2020高考押题专题13 立体几何中的向量方法(高考押题)(解析版)

高考押题专练13立体几何中的向量方法解析版
1．在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是(
)A.32
B.22
C.104
D.64
【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点D )1,2
1,23(
.平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1，0，0)，所以cos 〈n ，
AD →
〉＝322＝6
4，则sin α＝64
.【答案】D
2．在三棱锥P ­ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 均是等腰直角三角形．O 是斜边AC 的中点，平面PAC ⊥平面ABC ，且AC ＝4，设θ是二面角P ­AB ­C 的大小，则sin θ＝(
)A.23
B.53
C.63
D.73
【解析】连接PO ，过O 作OD ⊥AB ，连接PD (如图)．
因为平面PAC ⊥平面ABC ，PO ⊥AC ，
所以PO ⊥平面ABC ，PO ⊥AB .
又OD ⊥AB .从而AB ⊥平面POD ，PD ⊥AB ，
所以∠PDO 为二面角P ­AB ­C 的平面角，即θ＝∠PDO .由题设，OD ＝12BC ＝1
2×22＝2，OP ＝2，
所以PD ＝PO 2＋OD 2＝ 6.故sin θ＝sin ∠PDO ＝PO PD ＝26＝6
3
.【答案】C
3．如图所示，在正方体AC 1中，AB ＝2，A 1C 1∩B 1D 1＝E ，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面BCC
1B 1所成的角为β，则cos(α－β)＝________．【解析】连接BD ，
AC ⊥BD
AC ⊥BB 1
⇒AC ⊥平面BB 1D 1D ⇒AC ⊥DE ，所以α＝π
2.
取A 1D 1的中点F ，连EF ，FD ，易知EF ⊥平面AD 1，则β＝∠EDF cos(α－β)＝cos )2
(
EDF ∠-π＝sin ∠EDF ＝66.
【答案】
66
4．如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CC 1＝2，AC ＝23，m 是AC 的中点，则异面直线CB 1与C 1M 所成角的余弦值为________．
【解析】在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CC 1＝2，AC ＝23，M 是AC 的中点，
所以BM ⊥AC ，BM ＝4－3＝1.
以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 作AC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (－3，0，
0)，B 1(0，1，2)，C 1(－3，0，2)，M (0，0，0)，
所以CB 1→＝(3，1，2)，MC 1→
＝(－3，0，2)，设异面直线CB 1与C 1M 所成角为θ，则cos θ＝|CB 1→·MC 1→|
|CB 1→|·|MC 1→|＝18·7＝14
28
.
所以异面直线CB 1与C 1M 所成角的余弦值为1428
.【答案】
1428
5．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．
(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求二面角C ­BE ­D 的余弦值的大小．
【解析】设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，以AC 、AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 上作出以AC 垂直的直线作为y 轴，建立如图所示的坐标系，A (0，0，0)，C (2a ，0，0)，B (0，0，a )，D (a ，3a ，0)，E (a ，3a ，2a )．
因为F 为CD 的中点，所以F )0,2
3
,
23(a a .(1)【证明】AF →＝)0,2
3
,
23(a a ，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →
＝(2a ，0，－a )，所以AF →＝1
2
(BE →＋BC →
)，AF ⊄平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .
(2)设平面BCE 的法向量m ＝(x ，y ，z )·BE →
＝0，·BC →
＝0，
＋3y ＋z ＝0，
x －z ＝0，
不妨令x ＝1可得m ＝(1，－3，2)．
设平面BDE 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)·BE →
＝0，·BD →
＝0，
0＋3y 0＋z 0＝0，0＋3y 0－z 0＝0.
令x 0＝3可得n ＝(3，－1，0)．于是cos 〈m ，n 〉＝
m ·n |m |×|n |＝6
4
.故二面角C ­BE ­D 的余弦值为
64
.6．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°.
(1)求证：BD ⊥平面ADG ；(2)求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值．
(1)【证明】在△BAD 中，因为AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°.
由余弦定理，BD 2＝AD 2＋AB 2－2AB ·AD cos 60°，BD ＝3，因为AB 2＝AD 2＋DB 2，所以AD ⊥DB ，
在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，所以GD ⊥DB ，又AD ∩GD ＝D ，所以BD ⊥平面ADG .
(2)【解析】如图以D 为原点建立空间直角坐标系D ­xyz ，
因为∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，
所以A (1，0，0)，B (0，3，0)，E (0，3，2)，G (0，0，1)，
AE →＝(－1，3，2)，AG →＝(－1，0，1)，GB →
＝(0，3，－1)．设平面AEFG 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
·AE →
＝－x ＋3y ＋2z ＝0，·AG →
＝－x ＋z ＝0，令x ＝1，得y ＝－3
3
，z ＝1，
所以n ＝)1,3
3,1(-
.
设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ，所以sin θ＝|cos 〈GB →
，n 〉|＝21
7，
所以直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为
21
7
.7．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.
(1)求证：BD ⊥平面ACFE ；(2)当直线FO 与平面BED 所成角的大小为45°时，求AE 的长度．
(1)【证明】因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .
因为AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥AE .
又AC ⊂平面ACFE ，AE ⊂平面ACFE ，AC ∩AE ＝A ，所以BD ⊥平面ACFE .
(2)【解析】以O 为原点，以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，F (－1，0，3)．
设AE ＝a ，则E (1，0，a )，
所以OF →＝(－1，0，3)，DB →＝(0，23，0)，EB →
＝(－1，3，－a )，
设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )·DB →
＝0，·EB →＝0，23y ＝0，
x ＋3y －az ＝0.
令z ＝1，得n ＝(－a ，0，1)，
所以cos 〈n ，OF →〉＝n ·OF →
|n ||OF →|＝a ＋3
10a 2
＋1
.
因为直线FO 与平面BED 所成角的大小为45°，所以
a ＋310
a 2＋1＝22
，解得a ＝2或a ＝－1
2(舍)，
所以|AE |＝2.
8.如图，在三棱锥A ­BCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°，AC ＝63，BC ＝CD ＝6，点E 在平面BCD 内，EC ＝BD ，EC ⊥BD .
(1)求证：AE ⊥平面BCDE ；
(2)在棱AC 上，是否存在点G ，使得二面角C ­EG ­D 的余弦值为105？若存在点G ，求出CG
GA
的值，若不存
在，说明理由．
(1)【证明】因为△BCD 是等腰直角三角形，CO ⊥BD ，所以CO ＝1
2
BD .
又EC ＝BD ，所以点O 是BD 和CE 的中点．因为EC ⊥BD ，
所以四边形BCDE 是正方形．
则CD ⊥ED ，又CD ⊥AD ，AD ∩ED ＝D ，所以CD ⊥平面ADE ，CD ⊥AE .
同理BC ⊥AE ，BC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面BCDE .
(2)【解析】由(1)的证明过程知四边形BCDE 为正方形，建立如图所示的坐标系，则E (0，0，0)，D (0，6，0)，A (0，0，6)，B (6，0，0)，C (6，6，0)．
假设在棱AC 上存在点G ，使得二面角C ­EG ­D 的余弦值为10
5
，设CG
GA
＝t (t ＞0)，G (x ，y ，z )，
由CG →＝t GA →
可得G )16,16,16(t
t
t t +++，
则ED →＝(0，6，0)，EG →
＝)16,16,16(t
t
t t +++.
易知平面CEG 的一个法向量为DB →
＝(6，－6，0)．设平面DEG 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，
·ED →
＝0，·EG →＝0，0，
0＋61＋t y 0＋6t 1＋t z 0＝0.令x 0＝1得z 0＝－1
t ，n ，0所以DB →
·n |DB →|·|n |＝105，662·1＋1t 2＝105，解得t ＝2.
故存在点G (2，2，4)，使得二面角C ­EG ­D 的余弦值为
105，此时CG
GA
＝2.9．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝AE ＝2.
(1)求证：BD ⊥平面ACFE ；
(2)当直线FO 与平面BED 所成的角为45°时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．
【解析】(1)【证明】∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC .∵AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥AE .
∵AC ∩AE ＝A ，∴BD ⊥平面ACFE .
(2)以O 为原点，
OA →，OB →
的方向为x ，y 轴正方向，过O 且平行于CF 的直线为z 轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，E (1,0,2)，F (－1,0，a )(a >0)，OF →
＝(－1,0，a )．
设平面EBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
·OB →＝0·OE →＝0
＝02z ＝0
，令z ＝1，则n ＝(－2,0,1)，
由题意得sin45°＝|cos 〈OF →，n 〉|＝|OF →
·n ||OF →||n |＝|2＋a |a 2＋1·5＝22，解得a ＝3或－1
3.
由a >0，得a ＝3，
OF →＝(－1,0,3)，BE →＝(1，－3，2)，cos 〈OF →，BE →〉＝－1＋610×8＝5
4，
故异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值为
54
.10．如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，点D 为AC 的中点，点E 在线段AA 1上．
(1)当AE
EA 1＝1
2时，求证：DE ⊥BC 1；
(2)是否存在点E ，使二面角D ­BE ­A 等于60°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)【证明】连接DC 1，
因为ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱，所以△ABC 为正三角形．又因为D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC .
又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥平面ACC 1A 1.所以BD ⊥DE .因为AE EA 1＝1
2，AB ＝2，AA 1＝3，
所以AE ＝
3
3
，AD ＝1.所以在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°.在Rt △DCC 1中，∠C 1DC ＝60°.
所以∠EDC 1＝90°，即ED ⊥DC 1，DC 1∩BD ＝D .所以DE ⊥平面BDC 1，又因为BC 1⊂平面BDC 1，所以ED ⊥BC 1.
(2)假设存在点E 满足条件，设AE ＝h .
取A 1C 1的中点D 1，连接DD 1，则DD 1⊥平面ABC ，
所以DD 1⊥AD ，DD 1⊥BD .
如图，分别以DA ，DB ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，E (1,0，h )．
所以DB →＝(0，3，0)，DE →＝(1,0，h )，AB →＝(－1，3，0)，AE →
＝(0,0，h )．
设平面DBE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)1·DB →
＝0，1·DE →
＝0，
1＝0，hz 1＝0.
令z 1＝1，得n 1＝(－h,0,1)．
同理，设平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
2·AB →＝02·AE →＝0
x 2＋3y 2＝02＝0，得n 2＝(3，1,0)．
所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|－3h |
h 2＋1×2
cos 60°＝1
2.
解得h ＝2
2
<3，故存在点E 满足条件．当AE ＝
2
2
时，二面角D ­BE ­A 等于60°.11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点．
求证：B 1F ⊥平面AEF .
【证明】以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B 1(4,0,4)，D (2,0,2)，A 1(0,0,4)，
B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →
＝(2，－2，－2)，
B 1F →·EF →
＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，∴B 1F →⊥EF →
，B 1F ⊥EF ，
B 1F →·AF →
＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，∴B 1F →⊥AF →
，∴B 1F ⊥AF .∵AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .
12．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．
(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ；(2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .
【证明】以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，设BC ＝1，
则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1)2,2
1,1(.(1)设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为C 1E 1→＝)0,2
1
,1( ，
FC 1→
＝(－1,0,1)，所以n ·C 1E 1→
＝0，n ·FC 1→
＝0，
即
x －1
2y ＝0，－x ＋z ＝0，
令x ＝1，得n ＝
(1,2,1)．
因为CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →
＝1－2＋1＝0，所以CE →⊥n .
又因为CE ⊄平面C 1E 1F ，所以CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，由EF →＝(0,1,0)，FC →
＝(－1,0，－1)，
所以
m ·EF →
＝0，m ·FC →
＝0，
即b ＝0，－a －c ＝0.
令a ＝－1，得m ＝(－1,0,1)．
因为m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，所以平面C 1E 1F ⊥平面CEF .
13．如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .
(1)求证：BD ⊥AA 1；
(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO
＝60°，
∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2
－2AA 1·AO cos 60°＝3，
∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO .
由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD .
以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)．由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1→
＝(0,1，3)，AA 1→·BD →
＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，∴BD →⊥AA 1→
，即BD ⊥AA 1.
(2)假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →
＝λCC 1，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3)．从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →
＝(－3，1＋λ，3λ)．
设n 3＝(x 3，y 3，z 3)⊥平面DA 1C 13⊥A 1C 1→，3⊥DA 1→，
又A 1C 1→＝(0,2,0)，DA 1→
＝(3，0，3)，
0，3＋3z 3＝0，
取n 3＝(1,0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →，即n 3·BP →
＝－3－3λ＝0，得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .
14．设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数λ、μ、v 使a 4＝λa 1＋μa 2＋v a 3成立？如果存在，算出λ、μ、v 的值，如果不存在，请给出证明．
【解析】假设a 4＝λa 1＋μa 2＋v a 3成立．
∵a 1＝(2，－1,1)，a 2＝(1,3，－2)，a 3＝(－2,1，－3)，a 4＝(3,2,5)，∴(2λ＋μ－2v ，－λ＋3μ＋v ，λ－2μ－3v )＝(3,2,5)，
λ＋μ－2v ＝3，λ＋3μ＋v ＝2，－2μ－3v ＝5，＝－2，
＝1，
＝－3.
故有a 4＝－2a 1＋a 2－3a 3.
15．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．
(1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →
垂直，求向量a 的坐标．【解析】(1)由题意可得：AB →＝(－2，－1,3)，AC →
＝(1，－3,2)，
所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →
|AB →||AC →|＝－2＋3＋6
14×14＝714＝1
2，
所以sin 〈AB →，AC →
〉＝3
2
，
所以以AB →，AC →
为边的平行四边形的面积：S ＝2×12|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.
(2)设a ＝(x ，y ，z )，
2＋y 2＋z 2＝3，
2x －y ＋3z ＝0，
－3y ＋2z ＝0，
＝1，＝1，
＝1
＝－1，＝－1，＝－1.
所以a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．
16．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：
(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →
；(3)EG 的长．【解析】设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →
＝c .
则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，EF →＝12BD →＝12c －1
2a ，BA →＝－a ，DC →
＝b －c ，
(1)EF →·BA →＝)2121(a c ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.
(2)EF →·DC →
＝12c －a )·(b －c )＝12(b ·c －a ·b －c 2＋a ·c )＝－1
4.
(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →
＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋1
2c ，
|EG →|2
＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →
|＝22
.
17．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝90°，AD ＝3，BE ＝3，CF ＝4，EF ＝2.
(1)求证：AE ∥平面DCF ；(2)当AB 的长为何值时，二面角A ­EF ­C 的大小为60°？
【解析】因为平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC ＝BC ，DC ⊂平面ABCD ，且DC ⊥BC ，所以DC ⊥平面BEFC .
以点C 为坐标原点，分别以CB ，CF ，CD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C ­xyz .
设AB ＝a ，则C (0，0，0)，A (3，0，a )，B (3，0，0)，E (3，3，0)，F (0，4，0)，D (0，0，a )．
(1)证明：因为AE →＝(0，3，－a )，CB →＝(3，0，0)，CF →＝(0，4，0)，CD →＝(0，0，a )，
所以CB →·CD →＝0，CB →·CF →＝0，又CD ∩CF ＝C ，
所以CB ⊥平面CDF ，即CB →为平面CDF 的一个法向量．
又CB →·AE →＝0，所以CB ⊥AE ，又AE ⊄平面CDF ，
所以AE ∥平面DCF .
(2)设n ＝(x ，y ，z )与平面AEF 垂直，
AE →＝(0，3，－a )，EF →＝(－3，1，0)，
·EF →＝0
·AE →＝0－3x ＋y ＝0y －az ＝0，取x ＝1，则n ＝)33,3,1(a
.BA ⊥平面BEFC ，BA →＝(0，0，a )，
由|cos 〈n ，BA →〉|＝|BA →·n ||BA →|·|n |＝33a 4＋27a 2＝12，得a ＝92.所以当AB ＝92
时，二面角A ­EF ­C 的大小为60°.18．如图所示多面体ABCDEF ，其底面ABCD 为矩形，且AB ＝23，BC ＝2，四边形BDEF 为平行四边形，点F 在底面ABCD 内的投影恰好是BC 的中点．
(1)已知G 为线段FC 的中点，证明：BG ∥平面AEF ；
(2)若二面角F ­BD ­C 的大小为π3
，求直线AE 与平面BDEF 所成角的正弦值．【解析】(1)证明：如图，连接AC 交BD 于H ，连接GH ，则GH 为△ACF 的中位线，
所以GH ∥AF .
因为GH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以GH ∥平面AEF .
又BD ∥EF ，BD ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BD ∥平面AEF .
连接DG ，因为BD ∩GH ＝H ，BD ⊂平面BDG ，GH ⊂平面BDG ，所以平面BDG ∥平面AEF ，
(2)取BC 的中点O ，AD 的中点M ，连接OF ，OM ，则OF ⊥平面ABCD ，OM ⊥BC ，以O 为坐标原点，OC ，OM ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，B (－1，0，0)，C (1，0，
0)，D (1，23，0)，所以BD →＝(2，23，0)．设OF ＝a (a >0)，则F (0，0，a )，所以BF →＝(1，0，a )．
设平面BDEF 的法向量为n
1＝(x ，y ，z )，
1·BD →＝0
1·BF →＝0＋3y ＝0＋az ＝0，
令x ＝－3a ，得n 1＝(－3a ，a ，3)．
易得平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)．
因为二面角F ­BD ­C 的大小为π3，所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1||n 2||＝34a 2＋3＝12
，解得a ＝32
.设直线AE 与平面BDEF 所成的角为θ，
因为AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →＝(2，0，0)＋23,0,1(＝23,0,3(，且n 1＝)3,2
3,233( ，所以sin θ＝|cos 〈AE →，n 1〉|＝|AE →·n 1|AE →|·|n 1||＝33352
×23＝55.故直线AE 与平面BDEF 所成角的正弦值为55
.19．如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．(1)证明：直线BC ∥平面OEF .
(2)在线段DF 上是否存在一点M ，使得二面角M ­OE ­D 的余弦值是
31313
？若不存在，请说明理由；若存在，请求出M 点所在的位置．
【解析】(1)证明：依题意，在平面ADFC 中，∠CAO ＝∠FOD ＝60°，所以AC ∥OF ，
又OF ⊂平面OEF ，所以AC ∥平面OEF .
在平面ABED 中，∠BAO ＝∠EOD ＝60°，
所以AB ∥OE ，又OE ⊂平面OEF ，所以AB ∥平面OEF .
因为AB ∩AC ＝A ，AB ⊄平面OEF ，AC ⊄平面OEF ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ∥平面OEF .
(2)设OD 的中点为G ，如图，连接GE ，GF ，由题意可得GE ，GD ，GF 两两垂直，以G 为坐标原点，GE ，GD ，GF 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，易知，O (0，－1，0)，E (3，0，0)，F (0，0，3)，D (0，1，0)．
假设在线段DF 上存在一点M ，使得二面角M ­OE ­D 的余弦值是31313
，设DM →＝λDF →，λ∈[0，1]，则M (0，1－λ，3λ)，OM →＝(0，2－λ，3λ)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面MOE 的法向量，
·OM →＝0
·OE →＝0λ)·y ＋3λ·z ＝0＋y ＝0，可取x ＝－λ，则y ＝3λ，z ＝λ－2，n
＝(－λ，3λ，λ－2)．
又平面OED 的一个法向量m ＝(0，0，1)，
所以31313＝|cos 〈m ，n 〉|＝|λ－2|4λ2＋(λ－2)
2，所以(2λ－1)(λ＋1)＝0，又λ∈[0，1]，所以λ＝12
.所以存在满足条件的点M ，M 为DF 的中点．
20．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 的中点，将△ADE 沿AE 折到△APE 的位置．(1)证明：AE ⊥PB ；(2)当四棱锥P ­ABCE 的体积最大时，求二面角A ­PE ­C 的余弦值．
【解析】(1)证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，
因为AB ∥CE ，AB ＝CE ，所以四边形ABCE 为平行四边形，
所以AE ＝BC ＝AD ＝DE ，所以△ADE 为等边三角形，
所以在等腰梯形ABCD 中，∠C ＝∠ADE ＝π3
，BD ⊥BC ，所以BD ⊥AE .
翻折后可得OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，
又OP ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP ∩OB ＝O ，所以AE ⊥平面POB ，
因为PB ⊂平面POB ，所以AE ⊥PB .
(2)当四棱锥P ­ABCE 的体积最大时，平面PAE ⊥平面ABCE .
又平面PAE ∩平面ABCE ＝AE ，PO ⊂平面PAE ，PO ⊥AE ，所以OP ⊥平面ABCE .
以O 为坐标原点，OE 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立空间直角
坐标系，由题意得，P )23,0,0(，E )0,0,21(，C )0,23,1(，所以PE →＝)23,0,21( ，EC →＝)0,23,21(，设平面PCE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
则PE →·n 1＝0EC →·n 1＝0，即12x －32
z ＝012x ＋32
y ＝0，设x ＝3，则y ＝－1，z ＝1，所以n 1＝(3，－1，1)为平面PCE 的一个法向量，
易知平面PAE 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，
cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－11×5＝－55
.由图知所求二面角A ­PE ­C 为钝角，所以二面角A ­PE ­C 的余弦值为－
55.。