inti=0; printf{T1=T2; S1=S2; h=h2; k=k+1; }elseif{C2=S2+{R2=C2+{printf;break;} else{R1=R2;C1=C2;T1=T2;S1=S2;h=h2;k=k+1; } }i++;printf;}hile;sstem;return 0; }5 程序运行6 结果分析如上所示的结果与课本中求得的结果完全一样，表明程序编写正确，且符合要求，事实上，只要再将所求值的精度设置得更小，则所求的结果将更加准确，最终将无限接近于标准值，由上表也可以看出用龙贝格积分法求函数的积分值在精度比较低的情况下就能求到很准确的值！7 实验体会本次实验较为简单，主要时间是耗费在循环判断上面，因为书上已经给了流程图，都是基本的C语言，难度不大，工作报告《Romberg龙贝格算法实验报告》。
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学院：数学科学学院 专业：
实验三龙贝格求积分
一、 实验目的
用算法实现龙贝积分运算，求解I=∫01X 3/2
dx 的积分
二、 实验原理
三、 算法设计与程序流程图
算法设计：(先假定所求积分二分最大次数次数为20)
1、 先求T[k][0]
2、 再由公式).,2,1(141144)
(1)1(1)(
=---=-+-k T T T k m m k m m m
k m 求T[i][j]
3、 在求出的同时比较T[k][k]与T[k-1][k-1]的大小，如果二者之差的绝对值小于1e-5，就停止求T[k][k]；
此时的k 就是所求的二分次数，而此时的T[k][k]就是最终的结果
4、 打印出所有的T[i][j]；
程序流程图：
N
N
N
N
Y
四、 源程序
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#define a 0 //区间下限
#define b 1 //区间上限
#define N 20 //最大加速次数
double f(double x)
{
return(pow(x,1.5));
}
void main()
{
double h=b-a;
inti,j,k,m,n;
double T[N][N],s; T[0][0]=h*((*f)(a)+(*f)(b))/2.0;
for(k = 1;k<N;k++)
{
h = (b-a) * pow(0.5,k);
n = (int)pow(2,k-1);
s=0.0;
for(m=1;m<=n;m++)
{
s+=(*f)(a+(2*m-1)*h);
}
T[k][0] = 0.5*T[k-1][0] + h*s;
}
for(k=1;k<N;k++)
{
for(m=1;m<=k;m++)
{
T[k][m]=pow(4,m)/(pow(4,m)-1)*T[k][m-1]-1/(pow(4,m)-1)*T[k-1][m-1];
}
if(fabs(T[k][k]-T[k-1][k-1])<1e-5)
{
break;
}
}
printf("R=%.6lf\n",T[k][k]);
printf("k=%d \n",k);
printf("T:\n");
for(i = 0;i<=k;i++)
{
for(j = 0;j<=i;j++)
printf("%.6lf ",T[i][j]);
printf("\n");
}
}
五、程序运行
六、结果分析
如上所示的结果与课本中求得的结果完全一样，表明程序编写正确，且符合要求，事实上，只要再将所求值的精度设置得更小，则所求的结果将更加准确，最终将无限接近于标准值，由上表也可以看出用龙贝格积分法求函数的积分值在精度比较低的情况下就能求到很准确的值！
七、实验体会
通过这次实验上机，使我更进一步了解了龙贝格法的计算思想，其在精度上很有保证，收敛较快，是解积分问题的有效方法。