直线的倾斜角与斜率知识点及练习—精品文档

直线的倾斜角与斜率
自主归纳、自我查验
1、自主归纳
（1）倾斜角的概念
当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，_______与直线ｌ____方向之间所成的角α叫做直线ｌ的倾斜角。

（２）倾斜角的取值范围
当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°。

因此，直线l 的倾斜角α的取值范围为___________
（3）斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的______叫作这条直线的斜率，通常用小写K 表示，即k=tan α
倾斜角为90°的直线没有斜率。

（4）过两点的直线的斜率公式
过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：)(211212x x x x y y k ≠--=
（5）．两条直线平行与斜率的关系
a 对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1、k 2，有l 1∥l 2⇔_k1＝k2_______．
b 如果直线l 1、l 2的斜率都不存在，并且l 1与l 2不重合，那么它们都与__x 轴______垂直，故l 1______∥__l 2．
（6）两条直线垂直与斜率的关系
a 如果直线l 1、l 2的斜率都存在，并且分别为k 1、k 2，那么l 1⊥l 2⇔__k1k2＝－1________．
b 如果两条直线l 1、l 2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l 1与l 2的位置关系是____垂直____．
自我查验
（1）判断正误
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率。

（ ×） ②直线的倾斜角越大，其斜率就越大。

（ × ） ③直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α。

（ × ）
（2)已知直线l 的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（ D ）
A. 0°≤α<180°
B. 15°<α<180°
C. 15°≤α<180°
D. 15°≤α<195°
（3）．有以下几种说法：(l 1、l 2不重合)
①若直线l 1，l 2都有斜率且斜率相等，则l 1∥l 2；
②若直线l 1⊥l 2，则它们的斜率互为负倒数；
③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；
④只有斜率相等的两条直线才一定平行．
以上说法中正确的个数是( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
二、典型例题
题型一、求直线的倾斜角
例1、若直线l 过原点和（-1,1），则它的倾斜角是（ ）
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.-45°
破题思路：作出直线l 的图像，根据图像得答案
答案：B
方法与规律：主要考察对直线倾斜角的理解和图形的结合，由点的坐标来计算倾斜角的大小。

变式训练：设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则1l 的倾斜角为（ ）
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时为α+45°;当135°≤α<180°时为α-135°
破题思路：由倾斜角的定义与倾斜角的取值范围可得。

答案：α范围不定，分两种情况讨论可知，选D
方法与规律：本题需注意倾斜角的取值范围，不然易错选成A 。

题型二、求直线的斜率
例2、已知直线1l 的倾斜角α=30°，直线2l ⊥1l ，则直线2l 的斜率为（ ） A.3 B.-3 C.33 D.-3
3 破题思路：由2l ⊥1l ，知2l 的倾斜角为120°，所以2l 的斜率为tan120°=-3 答案：B
方法与规律：对求解直线的斜率的考察
变式训练：已知坐标平面内△ABC 的三个顶点坐标分别是Ａ（－１，１），
Ｂ（１，１），Ｃ（１，－１），求直线AB ，BC ，ＡＣ的斜率。

破题思路：已知点的坐标可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等。

解析：直线AB 的斜率k=)1(111---=0，直线ＡＣ的斜率ｋ＝)
1(111----＝－１ ∵Ｂ，Ｃ两点的横坐标相等 ∴直线ＢＣ的斜率不存在
方法与规律：当两点的横坐标相等时直线斜率不催在。

错例分析：数形结合的应用
例３：直线ｌ过点ｐ（１，０），且与以Ａ（２，１），Ｂ（０，3）为端点的线段有公共点，求直线ｌ的斜率和倾斜角的范围。

破题思路：运用数形结合的思想求解。

解析：ＡＰ斜率Ｋ＝1
201--＝１，ＢＰ斜率Ｋ＝1003--＝3 ∴ｋ≤－3或ｋ≥１ ４５°≤α≤１２０°
易错分析：本题易忽略斜率不存在的情况，易错解为-3≤ｋ≤１
应用体验 １、直线x=1的倾斜角和斜率分别为（ ）
A.45°，1
B.135°，-1
C.90°，不存在
D.180°，不存在 答案：C
2、若过点M （-2,0），N （a ，4）的直线的斜率为-2
1，则a=（ ） A.-8 B.10 C.2 D.4
答案：B
3、若A （-2,3），B （3，-2）,C （
21，m ）三点共线，则m 的值为（ ） A 21 B.-2
1 C.-
2 D.2 答案：A
4、已知两点A （-3,4），B （3,2），过点P （2，-1）的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.
答案：k ≤-1或k ≥3
5、已知实数x ，y 满足y=-2x+8，且2≤x ≤3，求
x y 的最大值和最小值. 答案：最大值为2，最小值为3
2. 复习与巩固
A 组
一、选择题.
1.(2014·上饶高一检测)直线l 的倾斜角是斜率为
的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( )
A.1
B.
C.
D.-
【解析】选B.因为tan α=，0°≤α<180°，所以α=30°，
故2α=60°，所以k=tan60°=
.故选B. 2.(2014·新余高一检测)若A(3，-2)，B(-9，4)，C(x ，0)三点共线，则x=( )
A.1
B.-1
C.0
D.7
【解析】选B.利用任意两点的斜率相等，kAB=-，kAC=，令=-得x=-1
3已知三点A(1-a ，-5)，B(a ，2a)，C(0，-a)共线，则a=________.
【解题指南】当三点共线时，若直线斜率存在，则kAB=kBC ，若斜率不存在，则三点横坐标相同.
【解析】①当过A ，B ，C 三点的直线斜率不存在时，
即1-a=a=0，无解.
②当过A ，B ，C 三点的直线斜率存在时，
则kAB==kBC=，
即=3，解得a=2.
综上，A，B，C三点共线，a的值为2.
答案：2
4.(2013·济南高一检测)直线l过定点C(0，-1)，斜率为a且与连接A(2，3)，B(-3，2)的线段相交，则a的取值范围是( )
A.[-1，2]
B.(-∞，-1]∪[2，+∞)
C.[-2，1]
D.(-∞，-2]∪[1，+∞)
【解析】选B.直线l过定点C(0，-1).当直线l处在AC与BC之间时，必与线段AB相交，
应满足a≥或a≤，即a≥2或a≤-1.
5.(2014·济源高一检测)直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的斜率的取值范围是( )
A.[1，+∞)
B.(-∞，+∞)
C.(-∞，1)
D.(-∞，1]
【解析】选D.由于直线l经过点A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)，根据两点的斜率公式可知：
kAB==1-m2，
因为m∈R，m2≥0，所以-m2≤0，即1-m2≤1，则有kAB≤1，
所以直线l的斜率的取值范围是(-∞，1].
二、填空题.
6.(2014·扬州高一检测)若直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________.
【解析】因为直线(a2+2a)x-y+1=0的倾斜角为钝角，所以k=a2+2a<0，-2<a<0.
答案：(-2，0)
7.(2014·铜川高一检测)若直线的斜率为k，并且k=a2-1(a∈R)，则直线的倾斜角α的范围是________.
【解析】因为a2-1≥-1，即k≥-1.所以l的倾斜角α的范围是0°≤α<90°或135°≤α<180°.
答案：0°≤α<90°或135°≤α<180°
8.若三点A(3，3)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则+=________.
【解析】由于点A，B，C共线，则kAB=kAC，
所以=.所以ab=3a+3b.即+=.
答案：
三、解答题.
9.(2014·南昌高一检测)过两点M(a2+2，a2-3)，B(3-a-a2，2a)的直线l的倾斜角为45°，求a的值.
【解析】由题意得：直线l的斜率k=tan45°=1，
故由斜率公式得k==1，
解得a=-1(舍去)或a=-2.
10已知直线l的倾斜角为30°，且过点P(1，2)和Q(x，0)，求该直线的斜率和x的值. 【解析】该直线的斜率
k=tan30°=.
又l过点P(1，2)和Q(x，0)，
则=，解得x=1-2.
11.从M(2，2)射出的一条光线，经x轴反射后过点N(-8，3)，求反射点P的坐标.
【解题指南】根据入射光线与反射光线之间的关系，找到直线MP与NP的斜率间的关系即可. 【解析】如图.
设P(x，0)，因为入射角等于反射角，
所以kMP=-kPN，即=，
解得x=-2，
所以反射点P(-2，0).
B组
一、选择题.
1.关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( )
A.所有的直线都有倾斜角和斜率
B.所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率
C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在
D.所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角
【解析】选B.当直线的倾斜角为直角时，不存在斜率.但所有的直线都有倾斜角，故选B.
2.(2014·商洛高一检测)已知直线l过A(-2，(t+)2)，B(2，(t-)2)两点，则此直线的斜率和倾斜角分别为( )
A.1，135°
B.-1，-45°
C.-1，135°
D.1，45°
【解析】选C.因为k==-1，所以直线的倾斜角是钝角，又tan45°=1，所以直线的倾斜角为180°-45°=135°.
3.(2014·西安高一检测)直线l经过A(2，1)，B(1，-m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A.0°≤α≤45°
B.90°<α<180°
C.45°≤α<90°
D.90°<α≤135°
【解析】选C.直线l的斜率k=tanα==m2+1≥1，所以45°≤α<90°.
4若ab<0，则过点P(0，-)与Q(，0)的直线PQ的倾斜角α的取值范围是________.
【解析】因为kPQ==，又因为ab<0，所以kPQ<0.所以α为钝角，即90°<α< 180°.
答案：90°<α<180°
5.将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )
A. B. C.- D.-
【解析】选C.设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a+4，b-5)，由题意知这两点都在直线l上，所以直线l的斜
率k==-.
二、填空题
6三点A(0，2)，B(2，5)，C(3，b)能作为三角形的三个顶点，则实数b满足的条件是________.
【解析】由题意得kAB≠kAC，则≠，整理得b≠.
答案：b≠
7.已知直线l的倾斜角为α=45°，点P1(2，m)，P2(n，5)，P3(3，1)在直线l上，则m=________，n=________.
【解题指南】条件中直线的倾斜角已知，可以考虑倾斜角与斜率的关系构造方程求解. 【解析】因为α=45°，所以直线的斜率k=1，
又点P1(2，m)，P2(n，5)，P3(3，1)在直线l上，
所以==1，即==1，
解得m=0，n=7.
答案：0 7
三、解答题.
8.(2014·临沂高一检测)a为何值时，过点A(2a，3)，B(2，-1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？
【解题指南】根据倾斜角与斜率的关系解决本题.若直线的倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则斜率不存在.
【解析】当过点A，B的直线的倾斜角是锐角时，kAB>0，根据斜率公式得kAB==>0，所以a>1；
同理，当倾斜角为钝角时，kAB<0，即<0，
所以a<1.
当倾斜角为直角时，A，B两点的横坐标相等，即2a=2，所以a=1.
9.设直线l过点A(7，12)，B(m，13)，求直线l的斜率k及倾斜角α的范围.
【解题指南】根据斜率公式求出斜率的范围，然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角的范围，注意斜率公式应用的前提条件.
【解析】(1)当m=7时，直线l与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°.
(2)当m ≠7时，k=
=. 当m>7时，
>0，即k>0，0°<α<90°； 当m<7时，<0，即k<0，90°<α<180°.
10已知A(2，4)，B(3，3)，点P(a ，b)是线段AB(包括端点)上的动点，试结合斜率公式k=(x2≠x1).求的取值范围.
【解析】设k=，则k 可以看成点P(a ，b)与定点Q(1，1)连线
的斜率.如图，当P 在线段AB 上由B 点运动到A 点时，PQ 的斜率
由kBQ 增大到kAQ ，
因为kBQ==1，kAQ==3，
所以1≤k ≤3，即的取值范围是[1，3].
C 组
1．已知A(m,3)，B(2m ，m ＋4)，C(m ＋1,2)，D(1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．0或2
D ．0或1
解析：D [当AB 与CD 斜率均不存在时，m ＝0，此时AB ∥CD ，当kAB ＝kCD 时，m ＝1，此时AB ∥CD ．]
2．若直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且l1⊥l2，则有( )
A ．α1－α2＝90°
B ．α2－α1＝90°
C ．|α2－α1|＝90°
D ．α1＋α2＝180°
解析：C
3．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是( )
A ．平行四边形
B ．直角梯形
C ．等腰梯形
D ．以上都不对
解析：B [kAB ＝kDC ，kAD ≠kBC ，kAD ·kAB ＝－1，故构成的图形为直角梯形．]
二、填空题
4．如果直线l1的斜率为a ，l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．
解析：－1a
或不存在
5直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k 的方程2k2－3k －b ＝0的两根，若l1⊥l2，则b ＝________；若l1∥l2，则b ＝________．
解析：2 －98 若l1⊥l2，则k1k2＝－b 2
＝－1，∴b ＝2． 若l1∥l2，则k1＝k2，Δ＝9＋8b ＝0，∴b ＝－98
． 6已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，3)，B(－2，－23)，则直线l1，l2的位置关系是____________
解析：平行或重合 由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60
°＝3，
直线l2的斜率k2＝－23－3－2－1
＝3，因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合． 三、解答题
7．已知△ABC 的顶点坐标为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．
解 kAB ＝－1－15－1＝－12，kAC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13
， kBC ＝m －12－1
＝m －1． 若AB ⊥AC ，则有－12·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m ＋13＝－1， 所以m ＝－7．
若AB ⊥BC ，则有－12
·(m －1)＝－1， 所以m ＝3．
若AC ⊥BC ，则有－m ＋13
·(m －1)＝－1， 所以m ＝±2．
综上可知，所求m 的值为－7，±2,3．
8．已知四边形ABCD 的顶点A(m ，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．
解
∵四边形ABCD 是直角梯形，∴有2种情形：
(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，
由图可知：A(2，－1)．
(2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ，
⎩⎪⎨⎪⎧ kAD ＝kBC kAD ·kAB ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝165n ＝－85．综上⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝165n ＝－85。