2018高考数学(文)第八篇 平面解析几何 第4节 椭 圆

第4节椭圆
【选题明细表】
基础对点练(时间:30分钟)
1.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+
|PF2|等于( D )
(A)4 (B)5 (C)8 (D)10
解析:由方程知a=5,根据椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=10.故选D.
2.(2016·天津红桥区模拟)焦点在y轴上,焦距等于4,离心率等于的椭圆的标准方程是( C )
(A)+=1 (B)+=1
(C)+=1 (D)+=1
解析:由焦点在y轴上,焦距等于4,离心率等于,可得c=2,a=2,b=2,故所求的椭圆方程为+=1,故选C.
3.(2016·武汉模拟)椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为( A )
(A) (B) (C)2 (D)4
解析:椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,
所以=2⇒m=,故选A.
4.(2016·北京海淀区模拟)已知曲线C的方程为+=1,则“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的( C )
(A)充分必要条件(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则a>b>0,所以“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要条件;若a>b,曲线不一定是椭圆,故充分性不成立,所以“a>b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选C.
5.(2016·朔州模拟)已知椭圆C2过C1:+=1的两个焦点和短轴的两个端点,则椭圆C2的离心率为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:椭圆C 1:+=1的焦点为(±,0),
短轴两端点为(0,±3),
依题意椭圆C 2中a=3,b=,
所以c==2,
所以e==.选A.
6.(2016·深圳模拟)过椭圆+=1的中心任意作一条直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PQF周长的最小值是( C )
(A)14 (B)16 (C)18 (D)20
解析:由椭圆的定义知|PF|+|PF1|=2a,(F1为椭圆+=1的另一个
焦点)
由椭圆对称性可知|QF|=|PF1|,
所以有|PF|+|QF|=2a,
而|PQ|的最小值是2b,
因为+=1,
所以a=5,b=4.
所以△PQF的周长的最小值为2a+2b=2(a+b)=18,选C.
7.离心率e=,焦距2c=16的椭圆的标准方程为 .
解析:因为椭圆的离心率e=,焦距2c=16,
所以c=8,a=12,b=,
所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.
答案:+=1或+=1
:+=1(0<b<2),左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是.
解析:由0<b<2可知焦点在x轴上,
因为过F1的直线l交椭圆于A,B两点,
所以|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8,
所以|BF2|+|AF2|=8-|AB|.
当AB垂直x轴时|AB|最小,|BF2|+|AF2|的值最大,
此时|AB|=b2,所以5=8-b2,解得b=.
答案:
9.(2016·贵州遵义校级一模)过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦,使得弦被M点平分,则此弦所在的直线方程为.
解析:设直线与椭圆交于点A,B,设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意可得
两式相减可得+=0,
由中点坐标公式可得(x1+x2)=2,(y1+y2)=1,
k AB==-=-,
所以所求的直线的方程为y-1=-(x-2),
即x+2y-4=0.
答案:x+2y-4=0
10.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P在椭圆上.
(1)若|PF1|=8,求|PF2|;
(2)若∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.
解:(1)由椭圆方程知a=10,
由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=20.
所以|PF2|=20-|PF1|=20-8=12.
(2)由a=10,b=8,c=6.
设|PF1|=m,|PF2|=n.
由椭圆定义得m+n=20.
又|F1F2|=2c=12.
在△F1PF2中,由余弦定理得
|F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1PF2
=(m+n)2-2mn(1+cos)
即122=202-2mn×,解得mn=,
所以=mn·sin∠F 1PF2
=××
=.
,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)过点A(2,1),离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B,C两点(异于点A),线段BC 被y轴平分,且AB⊥AC,求直线l的方程.
解:(1)由条件知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e==,
所以b2=a2-c2=a2,
将点A(2,1)代入椭圆方程得+=1解得
故椭圆方程为+=1.
(2)将直线l:y=kx+m(k≠0)代入椭圆方程得x2+4(kx+m)2-8=0,
整理得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-8=0,
线段BC被y轴平分得x B+x C=-=0,
k≠0,m=0,
所以B,C关于原点对称,设B(x,kx),C(-x,-kx),
所以x2=,
又因为AB⊥AC,A(2,1),
所以·=(x-2)(-x-2)+(kx-1)(-kx-1)
=5-(1+k2)x2
=5-=0,
解得k=±,
由k=,直线y=x过点A(2,1),
故k=不符合题意.
所以,此时直线l的直线方程为y=-x.
能力提升练(时间:15分钟)
12.(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C 的离心率为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:如图,设MB交y轴于H,
由题意OH=OE,
因为PF⊥x轴,所以MF∥EO,
所以=, ①
=, ②
①×②得=·,
所以=·,
整理得=.故选A.
13.(2016·贵阳校级模拟)已知椭圆C的中点在坐标原点,焦点在x轴上,左焦点为F 1(-2,0),点B(2,)在椭圆C上,则椭圆C的方程为
.
解析:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
因为椭圆的左焦点为F1(-2,0),
所以a2-b2=4, ①
因为点B(2,)在椭圆C上,
所以+=1, ②
由①②解得a=2,b=2,
所以椭圆C的方程为+=1.
答案:+=1
14.(2016·长沙一模)已知椭圆E的两焦点分别为(-1,0),(1,0),且经过点(1,).
(1)求椭圆E的方程;
(2)过P(-2,0)的直线l交E于A,B两点,且=3,设A,B两点关于x 轴的对称点分别是C,D,求四边形ACDB的外接圆的方程.
解:(1)由题意可得c=1,
所以a2=b2+1,
把点(1,)代入+=1可得+=1,
解得b2=1,所以a2=b2+1=2,
所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)由题意设l:x=my-2,代入椭圆E:+y2=1,并整理可得(m2+2)y2-4my+2=0,
由Δ=16m2-8(m2+2)>0可解得m2>2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=, ①
y1y2=, ②
由=3可得y2=3y1, ③
由①②③解得m2=4符合m2>2,
不妨取m=2,则线段AB的垂直平分线方程为
y=-2x-,
则所求圆的圆心为(-,0),
又可得B(0,1),
所以圆的半径r=,
所以所求圆的方程为(x+)2+y2=.
15.(2016·南宁校级月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C 的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y=kx+与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)椭圆的离心率为,椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距
所以
所以a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为x2+=1.
(2)将y=kx+代入椭圆方程,可得
(4+k2)x2+2kx-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个根,
所以x1+x2=-,x1x2=-,
由题意知OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,
又y 1=kx1+,y2=kx2+,
则x 1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+3=0,
所以(1+k2)·(-)+k(-)+3=0,
所以k=±满足条件.
好题天天练
C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( B )
(A),] (B),]
(C),1] (D),1]
解题关键:解决本题的关键是要探求出·=-(定值).
解析:由椭圆C:+=1可知其左顶点A1(-2,0),右顶点A2(2,0).
设P(x0,y0)(x0≠±2),
得=-.
因为=,=,
所以·==-,
因为-2≤≤-1,
所以-2≤-≤-1,
解得≤≤,故选B.
2.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为 .
解题关键:涉及中点弦问题,点差法求解.
解析:设以P(3,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),
因为P(3,2)为EF中点,
所以x1+x2=6,y1+y2=4,
把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆4x2+9y2=144,
得
所以4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0.
所以24(x1-x2)+36(y1-y2)=0,
所以k==-,
所以以P (3,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为
y-2=-(x-3),
整理,得2x+3y-12=0.
答案:2x+3y-12=0。