基本初等函数

基本初等函数
一、知识梳理 (一)．指数与指数函数 1.分数指数幂
规定a m n
＝n
a m (a ＞0，m ，n ∈N *
，且n ＞1)，a
m n
＝
1m n
a
＝
1n a m
(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)，
分数指数幂a m n
不可以理解为m
n 个a 相乘，它是根式的一种新的写法．
2. 有理数指数幂的运算性质：设a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ①a r ·a s ＝a r ＋
s ；②(a r )s ＝a rs ；③(ab )r ＝a r ·b r .
在进行有理指数幂运算时，一般先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算． 3.指数函数
指数函数y ＝a x 有三个特征：①指数：指数只能是自变量x ，而不能是x 的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.
①指数函数y ＝a x 的单调性，与底数a 有关．当底数a 与1的大小不确定时，一般需分类讨论．
②指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小． ③函数y ＝a x 与函数y ＝(1
a
)x 的图象关于y 轴对称．
④与指数函数有关的函数方程问题的求解，要充分用好指数函数的图象和性质． (二)．对数与对数函数 1. 对数的定义
一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记做x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
根据定义可知当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N ，也就是说指数式与对数式实际上是表示a 、N 之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化. 2.对数的性质
①零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)中N 总是正数；
②1的对数为0，由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以log a 1＝0； ③底数的对数等于1，由于a 1＝a 对于任何非零实数都成立，所以log a a ＝1.
3.对数的运算法则和换底公式
若a ＞0，且a ≠1，b ＞0，且b ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：
①log a (MN )＝log a M ＋log a N ，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和； ②log a M
N ＝log a M －log a N ，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；
③log a M n ＝n log a M ，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． ④换底公式：log b N ＝log a N
log a b
.
推论：log am b n ＝n m log a b ，log a b ＝1
log b a
4.对数函数
函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)是指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数．
对数函数图象和性质研究时，应分底数a 大于1还是大于0小于1.对数复合型函数的单调性同样仍遵行复合函数单调性规则“同增异减”，在研究时还要充分考虑函数的定义域.对于对数复合型函数的值域往往利用换元法处理. 二、典型例题
知识点一 指数与对数的运算
例1 化简或求值：
(1)
÷
3
a
－7
3
a 13；
(2) lg 25＋2
3lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
变式训练 2log 510＋log 50.25＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
知识点二 对数式与指数式的相互转化
例2 若2.5x ＝1 000，0.25y ＝1 000，则1x －1
y ＝________．
变式训练 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b
＝2，则m ＝( )
A.10 B ．10 C ．20 D ．100
知识点三 指数和对数的大小比较
例3 比较下列各题中两个值的大小：
(1)(3.97)－
2，(05.
(2)log 12 13，log 13 1
2.
变式训练 比较下列各组数的大小． (1)log 323与log 565；
(2)log 1.10.7与log 1.20.7；
知识点四 指数函数和对数函数的图象
研究指数函数、对数函数的图象和性质一般要分底数是大于1，还是小于1，同时要注意两类典型的图象翻折变换问题：①左右翻折，y ＝f (x )→y ＝f (|x |)，规则是右翻左；②上下翻折，y ＝f (x )→y ＝|f (x )|，规则是下翻上.
例4 方程(1
3
)x ＝|log 3x |的解的个数是________．
变式训练 若关于x 的方程|a x
－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是
( )
A ．(0，1)∪(1，＋∞)
B ．(0，1)
C ．(1，＋∞) D.(0，
)
知识点五指数函数和对数函数的单调性
例5 (1)函数＝＋
的递增区间是．
(2) 函数f(x)＝log3(x2－2x－8)的单调减区间为．
变式训练函数＝＋的递增区间是．
知识点六指数函数和对数函数的最值问题
例6 (1)设a＞0，a≠1，若函数y＝a2x＋2a x－1在区间[－1，1]上的最大值是14，求a的值．(2) 已知－3≤x≤－，求函数f(x)＝·的值域．
变式训练已知x∈[－3，2]，求函数f(x)＝＋的最小值和最大值．
知识点七指数函数和对数函数的综合问题
例7 已知函数f(x)=log2，
(Ⅰ)求函数的定义域；
(Ⅱ)判断函数的奇偶性；
(Ⅲ)根据函数单调性的定义，证明函数f(x)是增函数．
变式训练已知函数f(x)＝log2x，x∈[2,8]，函数g(x)＝f2(x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)．
(1)求h(a)；
(2)是否存在实数m，n，同时满足以下条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]，若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
课后练习
1．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )
A ．(0,1)
B ．[0,1)
C ．(0,1]
D ．[0,1]
2．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( ) A.14 B.22 C.24 D.12 3．三个数60.7、0.76、log 0.76的大小顺序为( ) A ．0.76＜log 0.76＜60.7 B ．0.76＜60.7＜log 0.76 C ．log 0.76＜60.7＜0.76
D ．log 0.76＜0.76＜60.7
4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1） （x ≥2），（12）x －1 （x ＜2），若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )
A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B ．(0，2)
C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D ．(－1，3)
5．设全集U =R ，A =
，B ={x
，则图中阴
影部分表示的集合为( )
A ．{x |1≤x ＜2}
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |0＜x ≤1}
D ．{x |x ≤1}
6．函数f （x ）=log 2x 与
在同一直角坐标系中的图象是（ ）
A. B.
C. D.
7．不等式22x －2x +1－3＜0的解集是 ．
8．已知lg2＝a ，lg7＝b ，那么log 898＝________． 9．函数y =log 3(6－x －x 2)的单调减区间为 10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a x
，x ，⎝⎛⎭⎫
4－a 2x ＋2，x ≤为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是
________．
11．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (1
2)＝0，则不等式f (log 4x )＞0
的解集是________．
12．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中a >0，a ≠1，设h (x )＝f (x )－g (x )． (1)判断h (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若f (3)＝2，求使h (x )>0成立的x 的集合．
13． (1)解方程：lg(x ＋1)＋lg(x －2)＝lg 4； (2)求不等式21－2x
＞1
8
的解集．
14．已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)．
(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增加的；
(2)若关于x 的方程log 2(2x －1)＝m ＋f (x )在[1，2]上有解，求m 的取值范围．。