武汉市光谷为明实验学校选修二第一单元《数列》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
2．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，数列{}n b 满足1111n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36
B ．48
C ．56
D ．72
4．已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取
值范围是（ ） A ．
10
1,
3
B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．(-1，1)
D ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
5．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项
B ．133项
C ．134项
D ．135项
6．已知数列{}n a 满足112a =，121
n n a a n n +=++，则n a =（ ）
A ．
312n
- B ．3
21
n -
+ C ．111
n -
+ D ．
312n
+ 7．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72
B ．90
C ．36
D ．45
8．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③
B ．①②
C ．①③
D ．①④
9．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =++，()n N *∈，则当2020n T <时，n 的最大值为
（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．24
10．已知函数()()6
33,7,,7.
x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩令()()n a f n n *
=∈N 得数列{}n a ，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．()1,3
B ．()2,3
C ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则129
S
S =（ ） A ．
4
3
B ．
53
C ．2
D ．3
12．
函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ．
1312
π
B ．
54
π C ．
1712
π
D ．
76
π 二、填空题
13．数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =-+，则它的通项公式是n a =__________.
14．已知正项数列{}n a 中，2
1129
n n a a +=
+，若对于一切的*n N ∈都有1n n a a +>成立，则1a 的取值范围是________.
15．若数列{a n }为单调递增数列，且212n n
a n λ=-+
，则a 3的取值范围为__________.
16．在数列{}n a 中，若121,(1)2n
n n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则
100S =__________.
17．若数列{}n a 满足
111
+-=n n
d a a （*,n N d ∈为常数），则称数列{}n a 为调和数列.已知数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为调和数列，12320300,+++
+=b b b b 且378+=b b 则16=b ______.
18．等差数列{}n a 中，若15939a a a ++=，371127a a a ++=，则数列{}n a 前11项的和
为__________．
19．已知函数()1e
e
x f x x
=+（e 是自然对数的底数），设(),
2020,1,2020,
4041n f n n a f n n ≤⎧⎪=⎨⎛⎫
> ⎪⎪-⎝
⎭⎩，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4039S 的值是______.
20．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 满足4
43210q a a a ++++=，则首项1a 的
取值范围是________.
参考答案
三、解答题
21．设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()*31
42
n n a S n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
22．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知520S =，23a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式2n
n b =，将数列{}n a 中与{}n b 的相同项去掉，剩下的项依
次构成新数列{}n c ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2020T . 23．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()
1
2121n
n n a +++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.
24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =.数列{}n b 满足：对每个
*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2
）记n c =
*n N ∈
，证明：12n c c c +++<.
25．在①{}n a 是等比数列，且11a =，其中1a ，21a +，31a +成等差数列；②数列
{}n a 中，12a =，且
()13212
n n S S n n n --=-；③11a =，120n n a a ++=.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由. 已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足___________，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？（n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列
{}n b 的前n 项和）
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 26．设n S .是数列{}n a 的前n 项和，()2
n S k n n n N
=⋅+∈，其中k 是常数.
（1）求1a 及n a 的值；
（2）当k =2时，求证：
12n 1112 (3)
S S S +++<； （3）设0k >
，记21
n n
b a =，求证：当2n ≥时，2341
1...14(1)
n n b b b b n k k -<++++<-+
+.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{}n c 的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T ，验证得答案． 【详解】
解：由题意得：323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2n
n b =，
2321n n n n b c a a ==⨯-=，
123n T c c c ∴=+++…n c +
123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-
(1233222=⨯+++…)
2n n +-
()212312
n n ⨯-=⨯
--
1326n n +=⨯--，
当8n =时，9
8326815222020T =⨯--=<； 当9n =时，10
9326930572020T =⨯--=>，
n ∴的最大值为8.
故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和求出数列{}n c 的前n 项和n T .
2．B
解析：B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n
a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得21
43n n a =-
，求得1
4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得22
1114n n
a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1为首项的等差数列，
所以21
14(1)43n
n n a =+-=-，
因为0n a >
，所以n a =，
所以
1111n n n
b a a +=+=
所以1
4
n b =
=，
所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
11
1339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得
22
1114n n a a +-
=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，1
4
n b =
=，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题
3．A
解析：A 【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】
因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()199998
3622
a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键.
4．A
解析：A 【分析】
由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
，讨论n 为奇数和偶数时，再利用
数列单调性即可求出. 【详解】
数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，
即()1
22112+1222n
n n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
恒成立，
即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
， 当n 为奇数时，则()6212n
n λ>-+⋅恒成立，
()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，
66λ∴>-，解得1λ>-；
当n 为偶数时，则()6212n
n λ<+⋅恒成立，
()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，
620λ∴<，解得103
λ<
， 综上，1013
λ-<<. 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ⎛⎫
-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 5．D
解析：D
【分析】
由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】
被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则
()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：2135
15
n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.
6．A
解析：A 【分析】
利用已知条件得到12111
1
n n a a n n n n +-==-++，再用累加法求出数列的通项，用裂项相
消法求数的和. 【详解】 由121n n a a n n +=++得：12
111
1
n n a a n n n n +-==-++， 即111
1n n a a n n
--=
--， 所以()(
)
()
121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+
+-
111111*********n n n
=
+-+-++
-=--. 故选：A . 【点睛】 方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法：
型如：()1n n a a f n +-=的数列的递推公式，采用累加法求通项；
形如：()1
n n
a f n a +=的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 形如：1
n n a pa q +=+ ()()10pq p -≠的递推公式，通过构造转化为
()1n n a t p a t +-=-，构造数列{}n a t -是以1a t -为首项，p 为公比的等比数列，
形如：1n
n n a pa q +=+ ()()
10pq p -≠的递推公式，两边同时除以1n q +，转化为
1n n b mb t +=+的形式求通项公式；
形如：
1
1
n n n n a a d a a ++=-，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式.
7．B
解析：B 【分析】
由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2
444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】
由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，
∴2
444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，
∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，
∴99(229)
902
S ⨯+⨯=
=，
故选：B 【点睛】
思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 由,,m k n a a a 成等比，即2
k m n a a a =； 等差数列前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=
的应用. 8．B
解析：B 【分析】
利用等差数列的前n 项和的性质可得正确的选项． 【详解】
由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>， 所以60a >，所以0d <，①正确； 111
116111102
a a S a +=
⨯=>，故②正确； 1126712
126()02
a a S a a +=
⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B. 【点睛】
本题考查等差数列的性质， 考查等差数列前n 项和的性质.
9．A
解析：A
【分析】
根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.
【详解】
∵{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-, ∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴
12n n b -=,
∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+
()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212
n
n n n +-=⨯-=---，
∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤， 则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：A. 【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
10．B
解析：B 【分析】 由()()633,7,,7.
x a x x f x a x -⎧--≤=⎨
>⎩
，()()n a f n n N *
=∈得数列{}n a ，根据数列{}n a 为递增
数列，联立方程组，即可求得答案. 【详解】
()()6
33,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩
令()()n a f n n N *
=∈得数列{}n a
∴()633,7,7
n n a n n a a n -⎧--≤=⎨
>⎩
()n N *
∈且数列{}n
a 为递增数列，
得()230,
1,733,a a a a ⎧->⎪
>⎨⎪--<⎩
解得23a <<. 即：()2,3a ∈ 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了根据递增数列求参数范围问题，解题关键是掌握递增数列的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
由已知条件利用等差数列前n 项和公式推导出a 1＝2d ，由此能求出12
9
S S 的值 【详解】
∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，
6
3
S S =3， ∴
1165
623232a d a d
⨯+
=⨯+3，整理，得a 1＝2d ， ∴
11219111211
1212665298936392
a d
S a d S a d a d ⨯+
+===⨯++． 故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和比值的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的前n 项和公式的合理运用．
12．B
解析：B 【分析】
先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭4
x k π
π=+或512x k π
π=
+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】 解：
∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫
=-=-- ⎪⎝
⎭
∴ 令()0f x =得：226
3
x k π
π
π-=
+或2226
3
x k π
π
π-
=
+，k Z ∈， ∴4
x k π
π=
+或512
x k π
π=
+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4
124
a a a π
ππ==
=
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.
二、填空题
13．【分析】依据与的关系由计算即得结果【详解】时；且时易见也适合该式故故答案为：【点睛】数列的前n 项和当已知求时按照两者关系由计算当也适合通项公式时合并作答否则写出分段形式 解析：()22n a n n N +=-+∈
【分析】
依据n a 与n S 的关系，由()
()11,1,2n n
n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩计算即得结果.
【详解】
1n =时，11110a S ==-+=；
2n ≥且n ∈+N 时，()
()()22
1112n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-+---+-=⎣⎦
-，易见，1n =也适合该式.故()22n a n n N +=-+∈. 故答案为：()22n a n n N +=-+∈. 【点睛】
数列{}n a 的前n 项和n S ，当已知n S 求n a 时，按照两者关系，由()()
11,1,2n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨
-≥⎪⎩计算，当1n =也适合通项公式时，合并作答，否则写出分段形式.
14．【分析】根据列出关于的不等式求解出的取值范围从而的取值范围可确定出【详解】因为所以解得满足所以即故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过之间的不等关系求解出的取值范围由此可确定出的取值范围 解析：()3,6
【分析】
根据1n n a a +>列出关于n a 的不等式，求解出n a 的取值范围，从而1a 的取值范围可确定出. 【详解】 因为2
1129
n n n a a a +=
+<，所以29180n n a a -+<，解得36n a <<，满足0n a >， 所以136a <<，即()13,6a ∈， 故答案为：()3,6. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过1,n n a a +之间的不等关系求解出n a 的取值范围，由此
可确定出1a 的取值范围.
15．(-∞6)【分析】先利用数列的单调性得到λ＜8再求a3的取值范围【详解】当n≥2时因为数列{an}为单调递增数列所以对n≥2(n ∈N)恒成立即λ＜2n+1对n≥2(n ∈N)恒成立所以λ＜8所以故a3
解析：(-∞，6) 【分析】
先利用数列的单调性得到λ＜8，再求a 3的取值范围. 【详解】
当n ≥2时，1121(23)2222
n n n
n n a a n n λλλ
---=-+
--+
=-， 因为数列{a n }为单调递增数列，所以202n
λ->对n ≥2(n ∈N )恒成立，
即λ＜2n +1对n ≥2(n ∈N )恒成立， 所以λ＜8， 所以3568
a λ=+
<，
故a 3的取值范围为(-∞，6). 故答案为：(-∞，6). 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是如何转化数列单调递增，转化数列的单调性一般利用单调性的定义即10(2,)n n a a n n N -->≥∈.转化出了数列的单调性，后面就容易解答.
16．【分析】当为奇数时可得数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时可得偶数项的特征将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可【详解】∵∴当为奇数时即数列的奇数项为公差为2的等差数列当为偶数时∴∴故答案为： 解析：2550
【分析】
当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可. 【详解】
∵121,(1)2n
n n a a a +=+-=，
∴当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列， 当n 为偶数时，22n n a a ++=， ∴135995049
501225002
a a a a ⨯+++
+=⨯+
⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++
++=⨯=，
∴1002500502550S =+=，
故答案为：2550. 【点睛】 关键点点睛：
（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列； （2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=.
17．26【分析】由调和数列的定义可得是公差为的等差数列再由等差数列的性质和求和公式即可得出结果【详解】由数列为调和数列可得（为常数）∴是公差为的等差数列又∴∴又∴∴∴故答案为：26【点睛】本题考查新定义
解析：26 【分析】
由调和数列的定义可得{}n b 是公差为d 的等差数列，再由等差数列的性质和求和公式，即可得出结果. 【详解】
由数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭为调和数列，可得111
11 11n n n n b b d b b +++-=-=（n N ∈，d 为常数），
∴{}n b 是公差为d 的等差数列， 又12320300b b b b +++
+=，∴
120
203002
b b +⨯=，∴12030b b +=， 又378+=b b ，∴54b =，
∴51612030b b b b +=+=，∴1626b =， 故答案为：26. 【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的定义和性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题.
18．121【分析】由等差数列的性质可得然后利用等差数列前项和公式求解即可【详解】等差数列中由可得可得则数列前11项的和故答案为：121【点睛】本题考查等差数列性质的应用考查等差数列前项和公式的应用属于基
解析：121 【分析】
由等差数列的性质可得5=13a ，7=9a ，然后利用等差数列前n 项和公式求解即可. 【详解】
等差数列{}n a 中，由15953=39a a a a ++=，可得5=13a ，371173=27a a a a ++=， 可得7=9a ，则数列{}n a 前11项的和()()11157111111=21122
1212
2=a a a a S ++⨯==, 故答案为：121
【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题.
19．【分析】由题意可得且进而可得结合数列的通项公式可得从而可得答案【详解】根据题意因为所以所以因为所以故答案为：【点睛】此题考查数列的求和以及数列与函数的关系关键是分析属于中档题 解析：
4039
2
【分析】
由题意可得， 1()11()111()e
e e x
f x x x
==++，且11(1)112
f ==+，进而可得1
()()1f x f x
+=，结合数列的通项公式可得
4039111(1)(2)(2020)(
)()()202020192
f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111
(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020
f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++，
从而可得答案. 【详解】 根据题意，
因为()1e e x f x x
=+，所以1()11()111()e e e x f x x x
==++，11(1)112f ==+， 所以1
()()1f x f x +=，
因为(),
2020,1,2020,4041n f n n a f n n ≤⎧⎪
=⎨⎛⎫
> ⎪
⎪-⎝
⎭⎩ 所以4039111
(1)(2)(2020)(
)()()202020192
f f f f f S f =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 111
(1)[(2)()][(3)()](2020)()232020f f f f f f f =+++++⋅⋅⋅++
14039
201922
=
+= 故答案为：4039
2
【点睛】
此题考查数列的求和以及数列与函数的关系，关键是分析1()()1f x f x
+=，属于中档题.
20．【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到令可得到由函数的单调性可求得的取值范围【详解】由得：令则在上单调递减；在上单调递减；综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数值域的求解问题涉
解析：[)2,2,3⎛
⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
【分析】
利用等比数列通项公式可整理已知等式得到2
1121
1
q q a q q
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=-++，令1t q q =+可得到
11
11
a t t =-++
+，由函数的单调性可求得1a 的取值范围. 【详解】
由4
43210q a a a ++++=得：43211110q a q a q a q ++++=，
2
2
42
132
11211111q q q q q a q q q q q q q
⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∴=-=-=-++++++. 令(][)1
,22,t q q
=+
∈-∞-+∞，则
()()2
2
112112
11111
t t t a t t t t +-+--=-=-
=-+++++， 1
11
t t -+++在(],2-∞-上单调递减，12112a ∴≥+-=；
111t t -++
+在[)2,+∞上单调递减，1122133
a ∴≤-++=-； 综上所述：1a 的取值范围为[)2,2,3⎛
⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
.
故答案为：[)2,2,3
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
.
【点睛】
本题考查函数值域的求解问题，涉及到等比数列通项公式的应用；关键是能够将1a 表示为关于q 的函数，利用分离常数法可确定函数的单调性，进而利用函数单调性求得函数的最值，从而得到所求的取值范围.
三、解答题
21．（1）212n n a -=；（2）21
1(31)229
n n T n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦.
【分析】
（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，结合1a ，得数列为等比数列，从而易得通项公式；
（2）用错位相减法求得和n T ． 【详解】 （1）31
()42
n n a S n N *=
+∈ 1131
(2)42
n n a S n --=
+≥ 两式相减，得()1133
44
n n n n n a a S S a ---=
-=. 所以，114
n n a a -=，14(2)n n a n a -=≥ 又113142a S =
+，即1131
42
a a =+∴12a = ∴{}n a 是首项为2，公比是4的等比数列.
1222124222n n n n a ---=⋅=⋅=.
（2）21
2
n n n b n a n -=⋅=⋅. 35211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①
35212141222(1)22n n n T n n -+=⋅+⋅+
+-⋅+⋅ ②
①-②，得(
)3
5
21
21
32222
2
n n n T n -+-=+++
+-⋅212(14)
214
n n n --=-⋅-，
故211(31)229
n n T n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. 【点睛】
本题考查求等经数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 22．（Ⅰ）1n a n =+；（Ⅱ）20202061449T =. 【分析】
（Ⅰ）根据条件求等差数列的首项和公差，再求通项公式；（Ⅱ）首先求两个数列中的相同项，设数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，根据公式
2020203010T A B =-，求解.
【详解】
（Ⅰ）依题意，()1553
55202
a a S a
+⨯=
==，解得：34a =，
又23a =，故1d =，12a =， 所以1(1)1n a a n d n =+-⋅=+.
（Ⅱ）令数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ，
由（Ⅰ）可知11a b =，32a b =，73a b =，154a b =，…，102310a b =，204711a b =， 所以2020203010T A B =-，
2030(22031)2030
20634952
A +⨯=
=，
()1010212204612
B -=
=-，
故20202061449T =. 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的综合应用，本题的第二问的关键是找到有多少项相同，以及相同项是什么，然后根据公式2020203010T A B =-求解. 23．答案见解析 【分析】
(1）由题设求得等比数列{}n a 的公比q 与首项1a ，即可求得其通项公式;
(2）当选条件①时；先由(1）求得n b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可；当选条件②时：先由(1）求得n b ，再对n 分n ≤4与n ≥5两种情况分别求得其前n 项和即可；当选条件③时：先由（1）求得n b ，再利用裂项相消法求得其前n 项和即可. 【详解】
（1）2111104a a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1
8
12a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
1q >，
122a q =⎧∴⎨=⎩
2n n a ∴=．
（2）若选①2n n b n =⋅
231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+
+-+①
23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+-+②
①-②得：23
122222n n n S n +-=+++
+-⋅
()()11121222212(1)2212
n n n n n n S n n n +++--=
-⋅=--⋅=---
∴1
(1)22n n S n +=-+
选②：22log 29|29|n
n b n =⋅-=-
1n =时，117S b ==
2n =时，2127512S b b =+=+=
3n =时，312375315S b b b =++=++=
4n =时，4123416S b b b b =+++=
即2(792)8(4,)2
n n n
S n n n n N *+-⋅=
=-+≤∈
5n ≥时，2(4)(129)
16132916(4)162
n n n S n n -+-=+++
+-=+
=-+．
选③11211
(21)(21)2121
n n n n n n b ++==-++++
2231111111111
122121212121321
n n n n S ++=
-+-++
-=-+++++++． 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，对运算能力要求较高，属于中档题.
24．（1）22n a n =-，(1)n b n n =+；（2）证明见解析. 【分析】
（1）根据等差数列的通项公式求出公差d 可得n a ，根据等差数列的求和公式可得n S ，根据n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列可得(1)n b n n =+； （2）将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解可证不等式成立. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由题意得314
13124333a a d a a d S a d =+=⎧⎨=+==+⎩，解得10
2a d =⎧⎨=⎩，
从而22n a n =-，2(1)(1)2
n n n
S n n -=
=-. 因为n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列 所以()()()2
12n n n n n n S b S b S b +++=++， 从而()2
11222n n n n n n n n S S b S S b S S +++++=++，
所以2221221(1)(1)(1)(2)2(1)
(1)2(1)(1)(2)2(1)2
n n n n n n n S S S n n n n n n n n b n n S S S n n n n n n ++++-+--+++=
===++--+++-+. （2
）证明：因为
n c =
==<=， 所以122(10211)2n c c c n n n +++<-+-+
+--=
【点睛】
关键点点睛：将n c 放大后再裂项，利用裂项求和方法求解是解题关键.
25．若选①或②则不存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项，选③存在
8k ，使得k T 是数列{}n a 中的项.
【分析】
若选①解方程可得等差数列{}n a 的通项公式，求出n T ，根据通项公式验证即可；若选②， 由
()13212n n S S n n n --=≥-，得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以32为公差的等差数列，利用1n n n a S S -=-求出即可求解；若选③由120n n a a ++=可得1
2n
n a a -=-，数列为等比数列，求出()1
2n n a -=-即可求解. 【详解】
选①，设数列{}n a 是公比为q 的等比数列， 且11a =，其中1a ，21a +，31a +成等差数列， 可得()213211a a a +=++，即()2
212q q +=+，解得2q
（0舍去），
则11
12n n n a a q --==；
故148b a ==，2232b a a =-=-， 则等差数列{}n b 的公差10d =-，()
()218101352
n n n T n n n -=+
-=-，
当3n ≥时，0n T <，0n a >，故不存在()320,N k k n <<∈使得使得k T 是数列{}n a 中的项； 选②由()13212n n S S n n n --=≥-，得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以32为公差的等差数列， 又
11211S a ==，所以()33121222
n S n n n =+-=+， 则231
22
n S n n =
+；所以()1312n n n a S S n n -=-=-≥ 验证12a =适合上式，所以31n a n =-；
1411b a ==，2235830b a a =-=-=-<，
则等差数列{}n b 的公差14d =-，()
()2111147182
n n n T n n n -=+
-=-+， 当3n ≥时，0n T <，0n a >，故不存在()320,N k k n <<∈使得使得k T 是数列{}n a 中的项；
选③由11a =，120n n a a ++=可得，
1
2n
n a a -=-， 以数列{}n a 是以2-为公比以1为首项的等比数列，所以()1
2n n a -=-，
148b a ==-，2236b a a =-=-，则等差数列
{}n b 的公差2d =，29n T n n =-，
()3
8482T a ==-=，故存在8k ，使得k T 是数列{}n a 中的项；
【点睛】
关键点点睛：本题主要根据所选的条件，去求数列{}n a 的通项公式，求出通项公式后，利用公式判断项是否在数列中即可，属于中档题.
26．（1）1121n a k a kn k =+=-+；；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】
（1）由数列n a 与n S 的关系运算即可得解；
（2）转化条件得12(21)(21)
n S n n <-+，由裂项相消法即可得证； （3）通过放缩可得1n b >、111114n n n b k a a -⎛⎫
<+- ⎪⎝⎭
，结合裂项相消法即可得证.
【详解】
（1）1n =时， 111a S k ==+，
2n ≥时，221[(1)(1)]21n n n a S S k n n k n n kn k -=-=⋅+-⋅-+-=-+，
又11a k =+也满足21n a kn k =-+， 11,21n a k a kn k ∴=+=-+；
（2）证明：当 2k =时， 22n S n n =+
112211(21)2(21)(21)(21)2121n S n n n n n n n n ∴==<=-++-+-+ 2n ∴≥时，
12311111111111335572121n S S S S n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 2123213
n =-<+； 显然1n =时，
111233S =<成立； 123111123
n S S S
S ∴++++
<； （3）证明：当0k >时，1n a >，2411n n
a a ∴>， 2222111111n n n n n
b a a a a ⎛⎫∴=
>=+-= ⎪⎝⎭ 231n b b b n ∴+++>-；
又当2n ≥时，22221131111111111112224n n n n n n n n n a b a a a a a k a a --++
⎛⎫=<-=+<+=+- ⎪⎝⎭
， 2312231111111114n n n b b b n k a a a a a a -⎛⎫∴+++<-+-+-++- ⎪⎝⎭111111111144(1)44(1)n n n n n k a a k k k a k k ⎛⎫=-+-=-+-<-+ ⎪+⋅+⎝⎭， 综上所述，当2n ≥时，()2311141n n b b b n k k -<++
+<-++. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是对数列进行合理放缩，细心计算即可得解.。