龙贝格算法-数值分析-实验报告

与
，
按上式再做线性组合，结果得到柯特斯法的积分值
(4) 重复同样的手续，依据柯特斯法的误差公式可进一步导出下列龙贝格公式 (5) 在步长二分的过程中运用公式(3)~(5)加工三次， 就能将粗糙的积分值 逐步加工成精度较 高的龙贝格 ，或者说，将收敛缓慢的梯形值序列 加工成收敛迅速的龙贝格值序列
。这种加速方法称龙贝格算法。
五、案例应用 ....................................................................................................................................... 11
5.1 案例分析： ................................................................................................................................. 11 5.2 计算： ......................................................................................................................................... 12 5.3 结果分析： ................................................................................................................................. 13
)
(2)
4 / 13
直接验证易知 (3) 这就是说，用梯形法二分前后两个积分值 法的积分值 。 与 按式(3)做线性组合，结果得到辛普生
再考察辛普生法。按 ，其截断误差与 成正比。因此，若将步长折半，则误差相应的减 至 1/16，即有
由此得
不难验证， 上式右端的值其实等于
， 就是说， 用辛普生法二分前后的两个积分值 ，即有
六、总结 ............................................................................................................................................... 13
?
?
No
输出
6 / 13
3.2 龙贝格算法的代码实现：
void { double h,T1,T2,S,S1,S2,C1,C2,R1,R2,z[100][4]; int k=1; h=b-a; while(1) { S=0; for(double x=a+h/2;x<b;x+=h) S+=f(x); T2=(T1+h*S)/2; z[k][0]=T2; S2=T2+(T2-T1)/3; z[k][1]=S2; if(k==1); else { C2=S2+(S2-S1)/15; z[k][2]=C2; if(k==2); else { R2=C2+(C2-C1)/63; z[k][3]=R2; if(k==3); else { if(fabs(R2-R1)<e) break; } R1=R2; } C1=C2; } k++;h/=2;T1=T2;S1=S2; } T1=(f(a)+f(b))*h/2; z[0][0]=T1; Romberg(double a,double b)
5 / 13
三、程序实现
3.1 龙贝格算法的流程图如下：
输入 a , b ,
h=b-a;
( ( )
( ))
;k=1;
S=0;
x=a+h/2;
S=S+f(x);
x=x+h;
< x<b ?
(
)
(
)
k=1 No (
?
Yes
K=k+1;h=h/2;
)
k=2 No (
Hale Waihona Puke Baidu
?
Yes
) Yes
k=3 No | Yes NO |
1.1 任务 ............................................................................................................................................... 4 1.2 分析 ............................................................................................................................................... 4
二、算法分析与设计 ............................................................................................................................. 4 三、程序实现 ......................................................................................................................................... 6
7 / 13
printf("%3c %6c %12c %12c %12c\n",'k','T','S','C','R'); for(int i=0;i<k;i++) { printf("%3d",i); if(i<3) { for(int j=0;j<=i;j++) printf("%12.7f ",z[i][j]); printf("\n"); } else { for(int j=0;j<4;j++) printf("%12.7f ",z[i][j]); printf("\n"); } } }
4.1 测试函数(1)：............................................................................................................................... 8 4.2 测试函数(2):.................................................................................................................................. 9 4.3 测试曲线(3)：............................................................................................................................. 10
3 / 13
一、任务综述于分析
1.1 任务
1、 根据所掌握龙贝格算法，独立编写程序，实现具体问题的求解等； 2、 自己设计一个多项式，根据设定的代数多项式进行测试，调式程序； 3、 对所设计的程序解决实际问题并分析，撰写分析报告
1.2 分析
1、 首先先明确什么是龙贝格算法，了解他的基本原理，画出流程图，编写程序代码。 2、 自己设计一个多项式，对他利用龙贝格算法求出他的积分。并与真实值比较，检测程序是否有错误。 并进一步修改完善程序。可以多试几个多项式，来判断程序的正确性。 3、 任务三实际上是求平面曲线长的问题。利用弧长微分公式可求得结果。
四、测试
4.1 测试函数(1)：
∫ 解：对整个区间[0,1]利用龙贝格算法计算结果(误差限制为 ( ) 考虑到特殊情况即当 x=0 时，由于积分可知：f(0)=1。利用程序可得到如下数据： )。
8 / 13
图中的 k 表示二分的次数，T 是复化梯形公式得到的结果，S 是通过辛普生公式得到的结 果，C 是牛顿-科特斯公式得到的结果，R 是龙贝格公式得到的结果。而积分的准确值为 0.9460831,精度为 7 位。 我们看到，这里用二分 3 次的数据(它们的精度都很低，只有二三位有效数字)，通过三次 加速获得了测试函数(1)需要二分 10 次才能求出的结果，而加速过程的计算量(仅仅做了 几次四则运算而不需要求函数值)可以忽略不计，可见龙贝格加速过程的效果是极其显著 的。
二、算法分析与设计
根据梯形法的误差公式，积分值 的截断误差大致与 减至 ，既有 成正比，因此步长减半后误差将
将上式移项整理，知 ( 由此可见，只要二分前后两个积分值 ) （1） 的误差 的一种补
与 相当接近，就可以保证计算结果 )，如果用这个误差值作为
很小。按式(2)，积分值得误差大致等于 ( 偿，可以期望，所得到的 ̅ 应当是更好的结果。 (
四、测试 ................................................................................................................................................. 8
3.1 龙贝格算法的流程图如下： ....................................................................................................... 6 3.2 龙贝格算法的代码实现： ........................................................................................................... 7
设计的方法和步骤 查阅资料，展开充分理论分析，在掌握算法原理后进行软件设计，完成下列任务： 1、 熟悉此次设计的目标，查阅相关资料； 2、 对算法理论进行剖析，论证算法实现的可行性； 3、 根据可行的算法设计，进行软件程序实现，并最终解决实际问题。
1 / 13
设计工作计划 本案例时间为 5 天，具体安排如下 熟悉课设目标，查阅相关资料：1 天 算法理论进行剖析，论证算法实现的可行性：1 天 根据可行的算法设计，进行软件程序实现：2 天 对所设计的程序解决实际问题并分析，撰写分析报告：1 天
主要参考资料
《数值分析简明教程》 《数值分析课程设计》
王能超 陈越、童若锋
高等教育出版社 浙江大学出版社
教研室签字： 年 月 日
院签字： 年 月 日
2 / 13
目录
目录 ......................................................................................................................................................... 3 一、任务综述于分析 ............................................................................................................................. 4
《数值分析）》课程设计任务书
指导教师姓名 课程设计题目 设计目的、任务和要求 （一） 目的 要求学生运用龙贝格算法解决实际问题（塑料雨篷曲线满足函数 y(x)=lsin(tx),则给定雨篷的长度后， 求所需要平板材料的长度）。 （二）任务 1． 根据所掌握龙贝格算法，独立编写程序，实现具体问题的求解等； 2． 自己设计一个多项式，根据设定的代数多项式进行测试，调式程序； 3． 对所设计的程序解决实际问题并分析，撰写分析报告。 （三）要求 学生 1 个人组成一个小组，要求根据上述任务，通过查找资料，完成程序设计，并撰写分析报告，报告 要体现工作过程、测试结果、分析等内容。 王恒友 龙贝格算法的应用 教研室 人数 1 学时 信计 5天